APUNTES DE SISTEMAS DIFUSOS
Contenido UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA ........................................................ 3
1.1 Antecedentes Históricos ...................................................................................... 3
1.2 Sistemas de Control Difuso ................................................................................. 6
1.3 Características de los Sistemas de Control difuso ............................................... 8
1.4 Diferencia entre los Sistemas Convencionales y la Lógica Difusa ....................... 9
1.5 Ventajas y Desventajas de la Lógica Difusa y el Control D ifuso .......................... 9
Unidad II Conceptos Básicos de la Lógica Difusa ........................................................... 14
2.1 Conjunto Crisp y Difuso .......................................................................................... 14
Conjuntos Difusos ..................................................................................................... 15
2.2 Funciones de pertenencia ...................................................................................... 16
2.3 Operaciones unarias sobre conjuntos difusos ........................................................ 21
2.4 Relaciones sobre conjuntos difusos ....................................................................... 23
2.5 El principio de extensión ......................................................................................... 24
UNIDAD III VARIABLES LINGÜÍSTICAS ....................................................................... 29
3.1 Operaciones con Conjuntos Difusos ....................................................................... 29
3.1.1 Normas y Conormas Triangulares ................................................................... 29
3.|.2 t-norma, s-norma del mínimo / máximo ............................................................. 29
3.2 Operaciones de Agregación ................................................................................... 29
3.3 Negación y Comparación ....................................................................................... 29
3.4 Variables lingüísticas .............................................................................................. 29
3.5 Modificadores lingüísticos ...................................................................................... 29
3.6 Inferencias .............................................................................................................. 29
Bibliografía .................................................................................................................. 33
UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA
1.1 Antecedentes Históricos
Historia de la Lógica Borrosa
Parece que la Lógica Borrosa es algo reciente y en lo que se lleva trabajando poco tiempo
pero sus orígenes se remontan a los tiempos de los filósofos Aristóteles y Platón. Ellos
son los primeros en considerar que las cosas no tienen porqué ser de un cierto tipo o
dejar de serlo, sino que hay una escala intermedia entre los dos extremos. Es más son los
pioneros en considerar que existían diferentes grados de verdad y falsedad.
Ejemplo: En el caso de los colores, entre el blanco y el negro hay una escala de
tonalidades grises.
Después de éstos, en el siglo XVIII, David Hume e Immanuel Kant continuaron pensando
estas ideas. Ambos concluyeron en que el razonamiento se adquiere gracias a las
vivencias a lo largo de nuestra vida. Hume creía en la lógica del sentido común y Kant
pensaba que sólo los matemáticos podían proveer definiciones claras y que por lo tanto
había principios contradictorios que no tenían solución. Uno de los ejemplos dados por
Kant es que, la materia podía ser dividida infinitamente, pero al mismo tiempo no podía
ser dividida infinitamente. En conclusión, ambos detectaron algunos principios
contradictorios en la Lógica Clásica.
A principios del siglo XX, el filósofo y matemático británico Bertrand Russell divulgó la idea
de que la lógica produce contradicciones. Realizó un estudio sobre las vaguedades del
lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. También en este
tiempo Ludwing Wittgenstein, estudió las diferentes acepciones que tiene una misma
palabra. Éste llegó a la conclusión de que en el lenguaje una misma palabra expresa
modos y maneras diferentes.
Jan Lukasiewicz
En 1920 Jan Lukasiewicz, desarrolló la primera lógica de vaguedades.
Para él los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con
valores que oscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un número
infinito de valores.
El padre del término "borroso" fue Lofti Asier Zadeh cuando en 1965 publicó "Fuzzy Sets"
(Conjuntos Difusos).
Las tesis que propone surgen del estudio de pensadores de distintas
disciplinas que como él, tenían una visión de los problemas diferente de la
lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand Russell, el principio
de incertidumbre de la física cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los
conjuntos vagos de Max Black y la aportación de Jan Lukasiewiz, influyeron
para que Zadeh publicase el ensayo "Fuzzy Sets" en la revista "Information
and Control" y tres años después en 1968, "Fuzzy Algorithm".
Lofti A. Zadeh
Al comienzo las ideas publicadas por Zadeh no fueron seguidas por la comunidad
científica del momento, pero con el tiempo comenzó a tener seguidores lo que produjo
que sus teorías fuesen ampliadas y se asentaran sus conocimientos.
La intención de Zadeh era la creación de un formalismo para manejar de forma más
eficiente la imprecisión del razonamiento humano. Es en 1971, cuando realiza la
publicación de "Quantitative Fuzzy Semantics" en donde aparecen los elementos formales
que dan lugar a la metodología de la Lógica Borrosa y de sus aplicaciones tal y como se
conocen en la actualidad.
A partir de 1973, con la teoría básica de los controladores borrosos de Zadeh, otros
investigadores comenzaron a aplicar la Lógica Borrosa a diversos procesos. Se
establecen varios grupos de investigación en lógica difusa en algunas pequeñas
universidades japonesas; los profesores Terano y Shibata en Tokio y los profesores
Tanaka y Asai en Osaka hacen grandes aportaciones tanto al desarrollo de la teoría de la
Lógica Borrosa como al estudio de sus aplicaciones.
E.H. Mamdani
En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primer
controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. La implantación
real de un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F.L.
Smidth & Co. en una planta cementera en Dinamarca.
En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sendai, el cual usa
uno de los sistemas más novedosos creados por el hombre. Desde entonces, el
controlador ha realizado su trabajo correctamente con la consiguiente satisfacción por
parte de los usuarios de dicho tren. Es también en este año cuando la empresa Omron
desarrolla los primeros controladores difusos comerciales y es que 1987 es considerado
como el "fuzzy boom" debido a la gran cantidad de productos basados en Lógica Borrosa
que se comercializan.
En 1993, Fuji aplica la Lógica Borrosa para el control de inyección química en plantas
depuradoras de agua por primera vez en Japón. Ha sido precisamente aquí, en donde
más apogeo ha tenido la Lógica Borrosa, creándose estrechas colaboraciones entre el
gobierno, las universidades y las industrias, estableciendo proyectos llevados a cabo por
el Ministerio de Industria y Comercio (MITI) y la Agencia de Ciencia y Tecnología (STA) en
consorcio con el Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE).
De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la lógica difusa, Takagi y Sugeno
desarrollan la primera aproximación para construir reglas fuzzy a partir de datos de
entrenamiento.
Otro factor decisivo para continuar con la investigación de este campo es el interés en las
redes neuronales y su semejanza con los sistemas fuzzy. Se buscan relaciones entre las
dos técnicas obteniéndose como resultado los sistemas neuro-fuzzy, que usan métodos
de aprendizaje basados en redes neuronales para identificar y optimizar sus parámetros.
Para finalizar, aparecen los algoritmos genéticos que sumados a las redes neuronales y
los sistemas fuzzy son herramientas de trabajo muy potentes en el campo de los sistemas
de control.
A mediados de la década de 1960, Lotfi A. Zadeh (nacido en 1921 en Azerbaiyán), de la
Universidad de California en Berkeley, EE.UU., inventó la teoría de los conjuntos
borrosos. Sostuvo que, más a menudo que no, las clases de objetos encontrados en el
mundo físico real tienen imprecisa criterios definidos para la adhesión (Zadeh, 1965). Por
ejemplo, los números de la "clase de dicha son mucho mayores que 1 ", o la" clase de los
seres humanos de altura 'tienen límites mal definidos. Sin embargo, dichas clases
definidas sin precisión juegan un papel importante en el razonamiento humano y la
comunicación.
Ebrahim (Abe) H. Mamdani, un ingeniero de control en el Queen Mary College de Londres
(ahora Profesor emérito del Imperial College), estaba tratando de desarrollar un sistema
adaptativo que podría aprender a controlar un proceso industrial (Figura 1.6). Él utilizó una
máquina de vapor como modelo de laboratorio, y con sus colegas creó un programa que
enseñe la computadora para el control de la máquina de vapor mediante el control de un
operador humano. En este punto, estudiante de investigación de Mamdani, Seto Assilian,
trató de aplicar la lógica difusa. Creó una serie de reglas simples en términos difusos y
Mamdani y Assilian luego estudiaron formas de utilizar reglas difusas de dedo
directamente en la automatización de los procesos de control. Unos años más tarde,
Mamdani y Procyk desarrollaron una controlador lingüístico de auto-organización (Procyk
y Mamdani 1979). Se trataba de un controlador adaptativo que fue capaz de aprender a
controlar una amplia variedad de procesos, no lineal y de múltiples variables, en un
tiempo relativamente corto. Se llama "auto-organización" porque en ese momento el
significado de las palabras "adaptable" y "aprendizaje" no se había sin embargo, ha
acordado.
El trabajo de los pioneros llevó a una creciente literatura en control difuso y aplicaciones
de gran alcance, como ilustra la Tabla 1.1.
En Japón, Michio Sugeno (1989) desarrolló un controlador difuso de auto-aprendizaje.
Veinte reglas de control determinaban el movimiento de un modelo de coche. Cada regla
recomienda un cambio específico en la dirección, basándose en la distancia del vehículo
de las paredes de un pasillo. El controlador conduce el coche a través de corredores en
ángulo, después de una sesión de aprendizaje en el que un "instructor de manejo" lo lleva
a través de la ruta de un par de veces. Controladores de autoaprendizaje que se derivan
de sus propias reglas automáticamente son interesantes, ya que pueden reducir el
esfuerzo necesario para la traducción de la experiencia humana en una base de reglas.
La primera aplicación industrial fue en 1978, cuando un controlador borroso estaba
operando en lazo cerrado en un horno de cemento rotatorio en Dinamarca. El control
difuso se convirtió entonces en un producto comercial de la empresa de cemento de
Dinamarca F.L. Smidth & Co. El programa de investigación de control difuso en
Dinamarca se inició en 1974 (Larsen 1981).
1.2 Sistemas de Control Difuso
El diccionario de sinónimos tiene los siguientes sinónimos de "fuzzy": mal definidas,
indefinido, confuso, oscuro, confuso, vago, y así sucesivamente. Estas son palabras que
la gente de habla inglesa asocia con la lógica fuzzy, control difuso, identificación borrosa y
sistemas difusos. No son palabras que cualquiera querría asociados con los sistemas de
ingeniería, en la que puede depender de grandes sumas de dinero, o incluso peor aún, las
vidas de personas. Es lamentable que la palabra "fuzzy" fue elegida para describir el tipo
de identificación y control descritos en este libro. Los japoneses no tienen tales
connotaciones negativas asociadas a la palabra "fuzzy", por lo tanto, los sistemas de, la
utilización de identificación y control difuso son mucho más frecuentes en Japón que en
países de habla Inglesa.
La lógica difusa, como se verá en el capítulo 3, se inspira en el proceso de razonamiento
humano. Por lo tanto, la lógica difusa es lo más "difusa" como los humanos. Un sistema
bien diseñado utilizando la lógica difusa para realizar una tarea es más o menos tan fiable
en la realización de la tarea como un humano competente en llevar a cabo la tarea sería.
Dos sistemas difusos diseñadas por diferentes diseñadores para realizar la misma tarea
pueden realizarla ligeramente diferente, dependiendo de varias selecciones en los
diseños. Esta diferencia es análoga a la diferencia que existiría cuando dos personas
diferentes realizan la tarea, o incluso la misma persona en diferentes días. Por ejemplo,
dos pilotos aterrizarían un avión ligeramente diferente, pero cada uno puede aterrizar
infaliblemente cada vez.
Tradicionalmente, los ordenadores hacen decisiones rígidos del tipo sí o no, a través de
reglas de decisión basadas en la lógica de dos valores: verdadero o falso, sí o no, o 1-0.
Un ejemplo es un acondicionador de aire con control del termostato que reconoce sólo
dos estados: por encima de la temperatura deseada o por debajo de la temperatura
deseada. La lógica difusa, por otro lado, permite una graduación de verdadero a falso. Un
acondicionador de aire difuso puede reconocer una temperatura ambiente "caliente" y
"frío". Las reglas detrás de esto son menos precisas, por ejemplo: Si la temperatura
ambiente es cálido y ligeramente creciente, aumente el enfriamiento.
Muchas clases o conjuntos tienen límites difusos y no aguda, y esta es la base
matemática de la lógica difusa, el conjunto de medidas de temperatura "caliente" es un
ejemplo de un conjunto difuso.
El núcleo de un controlador difuso es un conjunto de reglas verbales o lingüísticas de la
forma si-entonces. Diversas variables pueden ocurrir en cada regla, tanto en el caso de
lado y el lado entonces.
Como reflejo de las opiniones de expertos, las reglas pueden llevar el razonamiento
utilizado por los ordenadores más cerca al de los seres humanos.
En el ejemplo del acondicionador de aire difuso, el controlador funciona sobre la base de
una medición de temperatura. La temperatura ambiente es sólo un número, y se necesita
más información para decidir si la habitación está caliente. Por lo tanto, el diseñador debe
incorporar la percepción de un ser humano de temperaturas ambiente cálido. Una
implementación directa es evaluar de antemano todas las mediciones de temperatura
posibles. Por ejemplo, en una escala de 0 a 1, cálido corresponde a 1 y no cálido
corresponde a 0:
Medidas (◦ C):. . . 15 17 19 21 23 25 27. . .
| | | | | | |
Grado: . . . 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1. . .
El ejemplo utiliza mediciones de temperatura discretas, mientras que la figura 1.1 muestra
la misma idea gráficamente en la forma de una aplicación continua de mediciones de
temperatura a los valores de verdad. El mapeo es arbitrario, es decir, basado en la
preferencia y la razón no matemática.
Fig. 1.1 Un sistema de lógica difusa el cual acepta datos imprecisos y vagos, tales como bajo, medio, alto y provee decisiones.
Fig. 1.2 Configuración de un sistema difuso puro.
1.3 Características de los Sistemas de Control difuso
Los sistemas difusos pueden ser usados para estimar, tomar decisiones y sistemas de
control, tales como aire acondicionado, controles de automóviles e inclusive casas
“inteligentes”, también como controladores de procesos industriales así como alojar otras
aplicaciones. (McNeill)
Fig. 1.3 Estructura básica de un controlador difuso.
1.4 Diferencia entre los Sistemas Convencionales y la
Lógica Difusa
Algunas de las características principales de la lógica difusa son: (Alavala, 2008)
Basada en palabras, no basada en números. Por ejemplo caliente, no 85º.
El razonamiento exacto es visto como un caso limitante del razonamiento
aproximado.
Todo es cuestión de grado. El conocimiento es interpretado como una colección
de restricciones elásticas o difusas, sobre una colección de variables.
La inferencia es vista como un proceso de propagación de restricciones elásticas.
Cualquier sistema lógico puede ser fusificado.
Hay dos características principales de los sistemas difusos que les dan mejor desempeño
para aplicaciones específicas:
Los sistemas difusos son adecuados para razonamiento incierto o aproximado,
especialmente para los sistemas con un modelo matemático que es difícil de
derivar.
La lógica difusa permite tomar decisiones con valores estimados bajo información
incompleta o incierta.
1.5 Ventajas y Desventajas de la Lógica Difusa y el
Control D ifuso
Ventajas: (McNeill, 1994)
Pocos valores, reglas y decisiones son requeridos.
Más variables observadas pueden ser evaluadas.
Son utilizadas variables lingüísticas, no numéricas, haciéndolo similar a la forma
humana de pensar.
Relaciona la salida con la entrada, sin tener que entender todas las variables,
permitiendo el diseño de un sistema que puede ser más exacto y estable que uno
con un sistema de control convencional.
La simplicidad permite la solución de problemas que no se habían resuelto
previamente.
Es posible realizar prototipos rápidamente porque el diseñador del sistema no
tiene que saber todo acerca del sistema antes de empezar a trabajar.
Son más baratos de hacer que los sistemas convencionales porque son más
fáciles de diseñar.
Son muy robustos.
Simplifican la adquisición y representación del conocimiento.
Unas pocas reglas comprenden una gran complejidad.
Buenos resultados en procesos no lineales y de difícil modelado.
Desventajas:
Es difícil desarrollar un modelo a partir de un sistema difuso.
Si ya se tiene un buen modelo del proceso, usualmente se obtienen mejores
resultados con un sistema de control convencional.
A pesar de que son más fáciles de diseñar y de realizar un prototipo que los
sistemas de control convencionales, los sistemas difusos requieren más
simulación y ajuste fino antes de que sean operacionales.
Quizás la mayor desventaja es el sesgo cultural en los Estados Unidos en favor de
la precisión matemática o sistemas crisp y modelos lineales para sistemas de
control.
Unidad II Conceptos Básicos de la Lógica Difusa
2.1 Conjunto Crisp y Difuso
Conjuntos clásicos
Según Cantor, un conjunto X es una colección de objetos definidos, distinguibles de
nuestra intuición de que pueden ser tratados en su conjunto. Los objetos son los
miembros de X. 'objetos de nuestra intuición "El concepto nos da una gran libertad de
elección, incluso con respecto a los conjuntos con un número infinito de usuarios. Los
objetos deben ser 'definida': dado un objeto y un conjunto, que debe ser posible para
determinar si el objeto es, o no es, un miembro del conjunto. Los objetos también deben
ser 'distinguibles': dado un conjunto y sus miembros, debe ser posible para determinar si
cualquiera de los dos miembros son diferentes o el mismo.
Los miembros definen completamente un conjunto. Para determinar la pertenencia, es
necesario que la frase 'x es un miembro de X', donde x se sustituye por un objeto y X por
el nombre de un conjunto, sea verdadera o falsa. Utilizamos el símbolo ∈ y escritura x ∈ X
si el objeto x es un elemento del conjunto X. La suposición de que los miembros
determinan un conjunto es equivalente a decir, 'dos conjuntos X e Y son iguales, X = Y, si
y sólo si (si y sólo si) tienen los mismos miembros.
El conjunto cuyos miembros son los objetos x1, x2,. . . , Xn se escribe como
{x1, x2, . . . , xn}
En particular, el conjunto sin miembros es el conjunto vacío simbolizado por ∅. El conjunto
X se incluye en Y, X ⊆Y , si y sólo si cada miembro de X es un miembro de Y. También
decimos que X es un subconjunto de Y, y esto significa que, para todo x, si x ∈ X,
entonces x ∈ Y. El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.
Casi cualquier cosa que se denomina conjunto en la conversación ordinaria es aceptable
como un conjunto matemático, como el siguiente ejemplo indica.
Las siguientes son listas o colecciones de objetos definidos y reconocibles, y por lo tanto
se pone en el sentido matemático:
(a) El conjunto de los números enteros no negativos de menos de 3. Este es un conjunto
finito con tres miembros: {0, 1, 2}.
(b) El conjunto de los dinosaurios vivos en el sótano del Museo Británico. Este conjunto no
tiene miembros y es el conjunto vacío ∅.
(c) El conjunto de las mediciones de más de 10 voltios. A pesar de que este conjunto es
infinito, es posible determinar si una medición dada es un miembro.
(d) El conjunto {0, 1, 2} es el conjunto de (a). Desde {0, 1, 2} y {2, 1, 0} tienen los mismos
miembros, que son conjuntos iguales. Por otra parte, {0, 1, 2} = {0, 1, 1, 2} por la misma
razón.
(e) Los miembros de un grupo pueden ser ellos mismos conjuntos. El conjunto
X = {{1, 3} , {2, 4} , {5, 6}}
es un conjunto con tres miembros, a saber, {1, 3}, {2, 4} y {5, 6}. Matlab soporta conjuntos
de conjuntos o conjuntos anidados, en arreglos de celdas.
(f) Es posible en Matlab para asignar un conjunto vacío, por ejemplo, x = {[]}.
Aunque la notación {·} es práctica para listar conjuntos de unos pocos elementos, es poco
práctico para grandes conjuntos e imposible para los conjuntos infinitos. ¿Cómo se define
un conjunto con un gran número de miembros?
Como respuesta se requiere un poco más de conceptos por definir. Una proposición es
una afirmación (declaración declarativa) que puede ser clasificado como verdadera o
falsa. Por un predicado en x entendemos una afirmación formadas utilizando una fórmula
en x. Por ejemplo, '0 <x ≤ 3 ', o 'x> 10 voltios' son predicados. Ellos no son proposiciones,
sin embargo, ya que no son necesariamente verdadero o falso. Sólo si se le asigna un
valor a la variable x, cada predicado se convierte en una proposición. Un predicado P (x)
en x define un conjunto X en el convenio que los miembros de X son exactamente esos
objetos a tal que P (a) es cierto. En notación matemática,
{x | P(x)}
es "el conjunto de todas las x tales que P (x) es verdadera. Por lo tanto a ∈ {x | P (x)} si y
sólo si P (a) es una proposición verdadera.
Conjuntos Difusos
Un sistema en el que las propuestas deben ser verdaderas o falsas, utiliza una lógica
bivaluada. Como consecuencia de ello, lo que no es cierto es falso y viceversa, lo que es
la ley del tercero excluido. Pero la lógica de dos valores es sólo una aproximación al
razonamiento humano, como se observa Zadeh:
Es evidente que la "clase de todos los números reales que son mucho mayores que 1", o
"la clase de las mujeres hermosas", o "la clase de los hombres altos", no constituyen
clases o conjuntos en el sentido matemático usual de estos términos. (Zadeh, 1965)
Podríamos llamarlo el desafío de Zadeh, porque se centra en la elasticidad en el sentido
de términos como "mucho", "bello" y "alto". Para definir el conjunto de los hombres altos
como un conjunto clásico, se podría usar un predicado P (x), por ejemplo x ≥ 176, donde x
es la altura de una persona, y el lado de la mano derecha de la desigualdad es un valor
umbral en centímetros (176 cm, aprox. 5 pies 9 pulgadas). Esta es una aproximación
abrupta con el significado de 'alto'.
Siguiendo a Zadeh, un grado de pertenencia permite mayor detalle, de modo que la
transición de la pertenencia a la no pertenencia a un conjunto es gradual y no abrupta. El
grado de pertenencia de todos los miembros define un conjunto difuso (Figura 2.1).
Definición. Conjunto Difuso: Dada una colección de objetos de U, un conjunto difuso A en
U se define como un conjunto de pares ordenados
A ≡ { (x, μA (x)) | X ∈ U}, (2.1)
donde μA (x) se llama la función de pertenencia para el conjunto de todos los objetos x en
U.
La función de pertenencia relaciona a cada x con un grado de pertenencia μA (x), un
número real en el intervalo cerrado [0, 1].
2.2 Funciones de pertenencia
Función Triangular
Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m, tal que a<m<b. La
función no tiene porqué ser simétrica.
Definida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte inferior b y
superior c, tal que a<b<c<d.
En este caso, si los valores de b y c son iguales, se obtiene una función triangular
Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos
parámetros toman valores no finitos:
Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞
Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞
Función Gamma
Definida por su límite inferior a y el valor k>0. Esta función se caracteriza por un rápido
crecimiento a partir de a; cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido.
Nunca toma el valor µA (x) = 1, aunque tienen una asíntota horizontal en dicho valor.
Ejemplo
Cuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3, se obtienen las siguientes
funciones:
Función Sigmoidal
Definida por sus límites inferior a, superior b y el valor m o punto de inflexión, tales que a<m<b. El crecimiento
es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b. Para el caso concreto de m=(a+b)/2, que es lo usual, se
obtiene la siguiente gráfica.
Ejemplo
Cuanto se toma el valor de a = 3, el valor de b = 10 y m = (3+10)/2 = 6.5 se obtiene la
siguiente gráfica:
Función Gaussiana
Definida por su valor medio m y el parámetro k>0.
Esta función es la típica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor de k, más
estrecha es dicha campana.
Ejemplo
Para los valores k = 5 y m = 3:
Función Pseudo-Exponencial
Definida por el valor medio m y el parámetro k>1. Cuanto mayor es el valor de k, el
crecimiento es más rápido y la campana es más estrecha.
Ejemplo
Para los valores de k = 4 y m = 7 se obtiene:
Función Singleton
(Alavala, 2008)
(Pedrycz, 2007)
2.3 Operaciones unarias sobre conjuntos difusos
(Alavala, 2008)
Min (inf)
Max (sup)
2.4 Relaciones sobre conjuntos difusos
2.5 El principio de extension
UNIDAD III VARIABLES LINGÜÍSTICAS
3.1 Operaciones con Conjuntos Difusos
3.1.1 Normas y Conormas Triangulares
3.1.2 t-norma, s-norma del mínimo / máximo
3.2 Operaciones de Agregación
3.3 Negación y Comparación
3.4 Variables lingüísticas
3.5 Modificadores lingüísticos
3.6 Inferencias
Sistemas Neurodifusos
Permiten incorporar conocimiento previo.
Son sistemas difusos que se entrenan mediante un algoritmo, normalmente derivado de la
teoría de redes neuronales.
Pueden ser vistos como redes neuronales con capas ocultas.
Presentan las ventajas de los dos sistemas anteriores.
Elementos que las constituyen:
Una capa de entrada, capas ocultas y capa de salida, según la arquitectura utilizada.
Funciones de activación de los nodos de las capas, correspondientes a funciones difusas.
Matriz de interconexiones entre capas.
The Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS), developed in the early 90s by Jang [3], combines the
concepts of fuzzy logic and neural networks to form a hybrid intelligent system that enhances the ability to
automatically learn and adapt. Hybrid systems have been used by researchers for modeling and predictions in
various engineering systems. The basic idea behind these neuro-adaptive learning techniques is to provide a
method for the fuzzy modeling procedure to learn information about a data set, in order to automatically
compute the membership function parameters that best allow the associated FIS to track the given input/output
data. The membership function parameters are tuned using a combination of least squares estimation and
back-propagation algorithm for membership function parameter estimation. These parameters associated with
the membership functions will change through the learning process similar to that of a neural network. Their
adjustment is facilitated by a gradient vector, which provides a measure of how well the FIS is modeling the
input/output data for a given set of parameters. Once the gradient vector is obtained, any of several
optimization routines could be applied in order to adjust the parameters so as to reduce error between the
actual and desired outputs. This allows the fuzzy system to learn from the data it is modeling. The approach
has the advantage over the pure fuzzy paradigm that the need for the human operator to tune the system by
adjusting the bounds of the membership functions is removed.
Adaptive Neuro-Fuzzy principle A typical architecture of an ANFIS is shown in Figure 2, in which a circle
indicates a fixed node, whereas a square indicates an adaptive node. For
simplicity, we consider two inputs x, y and one output z. Among many FIS
models, the Sugeno fuzzy model is the most widely applied one for its high
interpretability and computational efficiency, and built-in optimal and adaptive
techniques. For a first order Sugeno fuzzy model, a common rule set with two
fuzzy if–then rules can be expressed as:
Rule 1: if x is A1 and y is B1 , then
Rule 2: if x is A2 and y is B2 , then (4)
where Ai and Bi are the fuzzy sets in the antecedent, and pi, qi and ri are the
design parameters that are determined during the training process. As in Figure
2, the ANFIS consists of five layers [8]:
Figure 2. Corresponding ANFIS Architecture
Layer 1: Every node i in the first layer employ a node function given by:
Oi1 = μAi(x), i = 1, 2
Oi1 = μBi=2(y), i = 3, 4
(5)
where μAi and μBi can adopt any fuzzy membership function (MF).
Layer 2: Every node in this layer calculates the firing strength of a rule via
multiplication:
(6)
Layer 3: The i-th node in this layer calculates the ratio of the i-th rule’s firing
strength to the sum of ail rules firing strengths:
(7)
where is referred to as the normalized firing strengths.
Layer 4: In this layer, every node i has the following function:
i = 1, 2 (8)
where is the output of layer 3, and { pi, qi, ri} is the parameter set. The
parameters in this layer are referred to as the consequent parameters.
Layer 5: The single node in this layer computes the overall output as the
summation of all incoming signals, which is expressed as:
(9)
The output in Fig. 3 can be rewritten as [9, 10]:
(10)
Referencias:
Bibliografía
Bibliografía Alavala, C. (2008). Fuzzy Logic and Neural Networks, Basic Concepts and Applications.
New Delhi: New Age International Publishers.
McNeill, F. (1994). Fuzzy Logic, A Practical Approach. Chestnut Hill, MA: Academic Press.
Pedrycz, W. (2007). Fuzzy Systems Engineering : Toward Human-Centric Computing.
New Jersey: John Wiley & Sons.