Cálculo de Primitivas.
.' xxfxFxFdxxf
Definición: Una función es una primitiva de otra si la derivada
de la primera coincide con la segunda.
F f
Si es una primitiva de , para cualquier constante la función
también es una primitiva de . En efecto, F f c
cFG f
.'' xxFxG
Definición: Se llama integral indefinida de una función al
conjunto de todas sus funciones primitivas. Si es una de ellas, la
integral indefinida de es el conjunto de todas las funciones que
resultan de sumar a una constante arbitraria.
fF
f
F
.dxxgdxxfdxxgxf
Propiedades útiles para el cálculo:
.dxxfkdxxkf
1.
2.
.cxFdxxf
1
Cálculo de Primitivas.
Algunas primitivas inmediatas:
.1,1
1
c
xdxx
.cxdx
.ln1
cxdxx
.cedxe xx
.0,ln
1 aca
adxa xx
.cossen cxdxx
.sencos cxdxx
.1,1
'
1
cxf
dxxfxf
.ln'
cxfdxxf
xf
.' cedxxfe xfxf
.0,ln
1' aca
adxxfa xfxf
.cos'sen cxfdxxfxf
.sen'cos cxfdxxfxf 2
Cálculo de Primitivas.
.arctg1
12
cxdxx
.arctg1
'2
cxfdxxf
xf
.arcsen1
1
2cxdx
x
.tgcos
12
cxdxx
.tgcos
'2
cxfdxxf
xf
Algunas primitivas inmediatas:
.cotgsen
12
cxdxx
.cotgsen
'2
cxfdxxf
xf
.arcsen
1
'
2cxfdx
xf
xf
.cosarc1
1
2cxdx
x
.cosarc
1
'
2cxfdx
xf
xf
.cotgarc1
12
cxdxx
.cotgarc1
'2
cxfdxxf
xf
3
Por otro lado,
Derivadas de funciones arc
Derivada de .arcsen xxf
.1'cos xfxf
Despejando,
Derivando,
.cos
1'
xfxf
Por otro lado, .sen xxf .1cos 2xxf
.sen xxf
.1
1'
2xxf
Derivada de .arctg xxf
.1cos
'2
xf
xf
Despejando,
Derivando, .cos' 2 xfxf
.tg xxf
.cos
senx
xf
xf
.tg xxf
.sencos xfxfx
.cos1sencos 2222 xfxfxfx
.1cos1 22 xfx .1
1cos
2
2
xxf
.1
1'
2xxf
4
Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.
Ejercicio: Resuelva
.4sen dxx
.54
dxee xx
.2
dxxex
.59
12
dxx
.42
1
2
dxx
(p)
(e)
(t)
(t)
(t)
.86
17
3 2
dxx
x(p)
.7 52 3
dxx x
(e)
.
cossen
cossen2
dx
xx
xx(L)
.sencos 3
dxxx (p)
.315 2
dx
x
x(p)
.163332
dxxx (p)
.tg dxx (L)
5
Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.
Ejercicio: Resuelva
.5
dxe
e
x
x
(p)
2
cos.
sen
xdx
x (p)
.cossen xdxx (p)
.arcsen1
1
2
dxxx
(L)
.cos 3sen2 3
dxxex x(e)
.cossen
1 dx
xx(L)
.5
2
3
dxx
x
(e)
.1
arctg2
dxx
x(p)
.
13
16
dx
x(p)
.6 dx
x
x
(e)
.43
22
dxx
x(L)
.57
72
2
dx
x
x
(L)
6
Cálculo de Primitivas: Por partes.
.'' dxxuxvxvxudxxvxu
Proposición: Sean y funciones diferenciables. Se cumple que u v
En efecto, .''' xvxuxvxuxvu
.''' xvxuxvuxvxu
Usando la notación habitual,
.duvvudvu
7
Cálculo de Primitivas: Por partes.
Algunos usos útiles:
.ln dxxxP
1. Polinómica por trascendente.
. dxexP x
.cos
sen
dxx
xxP
u
u
u
Aplicación reiterada
para reducir
sucesivamente el
grado del polinomio.
2. Trascendente. .ln dxx
,arctg,cosarc,arcsen dxxdxxdxx u
u u u
3. Trascendente por trascendente.
.cos
sen
dxx
xe x
Circular. La elección de es
irrelevante. u
(p)
8
Ejercicio: Resuelva
.ln2
dxxx
.sen2 dxxx.2
dxex x
.ln2
dxx
.arcsen dxx
.tgarc dxx
.sen dxxex
.1ln 32
dxxx
.52
dxex x
.arcsen
dxe x(Circular)
Cálculo de Primitivas: Por partes.
9
I. Si
. dxxQ
xP
m
n
Cálculo de Primitivas Racionales
,mn
.dx
xQ
xRdxxCdx
xQ
xP
m
q
m
n
(p) mq
II. Si cálculo de raices de , ,mn
(II)
Q .0/ xQx
II.1. (RRS) Raíces reales simples.
....2
2
1
1
m
m
rx
A
rx
A
rx
A
xQ
xP
1,,...,, 21 im mRrrr
(L)
II.2. (RRM) Raíces reales múltiples.
....
2
21
rx
B
rx
B
rx
B
.1 mRr
(L y P)
II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. .1 mCr
.
22
x
NMx,ir (arctg y/o L)
II.4. (RIM) Raíces imaginarias múltiples: Método de Hermite.
Sis
tem
a lin
eal de e
cuacio
nes (
dando
va
lore
s o
identificando c
oeficie
nte
s)
N
M
B
A
j
i
10
Cálculo de Primitivas Racionales
dx
x
NMxMdx
x
NMx2222
dx
x
NMdx
x
xM2222
2
2
22ln x
dx
x
NMdx
x
NM2222
1
1
.arctg
1
1
2
xNMdx
x
NM
II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. ,ir
.arctgln
2
22
22c
xNMx
Mdx
x
NMx
11
Cálculo de Primitivas Racionales
Ejercicio: Resuelva
.4
22
3
dx
x
xx
(RRM) .5972
34
23
dx
xx
xxx
.3
123
34
dx
xx
xxx(RRM)
.136
22
dx
xx
x(RIS)
*
*
.39237
4185634
23
dx
xxx
xx
.673
2
dx
xx
xx(RRS)
.1
2345
4
dx
xxxx
x(RRM)
.2
423
dx
xxx
x(RIS) * *
12
Cálculo de Primitivas Racionales
.34
32
dx
xx
x(RRS)
.1
5323
dx
xxx
x(RRM)
.573
66823
2
dx
xxx
xx(RIS) *
.19
12
dxx
(RRS) *
(RIS) .1
23 dx
xxx
.1
222
2345
dx
x
xxxx
.15133 23
34
dx
xxx
xxx(RRM)
.4
124
dxxx
(RIS)
Ejercicio: Resuelva
13
Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.
.' dttgtgfdxxf
.', dttgdxtgx
Sea una función continua. Y sea
una función de clase tal que Entonces :f D R R : 'g D R R
1C .' DDg
Los elementos para el cambio de variable:
Para deshacer el cambio: .1 xgt
Dem.: Por un lado, .' xfxFxFdxxf Por otro lado, la derivada de la función compuesta tgFtgF
es .'''' tgtgftgtgFtgF
Por tanto, es una primitiva de Esto es, tgF .' tgtgf
.' xFtgFdttgtgf
Ejemplo: .2arctgarctg1
1
41
222
cxctdt
tdx
x
.2,2 dtdxtx .2xt
.2
,2
1 xxgt
ttgx
14
Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.
. dxaQ
aPdxaR
x
xxCambio para racionales de una exponencial.
.ln
1, dt
tadxta x
Ejemplos: .1
2 dx
ee xx
.1
ln
1 dx
ttR
adxaR x
Ejemplos:
.1
1dx
xx.1 xt
.
ln4
12
dxxx
.ln xt .4ln
2lndx
xx
x.ln xt
.
4
2arctg
2dx
x
x
.2
arctgx
t .arcsen dxe x .arcsen xt
.cos 3sen2 3
dxxex x .sen 3xt
.14
4242
2
dx
x
xx
(Circular)
15
Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
.cos,sen dxxxR
I. Cambio impar en seno.
II. Cambio impar en coseno.
III. Cambio par en seno y coseno.
IV. Cambio general.
.cos,sencos,sen xxRxxR
.1
1,sen.1sen.cos
2
2 dtt
dxdxxdttxxt
.cos,sencos,sen xxRxxR
.1
1,cos.1cos.sen
2
2 dtt
dxdxxdttxxt
.1
1.
1sen,
1
1cos.tg
222dt
tdx
t
tx
txxt
.1
2.
1
2sen,
1
1cos.
2tg
222
2
dtt
dxt
tx
t
tx
xt
.cos,sencos,sen xxRxxR
16
Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
III. Cambio par en seno y coseno.
.tgxt
.cos,sencos,sen xxRxxR
.cos
cos1
cos
sen 2
x
x
x
xt
.1cos1.cos1cos.cos1cos 222222 xtxxtxxt
,1
1cos
2tx
.1
arctg2t
dtdxtx
,
1sencos
2t
txxt
17
Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
IV. Cambio general. .2
tgx
t
.sensencoscos)cos(
,sensencoscos)cos(
bababa
bababa
.coscos2)cos()cos( bababa
.cos20cos2cos 2 aa .2
12coscos2
a
a .2
1cos
2cos2
xx
.2
cos1
2
1cos1
2cos1
2sen 22 xxxx
.cos1
cos1
2cos
2sen
2tg 2
2
2
2 tx
x
x
xx
.cos1cos1 2 xtx
.cos11 22 xtt .1
1cos
2
2
t
tx
.1
4
1
11cos1sen
22
2
22
2222
t
t
t
txx
.
1
2sen
2t
tx
.1
2arctg2.
2tg
2dt
tdxtx
xt
18
Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
Ejercicio: Resuelva
.sencos3
sen22
dxxx
x
.sen1
cos2
dxx
x
.cos91
cossen2
2
dx
x
xx
.cos41
cos2
dxx
x
.tg4
dxx
.cossen21
1
dxxx
.cos1
cos1
dx
x
x
.2cos3
2
dxx
.sen
1 dx
x
.cossen
cos2sen 22
dxxx
xx
impar seno
impar coseno
(par)
cambio general
(par)
cambio general
cambio general
impar seno
impar seno
impar coseno
19
*
*
*
*
*
*
Otras Primitivas Trigonométricas.
Las razones de la suma y la diferencia nos permiten resolver
algunos tipos de primitivas trigonométricas.
.sencoscossensen
,sencoscossensen
bababa
bababa
.cossen2sensen bababa
.
2
sensencossen
bababa
.
2
sensencossen dx
xxdxxx
I. Seno por coseno.
A partir del seno de la suma y la diferencia tenemos
20
Otras Primitivas Trigonométricas.
.sensencoscos)cos(
,sensencoscos)cos(
bababa
bababa
.coscos2)cos()cos( bababa
.2
)cos()cos(coscos
bababa
.2
)cos()cos(sensen
bababa
III. Seno por seno.
II. Coseno por coseno.
.2
)cos()cos(coscos
dx
xxdxxx
A partir del coseno de la suma y la diferencia,
De (2) – (1)
(1)
(2)
.sensen2)cos()cos( bababa
.2
)cos()cos(sensen
dx
xxdxxx
21
Ejemplos:
.2sen12sen2
15cos7sen dxxxdxxx
Otras Primitivas Trigonométricas.
.cos3cos2
1cos2cos dxxxdxxx
.9cos5cos2
12sen7sen dxxxdxxx
.2sen12sen2
12sen12sen
2
15sen7cos dxxxdxxxdxxx
.3cos7cos2
13cos7cos
2
15cos2cos dxxxdxxxdxxx
22
Cálculo de Primitivas Irracionales.
.,.,...,,,2
2
1
1
Nqpdxdcx
bax
dcx
bax
dcx
baxxR ii
q
p
q
p
q
p
n
n
I. Irracionales del tipo
Cambio de variable: .,...,,..., 21 nqqqmcmtdcx
bax
dxx
x
41
214
Ejemplos:
.4
24 3
2dtt
t
t
.2,4...4,1 4 mcmtx
dxx
xx
4
33
6
.4,3,2...12,12 mcmtx
.6
12 11
3
418
dxtt
tt
dx
x
xx
3
2
1
.3...3,2
3 mcmtx
x
,22 333 txtxtx
.
1
623
2
dtt
tdx
.1
13
1
6
1
2
13223
2
3
3dt
ttdt
t
t
tt
t
.1
23
3
t
tx
23
.4242
2222
2
22
auc
a
b
a
bxac
a
b
a
bxa
Cálculo de Primitivas Irracionales.
ca
b
a
bx
a
bxacx
a
bxacbxax
2
2
2
2222
4422
2
II. Irracionales del tipo
.2a
bxu
Reducibles a racionales trigonométricas.
Paso 1: Expresión de como suma o diferencia de
cuadrados, ó
cbxax 2
., 2222 auau
2u
O bien, a partir de las raices de , cbxax 2 .2
4
2
2
a
acb
a
b
A B
.22222 BaAxaBAxacbxax
.22 au
,02 RBB
.02 CBB
.0,, 2 adxcbxaxxR
24
Cálculo de Primitivas Irracionales.
Paso 2: Cambio de variable.
descartamos
Reducibles a racionales trigonométricas.
.22 Rau
II.I. .tg.,0 22222 tauaua
II.II.
II.III.
.sec.,0 22222 tauaua
.sen.,0 22222 tauaua
22,0 aua
porque en ese caso
.0,, 2 adxcbxaxxRII. Irracionales del tipo
.coscos
11
cos
sentg,0
22
222222
ttt
ttaua
II.I.
.cos
sen
cos
cos11
cos
1sec,0
2
2
2
22222
t
t
t
t
ttaua
II.II.
.cossen1sen,0 222222 tttaua II.III.
25
Cálculo de Primitivas Irracionales.
Ejemplo: .1342
dxxx
.32134422134 2222 xxxxx
.,2 dudxux
duudxxx 222 3134
.cos
3,tg3
2
222 dtt
dutu
dttt
tt22
22
cos
1
cos
cossen9 .
cos
19
3 dtt
dttt
t2
2
2
22
cos
33
cos
sen3
26
Cálculo de Primitivas Irracionales.
Ejemplo:
.342
1
2
dxxxx
3442232234 222 xxxxxx
.,2 dudxux
.cos,sen22 dttdutu
.1234222 xx
dxuu 21
1
dx
xxx 342
1
2
.sen
1cos
sen1sen
1
2
dxt
tdxtt
27
Cálculo de Primitivas Irracionales.
Ejemplo: .322
dxxx
.,1 dudxux
.413111232222 xxxxx
dxudxxdxxx 44132 222
.cos
sen2,
cos
2sec2,sec4
2
22 dtt
tdu
ttutu
.cos
sen4
cos
sen
cos
sen4
cos
sen24
cos
43
2
222 dtt
tdt
t
t
t
tdt
t
t
t
Ejemplo: .49 2
dxx
x
28