Cálculo Diferencial Integral 2
Ementa
Métodos de Integracao; Funcoes de varias variaveis e graficos; Derivadas parciais e superiores.
Referências Bibliográficas.
BásicasFlemming, D. M. & Goncalves, M. B. - Calculo A Editora Makron-Books Ávila, G. - Introducao à Analise Matematica Editora Edgard Blucher Ltda. H. L. Guidorizzi. Um Curso de Calculo. Vol. 1. Livros Técnicos e Científ. Ed., 1997.
ComplementaresSIMMONS, George F. Calculo com geometria analítica. Sao Paulo: McGraw-Hill, c1987. E. W. Swokowski. Calculo com Geometria Analítica. Vol. 1. Makron Books do Brasil Editora, Sao Paulo.
https://sites.google.com/site/calculosoresofe/
ProblemaEm cada item a seguir, considere a funcao f e determine uma funcao F, tal que
Integral Indefinida
).x(f)x(' F x2)x(f )a
Solução: ,x)x(F 2 pois ).x(fx2)x(F
2x)x(f )b
Solução: ,3x)x(F
3 pois
3x)x(F
3)x(fxx3
31 22
4x)x(f )c
Solução: ,5x)x(F
5 pois
5x)x(F
5)x(fxx5
51 44
12x)x(f )d
Solução: ,13x)x(F
13
13x)x(F
13)x(fxx13
131 1212 pois
nx)x(f )e
Solução:
1nx)x(F
1n
1nx)x(F
1n
)x(fxx1n1n
1 nn
pois -1.n e Rn ,
x1x)x(f )f 1
Solução:xln)x(F
0 xse ),xln(
0 xse),xln(
pois,
0 xse ,1x
1
0 xse,x1
)x(' F
0 xse ,x1
0 xse,x1
)x(fx1)x('F
10x)x(f )g
Solução:4
11x)x(F
11
4
11x)x(F
11)x(fx0x11
111 1010 , pois
Você pode concluir que existem infinitas funções F(x) cuja derivada é a função f(x).
)x(sen)x(f )h Solução: c)xcos()x(F , c constante, pois ).x(sen)x(F
)x(sec)x(f )i 2Solução: c)x(tg)x(F , c constante, pois ).x(sec)x(F 2
x2)x(f )j
Solução:x2
)2ln(1)x(F c, c constante, pois x2
)2ln(1)x(F )2ln(2
)2ln(1 x x2
x5)x(f )l Solução:
c5)5ln(
1)x(F x
xa)x(f )m
Solução:ca
)aln(1)x(F x
, c constante, pois x5)5ln(
1)x(F )5ln(5)5ln(
1 x x5
, c constante, pois xa)aln(
1)x(F )aln(a)aln(
1 x xa
xe)x(f )n Solução: ce)x(F x , c constante.
Definição 1Uma funcao F é a primitiva (ou antiderivada) de uma funcao f, em um intervalo I, se F’(x) = f(x), para todo x pertencente ao intervalo I.
Observe que se F(x) é uma primitiva da função f(x), então F(x) + c, c constante,também é uma primitiva da f(x), pois
).x(f)x(Fc)x(F
Assim, você pode concluir que o conjunto das primitivas de uma função f é infinito.
Pense e responda: Toda primitiva de uma função f é da forma F(x) + c?Para responder a essa indagação, considere F(x) e G(x) duas primitivas da função f.E seja H(x) a função definida
por: ).x(F)x(G)x(H
Você pode determinar a derivada da função H(x) como:)x(F)x(G)x(H )x(f 0)x(f
Assim, você pode concluir que H(x) é a função constante.Daí, c)x(F)x(G c)x(F)x(G
Logo, você pode concluir que toda primitiva de f é da forma F(x) + c.
Definição 2O conjunto de toda as primitivas de uma funcao f, em um intervalo I, é chamado integral indefinida da função f . que tal constante,c ,c)x(F )x(f)x(' F
Ou seja, o conjuntoé a integral indefinida da função f .
Notação:
dx)x(f
Primitiva de f
Constante de integraçãoSinal de integração
Integrando
Exemplo:
xdx2 cx2
f(x)(x)' F que tal constante,c ,c)x(F c)x(F
Calcule as integrais dadas a seguir:
dxx )a 3 c4x4
dt)tcos( )b csen(t)
dx3 )c x c)3ln(
3x dxe )d x ce x
dx )e cx dt)t(eccos )f 2 c(t)gcot
dxx1 )g cxnl dx
x1 )h 2
dxx 2-
c12-
x 12-
c1-
x 1-
cx1
dxx-1
1 )i2
c)xarcsen(
Propriedades dx)x(g)x(f.1 dx)x(gdx)x(f
Exemplo: dx)xcos(2x dx)xcos(dx2x
21
xc)x(senc
)2ln(2
c)x(sen)2ln(
2x
dx)x(fc.2 dx)x(fc
Exemplo:
dx)x(sen5 dx)x(sen5 c)xcos(5 c)xcos(5
Exemplo:
dxx3x 245x5
3x3
3 c cx
5x 3
5