550 | | | | CAPTULO 8 MS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN

Considere que tiene que elegir de dos tazas de caf del tipo que se muestra, una que se curva haciafuera y una hacia dentro, y observe que tienen la misma altura y sus formas se ajustan cmodamenteentre s. Le sorprende que una taza contenga ms caf. Naturalmente podra llenar una taza con aguay vertera el contenido en la otra pero, como estudiante de clculo, decide un planteamiento msmatemtico. Ignorando el asa de cada una, observe que ambas tazas son superficies de revolucin,de esta manera puede pensar del caf como un volumen de revolucin.

1. Considere que las tazas tienen la altura h, la taza A se forma por la rotacin de la curva alrededor del eje y, y la taza B se forma por la rotacin de la misma curva alrededor de la lnea

. Hallar el valor de k tal que las dos tazas contengan la misma cantidad de caf.2. Qu le expresa el resultado del problema 1 con respecto a las reas A1 y A2 que se muestran

en la figura?.3. Aplique el teorema de Pappus para explicar su resultado en los problemas 1 y 2.4. Con respecto a sus medidas y observaciones, sugiera un valor para h y una ecuacin para

y calcule la cantidad de caf que contiene cada una de las tazas.x f sxd

x k

x f sxd

x

y

0

h

k

x=k

A

x=f(y)

A

Taza A Taza B

TAZAS DE CAF COMPLEMENTARIASP ROYECT0 PARA UN

DE SCUBR IM I ENTO

APLICACIONES A LA ECONOMA Y A LA BIOLOGA

En esta seccin se consideran algunas aplicaciones de la integracin a la economa (su-pervit del consumidor) y la biologa (flujo sanguneo, rendimiento cardiaco). Otras sedescriben en los ejercicios.

SUPERVIT DE CONSUMO

Recuerde de la seccin 4.8 que la funcin de demanda es el precio que una compaatiene que cargar a fin de vender x unidades de un artculo. Por lo comn, vender cantida-des ms grandes requiere bajar los precios, de modo que la funcin de demanda sea unafuncin decreciente. La grfica de una funcin de demanda representativa, llamada curvade demanda, se muestra en la figura 1. Si X es la cantidad del artculo que actualmente es-t disponible, entonces es el precio de venta actual.

Se divide el intervalo [0, X] en n subintervalos, cada uno de extensin , y seael punto final derecho del i-simo subintervalo, como en la figura 2. Si, despus

de que se vendieron las primeras unidades, hubiera estado disponible un total de slounidades y el precio por unidad se hubiera establecido en dlares, en tal caso se

podran haber vendido unidades adicionales (pero no ms). Los consumidores que ha-bran pagado dlares dieron un valor alto al producto; habran pagado lo que valapara ellos. As, al pagar slo P dlares han ahorrado una cantidad de

sahorros por unidaddsnmero de unidadesd psxid 2 P! x

psxid x

psxidx ixi21

xi* xi

x XynP psX d

psxd

8.4

0 x

p

P

X

(X,P)

p=p(x)

FIGURA 1

Una curva de demanda representativa

Al considerar grupos similares de consumidores dispuestos para cada uno de los sub-intervalos y sumar los ahorros, se obtiene el total de ahorros:

(Esta suma corresponde al rea encerrada por los rectngulos de la figura 2.) Si , estasuma de Riemann se aproxima a la integral

que los economistas llaman supervit de consumo para el artculo.El supervit de consumo representa la cantidad de dinero que ahorran los consumidores

al comprar el artculo a precio P, correspondiente a una cantidad demandada de X. En lafigura 3 se muestra la interpretacin del supervit de consumo como el rea bajo la curvade demanda y arriba de la recta .

EJEMPLO 1 La demanda para un producto, en dlares, es

Determine el supervit de consumo cuando el nivel de ventas es 500.

SOLUCIN Puesto que la cantidad de productos vendida es , el precio corres-pondiente es

Por lo tanto, de la definicin 1, el supervit de consumo es

c

FLUJO SANGUNEO

En el ejemplo 7 de la seccin 3.3, se analiz la ley del flujo laminar:

que da la velocidad de la sangre que fluye a lo largo de un vaso sanguneo con radio R ylongitud l a una distancia r del eje central, donde P es la diferencia de presin entre los ex-tremos del vaso y es la viscosidad de la sangre. Ahora, a fin de calcular el caudal san-guneo (volumen por unidad de tiempo), se consideran radios ms pequeos igualmente

v

vsrd P

4 l sR2 2 r 2 d

$33 333.33

s125ds500d 2 s0.1ds500d2 2 s0.0001ds500d3

3

125x 2 0.1x 2 2 s0.0001d x 33 !"0500

y500

0 s125 2 0.2x 2 0.0001x 2 d dx

y500

0 #psxd 2 P$ dx y

500

0 s1 200 2 0.2x 2 0.0001x 2 2 1 075d dx

P 1 200 2 s0.2ds500d 2 s0.0001ds500d2 1 075

X 500

p 1 200 2 0.2x 2 0.0001x 2

V

p P

yX

0 #psxd 2 P$ dx1

n l !

%n

i1 #psxid 2 P$"x

SECCIN 8.4 APLICACIONES A LA ECONOMA Y A LA BIOLOGA | | | | 551

0 x

p

P

xi X

(X,P)

FIGURA 2

0 x

p

(X,P)P

X

p=p(x)

p=P

supervit deconsumo

FIGURA 3