ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
NOMBRES:
LA REGLA DE LA CADENA
CICLO:
Ing. Diana A. Torres G.
OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010
BIMESTRE: II Bimestre
LA REGLA DE LA CADENA
Con la reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a expresiones sencillas.
¿Qué hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente y = (xy = (x22 − 4) − 4)53/353/3 ?, resulta que es prácticamente imposible derivarla.
Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestas
Teorema. La Regla de la Cadena Si y = f(u)y = f(u) es una función derivable de u Y u = g(x)u = g(x) es una función derivable de x
Entonces: y y = f(g(x) es una función derivable de x y
O su equivalente
.dy dy du
dx du dx
'( ( )) '( )d
f g x f g x g xdx
Ejemplo: Encontrar dy/dxdy/dx para y = (x2 + 1)3
u = x2 + 1
u’=2x
y = u3
2
2 2
2 2
.
3 .(2 )
3( 1) (2 )
6 ( 1)
dy dy du
dx du dxdy
u xdxdy
x xdxdy
x xdx
Teorema. La Regla General de las Potencias
Si y = [u(x)]y = [u(x)]n n donde u es una función derivable de x y n es un número racional entonces
o su equivalente
1( )
ndy dun u x
dx dx
1[ ] 'n ndu nu u
dx
Ejemplo: Encontrar la derivada de f(x)f(x) = (3x -2x= (3x -2x22))33
u = 3x -2x2
u’ = 3 – 4xf(x) = u3
2
2 2
'( ) .
'( ) 3 .(3 4 )
'( ) 3(3 2 ) (3 4 )
dy duf x
du dx
f x u x
f x x x x
Ejemplo: Encontrar la derivada de g(t)(t) = -7 / (2t – 3)= -7 / (2t – 3)22
g(t) = -7(2t – 3)-2 reescribir la función
u = 2t – 3
u’ = 2
1
3
3
3
'( ) 7 ( )( )( ')
' 7 ( 2)( ) (2)
'( ) 28(2 3)
28'( )
(2 3)
ng t n u u
g t u
g t t
g tt
Funciones Trigonométricas y la Regla de la Cadena
2
cos '
tan sec '
sec sec tan '
dsen u u u
dxd
u u udxd
u u u udx
2
cos '
cot csc '
csc csc tan '
du sen u u
dxd
u u udxd
u u u udx
Ejemplos:
5
2cos3y x
2( 3 )(6 )y sen x x
23u x' 6u x
(cos ) 'y u u( )6y sen u x
26 ( 3 )y x sen x
Ejemplos:
5
3( ) 4f t sen t
3( ) ( 4 )f t sen t
2'( ) 3( 4 ) 4d
f t sen t sen tdt
2'( ) 3( 4 ) (cos 4 ) 4d
f t sen t t tdt
2'( ) 3( 4 ) cos 4 4f t sen t t
2'( ) 12 4 cos 4f t sen t t
DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
La variable y esta definida implícitamente. Derivar ambos lados de la ecuación
respecto de x. Agrupar los términos en que aparezca
dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.
Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación
Despejar dy/dx
12
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
3 2 2[ 5 ] [ 4]d dy y y x
dx dx
3 2 25 4d d d d dy y y x
dx dx dx dx dx
23 2 5 2 0dy dy dy
y y xdx dx dx
13
2. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás
a la derecha
23 2 5 2dy dy dy
y y xdx dx dx
3. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás
a la derecha
2[3 2 5] 2dy
y y xdx
14
3. Despejar dy/dx
2
2
3 2 5
dy x
dx y y
RITMOS O VELOCIDADES RELACIONADAS
En la mayoría de problemas sobre ritmos relacionados, los parámetros del problema dado casi siempre son dependientes del tiempo.
Para proceder a derivarlos, necesariamente se debe utilizar la regla de la cadena.
Ejemplo: Un obrero levanta con la ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción.
Supongamos que el otro extremo del tablón sigue una trayectoria perpendicular a la pared y queel obrero mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿ A qué ritmo se desliza por el suelo el extremocuando está a 2.5 m de la pared?
Del teorema de Pitágoras se tiene que x2 + y2 = r2
derivamos a la expresión como función implícita tomando en cuenta que el tablón no cambia de longitud. Se tiene:
Donde:
0dx dyx ydt dt
.x
dx y dyv
dt x dt
4.33.(0.15)
2.5
0.26
x
x
v
mv s
19
Bibliografía:
Cálculo Octava Edición Larson Hostetler Edward