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Aula 1 – Pa rte 2Movimento Uniforme (MU) ............................................................................................................ 2
Equação Horária do MRU ................................................................................................................ 2
Gráficos do Movimento Uniforme ................................................................................................... 3
Movimento Uniformemente ariado (MU) .................................................................................. !
Equaç"es #orárias no MU ............................................................................................................. $
e%ocidade m&dia no MU ........................................................................................................... 1'
Equação de orrice%%i ..................................................................................................................... 11
Gráficos do MU........................................................................................................................... 1
Movimento ertica% no ácuo ....................................................................................................... 2'
*ançamento vertica% +ara cima ...................................................................................................... 21
,ro+riedades do %ançamento vertica% +ara cima ............................................................................. 22
-inemática etoria% ....................................................................................................................... 2
e%ocidade etoria% M&dia ............................................................................................................ 2/
0ce%eração etoria% M&dia ............................................................................................................ 2
0ce%eração etoria% nstantnea .................................................................................................... 2
-om+osição de movimentos .......................................................................................................... 2!
,rinc4+io de Ga%i%eu ou ,rinc4+io da nde+end5ncia dos Movimentos ...................................... 2$
*ançamento Hori6onta% .................................................................................................................. 31
*ançamento 7%4quo ...................................................................................................................... 33
,ro+riedades do %ançamento o7%4quo no vácuo.............................................................................. 38
Unidade de medida de n9u%os .......................................................................................................... 3
Radiano .......................................................................................................................................... 3
Movimento -urvi%4neo ................................................................................................................... 8'
Movimento -ircu%ar Uniforme (M-U) .......................................................................................... 81
ransmissão de Movimento -ircu%ar Uniforme ............................................................................ 83
Re%ação das quest"es de concurso comentadas .............................................................................. 8
Ga7aritos ........................................................................................................................................ '
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Mo!"m#nto Un"$orm# %MU&
Um movimento é uniforme quando o valor da velocidade instantânea éconstante e diferente de zero, e se a direção da velocidade permanecer
constante, o movimento será retilíneo.
Em movimento retilíneo uniforme, as distâncias percorridas
∆ são
proporcionais aos intervalos de tempo ∆ gastos em percorrêlas. !ssim, paraiguais intervalos de tempo, teremos iguais variaç"es de espaço.
E'u()*o Hor+r"( do MRU
! função #ou equação$ %orária é uma sentença matema&tica que descreve omovimento realizado por um corpo, com o passar do tempo. 'or meio dela,podemos, por e(emplo, calcular quanto tempo demora uma viagem de carro,qual a distância percorrida por uma nave espacial com determinada
velocidade, etc.
) importante lem*rar que no estudo da +inemática não %á preocupação eme(plicar a causa do movimento, ou sea, como ele pode ser produzido oumodificado. ! +inemática se restringe aenas a descrever o movimento nosentido estritamente geométrico.
! equação %orária de um movimento mostra como o espaço varia com otempo- / f#t$
endo
s o espaço inicial correspondente ao instante inicial
= 0, e sendo
o
espaço em um instante , temos- ∆ = − 0 = e ∆ = − s.+omo ∆ = ∙ ∆, então-
− s = ∙ = s + v ∙ t
0o movimento uniforme, como a velocidade escalar é +102!02E, concluímosque a aceleração escalar é igual a 3.
!ssim, um movimento pode ser classificado como uniforme através dequalquer uma das seguintes características-
t = 0 s 1 s 2 s
posição = 0 m 10 m 20 m
velocidade = 10 m/s 10 m/s 10 m/s
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i$ a velocidade escalar instantânea é constante.ii$ a aceleração escalar instantânea é nula.iii$ 1 espaço o*edece a uma equação %orária do tipo = s v ∙ t
Gr+$"cos do Mo!"m#nto Un"$orm#0o movimento uniforme, a equação %orária do espaço, s v ∙ t , é umafunção afim #polinomial do 45 grau$ em t. 1 n6mero s corresponde aocoeficiente linear da função afim #é onde o gráfico corta o ei(o 7$.
0o movimento progressivo #v 8 3$, o espaço cresce com o tempo.0o movimento retr9grado #v : 3$, o espaço decresce com o tempo.
endo a velocidade escalar constante, isto é, a mesma em qualquer instante,concluímos que o gráfico da velocidade em função do tempo é uma retaparalela ao ei(o do tempo.
! área so* o gráfico da velocidade representa, numericamente, odeslocamento escalar do m9vel.
Área deslocamento ( ∆S)
: '
s s
; '
A
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E,#mp-o . Considere que a equação horária do espaço de um móvel seja 30 − 5, para s e t em unidades SI.
a$ ;etermine o espaço inicial e a velocidade escalar do movimento.
*$ +lassifique o movimento em progressivo ou retr9grado.c$ d$ Em que instante o m9vel passa pela origem dos espaços>
R#so-u)*o
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1 ℎ → ! " !#
'ara determinar a posição, *astar su*stituir t / 4 %ora na equação %orária de! ou na equação %orária de B #tanto fazDD$.
20 80 ∙ 1 100 $
E,#mp-o 0. ! figura seguinte representa as posiç"es de dois m9veis ! e B noinstante t / 3. 1s m9veis ! e B possuem movimentos uniformes cuas velocidadesescalares têm valores a*solutos 3 mFs e =G mFs, respectivamente. ;epois de quantotempo ! alcança B>
33m
Hamos resolver esta questão de duas maneiras.
R#so-u)*o I
Hamos determinar as equaç"es %orárias dos espaço de ! e de B. 'ara issodevemos escol%er uma origem para os espaços e orientar a traet9ria.
Hamos assumir, então, como origem dos espaços a posição inicial de ! eorientar a traet9ria de ! para B.
!ssim, o espaço inicial de ! é igual a 3, sua velocidade constante é igual a I3 mFs. !ssim, a equação %orária de ! é 0 30.
1 espaço inicial de B é igual a 33 m e sua velocidade constante é igual a I =GmFs. ua equação %orária é 300 25.
0o momento do encontro, temos que .
0 30 300 25
5 300
60
R#so-u)*o II
'odemos resolver esse e(ercícios por ?velocidade relativaA. 1s m9veis ! e B
camin%am no mesmo sentido e possuem velocidades escalares de valoresa*solutos 3 mFs e =G mFs em relação a determinado referencial.
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) fácil perce*er que o m9vel ! possui, em relação ao m9vel B, uma velocidadeescalar de valor a*soluto G mFs #/3 J =G$. ) como se o m9vel B estivesseparado e o m9vel ! tivesse que andar os 33 m com velocidade de G mFs.
0este caso-
%&' ∆%&'
∆
5 300
∆
∆ 300
5 60
Keneralizando, podemos dizer que, 'u(ndo do"s m1!#"s A # 2 c(m"n3(mno m#smo s#nt"do4 ( !#-oc"d(d# #sc(-(r d# A #m r#-()*o 2 %ou d# 2 #mr#-()*o ( A& t#m !(-or (so-uto "5u(- 6 d"$#r#n)( #ntr# os !(-or#s(so-utos d# su(s !#-oc"d(d#s #sc(-(r#s.
E,#mp-o 7. ! figura representa as posiç"es de dois m9veis ! e B no instante t/ 3. 1s m9veis ! e B possuem movimentos uniformes cuas velocidades escalarestêm valores a*solutos iguais a =3 mFs e G mFs, respectivamente. ;epois de quantotempos ! e B vão se encontrar>
33m
!nalogamente L questão anterior, vamos resolver de duas maneiras- utilizandoas equaç"es %orárias e utilizando a velocidade relativa.
R#so-u)*o I
!dotando a posição inicial de ! como a origem dos espaços e orientando atraet9ria de ! para B, temos-
i$ 1 espaço inicial de ! é igual a 3 e sua velocidade é constante e igual a I =3mFs.
ii$ 1 espaço inicial de B é igual a 33 m e sua velocidade é constante e igual aJ G mFs #a velocidade é negativa, pois o corpo está se movimentando nosentido contrário ao da traet9ria$.
Equação %orária de !- 0 20 Equação %orária de B- 300 − 5
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0o momento do encontro, temos .
0 20 300 − 5
25 300 12
R#so-u)*o II
Mesolvendo agora por ?velocidade relativaA. 1s m9veis ! e B camin%am emsentidos opostos e possuem velocidades escalares de valores a*solutos =3 mFse G mFs, em relação a determinado referencial. 1 m9vel ! possui, em relaçãoao m9vel B, uma velocidade escalar de valor a*soluto =G mFs #/=3IG$. 2udose passa como se o m9vel B estivesse parado e o m9vel ! tivesse que andar os33 metros a =G mFs.
%&' ∆%&'
∆
25 300
∆
∆ 300
25 12
Keneralizando, podemos dizer que, 'u(ndo do"s m1!#"s A # 2 c(m"n3(m#m s#nt"dos opostos4 ( !#-oc"d(d# #sc(-(r d# A #m r#-()*o 2 %ou d# 2#m r#-()*o ( A& t#m !(-or (so-uto "5u(- 6 som( dos !(-or#s (so-utosd# su(s !#-oc"d(d#s #sc(-(r#s.
34. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um menino, em frente a uma parede, emiteum som e ouve o eco 847 s depois. ;etermine a distância entre o menino e aparede.!$ 4O m
B$ P m+$ G4 m;$ NQ mE$ QG m
R#so-u)*o
0o início desta prova foram fornecidos alguns valores que poderiam serutilizados.
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Hamos considerar que a distância entre o menino e a parede sea de ( metros.!ssim, a distância percorrida pelo som foi =( metros #do menino até a paredee da parede até o menino$.
Essa distância foi percorrida em 3,P s.
"
3(0
2)
0*(
2) 3(0 ∙ 0*(
) 68 !
L#tr( 9
Mo!"m#nto Un"$orm#m#nt# V(r"(do %MUV&
Himos que quando a velocidade escalar é constante o movimento é c%amadode uniforme. ua aceleração escalar é igual a 3.
E(istem outros movimentos com aceleraç"es diferentes de zero. Estudaremos,em particular, o movimento uniformemente variado, ou sea, aquele cuaaceleração é constante e nãonula.
Hocê á pensou o que acontece com a velocidade de um avião quando eledecola de pista em um aeroporto>
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! força das tur*inas vai acelerar o avião de forma que a sua velocidadeaumentará a cada segundo, atingindo uma velocidade de 433 mFs numa pistade =333 m.
1 movimento do avião apresenta traet9ria retilínea e aceleração
constanteR este tipo de movimento é denominado Mo!"m#ntoUn"$orm#m#nt# V(r"(do.
0o Sovimento Uniformemente Hariado a aceleração é constante emqualquer instante ou intervalo de tempo, tal que-
Este movimento tam*ém é (c#-#r(do porque o valor a*soluto davelocidade do avião (um#nt( no decorrer do tempo.
Hamos analisar agora o que acontece quando uma moto está sendofreada.
- Moto freando em movimento uniformemente variado.
ua velocidade inicial pode diminuir de G mFs em cada segundo. @sto significaque em 4 s a sua velocidade passa de =3,3 mFs para 4G,3 mFsR decorrido mais4 s a velocidade diminui para 43,3 mFs e assim sucessivamente até parar#figura acima$.
0este caso o movimento é uniformemente variado e é r#t(rd(do4 porque ovalor a*soluto da velocidade d"m"nu" no decorrer do tempo #=3,3 mFs, 4G,3mFs, 43,3 mFs, G,3 mFs, 3,3 mFs$.
! aceleração é constante e igual a G mFs=
#o sinal negativo indica que avelocidade #positiva$ está diminuindo$.
E'u()#s 3or+r"(s no MUV
Equação %orária da velocidade #velocidade em função do tempo$
endo v a velocidade escalar inicial, correspondente a t / 3, e sendo v avelocidade escalar em um instante t e ( a aceleração escalar #constante$,temos-
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Essa equação mostra que a função %orária da velocidade no movimentouniformemente variado é do 45 grau.
Heamos alguns e(emplos-
Equação #@$ 3 ( mFs P mFsT 6 − 2 N mFs = mFsT
−5 − 3 G mFs mFsT −( 3 mFs P mFsT 2 3 mFs = mFsT
Equação orária do Espaço #posição em função do tempo$
+onsidere que um m9vel inicie um movimento no instante t/3. +onsidereainda que a sua posição inicial sea , sua velocidade inicial sea e que suaaceleração sea constante e igual a . 'ois *em, a posição em função dotempo é dada por-
∙ +
2
Heamos alguns e(emplos-
Equação ∙ ,-+
. #@$ #m$ #mFs$ #mFsT$
5 − 3 2+ G P ( 3+ 3 P N 5 − 6+ G 3 4=
+ 3 3 = 2 ( 1*5+ = P
V#-oc"d(d# m;d"( no MUV
Em um movimento uniformemente variado, a velocidade escalar média #$para um dado intervalo de tempo #t4, t=$ é igual L média aritmética entre asrespectivas velocidades escalares instantâneas v4 e v=.E isso é muito importante para resolver vários e(ercícios deste assunto. @stoporque sa*emos deste a primeira parte desta aula que ∆ ∙ ∆.
!ssim, no SUH, temos a seguinte relação-
∆ .
2 ∙ ∆
@sto significa que para calcular o espaço percorrido entre os instantes #t4, t=$*asta calcular a média das velocidades e multiplicar pelo tempo.
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!migos, isto é muito importanteDDD
Mepita- p(r( c(-cu-(r o #sp()o p#rcorr"do4 c(-cu-(mos ( m;d"( d(s
!#-oc"d(d#s # mu-t"p-"c(mos p#-o t#mpoDDE'u()*o d# #!$ =33#B$ 33#+$ G33#;$ O33
#E$ 4.333R#so-u)*o
Himos na primeira parte desta aula que para transformar de WmF% para mFsdevemos dividir por ,N.
!ssim, a velocidade inicial foi de N3F,N / 433 mFs.
1 carro freou completamente em 43 s. 1u sea, em 43 s a sua velocidade foiigual a 3.
Himos que p(r( c(-cu-(r o #sp()o p#rcorr"do4 c(-cu-(mos ( m;d"( d(s
!#-oc"d(d#s # mu-t"p-"c(mos p#-o t#mpo.'ortanto-
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∆ .
2 ∙ ∆
∆ 0 100
2
∙ 10
∆ 500 Suito fácil, não>
'oderíamos ter resolvido utilizando a equação de 2orricelli.
+ . 2 ∙ ∆
a*emos-
a velocidade final 0 a velocidade inicial 100
'recisamos calcular a aceleração.
∆
∆
− 10
0 − 100
10 −10/+
!gora é s9 su*stituir na f9rmulaD
0+ 100+ 2 ∙ −10 ∙ ∆
0 104000 − 20 ∙ ∆
20 ∙ ∆ 104000
∆ 500
L#tr( C
3. #!nalista 'edag9gico J Xísica J E@F' =33QF+E'EUnB$ ! velocidade de
um o*eto em queda livre aumenta continuamente enquanto cai de pequenasalturas com relação ao solo. egundo Kalileu, a aceleração é igual para todosos o*etos e tem intensidade apro(imada de V,Q mFsT , desconsiderada aresistência do ar. +om *ase nessas afirmativas, assinale a opçãocorrespondente ao valor da velocidade de um o*eto, em mFs, ap9s Gsegundos de queda livre.
a$ GV*$ PVc$ V
d$ =Ve$ 4V
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R#so-u)*o
!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s
R#so-u)*o
Hamos montar as equaç"es %orárias de ! e de B.
1 corpo ! mantém velocidade constante #seu movimento é retilíneo euniforme$ igual a 43 mFs.
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+onsiderando que a posição inicial dos dois corpos sea s 0, a equação%orária de ! é dada por-
0 10
10
Heamos o m9vel B. eu gráfico da velocidade em função do tempo é regidopor uma função afim. !ssim, seu movimento é retilíneo e uniformementevariado.
ua velocidade inicial é igual a 3 #v
0$.
ua aceleração é dada por-
∆
∆
10 − 0
2 5 /+
!ssim, a equação %orária de B é dada por-
∙ +
2
0 0 5+
2
5+
2
0o momento que o carro B alcançar o carro !, suas posiç"es serão iguais-
5+
2 10
5+ 20
+ (
+ − ( 0
0 (
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0o t/3 os carros á estavam na mesma posição #início do movimento$. 1 carroB alcança o carro ! em P segundos.
L#tr( 9
3G. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ ! posição de um m9vel em movimentoretilíneo é dada pela função %orária , = 7 > /8t ? /t/, onde , está em metrose t em segundos. 'odemos afirmar que a velocidade do corpo é igual L zero,no instante-!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s
R#so-u)*o
Hamos comparar a função %orária dada com a lei de formação
∙ ,-+
..
(* v 20 7 −(.
'odemos então escrever a equação da velocidade em função do tempo-
20 − (
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d$ 4G=,G me$ 3G,3 m
R#so-u)*o
Hamos calcular as distâncias percorridas pelos autom9veis durante a freada.
1 primeiro carro tin%a uma velocidade inicial de 43QF,N / 3 mFs. uavelocidade final é igual a 3. ! aceleração tem m9dulo igual a GmFsT. +omo%ouve uma desaceleração, então a / G mFsT.
'or 2orricelli, temos-
= . + 2 ∙ ∆
0 = 30 + 2 ∙ −5 ∙ ∆ 0 = 00 − 10∆ ∆ = 0 !
1u sea, o primeiro carro percorreu V3 metros até parar.
1 segundo carro tin%a uma velocidade inicial de V3F,N / =G mFs. uavelocidade final é igual a 3. ! aceleração tem m9dulo igual a GmFsT. +omo
%ouve uma desaceleração, então a / G mFsT.
'or 2orricelli, temos-
= . + 2 ∙ ∆ 0 = 25 + 2 ∙ −5 ∙ ∆
0 = 625 − 10∆
∆ = 62*5 ! 1 segundo carro percorreu N=,G metros até parar.
'ara que não %ouvesse colisão, a distância mínima entre os carros deveria serde V3 I N=,G / 4G=,G metros.
L#tr( 9
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Gr+$"cos do MUV
- Gráfico Aceleração x Tempo
0o movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é constanteR ográfico é uma reta paralela ao ei(o dos tempos.
! área representa a variação da velocidade no intervalo de tempocorrespondente.
- Gráfico Velocidade x Tempo
! equação da velocidade do MRUV é uma função afim. 'ortanto, ográfico é uma reta e a declividade da reta é numericamente igual L aceleraçãoescalar.
0o gráfico, a área é numericamente igual ao deslocamento.
- Gráfico Espaço x Tempo
! equação %orária do espaço de um movimento uniformemente variado é
= + ∙ + ,-. .
'or ser uma função quadrática #polinomial do segundo grau$, seu gráfico seráum arco de pará*ola.
1 gráfico pode ter concavidade voltada para cima ou para *ai(o conforme aaceleração sea positiva ou negativa, respectivamente.
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0o instante em que t / 3, o m9vel tem espaço inicial s / s3. Este ponto ficarepresentado so*re o ei(o das ordenadas.
1 vértice da pará*ola corresponde ao espaço mínimo #se a83$ ou espaçomá(imo #se a:3$. ) nesse instante em que o corpo muda o sentido domovimento e sua velocidade é nula.
3O. #Especialista em Seio !m*iente J XZsica J 'ref. de ão 'aulo =33QFX++$Uma pedra é atirada verticalmente para cima da superfície de um planeta deum sistema solar distante. 1 planeta não tem atmosfera. 1 gráfico representaa altura s da pedra acima de seu ponto de partida, em função do tempo t,
adotandose t / 3 o instante em que a pedra é atirada.
: 0
; 0
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1 m9dulo da aceleração de queda livre pr9(imo L superfície do planeta é, emmFsT,#!$ G,3#B$ 43
#+$ 4G#;$ =3#E$ =G
R#so-u)*o
1 gráfico é uma pará*ola, concluímos que a função %orária do espaço é do =5grau. 2ratase, portanto, de um movimento uniformemente variado #SUH$.
!ssim,
= + ∙ + 2 0ote que quanto t / 3, s/3.
'ortanto, o espaço inicial é igual a 3, ou sea, = 0.0ossa equação fica-
= ∙ + 2
0o instante t / = s, correspondente L a*scissa do vértice da pará*ola, avelocidade é igual a 3 e a posição é igual a 3 m.
!ssim, o corpo percorreu 3 metros em = segundos. ua velocidade média nosdois primeiros segundos foi igual a 4G mFs.
! velocidade média no SUH é a média das velocidades. 'ortanto-
15 = + 0
2
= 30 / Hamos agora calcular a aceleração.
1 corpo começou o movimento com 3 mFs e em dois segundos suavelocidade foi igual a 3.
= ∆∆ = 30
2 = 15 /
L#tr( C
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Mo!"m#nto V#rt"c(- no V+cuo
1s antigos gregos acreditavam que quanto maior fosse a massa de um corpo,menos tempo ele gastaria na queda #muito gente ainda pensa assim, não é>
Mss$.1 físico italiano Kalileu Kalilei #4GNP4NP=$ realizou uma céle*re e(periência#por volta de 4GV3$, no início do século [H@@, que desmentiu a crença dosgregos. +ontase que pediu a dois assistentes que su*issem no topo da torrede 'isa e de lá a*andonassem, cada um, um corpo de massa diferente dooutro.
'ara surpresa geral dos presentes, os dois corpos c%egaram ao solo no mesmoinstante. ) e(atamente isso- ao contrário do que a maioria das pessoasimagina, a massa de um corpo não influi no seu tempo de queda #sedesprezarmos a resistência do ar$.
Um caso particular para o lançamento vertical, desprezando a resistência doar, ocorre quando a partícula é li*erada do repouso #vo / 3$, estando a umacerta altura em relação ao solo, c%amase 'u#d( -"!r#.
+onsidere uma pedra lançada verticalmente #para cima ou para *ai(o$ oua*andonada de uma certa posição, nas pro(imidades da superfície da 2erra.;esprezando a resistência do ar que se op"e ao movimento, podemos admitirque a aceleração da pedra é constante, com direção vertical e s#nt"do d#c"m( p(r( (",oR esta aceleração é denominada de aceleração da gravidade.0a realidade, a aceleração da gravidade varia com a altitude e com a latitude,porém, se a altura no movimento for relativamente pequena, podeseconsiderar a aceleração da gravidade como sendo constante.
0o nível do mar e L latitude de PG5, a aceleração gravitacional tem m9dulo deapro(imadamente V,Q mFs=. Em muitos casos utilizaremos 43 mFsT.
! aceleração escalar pode ser Ig ou g, conforme a traet9ria sea orientadapara *ai(o ou para cima, respectivamente.
0este movimento, a traet9ria é uma reta vertical e a aceleração é constante,então ele o*edece Ls equaç"es do MRUV e vamos apenas trocar ( por 5 e Spor 3.
1rientemos sua traet9ria para *ai(o, com origem no ponto de lançamento. 1corpo pode ter sido lançado verticalmente para *ai(o com velocidade escalarinicial v3 ou, então, ter sido a*andonado em repouso #v3 / 3$.
! partir das equaç"es %orárias de um SUH, deduzimos as equaç"es.
= + 9 ! = + 92
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L(n)(m#nto !#rt"c(- p(r( c"m(
Yançandose verticalmente para cima um corpo, num local onde se possadesprezar a resistência do ar, ou mesmo no vaco, e pr9(imo da superfície
terrestre, verificase que-i$ ;urante a su*ida o movimento é retardado. !o atingir a altura má(ima a suavelocidade se anula.
!p9s atingir o pico da traet9ria, o corpo inicia seu movimento de descida emqueda livre. eu movimento é acelerado.
0este caso #do lançamento vertical para cima$, n9s orientamos a traet9ria
para cima e adotamos o solo como origem dos espaços.
+om essa orientação, a velocidade escalar inicial será positiva #v3 8 3$.
;urante a su*ida, a velocidade escalar será positiva. endo o movimentoretardado, concluímos que a aceleração escalar é negativa, pois para que omovimento sea retardado, a aceleração e a velocidade devem ter sinaisopostos.
0a descida do corpo, a velocidade escalar muda de sinal, tornandose
negativa. +omo o movimento é acelerado, então a aceleração e a velocidadedevem ter o mesmo sinal. !ssim, a aceleração continua negativa.
'or outro lado, nos movimentos verticais livres, a aceleração do corpo temm9dulo igual ao da gravidade #g$.
!ssim, com a traet9ria orientada para cima, tanto na su*ida quanto nadescida, a aceleração escalar é negativa e vale = −9.+%amando o espaço de % e fazendose as devidas su*stituiç"es, temos-
= − 9
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ℎ = ℎ + − 92
! equação de 2orricelli tam*ém pode ser usada-
= . − 29 ∙ ∆ℎ 1*serve ainda que no pico da traet9ria, temos-
i$ = −9ii$ v / 3iii$ ! altura do m9vel tornase má(ima. @ndicaremos esta altura por .
Propr"#d(d#s do -(n)(m#nto !#rt"c(- p(r( c"m(
i$ 'or um ponto p de altura % : #ou sea, menor que a altura má(ima$, om9vel passa duas vezes- uma su*indo e outra descendo. As du(s!#-oc"d(d#s s*o "5u("s #m m1du-o.
ii$ 1 tempo decorrido na su*ida é igual ao tempo decorrido na descida.
iii$ 1 tempo de su*ida é igual a /9.
iv$ ! altura má(ima é dada por < = >?.@.
E,#mp-o @. 'r9(imo da superfície terrestre e no vácuo, lançamos verticalmentepara cima um corpo com velocidade escalar de m9dulo 3 mFs. ! aceleração dagravidade é constante e se tem g / 43 mFsT. +onsiderando que o corpo ten%a sidolançado do solo, determine-
a$ o tempo de su*ida.*$ ! altura má(ima
Hamos resolver esta questão de duas maneiras-
R#so-u)*o I
1rientemos a traet9ria para cima e tomemos como origem dos espaços o solo.!s equaç"es %orárias são-
= − 9 ℎ = ℎ + − 92
endo ℎ = 0* = 30 ! 9 = 10 #@$, vem-
= 30 − 10 A ℎ = 30 − 5 A
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a$ 0o pico da traet9ria a velocidade se anula.30 − 10 = 0
= 3 !9"
*$ 'ara se o*ter a altura má(ima, su*stituímos o tempo por segundos naequação do espaço.
< = 30 ∙ 3 − 5 ∙ 3 = (5 ! 'odíamos tam*ém ter utilizado a equação de 2orricelli.
= . − 29 ∙ ∆ℎ 0 = 30 − 2 ∙ 10 ∙ ?.@.
!ssim,
a$ 1 tempo de su*ida é 30/10 = 3 !9".
*$ ! altura má(ima é B?
.C = (5 !.
E,#mp-o . Yançase, a partir do solo, verticalmente para cima, uma partícula
com velocidade escalar = (0 /. ! aceleração da gravidade é constante e temm9dulo g / 43 mFsT. ;esprezase a resistência do ar. Mesponda-
a$ 2omando como origem dos espaços o solo, como origem dos tempos oinstante do lançamento e orientando a traet9ria para cima, determine a alturada partícula em função do tempo e a velocidade escalar em função do tempo.
*$ ;etermine o intervalo de tempo de su*ida, de descida e o intervalo detempo total do movimento.
c$ ;etermine a altura má(ima.
d$ ;etermine a velocidade escalar de retorno ao solo.
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R#so-u)*o
a$ 1rientemos a traet9ria para cima e tomemos como origem dos espaços osolo. !s equaç"es %orárias são-
= − 9 ℎ = ℎ + − 92
endo ℎ = 0* = (0 ! 9 = 10 #@$, vem- = (0 − 10 A ℎ = (0 − 5 A
*$ 0o pico da traet9ria a velocidade se anula.
(0 − 10 = 0
= ( !9" 'odíamos ter usado a f9rmula /9 = (0/10 = ( segundos.+omo o tempo de descida é igual ao tempo de su*ida, então o tempo dedescida tam*ém é igual a P s.
1 tempo total do movimento é igual a P I P / Q segundos.
c$ 'ara se o*ter a altura má(ima, su*stituímos o tempo por P segundos na
equação do espaço.
< = (0 ∙ ( − 5 ∙ ( = 80 ! 'oderíamos ter usado a seguinte f9rmula-
< = .
29 = (02 ∙ 10 = 80 !
d$ ;etermine a velocidade escalar de retorno ao solo.
Himos que por um ponto p de altura % : #ou sea, menor que a alturamá(ima$, o m9vel passa duas vezes- uma su*indo e outra descendo. As du(s!#-oc"d(d#s s*o "5u("s #m m1du-o.
!ssim, a velocidade escalar de retorno ao solo é a mesma velocidade inicial dolançamento, ou sea, P3 mFs.
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C"n#m+t"c( V#tor"(-
Um ponto material #qualquer corpo ou o*eto que ten%a suas dimens"esdesprezíveis em comparação com as distâncias envolvidas$ deslocase numa
traet9ria #camin%o percorrido$ a partir da posição de repouso com respeito aum referencial adotado. +onsiderando o ponto 1 como origem, estudaremos ocomportamento das grandezas vetoriais e escalares que estão envolvidas como movimento do corpo material.
Um m9vel que se encontra no ponto '4 so*re a traet9ria no instante de tempot 4, tem o seu vetor posição 1r
r
e dado um tempo t =, o m9vel encontrase noponto '= so*re a traet9ria, tendo assim um vetor posição 2r
r
.
1 vetor deslocamento ∆D é definido como sendo a diferença dos vetoresposiç"es, ou sea- o deslocamento vetorial desse m9vel entre os pontos '4 e '=
é o*tido unindos os pontos '4 e '= por intermédio de um vetor, orientado de'4 para '=.
E,#mp-o B. 'ara ir da cidade ! L cidade B, um autom9vel percorre otraeto em azul indicado na figura em 4 %ora. ! quilometragem o*servadapelo motorista no velocímetro do autom9vel, no fim desse percurso, é de Q3Wm. Yigando a cidade ! L cidade B por um vetor, verificamos, através de umaescala, que a medida desse vetor corresponde a G3 Wm.
1 vetor "D representado na figura, que une a posição inicial L posição final dom9vel, é denominado vetor deslocamento.
Em 4 %ora o autom9vel percorre, ao longo da traet9ria curvilínea , Q3 Wm erealiza um deslocamento de ! para B de G3 Wm.
0ão se devem confundir as duas grandezas distintas que se relacionam comomovimento desse autom9vel.
0
<
"D
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Hea-
! grandeza escalar corresponde ao comprimento da traet9ria ou variação daposição. 0o caso, ∆ = 80$.! grandeza vetorial tem orientação e m9dulo ligados apenas aos pontos iniciale final. 0o caso, de ! para B, com m9dulo G3 Wm.
1*serve que o m9dulo do vetor deslocamento é sempre menor ou igual aom9dulo da variação de posição.
E"DE F G∆G
! igualdade ocorre se a traet9ria for retilínea.
V#-oc"d(d# V#tor"(- M;d"(
!té agora n9s estudamos a velocidade média como grandeza escalar. 2ratasedo quociente entre a variação da posição e o correspondente intervalo detempo.
= ∆
∆
! partir de agora, a velocidade média será tratada como grandeza vetorial edefinida da seguinte forma- o quociente entre o vetor deslocamento e ocorrespondente intervalo de tempo.
HHHHHD = "D
∆
+omo ∆ : 0, então o vetor HHHHHD terá a mesma direção e sentido do vetordeslocamento.
0o caso anterior, do autom9vel que realizou a viagem entre as cidades ! e B,temos-
= ∆∆ = 80$
1ℎ = 80$/ℎ
GHHHHHDG = E"DE
∆ = 50$
1 ℎ = 50$/ℎ
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Ac#-#r()*o V#tor"(- M;d"(
1 vetor aceleração médiam
ar
é dado pela relação-HHHHHD = ∆HHHHHD∆-.
1 vetor aceleração média tem a mesma direção e sentido de ∆HHHHD.Ac#-#r()*o V#tor"(- Inst(ntn#(
) a aceleração de um m9vel em um determinado instante.
0o caso de uma traet9ria curvilínea, o vetor D está sempre voltado paradentro da curva. 'ara entender mel%or o significado da aceleração vetorialinstantânea D, ela é decomposta em duas componentes perpendiculares- aaceleração tangencial
-HHHD e a aceleração centrípeta
IJHHHHHHD.
1 vetor D é o resultante dos vetores -HHHD e IJHHHHHHD.
Yogo,
D = -HHHD + IJHHHHHHD !K!!
. = -. + IJ. ! L"K − M!! "! NO9
A (c#-#r()*o t(n5#nc"(- ; r#spons+!#- p#-( !(r"()*o do m1du-o do!#tor !#-oc"d(d# # s1 #,"st# #m mo!"m#ntos (c#-#r(dos ou r#t(rd(dos.
C(r(ct#rDst"c(s d( (c#-#r()*o t(n5#nc"(-i$ m9dulo igual ao da aceleração escalarii$ direção- tangente L da traet9riaiii$ sentido- igual ao do vetor velocidade, se o movimento for aceleradoR opostoao do vetor velocidade, se o movimento for retardado.
A (c#-#r()*o c#ntrDp#t( ; r#spons+!#- som#nt# p#-( mud(n)( d(d"r#)*o do m1!#-4 po"s #-# $( !(r"(r o !#tor !#-oc"d(d# #m d"r#)*o.Lo5o4 #,"st# #m mo!"m#ntos d# tr(#t1r"(s cur!(s.
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C(r(ct#rDst"c(s d( (c#-#r()*o c#ntrDp#t(
i$ S9dulo igual a /P em que M é o raio de curvatura da traet9ria #se atraet9ria for circular, será o raio do círculo$.
ii$ ;ireção- perpendicular ao vetor velocidade em cada ponto.iii$ entido- para o centro da curvatura da traet9ria.
! aceleração centrípeta tam*ém é c%amada de aceleração normal.
Compos")*o d# mo!"m#ntos
) muito comum o*servar pessoas apressadas em %oppings ou em aeroportos.Basta ol%ar para as escadas rolantes. !s pessoas mais apressadas não ficamparadas na escada, mas camin%am por seus degraus e assim conseguem maisvelocidade sem grande esforço físico.
! e(plicação para esse fato é que o movimento da pessoa está sendoadicionado ao movimento da escada.
) assim tam*ém que se e(plica o que acontece quando as crianças se p"em acamin%ar na escada rolante, mas no sentido oposto ao seu deslocamento.
Estamos tratando, portanto, de situaç"es com movimentos compostos. 1sdeslocamentos o*servados são compostos pelo movimento das pessoas naescada rolante mais o movimento da pr9pria escada.
2ratando a velocidade vetorialmente, o vetor velocidade resultante QHHHHD, quedescreve o movimento da pessoa para um o*servador parado no solo, é oresultado da soma vetorial das duas velocidades- a da pessoa, em relação Lescada parada, e a de deslocamento da pr9pria escada rolante.
e a velocidade da pessoa é de = mFs, e a velocidade da escada é de 4mFs,então a velocidade resultante será de mFs #pois as velocidades estão namesma direção e sentido$.
\á para a criança que se desloca no sentido contrário ao do movimento daescada rolante, imaginando não %aver o*stáculo algum, ela vai conseguirc%egar ao início da escada dependendo apenas do m9dulo de sua velocidade.e a escada tiver velocidade 4 mFs, a criança consegue c%egar se a suavelocidade for maior que 4 mFs. e a sua velocidade for igual a 4mFs, elaficará parada em relação ao solo. +aso contrário, ou sea, se a velocidade dacriança for menor que 4 mFs, parecerá ao o*servador e(terno que a criançaestá sendo arrastada para cima lentamente.
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O Pr"ncDp"o d# G(-"-#u ou Pr"ncDp"o d( Ind#p#ndnc"( dos Mo!"m#ntos
+onsidere uma *alsa descendo o rio e um %omem parado so*re ela, no ponto!. +%amemos o movimento da *alsa #e nesse caso do %omem$ ao ser
arrastada pela correnteza, em relação L 2erra, de movimento de arrastamentoe a velocidade vetorial correspondente de velocidade de arrastamento ,%%HHHHHHHH #noe(emplo anterior, seria a velocidade da escada rolante$.
e, num determinado instante, o %omem camin%a do ponto ! para o ponto B,o movimento do %omem, em relação L *alsa, é denominado movimentorelativo L *alsa, e a correspondente velocidade vetorial é denominadavelocidade relativa %&'HHHHHHH #no e(emplo anterior, seria a velocidade da pessoacamin%ando na escada$.
1 princípio da independência dos movimentos diz que a correnteza nãointerfere no tempo de deslocamento da pessoa so*re a angada, que éarrastada pela correnteza. ;a mesma maneira, afirmase que o deslocamentoda pessoa não interfere no arrastamento da angada pela correnteza.
G(-"-#u #studou o mo!"m#nto r#su-t(nt# d( compos")*o d# outrosmo!"m#ntos # p#rc##u 'u# 'u(ndo um corpo s# #ncontr( so ( ()*os"mu-tn#( d# !+r"os mo!"m#ntos4 c(d( um d#-#s s# proc#ss( como s#os d#m("s n*o #,"st"ss#m.
3Q. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um *arco navegando em lin%a reta contra acorrenteza de um rio percorreu uma distância de 8 m em /8 m"n. 0aviagem de volta o tempo gasto foi de apenas @ m"n. a*endo que avelocidade pr9pria do *arco #em relação ao rio$ foi constante e a mesma nosdois sentidos, determine a velocidade da correnteza.!$ WmF%B$ P WmF%+$ G WmF%;$ N WmF%E$ O WmF%
R#so-u)*o
Hamos considerar que o m9dulo da velocidade do rio sea de % mFs e que om9dulo da velocidade do *arco sea de mFs.
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G%HHHDG = 6 + 8 G%HHHDG = 10 /
*$ 1 movimento da correnteza não interfere no intervalo de tempo datravessia #princípio de Kalileu$. 'odemos fazer o cálculo como se o rioestivesse parado.
∆ = 2(
8 / = 3 !9"
c$ !o sair de uma margem em direção L outra margem, a lanc%a é arrastadalateralmente. 1 deslocamento rio a*ai(o pode ser calculado, então, usandosea velocidade da água em relação Ls margens #com o tempo total de travessia/ segundos$.
" = 6 C 3 = 18 !
d$ 'ara um o*servador fi(o na margem, a traet9ria do *arco é está na mesmadireção da velocidade resultante.
1 deslocamento vai ser igual a 10 C 3 = 30 !.
'oderíamos ter calculado essa distância utilizando o teorema de 'itágoras.
L(n)(m#nto Hor"ont(-
+onsidere um corpo lançado %orizontalmente de determinada altura, comvelocidade inicial HHHHD. ;esprezando a resistência do ar, ele descreve umatraet9ria para*9lica, resultante da composição de dois movimentossimultâneos e independentes- um movimento uniforme na %orizontal e umaqueda livre na vertical.
! figura a*ai(o mostra duas esferas que foram postas em movimento
simultaneamente. Uma é a*andonada em queda livre e a outra foi lançada%orizontalmente. !s lin%as são fios paralelos eq]idistantes. 1*serve a posiçãode cada esfera com o passar do tempo.
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0o lançamento %orizontal no vácuo, o tempo de queda independe damassa e da velocidade %orizontal de lançamento.
3V. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um corpo é atirado do alto de um edifício de
8 m de altura, com velocidade V8 / @48 mJ s , paralela ao solo. +alcule om9dulo da velocidade do corpo no instante em que ele atinge o solo. ;esprezea resistência do ar durante o movimento do corpo.
!$ 4G mFsB$ =3 mFs+$ =G mFs;$ 3 mFsE$ G mFs
R#so-u)*o
1 lançamento %orizontal é composto por um movimento uniforme na%orizontal e uma queda livre na vertical.
+omo a velocidade %orizontal inicial é de G,3 mFs, esta será a velocidade%orizontal que acompan%ará o corpo ao longo de todo o percurso #movimentouniforme na %orizontal$.
Hamos calcular a velocidade na vertical.
@nicialmente a velocidade vertical é igual a 3.
! distância percorrida foi de 43 metros na vertical.
! aceleração é a da gravidade #dada na prova e igual a 43mFsT$.
Hamos calcular a velocidade final com a equação de 2orricelli.
= . + 2 ∙ ∆
= 0 + 2 ∙ 10 ∙ 10
= 200
= 10T 2 /
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2emos a seguinte composição de movimentos no instante em que o corpo tocao solo-
1 m9dulo da resultante é calculado através do 2eorema de 'itágoras.
%. = 5 + 10T 2
%. = 225
% = 15 /
L#tr( A
L(n)(m#nto O-D'uo
1s lançamentos o*líquos são situaç"es que podem ser estudadas pelo princípio
da independência dos movimentos de Kalileu.Uma partícula é lançada com velocidade inicial v 3, segundo um ângulo U
em relação ao ei(o %orizontal #lançamento o*líquo$, estando so* a ação daaceleração da gravidade, agindo verticalmente para *ai(o, impondo umatraet9ria para*9lica, resultante da composição de dois movimentos.
endo a velocidade uma grandeza vetorial, podese decompCla segundo osei(os ( e 7, com o intuito de estudarmos os movimentos separadamente. +omrespeito a vertical, temse o movimento uniformemente variado e movimentouniforme segundo o ei(o %orizontal, visto que a aceleração da gravidade sendovertical, não tem componente nesta direção. Em termos das componentes davelocidade inicial, perce*ese que-
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V = ∙ WXs
Y = ∙ ! Z
0a %orizontal, segundo o ei(o (, o movimento é uniformeR desse modo,podemos escrever-
= + [
) = 0 + V ∙
) = V ∙
0a vertical, segundo o ei(o 7, o movimento é uniformemente variado.
1rientando o ei(o para cima, podemos escrever-Y = Y − 9
\ = \ + Y − 9
2
! equação de 2orricelli tam*ém pode ser usada-
Y. = Y
. − 29 ∙ ∆\
Propr"#d(d#s do -(n)(m#nto o-D'uo no !+cuo
0o lançamento o*líquo de um proétil no vácuo-• ! 6nica força que age so*re o mesmo é a força pesoR• ! 6nica aceleração é a da gravidadeR• 1 movimento para*9lico é composto por dois movimentos
independentesR• 0a direção vertical, a proeção do movimento é um SMUH com
aceleração igual L da gravidadeR• 0a direção %orizontal, a proeção do movimento é um SMUR• 0o ponto de altura má(ima, a componente vertical da velocidade é nula,
mas o vetor velocidade não. 0este ponto, a velocidade é mínima e o seu valoré igual ao m9dulo da componente %orizontalR
• ^ngulos complementares produzem o mesmo alcance, desde que Ho seaa mesmaR
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• 1 intervalo de tempo na su*ida é igual ao intervalo de tempo na descidaaté o nível do lançamento.
• 1 alcance é má(imo quando o ângulo de lançamento é igual a PG5 e
dado por-O[ =
.
9
E,#mp-o K. 0o instante t / 3, uma partícula é lançada de um ponto 1 do solo#plano e %orizontal$ com velocidade HHHHD formando um anglo ] com a %orizontal. ãodados 9 = 10 /, GHHHHDG = 100/. a*ese ainda que !] = 0*6 e #] = 0*8.;esprezando os efeitos do ar e adotando um sistema de coordenadas com origem 1,como mostra a figura, pedemse-
a$ as equaç"es %orárias da a*scissa ( e da ordenada 7 da partícula.*$ a equação %orária da componente vertical da velocidade.c$ as coordenadas da partícula no instante t / ,3s #supondo que nesse
instante a partícula ainda não ten%a atingido o solo.d$ o m9dulo da velocidade no instante t / ,3 s.
R#so-u)*o
HHHHD nas direç"es %orizontal ea$ 1 primeiro passo é decompor a velocidade inicial 0vertical.
V = ∙ WXs = 100 ∙ 0*8 = 80 /
Y = ∙ ! Z = 100 ∙ 0*6 = 60 /
0a direção %orizontal temos um movimento uniforme de espaço inicial nulo.
! equação é dada por ) = V ∙ → ) = 80 A
0a direção vertical temos um movimento uniformemente variado #SUH$ deespaço inicial 73 nulo, e aceleração escalar a / g / 43 mFsT #poisorientamos o ei(o 7 para cima$.
\ = \ + Y − 92
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\ = 0 + 60 − 10
2
\ = 60 − 5 A
Estas equaç"es, o*viamente, s9 valem até o instante em que a partícula toca osolo.
*$ 0a vertical temos um SUH de velocidade escalar inicial Y = 60 / eaceleração a / g / 43mFsT. !ssim,
Y = Y − 9
Y = 60 − 10 A
c$ a*emos que) = 80
\ = 60 − 5
'ortanto, para t / ,3s, temos-
) = 80 ∙ 3 = 2(0
\ = 60 ∙ 3 − 5 ∙ 3 = 135
d$ Hamos calcular a velocidade na vertical no instante t / ,3s.
Y = 60 − 10
Y = 60 − 10 ∙ 3 = 30 /
+omo a velocidade 7 é positiva, concluímos que o corpo ainda está su*indo.
! velocidade na %orizontal é constante e igual a Q3 mFs.
'elo 2eorema de 'itágoras, temos-
%. = 30 + 80
%. = S4300
% = S3T 10 /
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Unidade de medida de ângulos
Ao dividir um ângulo raso em 180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau).
Portanto, o ângulo de 1º é o ângulo que corresponde a 1180 do ângulo raso.
R(d"(no
!" outra medida de ângulos que é muito utili#ada e $a# parte do %& (%istema &nternacionalde 'nidades). ngulos medidos em radianos so $requentemente apresentados semqualquer unidade e*pl+cita. uando, porém, uma unidade é apresentada, normalmente seutili#a a sigla rad. - o que signi$ica 1 radiano
&magine uma circun$er/ncia com o raio igual a 1 metro.
arque um ponto qualquer na circun$er/ncia. &magine agora que esta circun$er/ncia éuma minipista de 2ooper. 3oc/ decide andar sobre a circun$er/ncia e*atamente ocomprimento de 1 metro.
Pois bem, o ângulo $ormado pelos dois raios trace4ados é de e*atamente 1 radiano.5a verdade, no é necess"rio que o raio se4a de 1 metro. 6 que precisa acontecer é oseguinte7
i) race uma circun$er/ncia com um raio qualquer. 9igamos que o raio se4a igual a :.ii) arque um ponto inicial na circun$er/ncia. Ao ;andar< sobre a circun$er/ncia um
comprimento igual ao raio da circun$er/ncia, estar" de$inido um arco de 1 radiano.
- a volta completa representa quantos radianos
Para responder esta pergunta, basta e$etuar uma regra de tr/s.
1 metro
1 metro
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%e quando o comprimento andado na circun$er/ncia é igual a :, o arco medido é de 1radiano, quantos radianos =" na volta completa (lembrese que o comprimento total dacircun$er/ncia é igual a 2^P).
2omprimento ;andado< nacircun$er/ncia
:adianos
P 1 2^P )
> ?bvio que aumentando o comprimento andando na circun$er/ncia, aumentar" o ângulo.Portanto, as grande#as so diretamente proporcionais.
1)
= P2^P
1
)
= 1
2^
) = 2^ "
9esta $orma, a volta completa (@0º) corresponde a 2^ ".
6bviamente, 180º é a metade de @0º, portanto 180º correspondem a ^ ".
endo em vista essas consideraBCes, podemos estabelecer a seguinte correspond/nciapara converso de unidades7
180_ ` ^ " E,#mp-o . -*prima D10º em radianos.
Resolução
Easta ;montar< uma regra de tr/s. -m casos como este de mudanBa de unidades, a regrade tr/s é sempre direta, de $orma que podemos aplicar a propriedade $undamental dasproporBCes7 o produto dos meios é igual ao produto dos e*tremos.
180_ ` ^ "
210_ ` )
180_ ∙ ) = 210_ ∙ ^
) = 210_ ∙ ^
180_ =
210^
180 =
21^
18
) = S^
6 " E,#mp-o /. -*prima .aB " em graus.
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Resolução
180_ ` ^ " ) ` 2^3 "
^ ∙ ) = 180_ ∙ 23̂
^ ∙ ) = 120_^ ) = 120_
emori#ando alguns valores b"sicos, podemos rapidamente dedu#ir outros. Por e*emplo,vamos trans$ormar @0º em radianos.
180_ ` ^ " 30_ ` ) 180_ ∙ ) = 30_ ∙ ^
) = 30_ ∙ ^180_ = 30^180 =
^6
) = ^6 "
6ra, se @0º é o mesmo que ^/6 rad, portanto para calcular 0º em radianos bastamultiplicar ^/6 rad por D (4" que 0º é o dobro de @0º).
60_ ` 2 ∙ ^6 = ^3 "
F0º é o triplo de @0º, portanto para calcular F0º em radianos basta multiplicar ^/6 rad por@ (4" que F0º é o triplo de @0º).
0_ ` 3 ∙ ^6 = ^2 "
GHº é a metade de F0º, ento para calcular GHº em radianos basta dividir ^/2 rad por D.
(5_ `^22 =
^( "
1D0º é o dobro de 0º, portanto para calcular 1D0º em radianos basta multiplicar ^/3 porD.
120_ ` 2 ∙ ^3 = 2^
3 "
DI0º é o triplo de F0º, portanto para calcular DI0º em radianos basta multiplicar ^/2 por @.
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2S0_ ` 3 ∙ ^2 = 3^
2 "
- desta $orma, podemos criar a seguinte tabela de valores not"veis.
Jraus :adianos @0º ^6 " GHº ^( " 0º ^3 " F0º ^2 " 1D0º 2^
3 " 180º ^ " DI0º 3^
2 " @0º 2^ "
Mo!"m#nto Cur!"-Dn#o
0o movimento curvilíneo plano, o corpo descreve uma traet9ria curva
qualquer, desde que a referida curva pertença a um plano.
1 movimento pode ser uniforme, uniformemente variado ou qualquer. endo atraet9ria do m9vel uma curva qualquer, a velocidade vai variarconstantemente em direção, em função do tempo, uma vez que o vetorvelocidade é sempre tangente L curva no ponto onde se encontra o m9vel.
'or outro lado, se o movimento for curvilíneo e uniforme, a intensidade davelocidade é constante enquanto que no curvilíneo variado, além da direção,varia tam*ém a intensidade da velocidade do m9vel.
Ac#-#r()*o C#ntrDp#t( %(c&
Mesponsável pela variação da direção da velocidade.
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Ac#-#r()*o
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b = 1M M = 1 b
Velocidades no MCU
+onsidere um movimento circular uniforme de raio R . 0um intervalo detempo t, o m9vel se desloca do ponto '4 até o ponto '=, percorrendo o arco cd,ao mesmo tempo que descreve o ângulo ce.
;efinimos duas velocidades-
V#-oc"d(d#
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0o caso de uma volta completa, o ângulo descrito corresponde a 08 ou /πππ r(d e o tempo para completar uma volta é o período
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Em am*as as situaç"es, as velocidades tangenciais dos pontos periféricosdas duas roldanas são iguais, em cada instante. +onsiderando os pontos A e2, temos-
=
1s raios das roldanas e, portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e2 são R A e R 2, respectivamente. endo A e 2 as correspondentesvelocidades angulares, podemos escrever-
'ortanto, as velocidades angulares das roldanas são inversamenteproporcionais aos respectivos raios. E(emplo- e um raio é a metade do outro,sua velocidade angular será o do*ro.
'odemos escrever tam*ém-
b, ∙ P = b ∙ P
43. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1s ponteiros dos minutos e das %oras de umrel9gio têm comprimentos iguais a Lm"n = /48 cm e L3or( = 4@ cm,respectivamente. ;etermine a razão Vm"n J V3or( entre as velocidades daspontas destes ponteiros.!$ 4=
B$ 4P+$ 4N;$ 4QE$ =3
R#so-u)*o
Hamos calcular cada uma das velocidades de per si e depois calcular a razãopedida.
Heamos o ponteiro dos minutos. Ele dá uma volta completa em 4 %ora#período$. ua velocidade linear é dada por-
gh = 2^P
M =
2^ ∙ 2 #
1 ℎ = (^ #/ℎ
1 ponteiro das %oras dá uma volta completa em 4= %oras #período$. uavelocidade linear é dada por-
ij%, = 2^P
M
= 2^ ∙ 1*5 #
12 ℎ
= 0*25^ #/ℎ
! razão pedida é igual a-
ωωωA R A = ωωωB R B
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ghij%,
= (^
0*25^ = 16
L#tr( C
E,#mp-o 0. Um m9vel e(ecuta um movimento circular uniforme de raio P3 cm,com frequência 4G rpm #rotaç"es por minuto$. ;etermine-
a$ 1 período em segundos.*$ ! velocidade angular em radianos por segundo.c$ ! velocidade linear em metros por segundo.d$ 1 m9dulo da aceleração centrípeta.
R#so-u)*o
a$ ! frequência em ertz #rotaç"es por segundo$, é-
b = 15 = 15 60 = 0*25
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a$ a frequência #em ertz$.*$ o período #em segundos$.c$ a velocidade angular #em radianos por segundo$.d$ a velocidade linear #em metros por segundo$ de um ponto da periferia.
R#so-u)*o
a$ ;ados- b = 60 no P = 10# = 0*10 o P = (*0 # = 0*0( +omo a velocidade linear é a mesma para qualquer ponto das duasengrenagens, temos-
b, ∙ P = b ∙ P 60 ∙ 0*10 = b ∙ 0*0(
b = 150 n Em ertz-
b = 150 = 150
60 = 2*5
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R#-()*o d(s 'u#st#s d# concurso com#nt(d(s
34. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um menino, em frente a uma parede, emiteum som e ouve o eco 847 s depois. ;etermine a distância entre o menino e a
parede.!$ 4O mB$ P m+$ G4 m;$ NQ mE$ QG m
3=. #SE+ =33VF+EKM!0M@1$ 0um recente teste realizado com umdeterminado modelo de autom9vel, atingiuse a velocidade de N3 WmF%.Herificouse que, nessa velocidade, o carro freia completamente em 43 s. !
partir do instante em que o motorista pisa no freio, qual a distância, em m,percorrida pelo carro até parar>#!$ =33#B$ 33#+$ G33#;$ O33#E$ 4.333
3. #!nalista 'edag9gico J Xísica J E@F' =33QF+E'EUnB$ ! velocidade deum o*eto em queda livre aumenta continuamente enquanto cai de pequenasalturas com relação ao solo. egundo Kalileu, a aceleração é igual para todosos o*etos e tem intensidade apro(imada de V,Q mFsT , desconsiderada aresistência do ar. +om *ase nessas afirmativas, assinale a opçãocorrespondente ao valor da velocidade de um o*eto, em mFs, ap9s Gsegundos de queda livre.
a$ GV*$ PVc$ Vd$ =Ve$ 4V
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3P. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1 gráfico a*ai(o mostra as velocidades de doiscarros, A e 2, que trafegam no mesmo sentido ao longo de uma via plana ereta. 0o instante t = 8 os carros estão alin%ados num mesmo semáforo. !p9squanto tempo o carro 2 alcançará o carro A>
!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s
3G. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ ! posição de um m9vel em movimentoretilíneo é dada pela função %orária , = 7 > /8t ? /t/, onde , está em metrose t em segundos. 'odemos afirmar que a velocidade do corpo é igual L zero,
no instante-!$ t / 4 sB$ t / = s+$ t / s;$ t / P sE$ t / G s
3N. #;ocente @ J Xísica J @XF!Y =343 J +1'ES!$ Um autom9vel deslocasenuma estrada na tentativa de ultrapassagem de um camin%ão, utilizando, paratanto, uma velocidade de 43Q WmF%, quando, repentinamente, o*serva outro
carro se deslocando em sentido contrário na mesma estrada, com umavelocidade de V3 WmF%. @mediatamente, am*os os motoristas pisam ao mesmotempo no freio, reduzindo as suas respectivas velocidades com uma aceleraçãode m9dulo G mFsT. 'ara evitar uma colisão, qual deve ser a mínima distânciaentre os carros, a partir do início da freada>a$ =O,G m*$ N=,G mc$ V3,3 md$ 4G=,G me$ 3G,3 m
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3O. #Especialista em Seio !m*iente J XZsica J 'ref. de ão 'aulo =33QFX++$Uma pedra é atirada verticalmente para cima da superfície de um planeta deum sistema solar distante. 1 planeta não tem atmosfera. 1 gráfico representaa altura s da pedra acima de seu ponto de partida, em função do tempo t,
adotandose t / 3 o instante em que a pedra é atirada.
1 m9dulo da aceleração de queda livre pr9(imo L superfície do planeta é, emmFsT,#!$ G,3#B$ 43#+$ 4G#;$ =3#E$ =G
3Q. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um *arco navegando em lin%a reta contra acorrenteza de um rio percorreu uma distância de 8 m em /8 m"n. 0aviagem de volta o tempo gasto foi de apenas @ m"n. a*endo que avelocidade pr9pria do *arco #em relação ao rio$ foi constante e a mesma nosdois sentidos, determine a velocidade da correnteza.!$ WmF%B$ P WmF%+$ G WmF%;$ N WmF%
E$ O WmF%
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3V. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ Um corpo é atirado do alto de um edifício de8 m de altura, com velocidade V8 / @48 mJ s , paralela ao solo. +alcule om9dulo da velocidade do corpo no instante em que ele atinge o solo. ;esprezea resistência do ar durante o movimento do corpo.
!$ 4G mFsB$ =3 mFs+$ =G mFs;$ 3 mFsE$ G mFs
43. #'olícia +ivil 'E =33NF@'!;$ 1s ponteiros dos minutos e das %oras de umrel9gio têm comprimentos iguais a Lm"n = /48 cm e L3or( = 4@ cm,respectivamente. ;etermine a razão Vm"n J V3or( entre as velocidades daspontas destes ponteiros.!$ 4=B$ 4P+$ 4N;$ 4QE$ =3
G((r"tos
34. ;3=. +3. B
3P. ;3G. E3N. ;3O. +3Q. +3V. !43. +