Apostila de Clculo I
1
Apostila de Clculo I
2
Limites
Diz-se que uma varivel x tende a um nmero real a se a diferena em mdulo de x-a tende a zero. ( ax ). Escreve-se: ax ( x tende a a).
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,N1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.
Definio:
f(x) limax
igual a L se e somente se, dado 0 e ax , existe 0 tal que se
a- x 0 ento L-(x) f .
Propriedades:
constante) C ( C C 1. lim
ax==
[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlimaxaxax
=
[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlimaxaxax
=
[ ] nax
n
ax(x) f (x) f 4. limlim
=
(x) g (x) f
(x) g (x) f
5.limlim
limax
ax
ax
=
nax
n
ax(x) f(x) f .6 lim lim
=
Apostila de Clculo I
3
Constante C , limCC .7(x) f(x) f
ax
axlim ==
(x) f log (x) flog .8 limlimax
b bax
=
polinomial funo uma (x) P onde (a) P (x) P .9 limax
=
L (x) h ento , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlimaxaxax
===
Exemplos:
1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim2x
=+=+
2) adoindetermin 00
2242
24x
22
2xlim =
=
x
( )( ) ( ) 4 2x 2x
2x2x
24x
limlimlim2x2x
2
2x=+=
+=
x
3) ( ) adoindetermin 00
022
0220
x
2 - 2x lim
0x=
=
+=
+
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) 4222122 12 2x 1
2 2xx.22
2 2xx.2 2x.2 - 2x
x
2 - 2x
lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==
+=
++=
++
+=
++
+++=
+
x
Apostila de Clculo I
4
Exerccios :
1) Calcular os limites:
a) 34x
2
1xlim
+
+
x
b) 32
2x x1x2x -8
lim
+
c) 28x
3
2xlim
x
d) ( )x
x-4 - 2 lim
0x
e) 2y8y
3
2xlim
+
+
f) 2-2x
23
2
1xlim +
xx
g) 6-x-2x103
2
2
2xlim +
xx
h) 5-x
23 lim
5x
x
i) 3x-
2
23
1xlim
+
xx
j) x-4
7
3
2xlim
xx
l) 3-x27
3
3xlim
x
m) ( )273x 23x
lim +
x
n) ( ) ( )[ ]131x
2.4x lim
++ x
o) 2t
65tt
2
2xlim
+
++
p) 2t
65tt
2
2xlim
+
Apostila de Clculo I
5
3 x
3
1
-1
y
Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto , por valores menores que a, f (x) tende ao nmero 1L . Este fato indicado por:
1ax
L (x) f lim-
=
Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto , por valores maiores que a, f (x) tende ao nmero 2L . Este fato indicado por:
2ax
L (x) f lim =+
Os nmeros 1L e 2L so chamados, respectivamente, de limite esquerda de
f em a e limite direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .
Exerccios : 1) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x) lim-3xf
b) (x) lim3x
f+
c) (x) lim3x
f
d) (x) limx
f
e) (x) limx
f
f) (x) lim4x
f
Apostila de Clculo I
6
1 x
y
0,5
2) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x) lim1x
f+
b) (x) lim1x
f
c) (x) lim1x
f
d) (x) limx
f
e) (x) limx
f
.
3) Dada a funo 31)( += xxf , determinar, se possvel, (x) lim-3xf
e (x) lim3x
f+
.
4) Seja f(x) =
=
+
2 xpara x-92 xpara 2
2 xpara 1
2
2x
. Determinar: (x) lim-2xf
, (x) lim2x
f+
, (x) lim2x
f
.
5) Seja f(x) =
3 xpara 7-3x
3 xpara 1x.. Determinar (x) lim
-3xf
, (x) lim3x
f+
, (x) lim3x
f
,
(x) lim-5xf
, (x) lim5x
f+
, (x) lim5x
f
.
Apostila de Clculo I
7
Limites Infinitos
Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlimaxax - +
pode ocorrer que , ao tender x para
a, o valor f (x) da funo ou aumente sem limite, ou decresa sem limites.
Por exemplo:
21(x) f
=
x.
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000
Assim : 2-x
1 e
2-x1
limlim2x2x
==+
.
So consideradas indeterminaes: )()( )( 0. 00
Exemplos:
1) adoindetermin 1x
x
2
xlim
=
++
==
+=
+=
+ +++ 01
x
1x
11
x
1xx
x
1xx
2x
2
2
2
x
2
xlimlimlim
Apostila de Clculo I
8
2) adoindetermin xx
32x 3
xlim
=
+
+
+
0 10
x
11x
3x
2
x
xxx
32x
xx
32x
2
32
x
3
3
3
x3
xlimlimlim ==
+
+=
+
+
=
+
+
+++
Exerccios:
1) Seja 12x
3x5(x) f+
+=
. Determinar:
a) (x) f limx +
b) (x) f limx
c) (x) f lim)
21(x +
d) (x) f lim)
21(x
2) Calcular:
a) ( )2-x1 lim)2(x
++
b) ( )3x
10-2x1 lim
)5(x +
++
c) ( )3)4(x 4-x1
lim
d) ( )3)4(x 4-x1
lim+
e) 23
5x2 2
2
xlim
++
xx f)
6xx13x x
2
2
2xlim
+
+++
g) 6xx
13x x 2
2
2xlim
+
++
Apostila de Clculo I
9
y
x x
y
x
y
a a a
Continuidade
O conceito de continuidade est baseado na parte analtica, no estudo de limite, e na parte geomtrica na interrupo no grfico da funo. Assim, as funes f(x), abaixo, so todas descontnuas:
f(x) f(x) limlimaxax - +
f(a) f(x) limax
=
=
+
f(x) f(x)
lim
lim
ax
ax -
Definio: Uma funo contnua em um ponto A se:
a) f (a) definida b) (x) f lim
x a existe
c) (x) f limx a
= f (a)
A descontinuidade no grficos (2) chamada por ponto ou removvel, a descontinuidade em (1) por salto e em (3) uma descontinuidade infinita.
Exemplos:
Estudar analiticamente a descontinuidade das funes:
Apostila de Clculo I
10
a)
=
=
1 x x - 11 x 11 x x1
f(x)2
em x =1.
f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim 21x1x
==
0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim1x1x1x
===+++
f descontnua por ponto ou removvel em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1.
b)
=
=
2 x 8-3x2 x 42 x 23
f(x)2
x
no ponto x=2.
L14 2-3x lim (x) f lim2x2x
===
L24 8-3x lim (x) f lim 22x2x
===++
como L1 = L2 =f(2) ento a funo contnua.
Exerccios:
Estudar analiticamente a descontinuidade das funes::
a)
=
=
3 x 3-x
1-2-x
3 x 2
3 x 932
27x
f(x)
2
3
xx
em x =3.
Apostila de Clculo I
10
b)
=
=
2 x 2-x
253x
2 x 7f(x)
2 x
c)
+
=
=
0 x x
2-4x
0 x 3
0 x
f(x)
x
xsen
3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim1x
:
=
1 x A)-(x
1x 1- 11x
f(x)2
2
x
Apostila de Clculo I
12
1x 0x x
y
x
)f(x1
P
Q
Derivada de uma Funo
Acrscimo da varivel independente
Dados 10 xe x denominam incremento da varivel x, diferena:
01 xxx =
Acrscimo de uma funo
Seja y = f(x) contnua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . diferena )f(x)f(xy 01 = chama-se acrscimo ou variao da funo f(x).
Como
xxx 01 += , ento: )f(xx)f(xy 00 +=
Graficamente: tgx
y=
y
)(x f 0
01 xxx =
1x 0x
x
Apostila de Clculo I
13
Razo Incremental
O quociente da variao da funo y pelo incremento da varivel
independente x chamado razo incremental.
x
)f(xx)f(xx
y 00 +=
Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos:
x
f(x)x)f(xx
y +=
Observe que a razo incremental o coeficiente angular ( tg ) da reta secante s, que passa por P e Q.
Derivada de uma funo num ponto x:
eja y = f(x) contnua. Calculamos a razo incremental x
y. O limite da razo
incremental para o acrscimo x tendendo a zero definido como a derivada da funo f(x). Ela pode ser indicada como:
(x)fy = Lagrange
Dy = Df(x) Cauchy
dxdf
dxdy
= Leibnitz
y& Newton
Apostila de Clculo I
14
x x
y
x
)xx(f +
P
Q
f (x)
s
xx +
t
Ento:
x
y
0xlim(x)f
= ou
x
f(x)-x)f(x
0xlim(x)f ++++
====
Quando 0x , a reta secante s tende para a reta tangente t , tg tg e tg(x)f = . Geometricamente (x)f mede a inclinao da reta tangente curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)).
Exemplo:
Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definio )(xf .
x
f(x)-x)f(x
0xlim(x)f +
=
Cf(x) =
Cx)f(x =+
y
Apostila de Clculo I
15
0x
0
0xlim
x
C-C
0xlim(x)f =
=
=
Ento se f(x) = C 0 (x) f = .
Propriedades
1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ==== .
2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ========
Exemplos:
a) 67 7x(x) f xf(x) ==
b) x2
1 x
21
x21(x) f x(x) f xf(x) 2
1121
21
=====
Exerccios: Calcular a derivada das funes:
a) 34xf(x) = b) 97xf(x) =
c) 43
xf(x) =
3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ++++====++++
4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ====
Exemplos:
Apostila de Clculo I
16
a) 3x2xf(x) 74 +=
63 21x8x (x) f +=
b) 10x3xf(x) 49 =
38 40x27x (x) f =
c) 4x3xf(x) 5
231
=
x524.x
313. (x) f 15
2131
==
53
32
5x
8
x
1
5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ++++====
Exemplos:
a) 1).(xxF(x) 23 +=
2x(x) g 1xg(x)
3x(x) f x(x) f
2
23
=+=
==
24
322
3x5x(x) F
2x .x1)(x .3x(x) F
+=
++=
b) )2x2x).(x(xF(x) 232
3 ++=
4xx32(x) g )2x(xg(x)
23x(x) f 2x)(xf(x)
31
232
23
+=+=
+=+=
Apostila de Clculo I
17
232
438
31
3232
2
12xx3
1010xx311(x)F
4x)x322x).((x )2x2).(x(3x(x)F
+++=
+++++=
c) )x4)(2(xF(x) 92 ++=
4x36x11x(x) F
)4).(9x(x)x2x.(2(x) F
9x(x) g x2g(x)
2x(x) f 4xf(x)
810
829
89
2
++=
+++=
=+=
=+=
6. Propriedade (((( ))))2g(x)(x)g . f(x)g(x) . (x)f
(x) g(x) f
====
Exemplos:
a) 2xx1y =
3
4
2
4
22
22
2
2
x
2xy
x
x2xx
x2xx)(x
x).(2x)(1)(-1).(xy
2x(x) g xg(x)
-1(x) f x 1f(x)
=
=
+=
=
==
==
Apostila de Clculo I
18
b) 2x13xy
+=
22
2
22
2
2
)x(116xxy
)x(12x)3).((x)x-1.(1y
-2x(x) g x-1g(x)
1(x) f 3xf(x)
++=
+=
==
=+=
a) 7x
65xxy 22
+=
2x(x) g 7-xg(x)
5-2x(x) f 65x-xf(x)
2
2
==
=+=
22
2
22
22
7)(x3526x5xy
7)(x6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2xy
+=
+=
Apostila de Clculo I
19
Exerccios:
Calcular as derivadas das funes:
1) 42 t )t(1y =
2) 5)1)(z2z(zy 23 +=
3) )2x2x)(x(xy 232
3 +=
3) x
2xy23
=
4) 1)3)(3x(xy 2 +=
5) 9z23zz8y
2
+=
6) 7
t2
1t53
y2 +
=
7) 32 xxx11y
+++=
8) ( ) 5xx
43
12x3xy2
24
+
+=
9) 321111xxx
y +++=
10) 213xx
y =
Apostila de Clculo I
20
x
)x(f
T ))x(fa( =
N
= )x(f1
a
Significado Geomtrico da Derivada
=(x)f inclinao da tangente T no ponto P(x, f(x))
N = reta normal ao grfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))
Exemplo:
Obter as equaes das retas normal e tangente ao grfico da funo 2x4f(x)y == nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3).
No ponto (2,0) 2a 2(x) f == 21
=na
2-2x y
2)-2(x y T de Equao
=
=
equao de N ( )2-x21
- =y 1 x 21
- +=y
No ponto (-1,3): 2a 2(x) f ==
x
y
Apostila de Clculo I
21
52x y
1)2(x3 y T de Equao
+=
+=
equao de N ( )1x21
- 3 - +=y
25
x 21
- +=y
Exerccios:
1) Dada a funo x2xy 2 = e o ponto P(4,12), determine a equao das retas normal e tangente ao grfico da funo no ponto P.
2) Achar a equao da reta tangente ao grfico da funo no ponto de abcissa dada:
a) 1 x, 52)( 2 == xxf
b) 2 x, 1)( ==x
xf
3) Achar os pontos onde a reta tangente ao grfico da funo dada paralela ao eixo x:
a) xxxy 42
33
23
=
b) 103 += xy c) xxy 44 +=
4) Achar a equao da reta normal ao grfico da funo no ponto de abcissa dada:
a) -1 x, 12)( 3 =+= xxxf
Apostila de Clculo I
22
b) 4 x, == xy
5) Determinar as abcissas dos pontos do grfico 132 23 += xxxy nos quais a tangente :
a) paralela reta 3 y 9 x 4 = 0 b) perpendicular reta 7 y = -x + 21
Derivadas de Ordem Superior
segunda derivada dx
yddxdy
dxd(x) f
primeira derivada ydxdy(x) f
f(x) y
''
2
2
y==
=
==
=
terceira derivada y dx
yddx
yddxd(x) f '''3
3
2
2
==
=
ny==n
nn
dxyd(x)f
geral modo um De
Exemplos: Calcular :y e y, y :
a) xxxy 24 48 +=
2168 37' += xxy
26" 4856 xxy =
Apostila de Clculo I
23
xxy 96336 5'" =
b) xxxxy += 32 4024
21
2'
2112028
+= xxxy
23
''
412408
++= xxy
25
'''
83240
= xy
Exerccios: Calcular :y e y, y
113x5x4x y1) 61
57+=
x
1xy)22
=
3) 121
8 15xxxy
++=
4) 23 4x
xy =
5) ( )( )132 += xxy
Apostila de Clculo I
24
Regra da Cadeia
Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, ento a funo composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:
( ) ( )xgufdxdu
dudy
dxdy
''
. . ==
Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a funo e depois derivar, ou seja:
( )144412)(
23
24
+=+=
++==
xxxxy
xxxfy
Se quisermos derivar a funo ( )1002 1xy += s conseguiremos resolver atravs da regra da cadeia.
Assim:
( ) ( )992992
2
99100
2
1x x 200.2x 1x100dxdy
2xdxdu
1xu
100ududy
uy
1xu
+=+=
=+=
==
+=
Nesse caso a propriedade :
'1' . . uunyuy nn ========
Apostila de Clculo I
25
Exemplos:
1) 422 ++= xxy = ( )212 42 ++ xx
( ) ( ) ( )42
1224221
221
2'
++
+=+++=
xx
xxxxy
( )204 108 )2 += xxy
( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy ++=++=
Exerccios: Calcular ypara a s funes:
1) 5 4 1
1+
=
xxy
2)3
2
23
+=
x
xy
3) 112
+
=
x
xy
4) ( )82 24 += xxy
5) 3 4 12 += xxy
6) ( ) 52.13 6 += xxy
7) ( ) 578xy =
Apostila de Clculo I
26
8) ( )424 158 += wwy
9) ( ) ( )223 98.76 += xxy
3 3 278 )10 += ry
11) 4-3s
1y =
12) 94x
32xy2 +
+=
13) 543 x3
x
2x
1 y ++=
14) ( )22 5x3x1y
++=
15) ( )( )1x23x4y 2 +=
16) ( )34x31x5y
+
=
Derivada das Funes Trigonomtricas
Derivada da funo seno
xdxdyyxsenxfySe cos )( ====
Apostila de Clculo I
27
Pela Regra da Cadeia: uudxdyyusenySe cos '' ============
Derivada da funo cosseno
( )2122222 sen1 xcos sen1cos 1cossen
cos)(
xxxxx
xxfy
===+
==
( )
( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny
xsenxy
===
==
cos.2cos21
cos.2121
1cos
21
221
2'
21
2
xsendxdyyxxfySe cos)( ====
Pela Regra da Cadeia: usudxdyyuySe en cos '' ============
Exemplos:
Calcular as derivadas de:
( )1xsen y1) 2 +=
( ).2x1x cosdxdyy 2 +==
( )1x2xcosy 2 +=
Apostila de Clculo I
28
2) xseny =
21
x21
.xcosy
=
xx
y cos2
1=
( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy
( )202 1+= xf ( ) x2.1x20f 192 +=
( )2sen 3 += xg ( )2xcos.x3g 32 +=
( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=
4) 2cos
x
xy =
xgxg
senxfxf
2
cos
'2
'
==
==
3 cos 2 cos 2
4
2'
x
xxsenx
x
xxxsenxy ==
Derivada da funo tangente
xcos
en )( xsyxtgxfySe ===
xsengxg
xfxsenf
cos
cos
'
'
==
==
Apostila de Clculo I
29
xxx
xsenxy 22222
' seccos
1cos
cos==
+=
Pela Regra da Cadeia: usudxdyyutgySe ec 2'' ============
Derivada da funo cotangente
xsen
os cot)( xcyg xxfySe ===
xgxseng
xsenfxf
cos
cos
'
'
==
==
xxsenxsen
xxseny 22222
' seccos1cos
=
=
=
Pela Regra da Cadeia: usudxdyyugySe eccos cot 2'' ============
Derivada da funo secante
xx
xy 1coscos
1sec ===
( ) tgx.xsecxcos
xsenxsenxcos1y 2
2===
Apostila de Clculo I
30
Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== utguuy ==== . . sec
Derivada da funo cossecante
xsenxsen
1xseccosy 1===
( ) ( ) xtgcossecx.co
xsen
cosxcosxx sen 1y 2
2=
==
Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ======== cotseccos seccos
Exemplos: Calcular as derivadas de:
( )1x2xtgy )1 2 ++=
[ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=
2) x
tgxyseccos
=
xgxgxg
xfxtgf
cot. seccos seccos
sec
1
2'
==
==
x
gxtgxxxxy 22
'
seccos
cot..seccosseccos.sec += =
x
x
seccos
1sec 2 +
Apostila de Clculo I
31
Exerccios:
( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy
( )x5seccos.xy)2 2=
( )13xcotg3)y 53 +=
( )38xsen4)y +=
3 6x5tg5)y =
( )35 5x3x cos6)y =
( )58 xxtg7)y =
xcos1xseny)8
+=
1x2tgx2secy)9
=
10) )1x(tg.xsecy 2 +=
11) xcotg . x cos
1y =
12) ( ) xsen1-3xtg xsec1y 2+
+=
13) xtg x x gcot x 2y 2+=
14) ( ) ( )xcosxseny +=
15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny +=
16) 2x sen
3x cos x y +=
17) ( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 =
18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +=
19) x tg .5x seccosy =
20) ( )12cos 22 += xxy
21) ( )33x cos x sen +
Apostila de Clculo I
32
dudx
dydu
dydx
dydx
dxdy
dxdx
= 1
Derivada da Funo Inversa
Vimos a regra da cadeia para a composio de duas funes f (x) e g(x):
dxdu
dudy
dxdy
.=
Para a funo inversa -1fg =
x
u
y
f g
x
y
x
f
f -1
Apostila de Clculo I
33
Portanto:
1 ou
1
dxdydy
dx
dydxdx
dy==
Derivada da Funo Exponencial
Se aayay xx ln ' ==
Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== aauy u ln. ====
Exemplos: Derivar:
1) 2ln2y 2y xx ==
2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y 222 xxx ===
Para 2,71828 e a =
xey = xey ====
Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== uey u ====
Exemplos: Derivar
1) 1x2ey += ( )x2.ey 12x +=
Apostila de Clculo I
34
2) xey = x2
1.ey x=
3) xseney = xcos.ey xsen=
4) x1x2
ey+
= ( )
=
+
=
++
2
2x
1x
2
2x
1x
x
1x.e
x
1x.1x.x2.ey
22
Derivada da Funo Logaritmo
a ln x. a ln .adydx
x a xlogy yya ====
Como: a ln x.
1
dxdy
dydx1
dxdy
==
Se a lnx
1y x log y z ==
Pela Regra da Cadeia: a ln u
uy ulog ySe a
========
Para a=e xln x log a =
Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u u
uy ====
Exemplos: Derivar
Apostila de Clculo I
35
1) x
2
x
2x y xln y 2
2===
2) x21
x
x21
y x ln y ===
3) 3 ln 2
1
3 ln xx2
1
y xlog3 ==
Lembrar que :
ln (p . q) = ln p + ln q
ln qp
= ln p ln q
ln rp = r . ln p
Exerccios: Derivar
1) ( )[ ]35x4.1-6x lny +=
2) 3 22
1x1x
lny+
=
3) ( )( )232
5x12xx
lny+
=
4)
+= 1xx ln y 2
5) ( )4x tg.e y -2x=
Apostila de Clculo I
36
Derivadas de Funes na Forma Implcita
Considere a expresso:
49yx 22 =+
Podemos isolar y em funo de x:
222 x- 49 y x- 49y ==
Ficam definidas duas funes:
x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 ====
Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy == so funes na forma explcita (y em funo de x) , enquanto 49yx 22 =+ uma funo na forma implcita.
Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia :
( ) uu n. u 1-nn = , a derivada de 2y com relao a x 2.y. y .
Na equao inicial se derivarmos todos os termos com relao a x, temos:
yx
-
2y2x
-y 0y y 2 x2 ===+
Apostila de Clculo I
37
Exemplos: Calcular 'y para as funes abaixo:
1) 03y x 43 =+
3
2
3
232
y4x
y12 x3 -
y 0y y12x3 ===+
2) 4 y yx 42 =+
yg y g
2xf x f 2
==
==
32
32
y4 x x y2-y
0 y y4 y x x y 2
+=
=++
3) x4 e y cos xxsen =+
ysenx ycos x cos xsen 4 e y
ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4
3x
x3
++=
=++
4) Encontrar as equaes das retas tangente e normal ao grfico da curva
19
y
4x 22
=+ no ponto
227
,1 .
Derivando com relao a x , temos:
Apostila de Clculo I
38
y922x-
y
0 y. y 92
2x
0 y 2y. . 91
2x .41
=
=+
=+
No ponto
227
,1 9272
2729
=
== NP aya
Reta Tangente T y - ( )1x2729
227
=
Reta Normal N y - ( )1x9272
227
=
Exerccios:
1) Calcular 'y para:
a) 4xyx5x3 42 =+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2=
2) Encontrar as equaes das retas tangente e normal ao grfico da curva 1543 34 +=+ xxyy no ponto ( )0 ,1 .
Apostila de Clculo I
39
Diferenciais de uma Funo
Dada uma funo y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:
x (x) f dy =
onde x o acrscimo da varivel independente x e dy o diferencial de y.
Define-se ento a diferencial da varivel dependente como :
dx (x) f dy =
Lembrando o significado geomtrico da derivada, temos:
x (x) f (x) f )(x f
x (x) f (x) f )(x f
(x) f -x)_ (x f
++
+
+=
x
x
y
Exemplos:
1) Obter um valor aproximado para 37 .
37 x x
1 x
36 x
x (x) f
=+
=
=
=escolhendo
Apostila de Clculo I
40
x(x) f (x) f x)(x f
x21
(x) f
+=+
=
1.3621
36 37 +=
6,08333 121
6 37 +
2) Obter um valor aproximado para 031sen
180 1x
630 x
xsen (x) f
0
0
pi==
pi==
=
0,51511 31 sen
180.
6 cos
6 sen31 sen
x(x) f (x) f x)(x f
0
0
pipi+
pi=
+=+
Apostila de Clculo I
41
Exerccios:
1) Obter um valor aproximado para
a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos
2) Calcular os diferenciais de:
a) ( )423 2 x5 - xy +=
b) ( )2x3 sen y =
c) x
xseny =
Apostila de Clculo I
42
y
x
Mximo relativo
Mnimo relativo
Mximo absoluto
a 1x b
y
f(x)
x
2x 3x 4x 5x
Aplicaes da Derivada
Mximos e Mnimos de uma Funo
Considere a funo cujo grfico :
f(x) crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa f(x) decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx f(x) constante no intervalo ( )bx ,5
Seja um trecho de f(x) crescente:
)(' tgxf =
se f (x) crescente, temos 2
0 pi
0 (x) e 0 ' ftg
Apostila de Clculo I
43
Seja um trecho de f(x) decrescente:
)(' tgxf =
se f (x) decrescente, temos pipi 2
0 (x) e 0 ' ftg
Se f(x) constante, 0 (x) ' =f .
Exemplos: 1) Determinar os intervalos em que a funo 24)( xxf = crescente e onde decrescente.
24)( xxf =
0 x para edecrescent f(x) 0 x se 0 2x -
0 x para crescente f(x) 0 x se 0 2x - 2)('
= xxf
2) Determinar os intervalos em que a funo 45)( 2 ++= xxxf crescente e onde decrescente.
45)( 2 ++= xxxf
f(x)
x
y
Apostila de Clculo I
44
25
- x para edecrescent f(x) 25
- x se 0 52x
25
- x para crescente f(x) 25
- x se 0 52x 52)('
+
++= xxf
Mximos e Mnimos Relativos ou Locais
Seja f(x) definida no domnio D.
D x 0 ponto de mnimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
D x 0 ponto de mximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
f(x0 )
x0
x
y
x0
f(x0 )
x
y
Apostila de Clculo I
45
Resultado:
Se f (x) existe e contnua , ento num ponto de mximo ou mnimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto chamado ponto crtico de f(x).
Estudo do Sinal da Derivada Segunda
Para se caracterizar mximos e mnimos locais necessrio uma anlise do sinal da derivada segunda da funo f (x).
Observe que para 0 xx temos 0 )x(f ' .Para 0 xx = temos
0 )x(f ' = e para 0 xx temos 0 )x(f ' . Logo )x(f ' decrescente e portanto sua derivada 0. )x('' f
y
x0
x
f (x) = 0
f (x) 0
f (x) 0
Apostila de Clculo I
46
Concluso:
Dada uma funo f (x):
a) Calcular a derivada primeira )x(f ' . b) Obter os pontos crticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = . c) Calcular a derivada segunda:
Se 0 )x('' f 0 temos que 0 x ponto de mximo relativo. Se 0 )x('' f 0 temos que 0 x ponto de mnimo relativo
Exemplos:
1) Determinar os pontos de mximos e mnimos locais da funo 2
x- 4 (x) f = pontos crticos ( 0 )x(f ' = )
0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' ===
0''
x -2(x) f = ponto de mximo relativo
4 (0) f )(x f 0 == o valor mximo relativo de f (x).
2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 +== pontos crticos 0(x) f =
=
=
=+=3x1x
018x24x6)x( f 2
Apostila de Clculo I
47
24 - x 12 x)(f '' = 1 x 0 12 - 1) (f 0'' == abcissa do ponto de mximo relativo
f (1) = 6 o valor do mximo relativo 3 x 0 12 3) (f 0'' == abcissa do ponto de mnimo relativo
f (3) = -2 o valor do mnimo relativo
Estudo da Concavidade de uma Funo
A concavidade de uma curva f (x) identificada pelo sinal da derivada segunda.
Se 0 )x('' f num intervalo do domnio D temos concavidade voltada para cima. Se 0 )x('' f num intervalo do domnio D temos concavidade voltada para baixo. Um ponto do grfico de y = f (x) onde h mudana no sinal da derivada segunda )x('' f chamado ponto de inflexo 0 )x('' f = .
Exemplo:
Seja 2x6 x25
3x(x) f y 2
3++== . Determine:
a) o intervalo onde f(x) crescente e onde decrescente. b) pontos de mximo e mnimo relativos. c) Pontos de inflexo.
Soluo:
Apostila de Clculo I
48
a)
=
=
+=3x2x
6x5x(x) f 2
Estudo do sinal:
1. linha : x 2
2. linha : x 3
3. linha : (x-2) (x-3)
2 3 - + +
- - +
+ - +
crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f
edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f
b) pontos crticos
=
=
=
3x2x
0 (x) f
Apostila de Clculo I
49
=
=
=
=
=
relativo mnimo de 2
133, ponto 2
13(3) f
0 (x) f 3x
relativo mximo de 3202, ponto
320
(2) f
0 (x) f 2x
5- x2 (x) f
c) inflexo
+
==
para - de passa (x) f
25
x5- x2 0 (x) f ''
Mximos e Mnimos Absolutos
Se y = f (x) contnua e definida num intervalo fechado [a,b], derivvel em [a,b] ento existem pontos 10 xe x tais que:
( ) [ ]
( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2)
e ba, x , (x) f x f )1
1
0
0x = ponto de mnimo absoluto de f(x) 1x = ponto de mximo absoluto de f(x)
5 2
+
Apostila de Clculo I
50
Para se obter os pontos de mnimo e mximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mnimo e mximo relativos. Compara-se esses valores com os da funo no extremo do intervalo.
Exemplo:
Seja 2 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ]
Pontos de mximo e mnimo relativos
[ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' === 0 xento 0 )x(f como 2)x(f '''' == ponto de mximo local e o valor mximo da funo f (0)=16. Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0
Por comparao f (x) = 0 ponto de mximo absoluto e x =4 ponto de mnimo absoluto.
Exerccios:
1) Dada a funo 1x9x33x)x(fy 2
3
++== verifique os intervalos
para os quais a funo crescente e decrescente. Determine os pontos crticos, verificando se so de mximo ou mnimo. Determine o ponto de inflexo, se houver.
2) Idem para x5x33x)x(fy 2
3
+==
3) Determinar nmeros positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e cuja soma seja a menor possvel.
4) Determinar nmeros positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja o maior possvel.
5) Encontre os pontos crticos, indicando se so mximos ou mnimos locais para ( )32 1xy = .
Apostila de Clculo I
51
6) Uma fbrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produo dado por
60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda dado por 2x12x60V = , determinar o nmero timo de unidades mensais
que maximiza o lucro L = V C.. 7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimenses
a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de rea, determinar as dimenses a e b de forma que o comprimento da cerca seja mnimo.
8) Um fio de comprimento l cortado em dois pedaos. Com um deles se far um crculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas reas compreendidas pela figura seja mnima?