DNEaD Departamento Nacional de Educao a Distncia
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ENGENHARIA...
Coordenador: ...
Professor(a): Niander Aguiar Cerqueira
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www.redentor.edu.br
(22)3811-0111
Redentor
CLCULO 0
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DNEaD Departamento Nacional de Educao a Distncia
SOBRE O AUTOR
O autor do caderno de estudos o Prof. Niander Aguiar Cerqueira, brasileiro, natural
de Itaperuna/RJ, Mestre em Cincias de Engenharia pela Universidade Estadual do
Norte Fluminense (UENF, 2001), Especialista em Engenharia e Segurana do Trabalho
(REDENTOR, 2009), Bacharel em Engenharia Civil (UENF, 1999). Ele aluno de ps-
graduao em Engenharia de Produo pela SOCIESC e de Planejamento,
Implementao e Gesto da Educao a Distncia pela UFF. Professor da Faculdade
REDENTOR desde 2007, tambm autor dos cadernos de Matemtica Bsica e de
Matemtica Discreta dos cursos de Graduao em Tecnologia. Com experincia no
ensino de matemtica para Ensino Fundamental e Ensino Mdio, Pr-vestibular e Pr-
concurso desde 1996, atualmente est vinculado Faculdade Redentor, lecionando em
diversos cursos, j tendo ministrado entre outras as disciplinas: Matemtica Bsica,
Introduo ao Clculo, Clculo 0, I e II, Equaes Diferenciais, Estatstica e Matemtica
Discreta.
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APRESENTAO geral
Prezado(a) aluno(a), seja bem vindo!
Estamos comeando uma jornada juntos em direo sua formao superior. Para
tanto, faz-se necessrio a recuperao de contedos importantes de Matemtica
que voc estudou em algum momento do ensino fundamental ou do ensino mdio
dando uma nova roupagem aos mesmos.
A Matemtica est presente no dia a dia de todos ns, em particular na formao
que voc escolheu pra sua vida. Uma base slida dos contedos que voc vai
encontrar aqui nesse material vai permitir o desenvolvimento de conceitos teis
sua formao como Engenheiro.
No objetivo dessa disciplina a recuperao de todo contedo de matemtica dos
ensinos fundamental e mdio. Por isso, demos nfase queles que consideramos
mais indispensveis para as disciplinas subseqentes de seu curso, logo, para uma
melhor execuo de sua futura profisso. No entanto, nada impede que voc possa
buscar nas bibliografias recomendadas ou em outras fontes que julgar pertinentes,
suplementar sua reviso acrescentado outros tpicos que perceber serem carncias
sua.
A disciplina foi dividida em seis mdulos (aulas), sendo elemento integrante de cada
aula os exemplos, os exerccios resolvidos e as atividades propostas (a serem
resolvidas e encaminhadas como parte da avaliao). Para um bom aproveitamento
deste material muito importante que voc compreenda bem os exemplos e refaa
todos os exerccios resolvidos at que os conceitos sejam assimilados.
Esperamos que ao completar os mdulos desta disciplina voc tenha logrado xito
nos estudos, se equipando assim de contedo e entusiasmo para os futuros
desafios de seu curso e de sua profisso.
Bom estudo! Sucesso!!!
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OBJETIVOS GERAIS
Este caderno de estudos tem como objetivos:
Identificar o uso dos nmeros no cotidiano;
Revisar conceitos de conjuntos, equaes, inequaes, funes e suas
aplicabilidades;
Representar graficamente funes afim, quadrticas, logartmicas, exponenciais
e trigonomtricas;
Avaliar, decodificar, formular e resolver problemas de proporcionalidade entre
nmeros ou grandezas;
Analisar, interpretar, formular e resolver problemas envolvendo diferentes
significados das operaes com nmeros reais;
Recuperar conceitos matemticos importantes para a formao em Engenharia.
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NDICE
Pgina
Apresentao.................................................................................................... Objetivos Gerais................................................................................................
Aula 1 PROPORCIONALIDADE......................................................................... Razo e Proporo................................................................................. Grandezas Proporcionais...................................................................... Nmeros Proporcionais......................................................................... Regra de Trs......................................................................................... Porcentagem..........................................................................................
Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................
Aula 2 CONJUNTOS......................................................................................... Teoria dos Conjuntos............................................................................. Operaes com Conjuntos..................................................................... Conjuntos Numricos............................................................................. Intervalos nos Conjunto.........................................................................
Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................
Aula 3 EQUAES........................................................................................... 2.1 Equaes................................................................................................ 2.2 Sistema de Equaes............................................................................. 2.3 Inequaes............................................................................................. Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................
Aula 4 FUNES I.................................................................................. 4.1 Relao entre Conjuntos......................................................................... 4.2 Introduo s Funes.......................................................................... 4.3 Funo do 1 Grau................................................................................... 4.4 Funo do 2 Grau................................................................................... Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................
Exerccios Propostos........................................................................
Aula 5 FUNES II.................................................................... 5.1 Funo Exponencial.........................................................................
5.1.1 Potenciao 5.1.2 Domnio e Imagem 5.1.3 Representao Grfica 5.1.4 Aplicaes................................................................
5.2 Funo Logartmica....................................................................... 5.2.1 Logaritmo 5.2.2 Domnio e Imagem 5.2.3 Representao Grfica
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5.2.4 Aplicaes....................................................................... 5.3 Funes Inversas Resumo............................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................
Exerccios Propostos........................................................................
Aula 6 FUNES III.................................................................... 6.1 Trigonometria.........................................................................
6.1.1 Trigonometria no Tringulo Retngulo 6.1.2 Ciclo Trigonomtrico
6.2 Funes Trigonomtricas....................................................................... 6.2.1 Funo Seno 6.2.2 Funo Cosseno 6.2.3 Funo Tangente 6.2.4 Funo Cotangente 6.2.5 Funo Secante 6.2.6 Funo Cossecante
6.3 Funes Trigonomtricas Inversas.
6.4 6.5
Resumo............................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................
Exerccios Propostos........................................................................
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AULA 1 APRESENTAO DO MDULO
Os nmeros governam o mundo e, uma das aplicaes mais corriqueiras
exatamente o clculo de propores. Sendo assim, podemos esperar que
voc j domine alguns dos conceitos a seguir, mas dada a sua relevncia
no poderamos deixar de abord-los nesse curso.
Por isso, esse mdulo importante, pois visa identificar os conceitos e
aplicaes relacionadas ao tema proporcionalidade, considerando
situaes atuais e prticas.
OBJETIVOS DO MDULO
Esperamos que, aps o estudo do contedo deste mdulo, voc seja capaz de:
Identificar e conceituar razo entre dois nmeros racionais;
Determinar a razo entre grandezas de mesma espcie e calcular razes especiais;
Conceituar proporo como igualdade de razes;
Aplicar a propriedade fundamental das propores para resolver problemas;
Identificar grandezas proporcionais e estabelecer a proporcionalidade direta ou inversa entre elas;
Identificar sucesso de nmeros proporcionais e estabelecer a proporcionalidade direta ou inversa entre eles;
Resolver problemas atravs de Regra de Trs simples ou composta;
Resolver problemas de porcentagens atravs da regra de trs.
PROPORCIONALIDADE
Razo e Proporo, Grandezas Proporcionais, Nmeros Proporcionais, Regra de
Trs e Porcentagem
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INTRODUO
No dia a dia a noo de proporcionalidade uma das mais
utilizadas, muitas vezes de forma imperceptvel. provvel
que na sua experincia de trabalho voc j tenha feito
estimativas de gastos baseados em uma informao, tenha
dividido em quantidades proporcionais, resolvido algum
problema envolvendo porcentagens, etc.
Quando ns executamos um desses clculos, estamos
considerando uma relao entre grandezas.
1.1 RAZO E PROPORO
RAZO
Razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, o quociente entre esses
nmeros, sendo indicada a razo de a para b por b
aou a: b (l-se: a est para b ou a
para b).
Exemplo:
Numa sala de espera para emprego h 20 homens e 25 mulheres.
a) Encontre a razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres.
5
4
25
20
5
5
(significa que para cada 4 homens existe 5 mulheres)
b) Encontre a razo entre o nmero de mulheres e homens.
4
5
20
25
5
5
(indica que existe 5 mulheres para 4 homens na sala)
Diagnstico da Lentido:
No Brasil, h um juiz para cada
14.000 habitantes. A mdia
internacional de um
magistrado para cada 7.000.
Oito de cada dez aes tm o
governo como autor ou ru;
A burocracia consome 70% do
tempo de tramitao de um
processo.
Fonte: Veja, 2004.
Anote: Na razo a:b, a denominado antecedente e b consequente.
GRANDEZA TUDO AQUILO QUE PODE SER MEDIDO, CONTADO.
DESTA FORMA, SO GRANDEZAS: REA, COMPRIMENTO,
VOLUME, CAPACIDADE, TEMPO, CUSTO, VELOCIDADE,
PRODUO, NO DE PESSOAS, ETC.
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Exerccios Resolvidos
1. Num dia de FLA X FLU no Maracan, as torcidas do Flamengo e do Fluminense
lotaram o estdio com um total de 90.000 torcedores. Qual a razo entre o nmero de
flamenguistas e o nmero de tricolores, se 50.000 eram torcedores do Flamengo?
Soluo:
Sendo 50.000 flamenguista, ento 40.000 eram tricolores. Assim:
4
5
40000
50000
10000
10000
(ou seja, havia 5 flamenguistas para cada 4 torcedores do
Fluminense)
2. Numa empresa h 2500 trabalhadores, sendo que 1000 trabalham no turno da noite
e o restante no turno da manh. Qual a razo entre o nmero de trabalhadores do
turno da manh e do turno da noite?
Soluo:
Nmero de trabalhadores do turno da manh: 2.500 1.000 = 1.500. Assim:
2
3
1000
1500
500
500
(so 3 trabalhadores no turno da manh para cada 2 do turno da
noite).
Razes Especiais
Escala
A razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
realMedida
desenhodoMedidaEscala
Exemplo:
Em um mapa, a distncia entre duas cidades representada por um segmento de
7,2 cm. A distncia real entre essas cidades de 4.320 km. Vamos calcular a escala
deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4.320 km = 432.000.000 cm
Escala = 000.000.60
1
000.000.432
2,7
cm
cm
Velocidade mdia (Vm)
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A razo entre a distncia a ser percorrida e o tempo gasto.
gastoTempo
percorridaDistnciaVm
Exemplo:
Um carro percorre 2.640 km em 24h. Determine a velocidade mdia deste carro.
Vm = h
Km
24
640.2 110 km/h
Densidade demogrfica
A densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes de uma determinada
regio e a rea ocupada por essa regio. Ela til para se determinar a concentrao
de habitantes por quilmetro quadrado.
rea
habNaDemogrficDensidade
o
Exemplo:
O estado do Cear tem uma rea de 148.016 km2 e uma populao de 6.471.800
habitantes. D a densidade demogrfica do estado do Cear.
Densidade Demogrfica = 016.148
800.471.6 2/72,43 kmhab
Renda per Capita
A renda per capita de um pas simula quanto cada habitante receberia, se o total de
bens produzidos pelo pas, o Produto Interno Bruto (PIB), no perodo de um ano, fosse
distribudo igualmente pela populao desse pas.
Renda per capitahabN
PIBo
Exemplo:
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O PIB da Sua em 2001 foi de U$ 247.091.000.000,00. Determine a renda per capita
na sua no ano de 2001 se na ocasio ela contava com 7.200.000 de habitantes.
Renda per capita = 000.200.7
000.000.091.247 19,318.34 U$ / hab
PROPORO
A igualdade de razes denominada proporo. Assim, dados quatro nmeros
racionais a, b, c, d, no-nulos, se a razo do primeiro para o segundo igual razo
do terceiro para o quarto, esses nmeros formam uma proporo. Assim:
d
c
b
a (lemos: a est para b assim como c est para d).
Os termos a e d (primeiro e ltimo) so denominados extremos e o segundo e o
terceiro (b e c) so chamados meios.
Exemplo:
Dada a proporo: 45
18
5
2 , ou seja, 2 est para 5, assim como 18 est para 45.
Meios: 5, 18;
Extremos: 2, 45
Propriedade Fundamental das Propores
Dada a proporo 20
15
4
3 , podemos observar que:
Produto dos meios = 4 . 15 = 60
Produto dos extremos = 3 . 20 = 60
Como voc pode verificar para o exemplo acima o produto dos meios igual a 60, e
tambm o produto dos extremos, ou seja, os valores so iguais. Se voc fizer essa
mesma anlise para outras propores, ver que isto vlido para todas
Esta a chamada propriedade fundamental das propores: o produto dos meios
igual ao produto dos extremos.
Exerccios Resolvidos
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1. Em um nibus, para cada 3 homens, h 2 mulheres. Sabendo-se que so 18
homens nesse nibus, calcule o nmero de mulheres.
Soluo:
Podemos estabelecer a seguinte proporo: x
18
2
3 , assim, pela propriedade
fundamental: 36318.2.3 xx 12x .
Resp. No nibus h 12 mulheres e 18 homens.
2. Em um determinado instante, uma pessoa que tem 1,80 m de altura projeta uma
sombra de 1,20 m. Calcule a altura de um edifcio cuja sombra nesse instante de 24
m.
Soluo:
2,43.2,124.80,1.20,12420,1
80,1xx
x36x m.
3. Ferdinan descuidou das despesas gastando mais do que recebeu. Num determinado
ms ele gastou sete reais para cada cinco reais de seu salrio. Sabendo-se que sua
dvida nesse ms foi de R$ 360,00, portanto qual o salrio que ele recebe?
Soluo:
Salrio de Ferdinan: x
Gastos no ms: x + 360
Proporo: x
x 360
5
7
Assim: )360.(5.7 xx
180057 xx
180057 xx
18002 x
900x
Resp. O salrio de Ferdinam de R$ 900,00 e os gastos do ms foram de R$
1.260,00.
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4. A razo entre o comprimento e a largura de um salo de forma retangular de 6
para 4. Para contornar o teto desse salo, foram necessrios 100 metros de uma
moldura de gesso. Calcule a rea do carpete que cobre todo o piso desse salo.
Soluo:
Largura do salo: x y
Comprimento do salo: y
Permetro do salo: )2(10022 yx x
50 yx
Proporo:
2054
30565
10
50
4646 y
xyxyx
Resp. A rea do carpete ser: 20.30.yxA 2600 m .
1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Em muitos casos prticos, conforme voc vai observar a seguir, uma grandeza se
relaciona com outras, ou seja, a medida de uma depende da medida da outra. Sendo
assim, muito comum relacionarmos duas ou mais grandezas em vrias situaes de
nosso cotidiano.
Observe as situaes dadas a seguir:
Para pintar uma casa, Ado gastou 6 latas de tinta. Portanto, se ele quiser pintar
5 casas iguais a essa, ele gastar 30 latas de tinta.
Em uma corrida de carro, quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo
gasto para completar a corrida.
Grandezas Diretamente Proporcionais (DP)
Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando, aumentando (ou
diminuindo) uma de um certo nmero de vezes, o valor correspondente da outra
tambm aumenta (ou diminui) o mesmo nmero de vezes.
Exemplo: Uma empresa de construo oferece aos seus funcionrios todos os dias o
almoo. Sendo o nmero de funcionrios hoje de 100, o gasto dirio com as refeies
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Se duas grandezas so diretamente proporcionais, ento a razo de dois valores de
uma igual razo de dois valores correspondentes a eles na outra.
de R$ 200,00. Considerando que foi necessrio a contratao de mais 200 pessoas,
calcule o valor dirio gasto com as refeies se considerarmos que cada refeio tem o
mesmo custo, independente da quantidade que cada um come.
Soluo: Note que mais 200 pessoas significa que a empresa passou de 100 para
300 funcionrios, ou seja triplicou. Portanto, se cada refeio tem o mesmo custo
para a empresa, o valor gasto tambm triplicar, ou seja, passar a ser de R$ 600,00.
Resp.: 3
1
600
200
300
100 .
Resumindo: se duas variveis x e y representam medidas de grandezas, relacionadas
entre si e k uma constante no-nula (0), temos que x diretamente proporcional a y
se, e somente se,
Grandezas Inversamente Proporcionais (IP)
Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando, aumentando uma de
uma certa quantidade de vezes, a outra diminui da mesma quantidade de vezes.
Exemplo: Uma empresa comprou alimento suficiente para oferecer aos seus 100
funcionrios refeies por 30 dias. Sendo necessrio dobrar o nmero de funcionrios,
devido ao aumento da demanda, calcule para quantos dias dever ser suficiente a
quantidade de alimentos comprada.
Soluo: Note que dobrando o nmero de funcionrios a empresa vai comear a
contar com 200 pessoas. Portanto, se pra 100 funcionrios dava para 30 dias, para
200 ser suficiente para 15 dias, ou seja, dobrando o nmero de funcionrios a
quantidade de dias cai para a metade.
Resp.: 3000200.15100.30
ykxkyx .:
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Se duas grandezas so inversamente proporcionais, ento a razo de dois valores de uma igual ao inverso da razo de dois valores correspondentes a eles na outra.
Ateno!!
Tanto para as
grandezas DP
quanto para as
grandezas IP o k
denominado
fator de
proporcionalidade.
Resumindo: se duas variveis x e y representam medidas de grandezas,
relacionadas entre si e k uma constante no-nula (0), temos que x
inversamente proporcional a y se, e somente se,
Exerccios Resolvidos
1. Classifique as grandezas abaixo em diretamente proporcional (DP) ou inversamente
proporcional (IP), em cada item.
a) Nmero de operrios de mesma capacidade de trabalho e o nmero de horas para
executar o servio.
b) Velocidade desenvolvida por um veiculo e tempo gasto para realizar uma viagem.
c) Nmero de pagantes em um show e a quantia de dinheiro arrecadada.
d) Nmero de soldados de um quartel e tempo que certa quantia de arroz vai durar
para aliment-los.
e) Nmero de costureiras e nmero de camisas produzidas por elas, num determinado
tempo.
f) Nmero de costureiras e tempo para produzirem um determinado nmero de
camisas.
Soluo: Para voc resolver situaes desse tipo, necessrio pensar qual a
relao que existe entre as grandezas, ou seja, se aumentando uma a outra aumenta
ou diminui proporcionalmente.
a) IP (quanto mais operrios de mesma capacidade menos tempo pra executar o servio);
b) IP (quanto mais veloz, menos tempo se gasta);
c) DP (quanto mais pagantes, mas arrecada-se);
d) IP (quanto mais soldados menos tempo o arroz dura);
ykxkyx :.
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e) DP (quanto mais costureiras, mais camisas produzidas num determinado intervalo de tempo);
f) IP (quanto mais costureiras, menos tempo se gasta pra produzir certa quantia de camisas)
1.3 NMEROS PROPORCIONAIS
Quando uma sucesso de nmeros proporcional a outra sucesso de nmeros,
podemos estabelecer uma relao de proporcionalidade entre elas.
SUCESSES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: quando as razes entre os
elementos correspondentes das duas so iguais.
Exemplo: As sucesses de nmeros 15,35,45 e 9,21,27 so diretamente
proporcionais, pois 3
5
9
15
21
35
27
45 . A razo
3
5 a forma simplificada das razes
obtidas e denominada constante de proporcionalidade (K3
5 ).
SUCESSES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: quando produtos de seus
valores correspondentes so iguais.
Exemplo: As sucesses de nmeros 4,3,2 e 6,8,12 so inversamente proporcionais, pois 246.48.312.2 . A constante de proporcionalidade K 24 .
Exerccios Resolvidos
1. Sendo as sucesses {-2, a, b} e {c, 5, 10} so inversamente proporcionais, e o fator
de proporcionalidade 120, calcule o valor de a + b + c.
Soluo:
Sendo as grandezas IP: 12010.5..2 bac , portanto:
24120.5 aa
1212010 bb
60120.2 cc
24601224 cba
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Resp. 24 cba .
2. Se {a, 24, b} uma sucesso diretamente proporcional {5, c, -10}, ento qual o
valor de a b + c, se o fator de proporcionalidade 3.
Soluo: Sendo as grandezas DP: 310
24
5
b
c
a, portanto:
1535
aa
8324
cc
30310
bb
Assim: 538301583015 cba
Resp. 53 cba .
1.4 REGRA DE TRS
A regra de trs uma tcnica de resoluo de problemas que
envolvam grandezas proporcionais. uma forma de se descobrir
valores de incgnitas a partir de outros valores numricos.
Existem dois tipos de regra de trs: simples e composta.
Regra de Trs Simples
Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos trs. Assim, determinamos o valor desconhecido
a partir dos trs j conhecidos.
Passos utilizados numa regra de trs simples:
1) Montar uma tabela, agrupando as grandezas de mesma espcie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes que sejam
correspondentes.
2) Identificar se as grandezas so DP ou IP.
Curiosidades!!
No sculo XVIII,
Leonardo de Pisa
popularizou o uso da
regra de trs, atravs de
seu livro Liber Abaci,
com o nome de Regra
dos Trs Nmeros
conhecidos.
Antes disso, os gregos e
os romanos j
conheciam as
propores, mas no
aplicasse na resoluo
de problemas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel18
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3) Montar a proporo e resolver a equao.
Exemplos:
1) Com uma rea de absoro de raios solares de 2,2m2, uma lancha com motor
movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-
se essa rea para 2,8m2, qual ser a energia produzida?
Soluo:
1) Montando a tabela:
rea (m2) Energia (Wh)
2,0 400
2,8 x
2) Identificando o tipo de relao de proporcionalidade:
Observe que: ao aumentarmos a rea de absoro, a energia solar captada
tambm aumenta. Portanto, podemos afirmar que as grandezas so DP.
Assim sendo, colocamos setas no mesmo sentido (para baixo) na 1 e na 2
coluna, identificando que as duas grandezas so DP.
rea (m2) Energia (Wh)
2,0 400
2,8 x
3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos:
x
400
8.2
0,2
400.8,22 x
11202 x
560x
Resp. A energia produzida ser de 560 watts por hora.
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2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 300Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 450km/h?
Soluo:
1) Montando a tabela:
Velocidade
(Km/h)
Tempo (h)
300 3
450 x
2) Identificando o tipo de relao de proporcionalidade:
Observe que: ao aumentar a velocidade, o tempo gasto no percurso diminui.
Portanto, podemos afirmar que as grandezas so IP. Assim sendo, colocamos
setas em sentidos contrrios na 1 e na 2 coluna, identificando que as duas
grandezas so IP.
Velocidade
(km/h)
Tempo
(h)
300 3
450 x
3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos:
3450
300 x
Invertemos os termos
300.3.450 x
900450 x
2450
900x
Resp. O tempo desse percurso seria de 2h
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Exerccios Complementares (Regra de Trs Simples)
1) Arthur trabalha como digitador. Ele consegue dar 46 toques em 20 segundos.
Quantos toques ela pode dar em 12 minutos? Resposta: 1656 toques.
2) Digitando 100 toques por minuto, Warley fez um trabalho em 3h. Se digitasse 120
toques por minuto, quanto tempo, em minutos, gastaria para digitar esse mesmo
trabalho? Resposta: 150 min.
3) Para encher uma piscina so abertas 12 torneiras iguais, durante 5 horas. Se
fossem abertas 15 torneiras iguais s primeiras, em quanto tempo elas encheriam essa
piscina? Resposta: 4 horas.
4) Em 100 minutos, as torneiras de uma piscina lanam 4.000 litros dgua. Em 5 horas
quantos litros de gua essas torneiras lanaro nessa piscina? Resposta: 12.000 litros
dgua.
Regra de Trs Composta
A regra de trs composta empregada na resoluo de problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Os passos para a resoluo de regra de trs composta so semelhantes ao da regra
de trs simples.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?
Soluo:
1) Montar a tabela: devemos colocar em cada coluna as grandezas de mesma
espcie e, em cada linha, as grandezas correspondentes de espcies diferentes.
Horas Caminhes Volume
8 20 160
5 x 125
2) Identificar os tipos de relao: vamos colocar uma seta para baixo na coluna
que contm o x (2 coluna).
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A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe
que:
Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de
caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1
coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes.
Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna).
3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos: para calcular devemos
igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo
com o sentido das setas.
Resp. Sero necessrios 25 caminhes.
2) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando
3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para
completar esse muro?
Soluo:
1) Montar a tabela: devemos colocar em cada coluna as grandezas de mesma
espcie e, em cada linha, as grandezas correspondentes de espcies diferentes.
Pedreiros Altura (m) Dias
2 2 9
3 4 x
22
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2) Identificar os tipos de relao: a seguir, devemos comparar cada grandeza
com aquela onde est o x. Observe que:
Aumentando o nmero de pedreiros, diminui o nmero de dias: IP
Aumentando a altura do muro, aumenta o nmero de dias: DP.
3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos: para calcular devemos
igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo
com o sentido das setas.
Resp. Para completar o muro sero necessrios 12 dias.
Exerccios Complementares (Regra de Trs Composta)
1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras
para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se
for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de
carvo? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro
de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por
dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar
essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h? Resposta: 10 horas por
dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm
de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de
largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
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1.5 PORCENTAGEM
Em situaes diversas de nosso cotidiano nos deparamos com o
clculo de porcentagens (smbolo %). Ela indispensvel no
momento de estimar o aumento ou a reduo de preos,
estender os descontos que so feitos em mercadorias, fazer
comparao entre quantidades, etc.
Para calcular porcentagens, podemos proceder de mltiplas
formas. A seguir, alguns desses modos so apresentados:
1) FRAO DE QUANTIDADE: PARA CALCULAR UMA FRAO DE UM TODO,
MULTIPLICAMOS A FRAO PELO TODO.
EX.
A) 28% DE 350 PESSOAS = 7.14100
350.28350.
100
28 98 PESSOAS .
b) 12% de 50 laranjas = 2
12
100
50.1250.
100
12 6 laranjas .
2) FORMA DECIMAL: PARA CALCULAR A PORCENTAGEM PELA FORMA
DECIMAL, MULTIPLICAMOS A FRAO ESCRITA NA FORMA DECIMAL PELA
QUANTIDADE TOTAL.
EX.
A) 15% DE 3000 VOTOS = 3000.15,0 450 VOTOS .
b) 22% de 150 alunas = 150.22,0 33 alunas .
3) REGRA DE TRS: UM PROCESSO MAIS COMPLETO, POSSIBILITANDO A
RESOLUO DE PROBLEMAS OS MAIS DIVERSOS.
EX. A) 35% DE R$ 450,00
R$ 450,00 TODO O DINHEIRO, ENTO REPRESENTA 100% (TODO OU
TOTAL).
Curiosidades!!
A expresso por cento
apareceu no sculo XV,
nas principais obras de
Aritmtica de autores
italianos.
O smbolo % passou a ser
usado para abreviar a
palavra cento (cto) que
era utilizada nas
operaes comerciais.
24
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Dinheiro (R$) %
450 100
x 35
Obs. Dinheiro e porcentagem so grandezas diretamente proporcionais, pois se a
porcentagem diminuir, o dinheiro tambm diminuir.
Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
50,157100
15750
15750100
450.35100
x
x
x
Resp. 35% de R$ 450,00 R$ 157,50.
B) SE 25% DE SEU SALRIO CORRESPONDE AO VALOR DO ALUGUEL: R$
450,00; QUAL O VALOR DO SEU SALRIO?
R$ 450,00 CORRESPONDE A 25%.
Dinheiro (R$) %
450 25
x 100
Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
00,180025
45000
4500025
450.10025
x
x
x
Resp. O salrio de R$ 1800,00.
Exerccios Resolvidos
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1. Um produto era vendido por R$ 1440,00 e sofreu um desconto de 32%. Qual o
novo preo?
SOLUO: R$ 1440,00 CORRESPONDE A 100%.
Dinheiro (R$) %
1440 100
x 32 (desconto)
Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
20,97980,46000,1440
80,460100
46080
46080100
1440.32100
x
x
x
Resp. O novo preo ser R$ 979,20.
OUTRO RACIOCNIO PARA O MESMO PROBLEMA:
SE O DESCONTO DE 32%, ENTO O NOVO PREO DO PRODUTO 100 32 = 68% DO VALOR ORIGINAL.
Dinheiro (R$) %
1440 100
x 68
Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
97920100
1440.68100
x
x
100
97920x 20,979
2. Pietro recebeu um desconto de 16% numa compra, economizando assim R$ 52,00.
Qual era o valor da compra antes do desconto? Qual o valor pago?
Soluo
ESTAMOS PROCURANDO O TOTAL DA COMPRA (QUE REPRESENTA 100%) PARTINDO DO VALOR QUE CONHECEMOS: 16% = 52 REAIS.
Dinheiro (R$) %
x 100
52 16
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Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
00,32516
5200
520016
100.5216
x
x
x
Resp. O valor dessa compra era de R$ 325,00; o valor pago foi de R$ 273,00.
3. Ao comprar um notebook que custava R$ 1290,00, Richard obteve um desconto de
R$ 154,80, porque pagou vista, em dinheiro. Qual foi a taxa de porcentagem desse
desconto?
Soluo
ESTAMOS PROCURANDO A TAXA DE DESCONTO (X%) QUE REPRESENTAM R$ 154,80 EM R$ 1290,00.
Dinheiro (R$) %
1290 100
154,80 x
Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
%121290
15480
154801290
100.80,1541290
x
x
x
Resp. O desconto foi de 12%.
4. Mizael pagou um conta atrasada, tendo um acrscimo de 5,8% no seu valor.
Sabendo-se que ele pagou R$ 740,60 por essa conta, qual era o seu valor at o
vencimento?
Soluo
ESTAMOS PROCURANDO O VALOR ANTES DO ACRSCIMO QUE REPRESENTAVA 100% DO VALOR DA CONTA.
Dinheiro (R$) %
740,60 105,8
x 100
27
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Assim, multiplicando cruzado, obtemos:
7008,105
74060
740608,105
100.60,740.8,105
x
x
x
Resp. O valor da conta era R$ 700,00.
5) Em uma reunio no trabalho, 65% dos presentes eram solteiros. Se o nmero de
no solteiros era de 21 pessoas, quantos estavam nessa reunio? Resposta: 60
pessoas.
6) Os gastos com material de escritrio numa empresa sempre so de R$ 1300,00 por
ms. Se num determinado ms eles receberam um desconto de 14% neste valor, de
quanto foi o gasto? Resposta: R$ 1118,00.
7) Uma empresa de construo fechou uma nova obra e contratou 450 pessoas. Se ela
j tinha no seu quadro 750 funcionrios, qual foi a taxa de aumento no nmero de
funcionrios? Resposta: 60%.
8) O frete para entrega de uma determinada carga sofreu um aumento de 11,2%
devido a reajuste no preo dos combustveis. De quanto era o valor do frete se hoje se
paga R$ 556,00? Resposta: R$ 500,00.
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RESUMO
Nesta aula, voc viu que:
Razo o quociente entre duas grandezas de mesma espcie ou de espcies
diferentes;
Proporo a igualdade de duas ou mais razes em que o produto dos meios
sempre igual ao produto dos extremos;
Duas grandezas proporcionais podem ser direta ou inversamente proporcionais;
Duas sequncias numricas so diretamente proporcionais quando razo
entre os elementos correspondentes das duas so iguais;
Duas sequncias numricas so inversamente proporcionais quando os
produtos de seus valores correspondentes so iguais;
Regra de Trs simples um mtodo de calcular um valor desconhecido tendo
outros trs conhecidos que se relacionam como grandezas DP ou IP;
Regra de Trs composta um mtodo de calcular um valor desconhecido tendo
outros cinco ou mais conhecidos que se relacionam como grandezas DP ou IP;
A porcentagem uma parte do todo que pode ser facilmente resolvida pelo uso
da regra de trs.
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
LIMA, M.C.P; TINANO, M.T.R. Matemtica: 7 ano/ 6 srie ensino fundamental: Livro
2. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2007.
LIMA, M.C.P; TINANO, M.T.R. Matemtica: 6S/7A ensino fundamental: Livro 2. Belo
Horizonte: Editora Educacional, 2008.
Livro Revisional. Fascculos de reviso: 3 srie ensino mdio, Belo Horizonte: Editora
Educacional, 2008.
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CADERNO DE EXERCCIOS
1) Para descarregar um caminho em 10 horas, uma transportadora precisaria de 9 homens. Se o tempo disponvel de 60% do tempo previsto, qual o total de homens, de mesma capacidade dos primeiros, necessrios para executar esse servio?
2) Uma engrenagem de 30 dentes movimenta uma outra de 45 dentes. Se a segunda engrenagem executar 200 voltas, quantas ter executado a primeira?
3) Um total de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6
horas por dia. Se o grupo for dobrado e os mesmos passarem a trabalhar 8 horas
por dia, a estrada ser concluda em
a) 48 dias
b) 52 dias
c) 24 dias
d) 36 dias
e) 20 dias
4) Num dia muito quente, um trilho de trem teve seu comprimento aumentado em
0,4% em relao ao seu comprimento da madrugada e ficou com 5020 cm.
Durante a madrugada a medida do trilho era de: (obs. Lembre-se que 1,00 m
equivale a 100 cm)
a) 50,05 m
b) 50,02 m
c) 50,00 m
d) 52,30 m
e) 50,10 m
5) Uma empresa contratou um advogado para defend-la numa causa avaliada em
R$ 300.000,00. Se o advogado consegue receber 90% do valor dessa questo e
cobra, a titulo de honorrios, 15% da quantia recebida, qual o honorrio do
advogado e qual a importncia que resta para a empresa, respectivamente?
a) R$ 45.000,00 advogado; 255.000,00 empresa;
b) R$ 40.500,00 advogado; 229.500,00 empresa;
c) R$ 45.000,00 advogado; 225.000,00 empresa;
d) R$ 40.000,00 advogado; 230.000,00 empresa;
e) R$ 40.500,00 advogado; 259.500,00 empresa;
6) A carga mxima de um elevador esta: 7 adultos de 90 kg cada um. Sendo a mesma carga mxima, voc calcula que caberiam quantas pessoas de 63 kg em mdia?
a) 12 pessoas d) 11 pessoas
b) 10 pessoas
c) 15 pessoas
e) 9 pessoas
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7) Para transportar um carregamento de areia, foram necessrias 30 viagens de
caminhes com capacidade de 5m3 cada um. Se o transporte fosse feito em
caminhes de 6m3, quantas viagens seriam necessrias?
a) 25 viagens d) 36 viagens
b) 12 viagens
c) 14 viagens
e) 15 viagens
8) As sucesses de nmeros 9,6,x e 8,,3 y so inversamente proporcionais. Ento, os valores de x e y so, respectivamente,
a) 2 e 4 b) 12 e 6
b) 3 e 6
c) 4 e 8
e) 24 e 12
Resposta:
1 Se o tempo disponvel de 60% de 10h, ento eles dispem de 6h. Portanto, montas-se uma regra de trs onde as grandezas so inversamente proporcionais, pois diminuindo o tempo disponvel deve-se aumentar o nmero de homens pra descarregar a mesma carga. Assim, 6x=10.9, ou seja, so necessrios 15 homens para fazer o mesmo servio em 6 horas. 2 Se uma engrenagem produz o movimento da outra, elas movimentam-se em proporo inversa. Portanto, se a engrenagem de 45 dentes deu 200 voltas, a de 30 dentes dar 300 voltas, ou seja, 30.x=45.200. 3- d 3 - c 5 b 6 b 7 a 8 e
32
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AULA 2 APRESENTAO DO MDULO
A histria humana se confunde com a histria da utilizao dos nmeros. Desde
tempos remotos o homem j percebeu a necessidade de contar as coisas. Inicialmente
foram utilizados os dedos das mos, depois objetos mais comuns como pedras, etc.
Com o passar dos tempos foram surgindo novos desafios e em resposta aos mesmos o
desenvolvimento da matemtica com a atribuio de smbolos aos nmeros,
culminando na matemtica como hoje a at conhecemos.
Assim, pode-se dizer que o mundo comandado pelos nmeros. Eles so usados na
identificao de carros (placa, chassi, renavan, etc.), para conferir identidade civil ao
homem (RG, CPF, Ttulo de Eleitor, CREA, etc.), para identificar endereos (CEP, etc.),
para a comunicao via telefone, via internet, para fechar negcios, entre outras
infinitas aplicaes.
comum agruparmos os nmeros em grupos denominados Conjuntos Numricos.
Nesta 2 aula voc ir entrar em contato com a teoria dos conjuntos entrando no
universo dos nmeros, recordando assim a estrutura dos conjuntos numricos.
OBJETIVOS DO MDULO
Esperamos que, aps o estudo do contedo deste mdulo, voc seja capaz de:
Entender o conceito de Conjunto;
Realizar operaes bsicas com conjuntos;
Relembrar propriedades bsicas dos conjuntos numricos;
Trabalhar com intervalo de nmeros reais e realizar operaes entre intervalos.
CONJUNTOS
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INTRODUO
A noo de conjunto a mais simples e importante da Matemtica, pois a partir dela
podem ser expressos os demais conceitos.
Um Conjunto toda e qualquer reunio de elementos que apresentam caractersticas
comuns.
Este termo aplicado no apenas ao agrupamento de nmeros. So
exemplos de conjuntos: o conjunto de todos os pases do Mercosul, sendo o
Brasil um de seus elementos; o conjunto de todos os times de futebol do
Brasil, sendo o Flamengo um de seus elementos; ou o conjunto de todas as
crianas abandonadas no Brasil.
A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Georg Cantor que a transformou
num vasto campo de investigao matemtica.
2.1 TEORIA DOS CONJUNTOS
Para designar um conjunto usamos as letras maisculas A, B, C, D, I, etc. So vrias
as formas de representar um conjunto, sendo as mais usuais:
a) Escrever todos os elementos, um a um, separados por vrgula.
Ex. O Conjunto B de todos os estados da regio sudeste do Brasil:
PauloSoJaneirodeRioGeraisMinasSantoEspritoB ,,,
b) Representar entre chaves um elemento genrico do conjunto atravs de suas
propriedades.
Ex. O Conjunto C de todas as vogais do alfabeto portugus:
portugusalfabetodovogalyyC |
c) Representar entre por meio do diagrama de Venn (Fig. 2.1)
Na representao por diagrama, traamos uma linha fechada em torno dos seus
elementos associados a pontos.
Georg Cantor
Nascido no dia 3
de maro de 1845
em St. Petersburg,
Rssia, morreu no
dia 6 de janeiro de
1918, em Halle,
Alemanha, tendo
sido o ano de 1872
o da publicao de
seus principais
estudos.
34
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Ex. O Conjunto D de todas as letras da palavra paraleleppedos:
ad
ei
ro
lp
Fig. 2.1 Diagrama de Venn - conjunto das letras da palavra paraleleppedo
Relao entre Elemento e Conjunto
A relao entre um elemento e um conjunto denominada relao de pertinncia,
que simbolizada por (pertence) e (no pertence). Dessa forma, para dizermos
que o elemento x parte do conjunto A e que o elemento y no parte do mesmo
conjunto A, devemos escrever:
Ax (x pertence a A) e Ay (y no pertence a A)
Tipos de Conjuntos
Podemos classificar um conjunto de acordo com o nmero de elementos.
Conjunto Vazio
Um tipo particular de conjunto que no possui nenhum elemento. Os smbolos que
designam um conjunto vazio so: ou .
Ex. I = x| x um estado da regio sudeste do Brasil cuja primeira letra p , ento:
I .
Conjunto Unitrio
Todo conjunto que possui apenas um elemento denominado conjunto unitrio.
Ex. A = y| y um estado da regio sudeste do Brasil cuja primeira letra r , ento:
A Rio .
Conjunto Infinito
Quando no se pode determinar o nmero total de elementos de um conjunto ele
recebe o nome de conjunto infinito.
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Ex. E = p| p um nmero primo , ento:
,...31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2E
Como se sabe existem infinitos nmeros primos, ento o conjunto infinito.
Outros exemplos de conjuntos infinitos so os conjuntos numricos: N (nmeros
naturais), Z (Nmeros Inteiros), etc.
Conjunto finito
Quando podemos contar todos os elementos de um conjunto um a um, dizemos que
esse conjunto finito.
Ex. A = {a, e, i, o, u}
B = {x|x mineiro e nascido na cidade de Muria}
Relao entre Conjuntos
A relao entre dois ou mais conjuntos chamada de relao de incluso e os
smbolos usados so: (est contido), (no est contido), (contm), (no
contm)
Assim, dados dois conjuntos A e B, se todo elemento de A tambm elemento de B,
dizemos que:
BA (leia-se: A est contido em B)
AB (leia-se: B contm A)
A subconjunto de B
A parte de B
Observe o diagrama (Fig. 2.2) do caso: BA
A
B
Fig. 2.2 Diagrama de Venn - BA
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Podemos afirmar que:
jihgfedcbaedcba ,,,,,,,,,,,,,
N Z Q R (Conjuntos Numricos);
9,8,7,6,5,4,3,23,2,1 , pois existe um elemento do primeiro conjunto que no
pertence ao segundo conjunto.
Observao:
importante saber distinguir as relaes de pertinncia () e de incluso ( ). A figura
2.3 apresenta o esquema das relaes elemento-conjunto e conjunto-conjunto:
Fig. 2.3 Relaes de Pertinncia e de Incluso
Veja os exemplos:
7,6,5,4,3,23 , porque 3 um dos elementos do conjunto 7,6,5,4,3,2 ;
8,7,6,5,4,3,22 , pois 2 um subconjunto do conjunto 8,7,6,5,4,3,2 .
Igualdade
Um conjunto A ser igual a um conjunto B, se ambos possurem os mesmos
elementos, isto , se cada elemento que pertence a A pertencer tambm a B e vice-
versa.
Ex. Seja AMORpalavradaletraspelasformadoconjuntooxxA e
ROMApalavradaletraspelasformadoconjuntooyyB .
Veja que: BA , pois todo elemento que pertence a A tambm elemento de B , e
todo elemento de B elemento de A .
elemento conjunto
e
subconjunto conjunto
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Subconjuntos
Considere dois conjuntos C e D. O conjunto C denominado subconjunto do conjunto
D se todos os elementos de C estiverem em D. No entanto, se algum dos elementos de
C no pertencer ao conjunto D, ento C no subconjunto de D.
Ex. Sejam os conjuntos: 8,7,6,5,4,3,2,1A , 8,6,4,2B e 9,7,5,3,1C . Ento:
BA (A contm B), pois B um subconjunto de A, uma vez que todo elemento de
B tambm elemento de A.
C A (C no est contido em A), ou seja, C no subconjunto de A, pois o
elemento 9 no pertence ao conjunto A.
Determinao dos Subconjuntos de um Conjunto
Se um conjunto tem n elementos, h uma relao entre esse nmero de elementos e o
total de subconjuntos desse conjunto. Ou seja, se A tem n elementos, o nmero de
subconjuntos ser de: n2
Ex. Dado o conjunto 6,4,2A , temos:
1 subconjunto com 0 elementos:
3 subconjuntos com 1 elemento: 5,4,2
3 subconjuntos com 2 elementos: 6,4,6,2,4,2
1 subconjunto com 3 elementos: 6,4,2
O conjunto formado por todos os subconjuntos de A denominado conjunto das partes
de A, P(A). Ento, para o exemplo anterior:
6,4,2,6,4,6,2,4,2,6,4,2,AP .
No total so 8 subconjuntos. Ou seja, se A tem 3 elementos P(A) ter 23 = 8 elementos.
PROPRIEDADE
O conjunto vazio
subconjunto de
qualquer conjunto.
AA ,
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto38
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A B
1.2 OPERAES COM CONJUNTOS
Unio
A unio entre dois conjuntos A e B consiste na obteno de outro conjunto C formado
por todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente,
temos: BAC , l-se: C igual a A unio B. A definio dada acima pode ser escrita
simbolicamente por:
BxouAxxBAC .
Tambm podemos representar a unio atravs de diagrama (Fig. 2.4).
Fig. 2.4 Unio dos conjuntos A e B
No caso de existirem trs ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte
generalizao:
CBACBACBA
Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A , 9,8,7,3,2,1B e 11,9,7,5C , obtemos:
a) 9,8,7,6,4,3,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA
b) 11,9,8,7,6,5,4,3,2,111,9,7,59,8,7,6,4,3,2,1 CBACBA
Obs.: No necessrio que se repitam os elementos comuns aos conjuntos. Assim,
no conjunto unio eles devem ser escritos uma s vez.
Interseo
Chamamos de interseco de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto C
constitudo dos elementos que pertencem aos dois conjuntos (tanto a A como a B, ao
mesmo tempo).. A esse conjunto indicamos: BAC , l-se: C igual interseo de
A e B. Esquematicamente temos:
39
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B A
BxeAxxBAC .
Tambm podemos representar a interseo atravs de diagrama (Fig. 2.5).
Fig. 2.5 Interseo dos conjuntos A e B
No caso de existirem trs ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte
generalizao:
CBACBACBA
Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A , 9,8,7,3,2,1B , 11,9,7,5C e 10,4,3,2D ,
obtemos:
a) 8,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA
b) 711,9,7,59,8,7,3,2,1 CB
c) 10,4,3,211,9,7,5DC ou (logo, C e D so
disjuntos)
d) 210,4,3,28,2,1 DBADBA
Diferena
Denominamos diferena (l-se: menos) entre os conjuntos A e B, o conjunto C formado
pelos elementos pertencentes a A e no a B, ou seja:
BxeAxxBAC
Ateno!
Se dois conjuntos A e B
no tm elemento
comum, ou seja,
BA , dizemos que
os dois conjuntos so
disjuntos.
40
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Representando a diferena atravs de diagrama obtemos (Fig. 2.6).
A
B
Fig. 2.6 Diferena entre os conjuntos A e B
Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A e 9,8,7,3,2,1B , temos que:
a) 6,49,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA
b) 9,7,38,6,4,2,19,8,7,3,2,1 AB
Conjunto Universo
No estudo de conjuntos, faz-se necessrio que consideremos um conjunto mais amplo
que os demais. A esse conjunto (que contm todos os outros como subconjuntos)
denomina-se conjunto Universo, representado pela letra U (Fig. 2.7).
U
B
A
Fig. 2.7 A e B so subconjuntos de U
Exemplos de Conjunto U:
para os conjuntos de nmeros inteiros, Z o conjunto universo;
para os conjuntos de letras, o alfabeto o conjunto universo;
Conjunto Complementar
Ateno!
A idia da diferena
de conjuntos
empregada no
cotidiano com certa
freqncia. Observe:
- Todos os alunos
foram aprovados em
Ingls?
Uma resposta
comum : todos
menos fulano e
beltrano.
Assim, do conjunto
A (todos os alunos)
tirou-se o conjunto B
(fulano e beltrano.
Curiosidade!
A noo de conjunto Universo relativa. Ele deve ser definido caso a caso, de acordo com cada situao-problema. Na maioria dos problemas o conjunto R (nmeros reais) o conjunto universo.
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Complemento aquilo que complementa, completa. Deste modo, o complemento de
um conjunto A formado pelos elementos do conjunto universo U, que no pertencem
a A. Ento, o conjunto complementar de A igual a U A.
Tambm comum o uso das notaes Ac, CA
U, A . Portanto,
AxeUxxCAU
Ex.
O conjunto das consoantes em relao ao conjunto das letras o conjunto das
vogais;
O conjunto complementar do conjunto A = {janeiro, fevereiro, abril, setembro,
outubro, dezembro} em relao ao conjunto dos meses do ano o conjunto B =
{maro, maio, junho, julho, agosto, novembro};
Seja 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A , 9,7,5,3,1B e 10,6,2C , temos que:
a) 10,8,6,4,29,7,5,3,110,9,8,7,6,5,4,3,2,1 BABCA
b) 9,8,7,5,4,3,110,6,210,9,8,7,6,5,4,3,2,1 CACCA
Nmero de Elementos de um Conjunto
Um conjunto A tem o nmero de elementos representado pelo smbolo n(A).
Existe uma relao entre o nmero de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B,
BA e BA , que pode ser definida como:
BAnBnAnBAn )(
Exemplos:
a) Sejam os conjuntos: 8,6,4,2,1A e 9,8,7,3,2,1B , ento:
89,8,7,6,4,3,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BAnBA
38,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BAnBA
6)(5)( BneAn
Logo podemos comprovar que:
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883658)( BAnBnAnBAn
b) Foram entrevistadas cinqenta pessoas sobre suas preferncias em relao a duas marcas A e B de aparelhos de som. O resultado da pesquisa precisamente:
21 pessoas responderam que preferem a marca A.
34 pessoas responderam que preferem a marca B
5 pessoas responderam que no preferem nenhuma das duas marcas
De acordo com esses dados quantos preferem somente a marca B?
Resposta:
Vamos considerar, no universo das pessoas pesquisadas, o conjunto A dos que preferem a marca A e o conjunto B dos que preferem a marca B. Temos: U=50
A B
x y z
t
x: nmero de pessoas que s preferem a marca A (A - B) y: nmero de pessoas que preferem as duas marcas ( BA ) z: nmero de pessoas que s preferem a marca B (B - A)
t: nmero de pessoas que no preferem nenhuma das duas marcas (U - AUB ) no caso t = 5.
Assim:
Se o total de entrevistado de 50 pessoas: 50 tzyx (I)
21 preferem a marca A: n(A) yxyx 2121 (II)
34 preferem a marca B: n(B) yzzy 3434 (III)
Assim, substituindo os valores de x e z em funo de y e o valor de t na equao (I):
505)34()21( yyy
5342150 yyy
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10 y
10y
Substituindo o valor de y em (II) e (III) obtemos:
11x
24z
O nmero de pessoas que preferem apenas a marca B (B - A) o valor de z, ou seja,
de 24 pessoas.
Verificando, observe que:
BAnBnAnBAn )(
10342145
Sugesto: Para suplementar sua formao, pesquise na
bibliografia indicada outros exemplos de problemas que so
resolvidos pela teoria dos conjuntos, em particular os que
envolvam a presena de trs ou mais conjuntos.
1.3 CONJUNTOS NUMRICOS
Os dois principais objetos com que se ocupa a matemtica so os nmeros e as figuras
geomtricas. O objetivo deste tpico recordar e aprofundar o que voc estudou
sobre nmeros no ensino fundamental e no ensino mdio.
Conjunto dos Nmeros Naturais (N)
So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero.
representado smbolo N.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}
Os nmeros naturais 1, 2, 3, etc. surgiram praticamente junto com o homem pela
necessidade deste contar objetos que ele encontrava na natureza, da o nome natural.
J o zero um smbolo muito recente, remonta ao sculo IX e atribuda aos hindus.
Dada a sua importncia ele foi considerado tambm um nmero natural.
Reflita:
Deus criou os
nmeros
naturais; o resto
inveno do
homem
(Krnecker)
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Um subconjunto importante de N o conjunto N*, ou seja, o conjunto dos nmeros
naturais no-nulos:
N * = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ou N* = N - {0}
Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)
A necessidade de representar quantidades que faltam para chegar a zero levou
criao dos nmeros negativos: -1, -2, -3, ... Hoje em dia falamos em temperaturas
negativas, saldos negativos etc.
O conjunto dos nmeros inteiros, representado pelo smbolo Z, ento formado por
todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais (N) mais os seus
respectivos opostos ou simtricos (negativos).
So representados pela letra Z:
Z = {,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,}
Como podemos perceber, todo nmero natural tambm inteiro, ou seja, o conjunto Z
contm o conjunto N: Z N (Fig. 2.8).
Z U=R
N
Fig. 2.8 Conjunto dos Inteiros
Podemos representar o conjunto Z por pontos pertencentes a uma reta orientada (eixo) (Fig. 2.9).
Z
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Fig. 2.9 Nmeros Inteiros na reta
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles so:
Inteiros no-nulos (Z*): todos os nmeros inteiros diferentes de zero.
Curiosidade: A
letra Z inicial da
palavra Zahl, que
significa nmero
em alemo.
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Z* = {...,-3,-2,-1, 1, 2, 3,} ou Z* = Z - {0}
Inteiros no negativos (Z+): todos os nmeros inteiros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,}
Inteiros no positivos (Z-): todos os nmeros inteiros que no so positivos.
Z- = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros positivos Z * : somente os nmeros positivos, excluindo-se os negativos e o
zero. Coincide com o subconjunto dos naturais N*.
Z * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}
Inteiros negativos Z * : somente os nmeros negativos, excluindo-se o zero.
Z *= {, -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)
A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser expressas por
nmeros inteiros, fez surgir a criao dos nmeros fracionrios:
1000
743,
5
1,
3
1 etc.
Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros
decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos
(que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como
12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas.
Os racionais, simbolizados pela letra Q, so aqueles que podem ser expressos na
forma:
Q ={ *, ZbeZab
axx }
Lembre-se: no existe diviso por zero, por isso b no pode ser zero.
Exemplos de nmeros racionais:
Curiosidade: As
primeiras fraes
foram
simbolizadas
pelos egpcios por
volta de 1800 a.C.
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Inteiros (todo nmero inteiro pode ser representado por uma razo):
-1 = 5
5
1
1
5
10
4
8
1
22
Decimais exatos, finitos:
10
11,0
100
23535,2
Dzimas Peridicas Simples (decimais infinitos peridicos):
9
11,0...11111,0
99
3232,0...3232,0
9
21
9
39.2
9
323,2...33,2
Dzima Peridica Composta(decimais infinitos peridicos):
330
59
990
177
990
1178781,0...17878,0
300
37
900
111
900
12123312,0...12333,0
900
2008
900
208900.2
900
2082
900
232312123,2...23111,2
Como podemos perceber, todo nmero inteiro tambm racional, pois pode ser escrito
como 1
a, ou seja, o conjunto Q contm o conjunto Z, que por sua vez contm o
conjunto N: Q Z N (Fig. 2.10).
Q U=R
N Z
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Fig. 2.10 Conjunto dos Inteiros
Podemos representar o conjunto Q na reta orientada. Na fig. 2.11, alguns nmeros racionais so colocados na reta:
-3 1024 -2 -
2
3 -1 -21 0
21 1
2
3 2 3 9
28 4
Fig. 2.11 Nmeros racionais na reta
Os nmeros racionais no so suficientes para representar todos os nmeros na reta,
por isso surgiu outro conjunto de nmeros como poderemos conferir no prximo item.
Conjunto dos Nmeros Irracionais (I)
H um grupo de nmeros decimais que no podem ser representados
como a razo de dois nmeros inteiros, com no-nulo. Este o grupo
dos nmeros decimais infinitos e no-peridicos.
Exemplos:
a) ...4142135,12 b) ...7320508,13 c) ...1415926535,3
Obs.: Os conjuntos I e Q so disjuntos, pois Q I = .
Conjunto dos Nmeros Reais (R)
o conjunto que rene todos os conjuntos cima citados (unio do conjunto dos
racionais com os irracionais).
R = Q U I = .IxouQxx
No conjunto R dos nmeros reais a reta fica completa, ou seja, podemos estabelecer
uma correspondncia entre o conjunto dos nmeros reais e o conjunto de pontos de
Curiosidade:
O nmero j
foi calculado
com um bilho
de casas
decimais.
Importante!
As razes de ndice par e radicando negativo (Ex. 4 ), no fazem parte do conjunto R.
Esses so os nmeros complexos, e no so objeto de nosso curso.
48
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uma reta. Desta forma, cada ponto da reta corresponde a um nmero real, por isso ela
chamada reta real ou de eixo dos nmeros reais (Fig.2.12).
-3 1024 -2 -1 -
21 0
21 1 3 2 3 4
Fig. 2.12 Reta dos Reais
O diagrama a seguir (Fig. 2.13) relaciona os conjuntos numricos estudados at aqui:
R
Q Z
N I
Fig. 2.13 Conjunto dos Reais (R = Q I)
1.4 INTERVALOS NA RETA REAL
Podemos determinar subconjuntos de R, representando esses nmeros por
desigualdades. Sendo a e b dois nmeros reais, com a < b, temos:
Intervalo fechado nos extremos a e b: subconjunto formado pelos nmeros compreendidos entre a e b, incluindo os extremos a e b.
=
Notao representao de intervalo por compreenso
Sua representao grfica na reta pode ser conferida na figura 2.14:
Fig. 2.14 Representao grfica do intervalo
Intervalo aberto em a e b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b excluindo os extremos (Fig. 2.15).
R
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Fig. 2.15 Representao grfica do intervalo ]a,b[
Intervalo fechado em a e aberto em b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b, incluindo a e excluindo b (Fig. 2.16).
Fig. 2.16 Representao grfica do intervalo [a,b[
Intervalo aberto em a e fechado em b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b excluindo os extremos (Fig. 2.17).
Fig. 2.17 Representao grfica do intervalo ]a,b]
Intervalos Infinitos: quando queremos representar intervalos em que um nmero real pode crescer ou decrescer indefinidamente usamos os smbolos (mais infinito) e (menos infinito). (Fig. 2.18)
De modo geral, sendo a um nmero real, temos:
axxa ,
axxa ,
axxa ,
axxa ,
Fig. 2.18 Representao grfica dos intervalos contendo
Exerccios resolvidos:
1) No universo U = R so dados os intervalos 4,1 e 5,0 . Represente na reta
real, com notao de intervalo e por compreenso os seguintes conjuntos: BA , BA , BA , AB .
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Resposta:
A -1 0 4 5
B
BA 515,1 xx
BA 404,0 xx
BA 010,1 xx
AB 545,4 xx
2) Represente por compresso os seguintes intervalos:
a) 25,1 Resp.: 251 xx
b) 0, Resp.: 0 xx
c) ,0 Resp.: 0 xx
3) Represente com notao de intervalos os seguintes conjuntos:
a)
2
1xx Resp.:
2
1,
b)
5
2xx Resp.: ,
5
2
c)
2
7xx Resp.:
2
7,
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RESUMO
Nesta aula, voc viu que:
Conjunto um conceito primitivo, cuja idia a mesma de coleo, grupo, etc.,
sendo o mesmo muito utilizado na matemtica;
As relaes elemento-conjunto so denominadas de pertinncia ( , ), e as
relaes conjunto-conjunto de incluso ( ,,, );
As operaes entre conjuntos so: unio ( ), interseo ( ) e diferena ( )
H uma relao entre o nmero de elementos de dois conjuntos A e B e o
nmero de elementos da unio e da interseo desses conjuntos, que pode ser
expressa por: BAnBnAnBAn )( ;
O conjunto R formado pelos nmeros racionais (Q) e pelos nmeros irracionais
(I), sendo que: N Z Q;
Os subconjuntos de R podem ser representados na reta dos reais
(graficamente), em notao de intervalo e por compreenso.
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ARNAUT, R.G.T. Matemtica Bsica. V. nico. 5 ed Rio de Janeiro9: Fundao
CECIERJ, 2009.
DANTE, L.R. Matemtica Contexto e Aplicaes: Volume nico. 1 ed. So Paulo:
Editora tica, 2001.
Livro Revisional. Fascculos de reviso: 3 srie ensino mdio, Belo Horizonte: Editora
Educacional, 2008.
NERY, C.; TROTTA, F. Matemtica para o ensino mdio: volume nico. 1 ed. So
Paulo: Saraiva, 2001.
SMOLE, K.C.S; KIYUKAWA, R. Matemtica - ensino mdio: volume 1. 1 ed. So
Paulo: Saraiva, 1998.
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A
CB
A
CB
CADERNO DE EXERCCIOS
1) Assinale em cada diagrama abaixo a regio que representa o respectivo conjunto: a) CBA )( b) )( CBA
2) Represente na reta real os intervalos:
a) 5,1 c) 5,
b) 5,1 d) ,1
3) Sendo 32| xxA e 35| xxB , correto afirmar:
a) 3,5)( BA
b) 3,2)( BA
c) 0)( BA
d) 325|)( xouxxAB
e) BA 4) Seja A um conjunto de 10 elementos. O conjunto P(A), de todos os subconjuntos de
A, tem n elementos. Podemos concluir que:
a) n = 2048
b) n=512
c) n=1024
d) n=256
e) n=100
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5) (MACK-SP 79) A e B so dois conjuntos tais que BA e A , ento
a) Sempre existe Ax tal que Bx
b) Sempre existe Bx tal que Ax c) Se Bx ento Ax d) Se Bx ento Ax
e) BA
6) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles
mantinham convnio com duas empresas particulares de assistncia mdica, A e B.
Sabe-se que:
o nmero de conveniados com a empresa A de 430;
o nmero de conveniados com a B de 160;
o nmero de filiados somente ao INSS de 60.
Ento, o nmero de pessoas conveniadas tanto com a empresa A quanto com a
empresa B, :
a) 100 pessoas d) 90 pessoas b) 50 pessoas e) 10 pessoas c) 40 pessoas
7) Em uma universidade so lidos dois jornais A e B. Se 75% dos alunos lem o jornal
A, 50% o jornal B, e todo aluno leitor de pelo menos um jornal, determine o
percentual de alunos que lem ambos os jornais.
a) 25% d) 90 % b) 45% e) 10 % c) 40%
8) De 240 pessoas que guardam jornal e garrafas para a reciclagem, 80 guardam papis e 210 guardam garrafas. O nmero de pessoas que guardam somente papel :
a) 50 d) 40 b) 80 e) 30 c) 90
Resposta: 1 A regio a ser pintada a que pertence a A mais a que pertence a B com exceo das partes que tambm pertencem a C. 2 a) ambas as bolinhas fechadas; b) ambas as bolinhas abertas; c) todos os valores menores que 5 e bolinha fechada; d) todos os valores maiores que -1 e bolinha fechada. 3- d 4 - c 5 - d 6 - b 7 a 8 e
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AULA 3 APRESENTAO DO MDULO
A tradio grega para representao de um problema matemtico era a geometria, que
predominou por muitos anos. Diofante, no sculo III apresentou uma nova forma de
representao matemtica, o nmero atravs de letras, ou seja, a linguagem algbrica.
Sua contribuio foi muito importante, porm ficou perdida por muitos anos, cerca de
1000 anos, sendo redescoberta na Europa renascentista.
A partir do sculo XVI, com a expanso do comrcio em todo o mundo, a linguagem
matemtica tambm evoluiu, acrescentando novos smbolos, at chegarmos ao que
temos hoje.
Neste mdulo voc ver o uso da lgebra no seu cotidiano, podendo assim rever o que
so e como resolver problemas que envolvam temas como equao, sistema de
equaes e inequaes.
OBJETIVOS DO MDULO
Os objetivos especficos deste mdulo so:
Identificar a linguagem algbrica;
Resolver problemas de equao do 1 e do 2 grau;
Identificar e resolver problemas com mais de uma equao: sistema de equaes;
Identificar as desigualdades e resolver problemas.
EQUAES Equaes, Sistemas de Equaes e Inequaes
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INTRODUO
Equao, sistema de equaes e inequaes so tpicos da lgebra que muito nos
ajudam na resoluo de problemas prticos.
3.1 EQUAO
Equao toda sentena matemtica aberta que
exprime relao de igualdade. A palavra equao tem o
prefixo equa, que em latim quer dizer igual.
Exemplos:
2x + 8 = 0
5x 4 = 6x + 8
3a b c = 0
No so equaes:
4 + 8 = 7 + 5 (No uma sentena aberta)
x 5 < 3 (no igualdade)
5 -2 (No sentena aberta, nem igualdade)
Equao do 1 grau
A equao geral do primeiro grau de forma: ax + b = 0 , com a 0.
Exemplo: 2x 8 = 3x - 10
A letra x a incgnita da equao. A palavra incgnita significa desconhecida. Na
equao acima tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1 membro, e o
que sucede 2 membro.
membro
x1
82 = membro
x2
103
Resolues de Equao do Primeiro Grau:
Para resolvermos equaes do primeiro grau, devemos lembrar que:
a) Podemos transformar uma equao em outra equao equivalente mais simples;
b) Podemos adicionar ou subtrair um mesmo nmero a ambos os membros da
igualdade;
Um pouco de histria
Diofante, um matemtico grego
que viveu em Alexandria (sec. III),
foi o primeiro a usar simbolismo
algbrico na grcia. Seus
estudos sobre a lgebra muito
contriburam para o
desenvolvimento desta rea da
matemtica.
Disponvel na interne:
http://www.extas.hpg.ig.com.br/historia.htm
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c) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equao por um nmero
diferente de zero.
Ex.: x 5 = 0 4x = 8
x 5 + 5 = 0 + 5 3.4x = 3.8
x = 5 x = 2
Problemas do Primeiro Grau
So problemas, cujas resolues envolvem uma equao de primeiro grau. Para
resolver um problema de primeiro grau, devemos:
1) Chamar de x o que o problema est pedindo;
2) Transformar em linguagem matemtica o enunciado do problema;
3) Montar a equao do primeiro grau correspondente;
4) Resolver a equao e interpretar a resoluo de acordo com enunciado do
problema.
Exemplos de transformao de linguagem comum em linguagem matemtica
Exerccios Resolvidos
1. Determine o conjunto soluo de cada equao abaixo:
a) 36)5(4 x
Soluo:
1642036436204365.4.4 xxxx
Linguagem Comum Linguagem Matemtica
1) o dobro de um nmero x 2x
2) a metade de um nmero x
2
x
3) os trs quartos de x
4
3. x =
4
3x
4) a soma de trs nmeros consecutivos x+(x+1)+(x+2)
5) o triplo do sucessor de x mais o dobro do antecessor de x 3(x+1)+2(x-1)
6) a metade de x menos a tera parte de x
32
xx
7) o qudruplo do triplo do sucessor de x 4.3(x+1) = 12(x+1)
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4
16x 4x Resp. 4S
b) )31(4)5(27 yy
Soluo:
)3.(41.4)5.(2.27 yy
yy 1241027
1074122 yy
10
7710 yy
Resp.
10
7S ou 7,0S
c) )6(237 nn
Soluo:
5
9953122712237 nnnnnn
Resp.
5
9S ou 8,1S
2. Resolva cada problema a seguir por meio da equao do 1 grau:
a) A diferena entre um nmero natural e dezesseis igual a trinta e sete. Qual esse
nmero?
Soluo:
Chamamos o nmero natural procurado de x e ento montamos a equao:
16373716 xx 21x
Resp. O n 16373716 xx mero natural 21.
b) Se subtrairmos dez anos, ao triplo da idade de Mateus, obteremos a idade de sua
me que 44 anos. Qual a idade de Mateus?
61
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Soluo:
Idade de Mateus: x
3
545431044344103 xxxx 18x
Resp. A idade de Mateus 18 anos.
c) David, Fred e Breno tm juntos R$ 191,00. Breno tem R$ 20,80 a mais que Fred e
este tem R$ 8,40 a menos do dobro do que tem Davi. Quanto tem cada um?
Soluo:
Quantia de David: x
Quantia de Fred: 2x 8,40
Quantia de Breno: 2x 8,40 + 20,80 = 2x + 12,40
Assim: 19140,12240,82 xxx
19145 x
41915 x
1875 x
5
187x 40,37x
Resp. David tem R$ 37,40; Fred tem R$ 66,40; Breno tem R$ 87,20.
Equaes de 2 Grau
Equaes do 2 grau so todas as equaes da forma ,02 cbxax onde ba ,0
e c so nmeros quaisquer, e x a incgnita ou varivel.
Os valores de x que satisfazem a equao 02 cbxax , so chamados de razes.
a coeficiente de x 2 , ou do termo do 2 grau.
b Coeficiente de x, ou do termo do 1 grau.
c Coeficiente do termo do grau zero, ou termo independente de x.
As equaes do 2 grau dividem-se em: INCOMPLETAS E COMPLETAS.
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Exemplo: 1) Equao completa: ,0643 2 xx onde:
6
4
3
c
b
a
2) Equao incompleta em b: ,0162 x onde:
16
0
1
c
b
a
3) Equao incompleta em c: ,0102 xx onde:
0
10
1
c
b
a
4) Equao incompleta em b e c: ,02 2 x onde:
0
0
2
c
b
a
Resoluo de Equao do Segundo Grau Incompleta:
1 caso: 0b 02 cax
a
cxcax 22
a
cx
Exemplo: 4
444044 222 xxx 1x
1
1
2
1
x
x
2 caso: 0c 02 bxax
Colocando x em evidncia: 0 baxx
Para que o produto seja nulo, um dos fatores deve ser
zero.
Assim:
000
0
2
1
x
a
bx
x
bax
x
bax
Exemplo:
02
020)2(2042 2
x
xxxxx
0
2
2
1
x
x
3 caso: 0b e 0c 02 ax
00
0 22 xa
xax
Observe: A equao s ter soluo no conjunto dos nmeros reais, quando a e c tiveram sinais contrrios.
Observe: Quando c=0, a equao admite um nica soluo no nula.
Observe!!
Quando b=c=0, a equao admite duas razes nulas.
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Resoluo de uma equao do 2 grau completa
Uma equao do 2 grau completa apresenta at duas razes reais.
a) Frmula de Bhskara: a
bx
2
Onde D (delta) denominado de discriminante: cab ..42 .
Exemplo: ,01282 xx onde ;1a ;8b 12c
16486412.1.484 22 acb
22
4
2
48
62
12
2
48
2
48
1.2
168
22
1
x
x
a
bx
Resp. As razes da equao so 2 e 6.
Propriedade das Razes
Chamaremos as razes da equao por 1x e 2x ou 'x e "x .
a) a soma das razes: pela frmula geral, temos: ,2
42
a
acbbx
onde
a
acbbx
2
42
1
e
a
acbbx
2
42
2
Portanto:
a
acbbacbb
a
acbb
a
acbbxx
2
44
2
4
2
4 2222
21
a
bxx
2
221
a
b
Logo expressamos a soma das razes por: Sa
b
b) Produto das razes:
22222
212
4
22
4.
2
4.
a
acb
a
b
a
acbb
a
acbbxx
IMPORTANTE! Raiz de uma equao o
valor da incgnita que
torna a equao igual a zero.
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22
22
2
2
2
2
214
4
4
4
4
4
4.
a
ac
a
acbb
a
acb
a
bxx
a
c
Ento o produto das razes ser: a
c
Exemplo: Calcule a soma e produto das razes das equaes sem resolv-las:
a) 0932 2 xx
Soluo: 2
3S e
2
9
b) 01075 2 xx
Soluo: 5
7S e 2
5
10
Trinmio do 2 Grau
Toda expresso da forma ,2 cbxax onde 0a , b e c so nmeros quaisquer e x
a incgnita ou varivel.
Sendo x1 e x2 as razes da equao 02 cbxax , podemos escrever o trinmio y
como:
y = fatoradaforma
xxxxacbxax 212 .
Exemplo: Represente as equaes na forma fatorada:
a) 0232 xx
Soluo: Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 3S e o produto 2 : 11 x e 22 x . Portanto:
02.1232 xxxx
b) 015105 2 xx
Soluo: Encontrando as razes pela soma e produto, precisamos calcular quais os
dois nmeros cuja soma 25
10S e o produto 3
5
15
: 11 x e 32 x .
Portanto: 03.1.515105 2 xxxx
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Problemas que envolvem Equaes do Segundo Grau
So problemas, cujas resolues envolvem uma equao de primeiro grau.
Para resolver um problema de primeiro grau, devemos:
1) Chamar de x o que o problema est pedindo;
2) Transformar em linguagem matemtica o enunciado do problema;
3) Montar a equao do segundo grau correspondente;
4) Resolver a equao e interpretar a resoluo de acordo com enunciado do
problema.
Exerccios Resolvidos
1. Determine o conjunto soluo de cada equao abaixo:
a) 4)5( xx
Soluo:
04545 22 xxxx
Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 5S e o produto 4 : 11 x e 42 x .
Resp. 4,1S
b) 4122 x
Soluo:
41616124 22 xxxx
Resp. 4,4S
2. Resolva cada problema a seguir por meio da equao do 2 grau:
a) Um nmero real tal que o seu quadrado igual ao seu quntuplo. Qual esse
nmero real?
Soluo:
nmero real: x
equao: 05.055 22 xxxxxx
505
0
xx
x
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Resp..Tanto o 0 como o 5 apresentam tal caracterstica.
b) A soma das idades de um pai e um filho 42 anos. A idade do pai igual ao
quadrado da idade do filho. Calcule essas idades.
Soluo:
Idade de Filho: x
Idade do Pai: x2
Equao: 04242 22 xxxx
Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 1S e o produto 42 : 71 x e 62 x .
Como x a idade do filho, no pode ser negativo portanto o filho s pode ter 6 anos.
Resp. A idade do filho 6 ano e do pai 36 anos.
3.2 SISTEMA DE EQUAES
Quando temos mais de uma equao como informao necessria resoluo de um
problemas temos o que denominado sistema de equaes. Dizemos que duas ou
mais equaes formam um sistema quando possuem uma soluo comum, ou seja,
uma mesma soluo. Assim, resolver um sistema encontrar qual a soluo vlida pra
todas as equaes ao mesmo tempo.
Sistema Equaes do 1Grau
Quando todas as equaes do sistema so do 1 grau, temos um sistema de equaes
do 1 grau.
Vamos ver trs mtodos prticos para resolver um sistema de equaes do 1 grau,
usando as seguintes propriedades:
1) podemos multiplicar (ou dividir) os coeficientes de uma equao por qualquer
nmero diferente de zero;
2) a soma de dois nmeros simtricos ou opostos sempre zero;
3) podemos somar (ou subtrair) membro a membro de duas equaes.
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a) Mtodo da adio
Esse mtodo consiste em adicionarmos as duas equaes membro a membro,
observando que nesta operao deveremos eliminar uma varivel.
Exemplo: Seja o sistema formado pelas equaes do 1 grau:
6
10
yx
yx
Adicionamos membro a membro as equaes:
1602
6
10
yx
yx
yx
2
16x 8x
Substitumos o valor encontrado de x, em uma das equaes, determinamos y:
810
108
y
y
2y
Resp. A soluo do sistema o par ordenado (8, 2), ou, V {(8, 2)}
b) Mtodo da Substituio
Esse mtodo consiste em isolarmos uma das incgnitas numa das equaes e
substituirmos o seu valor na outra equao.
Exemplo: Se o mesmo sistema da questo anterior:
6
10
yx
yx
Na 2 equao isolamos x no 1 membro passando y para o 2 membro: yx 6
Substituindo o x da 1 equao, obtemos:
22
4426102106 yyyyyy
Substitumos o valor encontrado de y, em yx 6 , obtendo: 826 xx
Resp. A soluo do sistema o par ordenado (8, 2), ou, V {(8, 2)}
c) Mtodo da comparao:
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Esse mtodo consiste em compararmos as duas equaes do sistema, aps termos
isolado a mesma varivel (x ou y) nas duas equaes:
Exemplo: Seja o mesmo sistema do exemplo
yx
yx
yx
yx
6
10
6
10
Comparando as duas eq