ARMÓNICOS
ASPECTOS BÁSICOS DE TEORÍA
ARMÓNICOS: TEORÍA ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”
FUNCIÓN PERIÓDICA:
T es el período de la función periódica x(t)
Ejemplo:
)()( txTtx
x/(t)
t
-T/2
T/2
ARMÓNICOS: TEORÍA
donde k es un entero
Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la
función:
donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.
También es cierto que la función:
también es periódica
)()( txkTtx
)()()( 213 tbxtaxtx
x(t)=constante
ARMÓNICOS: TEORÍA COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la siguiente expresión:
En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t),
mientras que an y bn, los coeficientes de la serie, son las
componentes rectangulares del nth armónico.
El correspondiente nth vector armónico es:
Con una magnitud:
y un ángulo de fase:
10
22cos)(
nnn T
ntsenb
Tnt
aatx
nnnn jbaA 22nnn baA
n
nn a
b1tan
ARMÓNICOS: TEORÍA COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficiente constante a0 es:
También puede verificarse que:
para los n=1
2
20 )(
1 T
Tdttx
Ta
2
2
2cos)(
2 T
Tn dtTnt
txT
a
2
2
2)(
2 T
Tn dtTnt
sentxT
b
ARMÓNICOS: TEORÍA FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitud constante A/2 y un ángulo de fase el cual esta variando en el tiempo de acuerdo a:
donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundo vector (A/2)e-j rotará en la dirección opuesta al anterior. Este aumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede ser considerado como una frecuencia negativa.
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del eje real, con la magnitud oscilando entre A y –A a:
ft2
cos22
AeA
eA jj
ARMÓNICOS: TEORÍA FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Reescribiendo la serie de Fourier como:
Donde x(t) es periódica con período T y
=2/T=2f, la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una
frecuencia de fn=nf, es dado por:
Donde es el vector unitario y X(fn) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
Amplitud instantánea
Máxima amplitud (A)
Im
Re
A/2
--
2/
2/
2)(1
)(T
T
tfjn dtetx
TfX n
tfj ne 2
.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx
ARMÓNICOS: TEORÍA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:En el caso donde la función en el dominio del tiempo es una función muestreada la expresión toma la forma:
Se asume que la función es periódica con un total de N muestras por período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourier es la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.
La ecuación anterior puede también escribirse como:
donde W=e-j2/N
1
0
/2)(1
)(N
n
Nknjnk etx
NfX
1
0
)(1
)(N
n
knnk Wtx
NfX
ARMÓNICOS: TEORÍA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguiente forma matricial:
En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la función en
el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las N muestras de la función en el dominio del tiempo.
El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere un total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.
)(
.
)(
.
)(
)(
.
..1
......
..1
......
..1
1.1.11
1
)(
.
)(
.
)(
)(
1
1
0
)1()1(1
)1(
1
1
1
0
2
2
N
n
NkNN
Nkkk
Nk
N
k
tx
tx
tx
tx
WWW
WWW
WWW
N
fX
fX
fX
fX
)(.1
)( nkn
k txWN
fX
ARMÓNICOS: TEORÍA Fase de la Matriz W para n=8
0 0 0 0 0 0 0 0
0 -45 -90 -135 -180 135 90 45
0 -90 -180 90 0 -90 -180 90
0 -135 90 -45 -180 45 -90 135
0 -180 0 -180 0 -180 0 -180
0 135 -90 45 -180 -45 90 -135
0 90 180 -90 0 90 180 -90
0 45 90 135 -180 -135 -90 -45
ARMÓNICOS: TEORÍA FRECUENCIA DE NYQUIST Y ALIASING:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo
ARMÓNICOS: TEORÍA
Filtro pasa-bajo
INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental
SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están por debajo de la frecuencia fundamental
X(f)
-f f
fc
1
DEFINICIONES Y ASPECTOS BÁSICOS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS VALOR RMSSeñal continua:
Señal discreta:
O, en término de los valores rms de los armónicos:
T
rms dttvT
V0
22 )(1
N
kkrms tV
NV
1
21
2hrmsrms VV
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
A partir de lo cual:
k
hhrms
rmsVV V
VTHDTDT
2
2
1
1
k
hhrms
rmsII I
ITHDTDT
2
2
1
1
21 100/1 Vrmsrms THDVV
21 100/1 Irmsrms THDII
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA ACTIVA:
En el caso senoidal:
T
dttitvT
P0
).().(1
h
hhh CosIVP ..
CosIVP ..
22.. PSSenIVQ
22. PQIVS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:En el caso NO-senoidal:
Budeanu:
En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:
IVS .
h
hh
h IVS 22 .
h
hhh senIVQ ..
)( 2222 QPSD
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEAlguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones senoidales:
1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores
2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno
3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:
4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es cero.
5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.
6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga es inductiva o capacitiva)
7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes inductivos o capacitivos
8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es aproximadamente proporcional a la potencia reactiva.
222 QPS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEDos corrientes son ortogonales si:
El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:
Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms de tensión:
T
ba dtiiT
0.1
T
bab
T
ba
T
a
T
ba
IIdtiT
dtiiT
dtiT
dtiiT
I
2222
22
1..2
11
)(1
222222 )( baba SSIIVS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA REACTIVA:
Budeanu
Fryze
h h
hhhh SenIVQQ 22
222 .
hhhh
h h hhhhhh SenIVCosIVIVS
2222 QPSD
vV
Pia .
2 ar iii
22ra III
22222222 )(. QPIIVIVS ra
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEGRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la de las armónicas:
Con lo cual la potencia aparente es:
Donde:
Se define una potencia no activa N:
El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:
V1IH : Potencia de distorsión de corriente VHI1 : Potencia de distorsión de tensión
1
221
221
2
hhH VVVVV
1
221
221
2
hhH IIIII
221
21
211
22 )()()()()( HHHH IVIVIVIVVIS
2111
2111
21
21
21
211 )()cos()( senIVIVQPSIV
22 PSN
21
2221
21
2 )()()( SSIVIVIVS HHHHN
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEGRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede expresar como:
Donde:
Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:
Factor de Potencia Total Desplazamiento de Factor de Potencia
2222 )( HHHHH NPIVS
1
cosh
HHHH IVP
222
2
11
2
1
2
1
2
1
.VTHDITHDVTHDITHDIVIV
VV
II
SS HHHHN
S
PP
S
PPF H )( 1
11
1 cosS
PdPF
VIHHH THDTHD
IV
IV
S
S.
111
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS
Donde, para 4 conductores:
Si son 3 conductores:
Al igual que en el caso monofásico:
Donde:
eee IVS 3
3
222cba
e
VVVV
3
222cba
e
IIII
9
222cabcab
e
VVVV
221
2eHee VVV 22
12
eHee III
3
21
21
212
1cba
e
VVVV
3
21
21
212
1cba
e
IIII
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS y:
Aquí también:
y redefiniendo:
El grado de desequilibrio de potencia aparente fundamental puede dividirse en:
1
2222
3h
chbhaheH
VVVV
1
2222
3h
chbhaheH
IIII
221
2eNee SSS
1e
eHeV V
VTHD
1e
eHeI I
ITHD
222
2
1
. eVeIeVeIe
eN THDTHDTHDTHDS
S
21
2
121 ue SSS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS
Se SeN
Se1
P
N
S10
S1-
Sd1
P1+
N1+
S1+
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
FACTORES DE CRESTA
1
2
1
2
V
VVCF
I
ICCF
hh
hh
)1(
)1(
11
11
VCFVVV
CCFIII
hhpico
hhpico
VCFV
V
V
VV
V
VV
CCFI
I
I
II
I
II
picopicopicopupico
picopicopicopupico
1
1
11
1
1)(
11
1
1)(
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA: En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:
La frecuencia de resonancia será:
Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:
CXLX
rCrrLr
1
LCr
1
L
cr X
Xf
LC
f
LCf 0
0
0
2
1
L
Crr X
X
LCf
fh
00
1
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA SERIE:
La impedancia equivalente será:
Para cualquier armónico h:
El módulo de la impedancia:
Para la frecuencia resonante:
El Factor de Calidad Q:
CL XXjRZ
h
XhXjRhZ C
L)(
2
2
h
XhXRhZ C
L
rr
CLr X
h
XXh
L
Cr X
Xh
C
LXXX CLr 2
C
LXXX CLr
R
XQ r
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA SERIE:
0 500 1000 1500 2000 25000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia [Hz]
IZI [
Oh
m]
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:
La impedancia equivalente será:
La impedancia para cualquier armónico será:
CLCL
CL
CL
CL
CL
CL
XjXXXR
XjRX
XX
XXjR
XX
XRXj
Z
2
2
CLC
L
CL
CLC
L
CL
XXh
XhXR
XRXhZ
XjXh
XhXR
XjRXhZ
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:
En resonancia:
Y el Factor de Calidad:
rr
CLr X
h
XXh
L
Cr X
Xh
C
LXXX
C
LXXX
CLr
CLr
2
rX
RQ
DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10
15
20
Frecuencia [Hz]
IZI [
Ohm
]
Q=0,5Q=1Q=3
0 500 1000 1500 2000 2500-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
Frecuencia [Hz]
Fase
[º]
Q=0,5Q=1Q=3
DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
“Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico pueden descomponerse como la suma de dos sistemas trifasicos, una de
secuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas una componente homopolar”
Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:
Donde:a =-0,5+j0,866=1120, y a2=-0,5-j0,866=1240
2
1
0
2
2
1
1
111
I
I
I
aa
aa
I
I
I
c
b
a
012* IAI abc abcIAinvI *)(012
DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Tercer armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
T
DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Quito armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
T
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5
0
0.5
DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Séptimo armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
T
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5
0
0.5
DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Secuencias de los componentes armónicos:
h 1 2 3 4 5 6 7
Sec + - 0 + - 0 +
h 8 9 10 11 12 13 14
Sec - 0 + - 0 + -
h 15 16 17 18 19 20 21
Sec 0 + - 0 + - 0