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INDICE
1. CARATULA
2. INDICE
3. DEDICATORIA
4. AGRADECIMIENTOS
5. INTRODUCCION
6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
6.1. CONCEPTO
6.2. OSCILACIONES Y VIBRACIONES
6.2.1. TIPOS
6.3. DEFINICION
6.4. CARACTERISTICAS
6.5. MAGNITUDES
6.6. CINEMATICA DE MAS
6.7. CONDICIONES INICIALES
6.8. DINAMICA DE MAS
6.9. ENERGIA EN MAS
6.10. REFERENTE A MOVIMIENTO CIRCULAR
7. CONCLUSIONES
8. BIBLIOGRAFIA
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A MI MADRE POR SU
Comprensin Y
AYUDA
INCONDICIONAL EN
CADA DERROTA Y
EN CADA TRIUNFO
SIEMPRE A MI LADO
A MI PADRE PORQUE
SE QUE DESDE EL
CIELO ME PROTEGE
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AGRADECIMIENTOS
A MIS MAESTROS QUE DIA A DIA NOS IMPARTEN
CONOCIMIENTOS SIN LOS CUALES NO PODRIA REALIZAR MI
SUEO QUE ES SER INGENIERA CIVIL.
AGRADESCO TAMBIEN A MIS FAMILIARES QUE SIN SU APOYO
NO ESTARIA AHORA EN PROCESO DE REALIZAR ESE SUEO
AGRADESCO SOBRE TODO A MI PADRE QUE DESDE EL CIELO
SE QUE CONSPIRA POR MI,QUE SIEMPRE VELA POR MI
BIENESTAR Y QUE SU MEMORIA SIEMPRE ME SERVIRA PARA
RETOMAR FUERZAS ANTE CUALQUIER OBSTACULO QUE SE
ME PRESENTE
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INTRODUCCION
En la presente monografa se tratara el tema de movimiento armnico simple es
una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es
proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posicin de equilibrio. Si
esta fuerza se dirige hacia la posicin de equilibrio hay un movimiento repetitivo
hacia delante y hacia atrs alrededor de esta posicin.
Un movimiento se llama peridico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las
variables del movimiento (velocidad, aceleracin, etc.) toman el mismo valor, es
decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.
Un movimiento peridico es oscilatorios la trayectoria se recorre en ambas
direcciones en los que la distancia del mvil al centro pasa alternativamente por un
valor mximo y un mnimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrs,
es decir que va y viene, (en vaivn) sobre una misma trayectoria.
Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilnea y tiene su
origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas
amplitudes, son iguales.
Un movimiento vibratorio es Armnico cuando la posicin, velocidad y aceleracin
se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento
armnico puede ser compuesto de forma que estn presentes varios perodos
simultneamente. Cuando haya un solo perodo, el movimiento recibe el nombre
de Movimiento Armnico Simple o abreviadamente, M.A.S. Adems de ser el ms
sencillo de analizar, constituye una descripcin bastante precisa de muchas
oscilaciones que se observan en la naturaleza.
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CONCEPTO
El movimiento armnico simple (m.a.s.), tambin denominado movimiento
vibratorio armnico simple (m.v.a.s.), es unmovimiento peridico, y vibratorio en
ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es
directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin del tiempo
por una funcin senoidal (seno o coseno). Si la descripcin de un movimiento
requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico,
pero no un m.a.s.
En el caso de que la trayectoria sea rectilnea, la partcula que realiza un m.a.s.
oscila alejndose y acercndose de un punto, situado en el centro de su trayectoria,
de tal manera que su posicin en funcin del tiempo con respecto a ese punto es
una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que acta sobre la partcula es
proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia ste.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Un movimiento armnico simple
(M.A.S) es un movimiento
vibratorio bajo la accin de una
fuerza recuperadora elstica,
proporcional al desplazamiento y
en ausencia de todo rozamiento.
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OSCILACIONES Y VIBRACIONES
Decimos que un cuerpo oscila o vibra cuando se mueve de forma peridica en
torno a una posicin de equilibrio debido al efecto de fuerzas restauradoras.
Las mgnitudes caractersticas de un movimiento oscilatorio o vibratorio son:
Periodo (T): El tiempo que tarda de cumplirse una oscilacin completa. Su
unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s)
Frecuencia (f): Se trata del nmero de veces que se repite una oscilacin en
un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el hertzio
(Hz)
En el caso de la bola del ejemplo anterior, el periodo es el tiempo que tarda esta en
volver a pasar por el mismo punto en igual sentido. La frecuencia es el nmero de
veces en un segundo en que la bola pasa por el mismo punto en igual sentido.
El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas:
Con esto tenemos que 1 Hz = 1 s-1
Aunque el concepto de vibracin es el mismo que el de oscilacin,
en ocasiones se emplea el trmino vibracin para designar una
f=1/T
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oscilacin muy rpida o de alta frecuencia.
Tipos de vibraciones
Existen dos tipos de vibraciones u oscilaciones atendiendo a las fuerzas que actan:
1. Oscilaciones libres: Cuando sobre el cuerpo no actan fuerzas disipativas. El
cuerpo no se detiene, oscila indefinidamente, al no haber una fuerza que
contrarreste el efecto de la fuerza restauradora
2. Oscilaciones amortiguadas: Cuando actan fuerzas disipativas (como por
ejemplo la fuerza de rozamiento o de friccin) que acaban por hacer que las
oscilaciones desaparezcan. El cuerpo acabar retornando a la posicin de
equilibrio
DEFINICION
Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a
lo largo del eje X, estando su posicin x dada en funcin del tiempo t por la
ecuacin
donde
A es la amplitud.
w la frecuencia angular o pulsacin.
x = A sen (t + )
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w t + j la fase.
j o jo la fase inicial.
CARACTERISTICAS
Vibratorio: El cuerpo oscila en torno a una posicin de equilibrio siempre en
el mismo plano
Peridico: El movimiento se repite cada cierto tiempo denominado periodo
(T). Es decir, el cuerpo vuelve a tener las mismas magnitudes cinemticas y
dinmicas cada T segundos
Se describe mediante una funcin sinusoidal (seno o coseno
indistintamente)
Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre +A y -A.
La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se
repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es
decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .
MAGNITUDES DEL M.A.S
1. Elongacin, x: Representa la posicin de la partcula que oscila en funcin
del tiempo y es la separacin del cuerpo de la posicin de equilibrio. Su
unidad de medidas en el Sistema Internacional es el metro (m)
2. Amplitud, A: Elongacin mxima. Su unidad de medidas en el Sistema
Internacional es el metro (m).
3. Frecuencia. f: El nmero de oscilaciones o vibraciones que se producen en
un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio
(Hz). 1 Hz = 1 oscilacin / segundo = 1 s-1.
4. Periodo, T: El tiempo que tarda en cumplirse una oscilacin completa. Es la
inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el segundo (s).
x=Acos(t+0)
x=Asin(t+0)
T = 2p/w
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5. Fase, : La fase del movimiento en cualquier instante. Corresponde con el
valor =t+0. Se trata del nguloque representa el estado de vibracin
del cuerpo en un instante determinado. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el radin (rad). Cuando se produce una oscilacin completa,
la fase aumenta en 2 radianes y el cuerpo vuelve a su posicin
(elongacin) x inicial. Esto es debido a que cos()=cos(+2)
6. Fase inicial, 0 : Se trata del ngulo que representa el estado inicial de
vibracin, es decir, la elongacin x del cuerpo en el instante t = 0. Su unidad
de medida en el Sistema Internacional es el radin (rad)
7. Frecuencia angular, velocidad angular o pulsacin, : Representa la
velocidad de cambio de la fase del movimiento. Se trata del nmero de
periodos comprendidos en 2 segundos. Su unidad de medida en el sistema
internacional es el radin por segundo ( rad/s ). Su relacin con el perodo y
la frecuencia es =2T=2f
CINEMATICA DE UN M.A.S
En un movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo y luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad.
La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por
la ecuacin
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define
entonces en una dimensin mediante la ecuacin diferencial
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la
siguiente ecuacin donde es la frecuencia angular del movimiento:
x = A sen (w t + j)
v = A w cos (w t + j)
a = - A w2 sen (w t + j ) = - w2x
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La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma
donde:
es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
es la amplitud del movimiento (elongacin mxima).
es la frecuencia angular
es el tiempo.
es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el
instante t = 0 de la partcula que oscila.
Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:
,
y por lo tanto el periodo como
La velocidad y aceleracin de la partcula pueden obtenerse derivando respecto del
tiempo la expresin
.
Velocidad
La velocidad instantnea de un punto material que ejecuta un movimiento armnico
simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:
Aceleracin
La aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de
espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuacin de la velocidad respecto al
tiempo de encuentro:
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CONDICIONES INICIALES
Conociendo la pulsacin w, la posicin inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el
instante t=0).
Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial
La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones
iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongacin y de la
velocidad iniciales.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos
DINAMICA DE M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresin de la fuerza necesaria para que un mvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a ste.
En la ecuacin anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armnico simple es una fuerza del tipo:
F = m a = - m w2 x
x0=Asenj
v0=Awcosj
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Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongacin pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que est relacionada con la pulsacin:
Teniendo en cuenta que w = 2p/ T podemos deducir el periodo del movimiento armnico simple:
ENERGIA EN M.A.S.
En el m.a.s. la energa se transforma continuamente de potencial en cintica y
viceversa.
En los extremos solo hay energa potencial puesto que la velocidad es cero y en el
punto de equilibrio solo hay energa cintica. En cualquier otro punto, la energa
correspondiente a la partcula que realiza el m.a.s. es la suma de su energa potencial ms su energa cintica.
Toda partcula sometida a un movimiento armnico simple posee una energa
mecnica que podemos descomponer en: Energa Cintica (debida a que la
partcula est en movimiento) y Energa Potencial (debida a que el movimiento
armnico es producido por una fuerza conservativa).
Si tenemos en cuenta el valor de la energa cintica
Y el valor de la velocidad del m.a.s.
sustituyendo obtenemos
F = -K x
K = mw2
Ec = 1/2 m v2
v = dx / dt = A w cos (w t + jo)
Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)
Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)
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a partir de la ecuacin fundamental de la trigonometra:
de donde la energa cintica de una partcula sometida a un m.a.s. queda
Observamos que tiene un valor peridico, obtenindose su valor mximo cuando la
partcula se encuentra en la posicin de equilibrio, y obtenindose su valor mnimo
en el extremo de la trayectoria.
La energa potencial en una posicin y vendr dada por el trabajo necesario para
llevar la partcula desde la posicin de equilibrio hasta el punto de elongacin y.
Por ello el valor de la energa potencial en una posicin x vendr dado por la
expresin
Teniendo en cuenta que la energa mecnica es la suma de la energa potencial
ms la energa cintica, nos encontramos que la energa mecnica de una partcula
que describe un m.a.s. ser:
En el m.a.s. la energa mecnica permanece constante si no hay rozamiento, por
ello su amplitud permanece tambin constante.
sen2 + cos2 = 1
Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2(w t + jo)]
Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2(w t + jo)]
Ec = 1/2 k [ A2 - x2]
Ep = 1/2 k x2
Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2
E = 1/2 k A2
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M.A.S. RELACIONADO CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR
En este apartado, vamos a interpretar geomtricamente el Movimiento Armnico
Simple (M. A. S.), relacionndolo con el movimiento circular uniforme.
se observa la interpretacin de un M.A.S. como proyeccin sobre el eje X, del
extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con
velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyeccin vale
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CONCLUSIONES
De todos los movimientos oscilatorios el movimiento armnico simple
(M.A.S.), constituye una aproximacin muy cercana a muchas oscilaciones
encontradas en la naturaleza, adems que es muy fcil de describir
matemticamente
Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los
fenmenos ondulatorios relacionados con el sonido y la luz.
En los movimientos oscilatorios el cuerpo va de una posicin extrema y
regresa a la posicin inicial pasando siempre por la misma trayectoria.
Algunos ejemplos de fenmenos en los que se presenta este tipo de
movimiento son: el latido del corazn, el pndulo de un reloj, las vibraciones
de los tomos.
Un movimiento peridico es oscilatoriosi la trayectoria se recorre en ambas
direcciones en los que la distancia del mvil al centro pasa
alternativamente por un valor mximo y un mnimo
El ngulo w t + j que forma el
vector rotatorio con el eje de
las X se denomina fase del
movimiento. El ngulo j que
forma en el instante t=0, se
denomina fase inicial
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El movimiento armnico simple se puede estudiar desde diferentes puntos
de vista:cinemtico, dinmico y energtico
El ms sencillo de los movimientos peridicos es el que realizan los cuerpos
elsticos.
BIBLIOGRAFA
Marion, Jerry B. (1996). Dinmica clsica de las
partculas y sistemas. Barcelona: Ed. Revert. ISBN
84-291-4094-8.
Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Fsica (4
volmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-
398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-
4445-7.
Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en
ingls). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-
32057-9.
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