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2º Bachillerato
DeterminantesDefiniciones
Propiedades
Ejercicios Resueltos
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CALCULO PRÁCTICO DE DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
DETERMINANTESVamos a dar a este cuaderno un enfoque eminentemente práctico, sin entrar en demasiadas
consideraciones teóricas acerca de la construcción del concepto de determinante.
Asociado a cada matriz cuadrada, cuyos elementos son números reales, tenemos un número real,
que llamaremos DETERMINANTE de la matriz.
Para representar el determinante de una matriz cuadrada A, emplearemos uno de estos dos
símbolos: det(A) ó ****A****
Orden de un determinante es el número de filas o columnas de la matriz A.
En adelante escribiremos “línea” de un determinante para referirnos a sus filas o a sus columnas.
Vamos a establecer mecanismos de cálculo del determinante de una matriz cuadrada, según sea el orden
del mismo, comencemos por los determinantes de orden 2:
Orden 2
** Regla de cálculo:
Con la definición anterior, se demuestran las siguientes propiedades de los determinantes de orden 2:
1. El valor de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas.
Demostración:
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[Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante]
2. Si una matriz tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero.
Demostración:
.
Análogamente, demostraríamos los demás casos.
3. Si a una línea de una matriz le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un número, el
valor de su determinante no varía.
Demostración:
( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera multiplicada por 2 )
4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz, su determinante cambia de signo.
Demostración:
( Hemos cambiado entre sí, primera y segunda fila de la matriz )
5. El determinante de una matriz es nulo ]]]] una línea es combinación lineal de las demás.
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( La segunda fila es el doble de la primera)
6. Si se multiplica una línea de una matriz por un número, el valor de su determinante queda
multiplicado por dicho número.
( Recuerda que, en las matrices, al multiplicar una matriz por un número, se multiplicaban todos
los elementos de la matriz por dicho número, en un determinante únicamente se multiplica una
fila o una columna. ).
Demostración:
7. El determinante de un producto de matrices cuadradas de orden 2 es igual al producto de sus
determinantes.
( Interesante propiedad, ya que al ser el determinante un número, nos permite operar con todas las
propiedades de los números reales ).
det (A AAAA B) = det(A) AAAA det(B)
8. Un determinante se descompone en suma de dos determinantes, a partir de la suma de los elementos
de una línea del mismo.
La demostración es muy sencilla, basta con desarrollar los tres determinantes anteriores.
Orden 3
** Regla de cálculo: = aAeAi + dAhAc + gAbAf - (cAeAg + fAhAa + iAbAd)
= 1A1A3 + 3A1A(-1) + 0A2A2 - ((-1)A1A0 + 2A1A1 + 3A2A3) = - 20.
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El cálculo de un determinante de orden 3 mediante la definición resulta un tanto complicado para iniciarse
en su cálculo, así pues, daremos unas reglas de cálculo cuya operatividad es más sencilla.
Las propiedades de los determinantes de orden 3 son las mismas que las que hemos establecido para los
determinantes de orden 2, adaptadas al nuevo orden del determinante. Recordemos brevemente estas
propiedades cuya demostración sería análoga a la propuesta para las correspondientes propiedades de
determinantes de orden 2.
1. El valor numérico de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas.
[Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante]
2. Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero.
3. Si a una línea de una matriz cuadrada le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un
número, el valor de su determinante no varía.
( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera )
4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
( Hemos cambiado entre sí, segunda y tercera fila )
5. El determinante de una matriz cuadrada es nulo ]]]] una línea es combinación lineal de las demás.
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( La tercera fila es la SUMA de las dos primeras)
6. Si se multiplica una línea de una matriz cuadrada por un número, el valor de su determinante
queda multiplicado por dicho número.
7. El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de
sus determinantes.
det (A AAAA B) = det(A) AAAA det(B)
8. Daremos esta propiedad en forma de ejemplo:
Es decir, un determinante se descompone en suma de dos, a partir de la suma de los elementos de
una línea de dicho determinante.
Veamos a continuación algunas reglas prácticas para el cálculo de determinantes de matrices de
orden 3 y superior a 3.
** Regla de Sarrus (1) ( Solo se puede aplicar en determinantes de orden 3 ).
Añadir a la derecha del determinante sus dos primeras columnas y multiplicar los elementos
que ocupan las diagonales de tres elementos de izquierda a derecha y sumar. Multiplicar
ahora los elementos que ocupan las diagonales de tres elementos de derecha a izquierda y
sumar. Restar, en el orden dado, las sumas obtenidas.
= (1AAAA1AAAA3 + 2AAAA2AAAA0 + (-1)AAAA3AAAA1) - (2AAAA3AAAA3 + 1AAAA2AAAA1 + (-1 AAAA1AAAA0 )) = -20
Orden 3 ** Regla de Sarrus (2) ( Solo en determinantes de orden 3 ).
Multiplicar entre sí los elementos que ocupan el lugar de las figuritas iguales y sumar.
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= [ 1AAAA1AAAA3 + 3AAAA1AAAA(-1) + 0AAAA2AAAA2 ] - [ (-1)AAAA1AAAA0 + 2AAAA1AAAA1 + 3AAAA2AAAA3 ] = -20
Orden 3 ** ADJUNTOS ( Sirve en Determinantes de cualquier orden )
Nota : Denominamos Adjunto de un elemento cualquiera aij de una matriz cuadrada, y
notamos Aij, al determinante que resulta de suprimir la fila "i" y la columna "j"
correspondientes a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j
Ejemplo : Sea el determinante:
El adjunto del término a11 será A11 = adj(1) =
9. El valor de un determinante de cualquier orden se obtiene multiplicando cada uno de loselementos de una línea por su respectivo adjunto y sumando los resultados obtenidos.
Para calcular un DETERMINANTE por adjuntos :
i) Seleccionar una fila/columna del determinante
ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto
iii) Sumar los resultados obtenidos.
= 1AAAA(1) -
3AAAA(7) + 0AAAA(5) = -20
[Hemos desarrollado por la primera columna.]
Orden 3 ** ADJUNTOS ( Haciendo ceros previamente; Se puede utilizar en
Determinantes de cualquier orden )
También le conocemos como método del PIVOTE o de GAUSS. Consiste en hacer ceros los
elementos de una fila o columna, a excepción de uno de ellos (PIVOTE), aplicando las propiedades
de los determinantes que hemos mencionado al principio del tema.
Camino:
<<<< Fijar la primera fila ( se puede fijar la fila/columna del determinante que se desee, no
obstante, ya que pretendemos organizar el proceso lo mejor posible, hagámoslo en principio
un poco rígido, y con la práctica adquirida hagamos variaciones que nos simplifiquen el
cálculo )
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<<<< Pivotando sobre el primer elemento de la primera fila ( PIVOTE, debe ser distinto de cero
), hacer ceros todos los elementos situados por debajo del mismo. ( Multiplicar el pivote por
el número conveniente y SUMAR , arrastrar toda la operación sobre la fila).
<<<< Fijar la segunda fila
<<<< Pivotar sobre el segundo elemento de la segunda fila, hacer ceros todos los elementos
situados por debajo del mismo.
<<<< Así sucesivamente, hasta conseguir un determinante de un orden sencillo de desarrollar (
Orden 1, 2 ó 3 )
<<<< Si alguno de los PIVOTES es CERO, permutar la posición de dos filas para que sea
distinto de cero, teniendo en cuenta la modificación del signo del determinante.
= =
= 1AAAA(-5)AAAA4 = -20
Una vez aprendido el método, conviene seleccionar como PIVOTE el 1, esté donde esté, y
hacer ceros el resto de la fila o columna.
Orden n
** ADJUNTOS
i) Seleccionar una fila/columna del determinante
ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto
iii) Sumar los resultados obtenidos.
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DETERMINANTE DE VANDERMONDE
Orden n
** ADJUNTOS ( Previas transformaciones elementales ):
Tal como se explicó en el caso de orden 3, pero ya generalizado a cualquier orden.
10. Si se multiplica cada uno de los elementos de una línea por los adjuntos respectivos de
una línea paralela, el valor obtenido es cero.
Bien, hasta aquí las técnicas más habituales para obtener el valor de un DETERMINANTE.
En la sección de problemas resueltos se dan ejemplos de estos métodos.
Hay situaciones en las que un determinante se puede resolver por un método
abreviado, sin más que tener en cuenta ciertas situaciones peculiares, vamos a
estudiar alguna de ellas como complemento del tema:
Lo estudiaremos para el caso n = 3, ya que su generalización con el método sugerido es
realmente sencillo.
Un determinante de Vandermonde de orden 3, es un determinante con la siguiente
estructura:
Desarrollo...
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DETERMINANTES DE MATRICES TRIANGULARES
Así pues, el valor del determinante de Vandermonde de orden tres es:
= (b - a)(c - a)(c - b).
Una matriz cuadrada es del tipo TRIANGULAR, cuando todos los elementos situados por
encima/debajo de la diagonal principal son nulos. El valor del determinante de una matriz
triangular inferior/superior, es el producto de los elementos de la diagonal principal.
Basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera columna/fila y reiterar el
procedimiento hasta llegar al elemento ann. Sobre un determinante de Orden 4, sería:
(Obviando los adjuntos multiplicados por cero)
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DETERMINANTES DE MATRICES DIAGONALES
DETERMINANTE DE UNA BASE
Una matriz cuadrada A, es una matriz diagonal, cuando todos sus elementos son ceros
excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal. ( Recordemos que la diagonal
principal está formada por los elementos de la forma aii i=1,..,n ). El valor del determinante
de una matriz diagonal, es el producto de los elementos situados en la diagonal principal.
Como en el estudio anterior, basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera
fila/columna y reiterar el desarrollo hasta llegar al elemento ann.
Sobre un determinante de Orden 5, sería:
[ El concepto BASE corresponde al tema de Espacio Vectorial. Ver cuaderno 1 ]
Sea (E(K),+,AAAA), un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K. Un Sistema de vectores del Espacio
E, { e1, e2,...., en } es una base de (E(K),+,AAAA), si el determinante cuyas filas/columnas son los
vectores fila/columna e1 ,e2,....,en , es distinto de cero, donde e1 , e2 ,...., en , representan las
componentes de estos vectores en una base cualquiera del espacio considerado.
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 12E
{ e1, e2,...., en } es una base ]]]] det ( e1, e2,...., en ) ………… 0
Ejemplo: Comprobar que el Sistema de vectores {(1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1)} es una Base
del Espacio Vectorial ( úúúú3(úúúú), +, AAAA ).
= 0 + 2 + 6 - ( 0 + 3 + 4 ) = 1 ………… 0
Tenemos que B = { (1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1) } es una Base de (úúúú3(úúúú), +, AAAA).
TTTT Observa lo práctica que nos puede resultar esta propiedad para comprobar, de
forma rápida, si un conjunto de n vectores forman una base de un Espacio Vectorial
de dimensión "n".
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 13E
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar el valor de los siguientes DETERMINANTES :
TTTT 1.1.-
TTTT 1.2.- [ Aplicando la Regla de Sarrus ]=
[2.2.2+ 1.3.3+ 1.1.1]-[3.2.1+ 1.3.2+ 2.1.1]= 18-14 = 4
TTTT 1.3.- [ Aplicaremos el método del PIVOTE ]
[Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna:]
[ Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna ]
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 14E
TTTT 1.4.- = [Vamos a "enrollarnos" un poco con este determinante, se le
llama CIRCULANTE de orden 5 ]
[ A cada elemento de la 1ª fila le sumamos los elementos de su columna ¡ Cómo todos suman
lo mismo ! ]
[ Desarrollando por los adjuntos de la 1ª fila ]
[ Repetimos el procedimiento de restar a cada columna, la anterior ]
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 15E
2.- Si obtener el valor de los determinantes que se indican, utilizando las
propiedades conocidas,
a) b) c)
a)
b)
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 16E
c)
3. Calcular
Vamos a proceder con cautela antes de buscar una expresión general para Dn.
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 17E
Y ya estamos en condiciones de afrontar Dn operando como hemos sugerido anteriormente.
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Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 18E
Sumando a cada fila la anterior multiplicada por (-1) ( Excepto la primera fila, ¡ Claro !).
Desarrollando por los elementos de la última columna
= (-1)n+1 AAAA x AAAA (-1)n-1 AAAA xn-1 + y AAAA Dn-1
= (-1)2n AAAA xn + y AAAA Dn-1 = xn + y AAAA Dn-1
Escribamos pues Dn y su relación con Dn-1 para diferentes valores de Dn.
Observamos que no es suficiente con sumar ambos miembros de la igualdad, vamos a
multiplicar:
y AAAA Dn-1, y2 AAAA Dn-2,...., y
n-4 AAAA D4, yn-3 AAAA D3, y
n-2 AAAA D2 , yn-1 AAAA D1
para poder simplificar las expresiones a ambos lados de la igualdad.
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Tema : Test de comprensió de Determinants Pàgina 19
Así pues : Y, recordando una fórmula similar:
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Tema : Problemes Propostos de Determinants Pàgina 20
TEST DE COMPRENSIONNOTA: El TEST debe responderse con unos conocimientos básicos del tema MATRICES.
1.- Sea det(A), tal que det(A) = 1, siendo A una matriz cuadrada de orden 3.
A) det ( A + A ) = 2
B) det ( 3 AAAA A ) = 27
C) det ( 3 AAAA A ) = 3
2.- Sea det(A) un determinante cuyas columnas son los vectores y sea det(B) otro
determinante cuyas columnas son los vectores
A) det (A) = det ( B) pues las columnas de B son combinación lineal de las columnas de A
B) det (A) = -2 det (B)
C) det (A) = det (B)
3.- Sea A una matriz cuadrada ORTOGONAL ( A2 = I )
A) det (A) = 0
B) det (A) = I
C) El det (A) puede valer 1 ó -1
4.- Si A es una matriz de orden n cuyo determinante vale 2
A) det (2 AAAA A ) = n2 AAAA det (A)
B) det (2 AAAA A ) = 2n AAAA det (A)
C) A no tiene inversa
5.- Dadas las matrices A, B / ›››› una matriz Q regular / B = Q-1 AAAA A AAAA Q
A) det (B) = det (A) AAAA det (Q)2
B) det (B) = det (A)
C) det (A) = det (Q)
6.- Sean A, B, C tres matrices del mismo orden X = A AAAA B AAAA C
A) det (X) = det (B) AAAA det (A) AAAA det (C)
B) det (X) no se puede calcular pues no sabemos si alguno de los otros determinantes dan
cero.
C) seguro que det (X) = 0
7.- Si dos matrices A y B del mismo orden cumplen que det (A) = det (B)
A) A = B necesariamente
B) A y B son regulares
C) A y B pueden ser semejantes
SOLUCION
1.b 2.c 3.c 4.b 5.b 6.a 7.c