Bloque II. Geometría 1
Página 216
1 Considera los vectores 8u(3, 2, –1),
8v (–4, 0, 3) y
8w (3, –2, 0):
a) ¿Forman una base de Á3?
b)Halla m para que el vector (2, –6, m) sea perpendicular a 8u .
c) Calcula |8u |, |8v | y ( ).
Resolución
a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:
= 28 ? 0. Forman una base de Á3.
b) (2, –6, m) · (3, 2, –1) = 6 – 12 – m
(2, –6, m) 2 8u ï 6 – 12 – m = 0 ï m = –6
c) |8u | = =
|8v | = = = 5
cos ( ) = = –0,80179… 8 ( ) = 143° 18' 3''
2 Halla un vector de módulo 13 que sea perpendicular a los vectores 8u(24, 10, 7)
y 8v(–12, –5, 8).
Resolución8u Ò 8
v = (115, –276, 0)
|8u Ò 8v | = = 299 = 13 · 23
El vector buscado es 8u Ò 8
v = (5, –12, 0).
También cumple las condiciones pedidas su opuesto: (–5, 12, 0).
Soluciones: (5, –12, 0) y (–5, 12, 0)
123
√1152 + 2762
ì8u,
8v
–15
√14 · 5
ì8u,
8v
√25√42 + 32
√14√32 + 22 + 12
|3 2 –1–4 0 33 –2 0
|
ì8u,
8v
BLOQUE IIGEOMETRÍAII
3 Considera los puntos P (2, 3, 5) y Q (8, –9, 2):
a) Halla el punto medio de PQ.
b)Halla el punto simétrico de P respecto de Q.
c) Obtén un punto R de PQ tal que 2 = .
Resolución
a) Punto medio: , , = 5, –3,
b) Sea S (a, b, g) el simétrico de P respecto de Q. Entonces:
= 8
= –9 a = 14, b = –21, g = –1
= 2
Así, el simétrico de P respecto de Q es (14, –21, –1).
c)
= (6, –12, –3)
= + = + = (2, 3, 5) + (2, –4, –1) = (4, –1, 4)
4 Dados los puntos P (3, 2, 0), Q (5, 1, 1) y R (2, 0, –1):
a) Halla la recta que pasa por P y Q.
b)Halla el plano que contiene a P, Q y R.
c) Halla la distancia entre P y Q.
Resolución
a) = (2, –1, 1)
r:
b) = (–1, –2, –1)
Ò = (2, –1, 1) Ò (–1, –2, –1) = (3, 1, –5) 2 π
π: 3(x – 3) + 1(y – 2) – 5(z – 0) = 0
3x + y – 5z – 11 = 0
c) dist (P, Q ) = = √6√22 + 12 + 12
8PR
8PQ
8PR
x = 3 + 2ly = 2 – lz = l
°§¢§£
8PQ
8PQ
13
8OP
8PR
8OP
8OR
8PQ
P (2, 3, 5) Q (8, –9, 2)R
5 + g2
3 + b2
2 + a2
)72()5 + 2
23 – 9
22 + 8
2(
RQPR
Bloque II. Geometría2
°§§§§¢§§§§£
5 Dados el punto A(–1, 2, 3) y la recta r : = = , calcula razo-nadamente:
a) La distancia de A a r.
b)El punto simétrico de A respecto de r.
Resolución
R (1 + l, –2 + l, 1 + 2l) es un punto genérico de r .
(2 + l, –4 + l, –2 + 2l)
Buscamos R para que 2 r ; es decir, 2 (1, 1, 2):
(2 + l, –4 + l, –2 + 2l) · (1, 1, 2) = 2 + l – 4 + l – 4 + 4l = 6l – 6
2 r ï 6l – 6 = 0 ò l = 1
Por tanto, R (2, –1, 3) es el pie de la perpendicular de A a r.
a) dist (A, r) = dist (A, R) = = = 3
b) El simétrico de A respecto de r es el simétrico, A' (a, b, g), de A respecto deR:
= 2
= –1 a = 5, b = –4, g = 3
= 3
Así, A' (5, –4, 3).
6 Calcula la posición relativa de la recta y el plano siguientes:
r : π: x + y + z = 0
Resolución
8dr ·
8nπ = 2 ? 0
Por tanto, 8dr no es perpendicular a
8nπ. Es decir, la recta no es paralela al plano, ni
está contenida en él.
Conclusión: la recta corta al plano.
°¢£
(3, –1, 0) = 8dr // r
(1, 1, 1) = 8nπ 2 π
x = 2 + 3ly = –lz = 0
°§¢§£
3 + g2
2 + b2
–1 + a2
√2√18√32 + 32 + 0
8AR
8AR
8AR
8AR
z – 12
y + 21
x – 11
Bloque II. Geometría 3
IBLOQUE
°§§§§¢§§§§£
7 Dadas las rectas r : y s : = = comprueba que
se cruzan y calcula la distancia entre ellas y la ecuación de la perpendicularcomún.
Resolución
Ecuaciones paramétricas de r . Llamamos y = l:
r :
Ecuaciones paramétricas de s :
s :
= (–3, –1, –5)
• Posición relativa:
Vemos el rango de la matriz formada por las coordenadas de los vectores 8dr,
8ds, :
= – 8 ? 0
Los tres vectores son L.I. Por tanto, las rectas se cruzan.
• El vector genérico (–3 + l + μ, –1 – l – μ, –5 + l + 3μ) tiene su origen en ry su extremo en s.
l = –1, μ = 2
Por tanto, los pies de la perpendicular común a las dos rectas son:
(–2, –2, 0) // (1, 1, 0)
dist (r, s) = dist (R, S) = = = 2
• Recta perpendicular común:
x = 3 + ly = –3 + lz = 6
°§¢§£
√2√8√22 + 22 + 0
8RS
°¢£
l = –1 8 R (5, –1, 6)
μ = 2 8 S (3, –3, 6)
°¢£
7 – 3l – 5μ = 0
–17 + 5l + 11μ = 0
°¢£
8RS 2 r ï
8RS 2
8dr ï –(–3 + l + μ) + (–1 – l – μ) – (–5 + l + 3μ) = 0
8RS 2 s ï
8RS 2
8ds ï (–3 + l + μ) – (–1 – l – μ) + 3(–5 + l + 3μ) = 0
8RS
|–1 1 –11 –1 3–3 –1 –5|
8R0S0
8R0S0
S0 (1, –1, 0)8ds(1, –1, 3)
x = 1 + μy = –1 – μz = 3μ
°§¢§£
R0 (4, 0, 5)8dr (–1, 1, –1)
x = 4 – ly = lz = 5 – l
°§¢§£
z3
y + 1–1
x – 11
x + y = 4
y + z = 5°¢£
Bloque II. Geometría4
8 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 0, –1), es paralelo a la
recta r : y es perpendicular al plano a: 2x – y + z + 1 = 0.
Resolución
(1, –2, 0) Ò (0, 0, 1) = (–2, –1, 0) // (2, 1, 0) = 8dr
Sea π el plano buscado y 8n su vector normal. Entonces:
π // r ò8dr 2 8
n
π 2 q ò 8n 2 (2, –1, 1)
Por tanto, 8n = (2, 1, 0) Ò (2, –1, 1) = (1, –2, –4).
Ecuación de π: 1(x – 1) – 2(y – 0) – 4(z + 1) = 0
x – 2y – 4z – 5 = 0
9 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y cortaperpendicularmente a la recta AB, siendo A (2, 0, 2) y B(–1, 2, 1).
Resolución
= (–3, 2, –1) = 8dr
r : es la recta AB.
Tomamos un vector genérico con origen en O y extremo variable en r :
(2 – 3l, 2l, 2 – l)
Obligamos a que 2 r :
(2 – 3l, 2l, 2 – l) · (–3, 2, –1) = 0 ï –6 + 9l + 4l – 2 + l = 0 ï
ï 14l – 8 = 0 ï l = =
Para l = , obtenemos R , , y , , // (2, 8, 10) // (1, 4, 5)
La recta buscada es:
x = ly = 4lz = 5l
°§¢§£
)107
87
27(8
OR)107
87
27(4
7
47
814
8OR
8OR
8OR
x = 2 – 3ly = 2lz = 2 – l
°§¢§£
8AB
x – 2y = 0
z = 0°¢£
Bloque II. Geometría 5
IIBLOQUE
10 Sean el plano π: 3x – 2y + z – 1 = 0 y las rectas:
r : s :
a) Halla el ángulo que forman r y s.
b)Calcula el ángulo formado entre r y π.
c) Halla el ángulo que forma π con el plano q determinado por r y s.
Resolución
8dr (–1, 1, –2) //r,
8ds(3, 4, 0)//s,
8n(3, –2, 1) 2 π
a) cos ( ) = = = 0,08165 8 ( ) = 85° 19'
b) sen ( ) = cos ( ) = = 0,76376 8 ( ) = 49° 47' 49''
c) r y s se cortan en (0, 2, 3), evidentemente.
Determinan un plano cuyo vector normal es:
8n ' = (–1, 1, –2) Ò (3, 4, 0) = (8, –6, –7)
cos ( ) = cos ( ) = =
= = 0,63495 8 ( ) = 50° 35' 1''
11 Calcula la distancia que hay entre estos planos:
a: 2x + y – z + 1 = 0 b: 4x + 2y – 2z + 7 = 0
Resolución
= = ? ; por tanto, a y b son paralelos.
El punto A (0, 0, 1) é a. Por tanto:
dist (a, b) = dist (A, b) = = = › 1,025√2424
5
√24
|4 · 0 + 2 · 0 – 2 · 1 + 7|
√42 + 22 + 22
17
–1–2
12
24
ìπ, q
29
√—14 √
—149
3 · 8 + (–2) · (–6) + 1 · (–7)
√—14 √
—149
|ì8n,
8n'|ì
π, q
ìr, π|–7
√—6 √
—14
||ì8dr,
8n|ì
r, π
ìr, s
1
√6 · 5
|8dr ·
8ds|
|8dr| · |
8ds|
ìr, s
x = 3ly = 2 + 4lz = 3
°§¢§£
x = – ly = 2 + lz = 3 – 2l
°§¢§£
Bloque II. Geometría6
12 Calcula m para que r y s estén en el mismo plano:
r : = 1 – y = z s :
Resolución
r : = = 8dr = (1, –1, 1)
s : 8ds = (1, 1, 1) Ò (3, 0, –4) = (–4, 7, –3)
Evidentemente, las rectas no son paralelas. Veamos cómo ha de ser m para que secorten.
Conviene expresar cada una de las dos rectas como intersección de dos planos.Obligamos a que los cuatro planos tengan algún punto común:
r :
s :
Para que el sistema tenga solución, es necesario que el determinante de la matrizampliada sea cero.
= –2m – 8; –2m – 8 = 0 ï m = –4
Si m = –4, las dos rectas se cortan. Por tanto, están en un mismo plano.
13 Halla un punto de la recta s: x = –y = z tal que su distancia a r : sea igual a 1 unidad.
Resolución
Un punto genérico de r : R (l, –l, 3)
Un punto genérico de s : S (μ, –μ, μ)
Las dos rectas se cortan en (3, –3, 3).
Al ser perpendicular a r desde s, lacoordenada z debe distar 1 en ambasrectas. Por tanto, hay dos puntos de scuya distancia a r es 1:
(2, –2, 2) y (4, –4, 4)
(3, –3, 3)
11
Y
X
r
s
Z
x + y = 0
z = 3°¢£
|2 0 –2 10 1 1 11 1 1 –m3 0 –4 –1|
x + y + z = –m
3x – 4z = –1°¢£
2x – 1—= z 8 2x – 2z = 1
21 – y = z 8 y + z = 1
°§¢§£
z1
y – 1–1
x – (1/2)1
x + y + z + m = 0
3x – 4z + 1 = 0°¢£
2x – 12
Bloque II. Geometría 7
IIBLOQUE
°§§¢§§£
14 Calcula las ecuaciones de la recta r ' sabiendo que es la proyección ortogonalde r sobre π:
r : π: x – y + 2z + 4 = 0
Resolución
La recta r' es intersección de dos planos: el π y un plano a que contiene a r yes perpendicular a π.
Un vector normal a a es perpendicular al vector dirección de r y al vector normal a π.
Por tanto: (1, 3, 0) Ò (1, –1, 2) = (6, –2, –4) // (3, –1, –2) = 8n;
8n 2 a
(0, –2, 3) é a
a: 3(x – 0) – (y + 2) – 2(z – 3) = 0
3x – y – 2z + 4 = 0
La recta es r':
15 Dada la recta r : y el plano b: x – 3y – z + 6 = 0, halla la
ecuación de un plano paralelo a b que diste de la recta r 3 unidades.
Resolución
Para que el problema tenga solución, la recta debe ser paralela al plano. Comprobe-mos que es así:
8dr = (2, –5, 0) Ò (1, 0, 5) = (–25, –10, 5) // (5, 2, –1)8n = (1, –3, –1) 2 b
(5, 2, –1) · (1, –3, –1) = 0 ò8dr 2
8n ò r // b
La recta es paralela al plano.
Obtenemos un punto de la recta dando un valor a x. Por ejemplo, para x = –2 88 R (–2, –1, –1)
Un plano cualquiera paralelo a b es de la forma: a: x – 3y – z + k = 0
La distancia de r a a es igual a la distancia de R a a y debe ser igual a 3:
dist (R, a) = = 3
2 + k = ±3 8 k = –2 + 3
Solución: Hay dos planos que cumplen esta condición:
a1: x – 3y – z – 2 – 3 = 0 y a2: x – 3y – z – 2 + 3 = 0√11√11
√11√11
|–2 – 3(–1) – (–1) + k|
√12 + 33 + 12
2x – 5y – 1 = 0
x + 5z + 7 = 0°¢£
ra
π
r'3x – y – 2z + 4 = 0
x – y + 2z + 4 = 0°¢£
x = ly = –2 + 3lz = 3
°§¢§£
Bloque II. Geometría8
16 El plano 2x – y + 3z – 6 = 0 corta a los ejes coordenados en los puntos P, Q y R.
a) Calcula el área del triángulo PQR.
b)Halla el volumen del tetraedro de vértices P, Q, R y el origen de coorde-nadas.
Resolución
Puntos de corte con los ejes: P (3, 0, 0), Q (0, –6, 0), R (0, 0, 2)
a) = (–3, –6, 0), = (–3, 0, 2)
Área = | Ò | = |(–12, 6, –18)| = 3 u2
b) Para hallar el volumen del tetraedro, podemos utilizar dos métodos.
1.er MÉTODO. Utilizando el producto mixto:
V = |[ , , ]| = | | = 6 u3
2.° MÉTODO. Teniendo en cuenta que el te-traedro es la sexta parte de un ortoedro dedimensiones 3, 6 y 2:
V = · 3 · 6 · 2 = 6 u3
17 Dada la esfera x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 39 = 0, halla:
a) Su centro.
b)La ecuación del plano tangente en el punto P (1, –3, 7).
Resolución
a) Centro: C (1, –3, 0)
b) Radio: r = 7
(1, –3, 7) ¿pertenece a la superficie esférica?
1 + 9 + 49 – 2 – 18 – 39 = 0. Sí pertenece, pues cumple la ecuación.
(También podríamos haber comprobado que dist (P, C ) = 7).
El vector es perpendicular al plano tangente, π:
(0, 0, 7) // (0, 0, 1), perpendicular a π.
Ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P es:
π: 0(x – 1) + 0(y + 3) + 1(z – 7) = 0 8 z = 7
8CP
8CP
P
Q
R
YO
X
Z
16
|–3 –6 0–3 0 2–3 0 0|1
6
8PO
8PR
8PQ
16
√1412
8PR
8PQ
12
�PQR
8PR
8PQ
Bloque II. Geometría 9
IIBLOQUE