ESCUELA : INGENIERA GEOGRFICACICLO : IIIPROFESOR : REAO PANTOJA, AGUSTINALUMNOS : MOLINA PERALES, JOHED ASWILL WILLIAMS VELARDE CAYETANO, INDIRA GANDHI
LIMITESVECINDADES:Se llama vecindad de centro y radio al intervalo abierto de centro y extremos y , y se denota por :
Graficamente:
Si Demostrando:
L.Q.Q.D. Ejm 1: Hallar la vecindad de centro y radio .Solucin:
Graficando: 3.432.6
Ejm 2:Hallar la vecindad de centro y radio .Solucin:
Graficando:
1284
VECINDAD REDUCIDA:Se llama vecindad reducida de centro y radio al conjunto que resulta al quitarle el punto centro y se le denota :
Graficamente:
Si Demostrando:
L.Q.Q.D.LIMITES:Consideremos un intervalo cualquiera que contiene al punto , sea adems una funcin definida para todos los puntos .Adems est contenida en el intervalo y es diferente de . Por lo tanto diremos que L es el lmite de la funcin cuando se aproxime a , lo cual se denota:
EJEMPLOS:EJEMPLO 1: Demostrar por definicin de lmite:
Demostracin:
Paso 1:Hiptesis: Paso 2: EJEMPLO 2: Demostrar por definicin de lmite:
Demostracin:
Paso 1:Hiptesis :
Paso 2:
Paso 3: Usamos la hiptesis :
Paso 4:
EJEMPLO 3: Resolver el siguiente lmite:
Solucin: Paso 1: Evaluamos (Valor indeterminado)Paso 2: Factorizamos EJEMPLO 4:Resolver el siguiente lmite:
Solucin:Paso 1: Evaluamos (Valor indeterminado)Paso 2: Racionalizamos
PROPIEDADES DE LIMITES DE FUNCIONES:Sean dos funciones tales que: , y K=cte. , entonces:a)
Demostrando:
Paso 1:Hiptesis : Paso 2:
b)
Demostrando:
i) Si K=0 : Sale 0 (trivial)ii) Si K0 : Por hiptesis, dado y , L.Q.Q.D
c)
Demostrando:Hipotesis, sea , entonces para existen , tales que para : (1)
Ahora tomando , para se verifica (1) y si sumamos + resultara lo siguiente:
Es decir: entonces lo que resulta lo que queramos demostrar:
d)
e)
f)
g)
h)
i)
EJEMPLOS:EJEMPLO 01:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = = Evaluando con x=2 = = = Rpta.
EJEMPLO 02:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = = Evaluando con x=3 = = = Rpta.
EJEMPLO 03:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = Evaluando con x=1 =
= No determinadoPara evitar lo anterior tenemos que realizar distintas operacin ya sea racionalizando, factorizando, etc.Racionalizando: = = = = = = = Rpta.EJERCICIOS DESARROLLADOSEJERCICIO 01:Por definicin de lmites demostrar: Demostracin:
Paso 1:Hiptesis: Paso 2:
EJERCICIO 02:Por definicin de lmites demostrar:
Demostracin:
Paso 1:Hiptesis: Paso 2:
Paso 3:Usando la hiptesis:
Paso 4: . (1) . (2)De 1 y 2:
EJERCICIO 03:Por definicin de lmites demostrar:
Demostracin:
Paso 1:Hiptesis: Paso 2:
. (1)
Paso 3:
Paso 4: Por definicin de raz: Sumamos (+4)Invertimos Multiplicamos ()Usamos (1)
EJERCICIO 04:Por definicin de lmites demostrar:
Demostracin:
Paso 1:Hiptesis: Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
EJERCICIO 05:Calcular el lmite de la funcin:
Solucin: = = = =
EJERCICIO 06:Calcular el lmite de la funcin:
Solucin:Paso 1: = = = .. No determinadoPaso 2: = = = =
EJERCICIO 07:Calcular el lmite de la funcin:
Solucin:Paso 1: =
= .. No determinadoPaso 2: EJERCICIO 08:Calcular el lmite de la funcin:
Solucin:Paso 1: = = .. No determinadoPaso 2: = = = = = = 6
EJERCICIO 09:Calcular el lmite de la funcin, haciendo uso de las propiedades:
Solucin:Paso 1: = = .. No determinadoPaso 2: =
=
EJERCICIOS PROPUESTOS Mediante la definicin de lmites , demostrar los siguientes lmites:1. 2. 3. 4. 5. Calcular los siguientes lmites:a. b. c. d. e. Calcular los siguientes lmites ,usando propiedades:i. ii. iii.
A) Hallar los valores de a ,b y L si se sabe que: L = R B) Si = L 0 , Calcular el valor de a+b C) Hallar el valor de a, a>0 , sabiendo que:
Claves de ejercicios propuestos:EjercicioRespuestaEjercicioRespuesta
a.7/3i.(3/2)10
b.13/12ii.11/3
c.19/24iii.
d.3/2A)a=-8, b=1 ,L=5
e.1/12B)a+b= -2
C)a = 2