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Cálculo Numérico para Oficiais da Marinha Mercante
Paulo Vitor de Matos Zigmantas
MSC UFPA 2006
Chefe da Divisão de Ensino de Máquinas
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1 ERROS
1.1
I ntrodução
1.1.1 Modelagem e Resolução
A utilização de simuladores numéricos para determinação da solução de um problema
requer a execução da seguinte seqüência de etapas:
Etapa 1: Definir o problema real a ser resolvido
Etapa 2: Observar fenômenos, levantar efeitos dominantes e fazer referência a
conhecimentos prévios físicos e matemáticos.
Etapa 3: Criar modelo matemático
Etapa 4: Resolver o problema matemático
Modelagem: Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve um problema
físico em questão.
Resolução: Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da obtenção da
solução analítica ou numérica.
1.1.2 Cálculo Numérico
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O cálculo numérico compreende a análise dos processos que resolvem
problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;
O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às
respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos);
O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica
em escrever o método numérico como um programa de computador.
Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No
entanto, não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se
esperaria obter.
1.1.3 Fontes de erros
Suponha que você está diante do seguinte problema: Determinara a distância
percorrida por um navio sabendo que o modelo matemático segue a equação cinemática
do movimento variável do corpo sólido com velocidade constante.
Conhecemos também os seguintes parâmetros:
• s é a posição final;
• s0 é a posição inicial;
• v é a velocidade;
• t é o tempo percorrido;
A equação a ser utilizada é então: (1.1)
Se o navio possuir velocidade constante de 12 nós(6,168 m/s) e navegara durante
2horas, a distância percorrida será de 44,4 km.
Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?
Erros de modelagem:
− Resistência do ar,
− Velocidade do vento,
− Forma do objeto, etc.
Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.
Erros de resolução:
− Precisão dos dados de entrada
(Ex. Precisão na leitura do cronômetro que marca o tempo navegado);
− Forma como os dados são armazenados;
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− Operações numéricas efetuadas com o equipamento computacional do navio;
− Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).
Assim, quanto mais o modelo teórico se aproximar do real, mais precisa será a
modelagem matemática que estuda o fenômeno em questão.
1.2 Representação numérica
O seguinte exemplo ilustra como a representação numérica influencia no
resultado de uma determinada operação matemática.
Exemplo 1.1:
Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros. Considere os seguintes
valores de : 3,14; 3,1416; 3,141592654.
Solução:Á
a) 31140 m2
b) 31416 m2
c) 31415,92654 m2
Exemplo 1.2:
Calcular ∑ utilizando uma calculadora e um computador para 0,5 e 0,11
Solução:
Equipamento S para Xi=0,5 S para Xi=0,11
Calculadora 15000 3300
Computador 15000 3299,99691
Por que das diferenças?
No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π:
a) π =3,14
b) π =3,1416
c) π =3,141592654
Dependência da aproximação escolhida para π. Aumentando-se o número de
dígitos aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato, já que π não é
um número exato.
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No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base
utilizada, da forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros
cometidos nas operações aritméticas.
O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e,
portanto, discreto, ou seja, não é possível representar em uma máquina todos os
números de um dado intervalo [a, b]. A representação de um número depende da BASE
escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.
Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia?
Base decimal (Utilizam-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).
Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria
dos computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1.
Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a
conversão para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os
resultados na base decimal para o usuário.
Exemplos:
(100110)2 = (38)10
(11001)2 = (25)10
1.2.1 Representação de um número inteiroA princípio, representação de um número inteiro no computador não apresenta
qualquer dificuldade. Todo computador trabalha internamente com uma base fixa β,
onde β é um inteiro ≥ 2; e é escolhido como uma potência de 2.
Dado um número inteiro x ≠ 0, ele possui uma única representação genérica
expressa pela equação: ∓− ∓β −β− β β β (1.2)
onde é um dígito da base em questão, e no caso de uma base binária todos
os são iguais a 1 ou 0 que são os dígitos da base binária.
Exemplos:
a) Como seria a representação do número 1100 numa base β=2? 1100 1100 . Só dígitos 1 e 2.
b) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10?
1997 1.10 9. 10 9.10 7.10
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1.2.2 Representação de um número real
Se o número real x tem parte inteira xi , sua parte fracionária xf = x - xi pode ser
escrita como uma soma de frações binárias:
∓− ∓(− − ⋯ −−− −) (1.3)
Assim o número real será representado juntando as partes inteiras e fracionárias, ou
seja, ∓− . . , − … ······, onde, x possui n+1 algarismos na
parte inteira e m+1 algarismos na parte fracionária.
Exemplo:
Representar o número 39,28 na base 10.
39,28 3.10
9. 10
2.10−
8.10−
1.3 Conversão entre as bases
Conforme dito anteriormente, a maioria dos computadores trabalha na base β ,
ondeβ é um inteiro ≥ 2 ; normalmente escolhido como uma potência de 2.
1.3.1 Binária para Decimal
1101 1. 2 1. 2 0. 2 1. 2 13
11001 1. 2 1. 2 0. 2 0. 2 1. 2 25
1.3.2 Decimal para Binária
Na conversão de um número escrito em base decimal para uma base binária são
utilizados: o método das divisões sucessivas para a parte inteira e o método das
multiplicações sucessivas para conversão da parte fracionária do número em questão.
- Método das divisões sucessivas (parte inteira do número)
a) Divide-se o número (inteiro) por 2;
b) Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;
c) Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.
O número binário é então formado pela concatenação do último quociente com os restos das
divisões, lidos em sentido inverso.
- Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número)
a) Multiplica-se o número (fracionário) por 2; b) Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a parte
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fracionária é novamente multiplicada por 2;
c) O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual à zero
Exemplos
13 1101
Quociente Resto
13/2 6 1↑
6/2 3 0↑
3/2 1→ 1↑
Acompanhando o sentido das setas: (1101)2
25 11001
Quociente resto
25/2 12 1↑
12/2 6 0↑
6/2 3 0↑
3/2 1
→ 1
↑
0,375 0,011
d) (13,25)10=(1101,01)2
13 1101
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Quociente Resto
13/2 6 1↑
6/2 3 0
↑
3/2 1→ 1↑
(0,25)10= (0,01)2
e) (0,1)10=(0,00011001100110011.........00110011.......). Este número não tem um número
finito de dígitos na base decimal.
1.3.3 Exercícios Propostos
a) (10010)2= (?)10
b) (1100101)2=(?)10
c) (40,28)10= (?)2
d) (110,01)2=(?)10 e) (3,8)10=(?)10
f) (12,20)4=(?)3
1.4 Arredondamento e aritmética de ponto flutuante
Um número é representado, internamente, num computador ou máquina de
calcular através de uma sequência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou
1, ou seja, os números são representados na base binária.
De uma maneira geral, um número x é representado na baseβ por: ∓ … … . ] (1.4)
Onde: são números inteiros contidos no intervalo 0 ≤ ≤β−1; i=1, 2,........ t ;
e representa o expoente de β e assume valores entre m ≤ e ≤ M; m e M são,
respectivamente, limite inferior e superior para a variação do expoente.
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… … . ] é a chamada mantissa e é a parte do número que representa seus
dígitos significativos e t éo número de dígitos signi ficativos do sistema de representação,
comumente chamado de precisão da máquina.
Um número escrito na aritmética de ponto flutuante ∓ … … … pode
também ser representado por ,,,, com ≠ 0, pois é o primeiro algarismo
significativo de x e ≤ ≤ .
Exemplo1:
a) Escrever os números reais 0,35, 5,172, 0,0123, 0,0003, 5391,3 ã todos na baseβ=10 em notação de um sistema de aritmética de ponto
flutuante.
Solução:a) 0,35 3.10− 5.10−. 10 0,35. 10
b)5,172 5.10− 1.10− 7.10− 2.10−. 10 0,5172.10
c) 0,0123 1.10− 2.10− 3.10−. 10− 0,123.10−
d) 5391.3 5.10− 3. 10− 9. 10− 1. 10− 3. 10−. 10 0,53913.10
e) 0,0003 3.10−. 10− 0,3.10−
Exemplo2:
Um computador escreve números no sistema F (10; 3; 2; 2). Represente neste sistema os
números do exemplo 1.
Solução: 10; 3; 2; 2, 2 ≤ ≤ 2 0,35 3.10− 5.10−. 10 0,35. 10 5,172 5.10− 1.10− 7.10−. 10 0,517.10 ( somente três dígitos
significativos)0,0123 1.10− 2.10− 3.10−. 10− 0,123.10−
Os números 0,53913.10 e 0,3.10− não podem ser representados neste sistema, pois o expoente é maior que 2 causando overflow e menor que -2, causando underflow.
Um erro de overflow ocorre quando o número é muito grande para ser representado,
já um erro de underflow ocorre na condição contrária, ou seja, quando um número é
pequeno demais para ser representado.
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1.5 Erros
O formato de um número em aritmética de ponto flutuante limita a mantissa em
k dígitos decimais. Existem duas maneiras de obter essa limitação. Um método
chamado de truncamento, consiste em simplesmente cortar os dígitos
+, + … ..
O outro método, chamado de arredondamento trunca a mantissa em k dígitos
(como no caso acima), porem duas situações podem ocorrer:
1 + ≥ 5, 1 ( aumenta-se uma unidade o dígito significativo)
2 + ≤ 5, ( manter o dígito significativo)
Exemplo:
O número
pode ser escrito na aritmética de ponto flutuante com cinco dígitos:
1-no método do truncamento, 3,1415.10
2-no método do arredondamento, 3,141.10. ( como o último algarismo significativo
é maior ou igual a 5, ele foi arredondado para 6 ( 1).
Estes dois processos geram erros nos cálculos numéricos e são conhecidos como
erros de truncamento e erros de arredondamento, respectivamente.
1.5.1 – Erro absoluto e relativo.
Sejam Xabs o valor absoluto de um número e Xmed o valor aproximado do
número. O erro absoluto e o relativo são determinados pelas equações: | | (1.5)% |−| .100 (1.6)
Em geral apenas x é conhecido, e o que se faz é assumir um limitante superior ou
uma estimativa para o módulo do erro absoluto.
Exemplo.
a) Se o número pertence ao intervalo (3,14; 3,15) determine o erro absoluto para a
avaliação de . ≤ | | ≤ |3,15 3,14| ≤ 0,01
b) Seja x representado por xmed= 2112,9 de forma que || < 0,1. Qual o intervalo
que compreende o número x? Qual o erro relativo
(2112,9-0,01;2112,9+0.01)=(2112,8;2113,0)
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% | −| . ,, .=0,0047%
O erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo. Daí a maior
utilização do conceito de erro relativo.
1.5.2 Exercícios Propostos
1. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de
0.00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
2. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato de
101000. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
3. Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior
precisão? Justifique sua resposta.
1.5.3 Erro de arredondamento e truncamento
Dar a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto
flutuante de três dígitos (t=3), para β = 10, m=-4 e M=4.
x Arredondamento Truncamento
1,25 0,125.10 0,125.10
10,053 0,101.102
0,100.102
-238,15 -238.103 -238.103
2,71828 2,72.10 2,71.10
0,000007 Exp<-4, underflow Exp<-4, underflow
718235,82 Exp>4, over flow Exp>4, over flow
1.5.4 Propagação de erros
Será mostrado um exemplo que ilustra como os erros descritos anteriormente podem
influenciar no desenvolvimento de um cálculo. Considere uma máquina qualquer e uma
série de operações aritmética .pelo fato do arredondamento ser feito após cada operação,
temos que ao contrário do que é válido para números reais, as operações aritméticas não são
associativas e nem distribuitivas.
Exemplos
Efetue as operações indicadas.
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12
a)(11,4 +3,18) +5,05=14,6 +5,05=19,7
b) 11,4 +(3,18 +5,05) = 11,4 +8,23=19,6
c),.,, ,, 7,18
d) ,, . 11,4 3,18.16,5 7,19
1.6- Fórmulas para os erros nas operações aritméticas
1.6.1- Soma dos números
Sejam os números x e y com erros absolutos Eax, Eay, e erros relativos Erx e Ery.
(1.7)
+ (1.8)+ + + + (1.9)
1.6.2- Subtração dos números ( ) (1.10)− (1.11)
− − − − (1.12)
1.6.3- Produto dos númerosxy ( ) 1.13) ≅ 0 xy ( ) (1.14)
(1.15)
+
(1.16)
1.6.4-Divisão dos números
xy 11
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13
11 1 ⋯
⋯ ≅ 011 1
+ 1 (1.17)
(1.18)
(1.19)
Exemplo.
Os números 460 e 24 são escritos como 460∓0,25 e 24 ∓ 0,005. Determine:
a) o erro absoluto e relativo da soma dos números.+ 0,25 0,005 0,255 , 5,5.10−
, 2,1.10− + + + +
+ + ,+ 5,3. 10−
+ 5,5.10− 460460 24 2,1.10− 2446024 5,3. 10−
b) o erro absoluto e relativo da subtração
− 0,25 0,005 0,245
− − ,− 5,61. 10−
−
− 5,5.10− 460460 24 2,1.10− 2446024 5,68. 10−
c) o erro absoluto e relativo do produto
460.0,005 21.0,25 7,48
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7,48460.21 7,74. 10−
5,5.10− 2,1.10− 7,6.10−
d) O erro absoluto e relativo da divisão dos números
ymed xmedymed 0,2521 460.0,00521 0,006689
/ 0,006689460/21 3,1.10−
5,5. 10− 2,1. 10− 3,1.10−
Quando os números estão representados exatamente, teremos:
∓ 0 e aparece nas equações o termo RA devido ao
arredondamento.
O erro de arredondamento segue a equação:+ || < 0,5.10−+ (1.20)
Exemplo:
Sejam x=0,937.104; y=0,1272.102; z=0,231.10. Se x,y,z estão exatamente representados,
calcular x+y+z
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais: 0,937.10 0,001272.10 0,000231.10
A soma é feita por partes: 0,9383. 10
0,9383.10 0,000231.10 0,938531. 10
Após o arredondamento: 0,9385.10
++ + ++ 0, 0, 0á 0
+
+
+ +
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15
++ + ++
++ +
++ Fazendo + ++= RA(≤ 0,5. 10−+ ++ < 1 .0,5.10−+
++ 0,9383.100,9385.10 1 < 0,5. 10−+
++ < 0,9998.10−
Resumo:
1. Erro relativo da soma: Soma dos erros relativos de cada parcela,ponderados ela participação de cada parcela no total da soma.
2. Erro relativo da subtração : Diferença dos erros relativos do minuendo e do
subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração.
1. Erro relativo do produto: Soma dos erros relativos dos fatores.
2. Erro relativo da divisão: Diferença dos erros relativos do dividendo e do divisor.
1.7- Propagação do erro de funções
Seja Fuma função das variáveis x1,x2,x3,............xn..F fx, x, x … … . x
Cada variável é medida na forma experimental, na forma ∓ ∆.O erro ∆ em F devido aos erros ∆ das medidas de é obtido através da equação:∆ ≤ ∆x ∆x ∆x ⋯ ∆x (1.21)
O erro relativo será expresso por:
≤ ∆ ≤ ∑
∆
(1.22)
Em termos da diferencial logarítma: ≤ ∑ [fx, x, x … … . x . ∆= (1.23)
1.7.1-Relação entre precisão relativa e número de algarismos exatos de um número
aproximado.
1-Se o primeiro algarismo significativo de um número aproximado
é k, contendo o
referido número N algarismos significativos exatos, o erro relativo associado a
aproximação será dado pela equação:
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≤ . 10− (1.24)
2- Se o erro relativo cometido na aproximação de um número x, for menor que+ . 10
−, então o número contém N algarismos significativos exatos.
Exemplos
a) Seja o número 3,1415 com cinco algarismos significativos. Determine uma cota
superior para o erro relativo.
3,1415
3 (primeiro digito significativo)
N=5
≤ 1 . 10−; ≤ 13 . 10− ≤ 0,333 … . 10−
10−. A cota superior do erro relativo é de 10− .
b) A precisão relativa de um número aproximado 24253 é de 1%. Quantos
algarismos exatos possui?
2
0,011% ≤ 12 . 10− 0,02 ≤ 10− log0,02 ≤ log10− 10,02 2,6989
N=2 algarismos exatos
c) determine o número de algarismos significativos exatos contidos em
3,241
sendo < 0,001. 3
< ; < 0,0013,241 < 3,086.10−
< 1 1 . 10−
3,086.10−
< 13 1 . 10
−
0,0012344 < 1
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N=3,9085
N=3
Este número deverá ser representado por 3,24∓0,01
d) Entre que valores está o valor real de
, 2 0,3 para x=3,14 e
y=2,17 , com ∆ ∆ inferiores a 0,01.
∆ ≤ x ∆x x ∆x x ∆x ⋯ x ∆x 2 2
∆ ≤ ∆ ∆ ≤ |2∆| | 2∆| , 3,14. 2,17 2.2,17 0,3 26,035332 ∆ ≤ |2.3,14.2,71.0,01| |3,14 2.0,01| ∆ ≤ 0,25487
≤ ∆ ; < 0,2548726,035332 < 0,978.10−
2 í
< 1 1 . 10−
0,978.10− < 13 . 10−
0,02934 < 1
N=2 algarismos significativos exatos.
z= 26∓1 25;27
e) calcule um limite superior do erro absoluto e relativo no cálculo da expressão
, , sin , sabendo que são usados os seguintes valores
aproximados : 1,1; 2,04; 0.5; 0,05; 0,005; 0,05
Como se pede o limite superior do erro absoluto, usaremos para x, y, z os maiores
valores do intervalo de incerteza: 1,10,05;1,10,05 1,05;, 2,04 0,005; 2,04 0,005 2,035; ,
0,50,05;0,50,05 0,45;,
8/17/2019 Cálculo Numérico Para Oficiais Da Marinha Mercante
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∆ ≤ x ∆x x ∆x x ∆x ⋯ x ∆x 1
2 2.2,045 4,09
cos() cos0,55 0,8525245
∆ ≤
∆
∆
∆ ≤ |1.0,05| |4,09.0,005| |0,8525245.0,05|
∆ ≤0,113076225 , , 1,15 2,045 sin0,55 3,5547122289
≤ ∆ ; < 0,1130762253,5547122289 < 0,318102332.10−
3
< 1 1 . 10−
0,318102332.10− < 13 1 . 10−
0,1272409328 < 1
N=1,89
Somente um algarismo é significativo para f, o dígito 3. 2; 4