Libro guía:
Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.
Notas de clase realizadas por:
J. Walt Oler Texas Tech University
Traducidas y modificadas por:
M. Ing. Jónatan Pozo PalaciosUniversidad Politécnica Salesiana
Análisis y diseño de vigas para flexión
Introducción
5 - 2
ITCSoftware, Automotive System Analysis, Recuperado el 28 de abril del 2014,
http://www.itcsoftware.com/general_finite-eg-automotive.htm
Constellium, Other vehicle safety components, Recuperado el 28 de abril del
2014, http://www.constellium.com/aluminium-products/automotive-structures/automotive-system-solutions/other-vehicle-safety-components
Introducción
5 - 3
• Vigas.- elementos que soportan cargas transversales en uno o varios puntos.
• Objetivo.- análisis y diseño de vigas.
• Las cargas transversales de vigas se clasifican como concentradas y distribuidas.
• Las cargas aplicadas resultan en fuerzas internas que consisten en una fuerza cortante y un momento flexionante.
• El esfuerzo normal es generalmente el criterio de diseño critico.
S
M
I
cM
I
Mymx
Se requiere la determinación de la ubicación y la magnitud del momento flexionante máximo.
Introducción
5 - 4
Clasificación de soportes de vigas
Diagramas de cortante y momento flexionante
5 - 5
• La determinación del esfuerzo normal y cortante máximos requiere de la identificación del cortante máximo y del momento flexionante máximo.
• La fuerza cortante y el momento flexionante en un punto se determinan al pasar una sección transversal en la viga y aplicar un análisis de equilibrio en el tramo izquierdo o derecho.
• La convención de signos para las fuerzas cortantes V y V’ y los momentos flexionantes M and M’ es la siguiente:
Problema de muestra 5.1
5 - 6
Para la viga de madera y la carga mostrada, dibujar el diagrama de cortante y momento flexionante.
Determinar el esfuerzo normal máximo debido a flexión.
Solución:
• Tratando a la viga como un cuerpo rígido, determinar las fuerzas de reacción.
• Identificar el cortante y el momento flexionante máximo a partir de las gráficas de su distribución.
• Aplicar las formulas elásticas de flexión para determinar el correspondiente esfuerzo normal.
• Cortar la viga en puntos cercanos a los soportes y a lugares de aplicación de cargas. Aplicar un análisis de equilibrio en los diagramas de cuerpo libre resultantes para determinar las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes.
Problema de muestra 5.1
5 - 7
Solución:
• Tratando a toda la viga como un cuerpo rígido, determinar las fuerzas de reacción:
kN14kN46:0 DBBy RRMF
• Cortar la viga y aplicar un análisis de equilibrio en cada uno de los tramos:
00m0kN200
kN200kN200
111
11
MMM
VVFy
mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
MV
MV
MV
MV
Problema de muestra 5.1
5 - 8
• Identificar el cortante y el momento flexionante máximos en las gráficas.
mkN50kN26 Bmm MMV
• Aplicar las fórmulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo normal máximo.
36
3
36
2612
61
m1033.833
mN1050
m1033.833
m250.0m080.0
S
M
hbS
Bm
Pa100.60 6m
Trabajo en clase
5 - 9
Para la viga de madera y la carga mostrada, dibujar el diagrama de cortante y momento flexionante.
Problema de muestra 5.2
5 - 10
La estructura mostrada está construida con vigas de acero rolado tipo W10x112. (a) Dibujar los diagramas de cortante y momento flexionante para la viga y la carga dadas. (b) Determinar el esfuerzo normal en la viga justo a la izquierda y a la derecha del punto D.
Solución:
• Reemplazar la carga de 10 kip con un sistema equivalente de fuerzas y momentos en el punto D. Encontrar las reacciones en B al considerar a la viga como un cuerpo rígido.
• Cortar la viga cerca de los soportes y de los puntos de aplicación de las cargas. Aplicar un análisis de equilibrio en cada tramo de la viga para determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes internos.
• Aplicar las formulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo máximo normal a la izquierda y a la derecha del punto D.
Problema de muestra 5.2
5 - 11
Solución:
• Reemplazar la carga de 10kip con un sistema de cargas y momentos en el punto D. Encontrar las reacciones en B.
• Cortar la viga y aplicar un análisis de equilibrio en cada tramo.
ftkip5.1030
kips3030
:
221
1
xMMxxM
xVVxF
CtoADe
y
ftkip249604240
kips240240
:
2
xMMxM
VVF
DtoCDe
y
ftkip34226kips34
:
xMV
BtoDDe
Problema de muestra 5.2
5 - 12
• Aplicar las formulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo normal a la izquierda y a la derecha del punto D.
De la apéndice C para el perfil W10x112, S = 126in3 en el eje X-X.
3
3
in126
inkip1776
:
in126
inkip2016
:
S
M
DdederechalaA
S
M
DdeizquierdalaA
m
m
ksi0.16m
ksi1.14m
Problema de muestra 5.3
5 - 13
Dibujar el diagrama de cortante y de momento flexionante para la viga y la carga mostradas.
Solución:
• Tomando toda la viga como un cuerpo libre determinar las reacciones en A y D.
• Aplicar la relación entre carga y cortante para desarrollar el diagrama de cortante.
• Aplicar la relación entre momento flexionante y cortante para desarrollar el diagrama de momento flexionante.
Problema de muestra 5.3
5 - 14
Solución:
• Tomando en cuenta a toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.
kips18
kips12kips26kips12kips200
0F
kips26
ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240
0
y
y
y
A
A
A
D
D
M
• Aplicar la relación entre cortante y carga para desarrollar el diagrama de cortante.
dxwdVwdx
dV
- Pendiente cero entre cargas concentradas.
- Variación lineal sobre un segmento con carga distribuida.
Ejercicio
5 - 15
Ejercicio
5 - 16
Diseño de vigas prismáticas para flexión
5 - 17
• Entre las diferentes secciones transversales disponibles que tienen un módulo de sección aceptable, aquella que tiene el menor peso por unidad de longitud o menor área transversal es la mejor elección.
• El esfuerzo normal máximo se encuentra en la superficie donde el momento máximo ocurre.
S
M
I
cMm
maxmax
• Un diseño seguro requiere que el esfuerzo normal máximo sea menor al esfuerzo permisible para el material usado. Este criterio nos lleva a la determinación del módulo de sección mínimo aceptable.
all
allm
MS
maxmin
Problema de muestra 5.8
5 - 18
Una viga de acero simplemente apoyada soporta la carga distribuida y la carga puntual mostrada. Sabiendo que el esfuerzo permisible para el acero utilizado es de 160 MPa, seleccionar la viga de patín ancho que debe ser utilizada.
Solución:
• Considerar toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.
• Desarrollar el diagrama de cortante para la viga y la distribución de cargas mostrada. Del diagrama, determinar el momento flexionante máximo.
• Determinar el módulo de sección mínimo. Escoger la mejor viga estándar que cumpla este criterio.
Problema de muestra 5.8
5 - 19
• Considerando a toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.
kN0.52
kN50kN60kN0.580
kN0.58
m4kN50m5.1kN60m50
y
yy
A
A
AF
D
DM
• Desarrollar el diagrama de cortante y determinar el momento máximo de flexión.
kN8
kN60
kN0.52
B
AB
yA
V
VV
AV
• El momento flexionante máximo ocurre enV = 0 or x = 2.6 m.
kN6.67max
M
Problema de muestra 5.8
5 - 20
• Determinar el módulo de sección mínimo aceptable para la viga.
3336
maxmin
mm105.422m105.422
MPa160
mkN6.67
all
MS
• Escoger la mejor sección estándar que cumple con este criterio.
4481.46W200
5358.44W250
5497.38W310
4749.32W360
63738.8W410
mm, 3
SForma
9.32360W