Calculo y teoría de los números
Calculo Infinitesimal • Parte de las matemáticas
que se ocupa de las
operaciones con
cantidades infinitamente
pequeñas.
• Incluye dos campos
principales, calculo
diferencial y calculo
integral, que están
relacionados por el
teorema fundamental del
cálculo.
Historia• Tiene su origen en la antigua geometría griega.• Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos
formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal.• En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales,
Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y lastangentes (integración y Derivación en términos modernos)
• Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670)quienes demostraron que los problemas del área y la tangente soninversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.
• En el siglo XIX analistas matemáticos establecieron fundamentos sólidosbasados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron conprecisión los conceptos de límite en términos de Ɛ y Δ y de derivada,Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind yWeierstrass con los números reales.
• El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casitodas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculonumérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicoscuya principal característica es la continuidad de sus elementos, enespecial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicosmodernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología,etc. hacen uso del cálculo
Teoría del númeroLa teoría de números es la ramade matemáticas que estudia laspropiedades de los númerosenteros (Z) y contiene unacantidad considerable deproblemas que son fácilmentecomprendidos .Se estudiannúmeros enteros sin empleartécnicas procedentes de otroscampos de la matemática. Adicha teoría pertenecen , entreotras, las cuestiones dedivisibilidad, el máximo comúndivisor, la factorización de losenteros como producto denúmero primos.De lo anterior constituyenenunciados típicos el pequeñoteorema de Fermat y el teoremade Euler que lo extiende
Historia• La teoría de números, iniciada por Gauss, encontró un continuador en
Diríchlet. Así como también Sophie Germain quien hizo importantes
contribuciones a dicha teoría.
Más tarde en 1896 Kummer hizo progresar el estudio del "teorema de Fermat" . Uno de los primeros intereses de Fermat era, números perfectos y números amigables, lo que lo llevó a trabajar en divisores enteros. Leopold Kronecker, que desarrolló además la teoría de los "cuerpos de números“aseguraba, toda la matemática debía fundarse sobre el concepto de número natural.
• Hermann Minkowsi en 1896 hizo conocer una "geometría de los números" que
inicia una nueva dirección en los estudios de teoría de números.
• En el siglo XX cabe mencionar progresos en el tratamiento de las ecuaciones
díofánticas, los ingleses Godofrey Harold Hardy y John ELittlewood y el ruso IvanMVinogradov, se ocuparon de la hipótesis de Goldbach logrando importantes resultados .
• Uno de los problemas de teoría de números, el de las “particiones", iniciado por Euler logró progresos en 1917 .
• Comenzando a principios del siglo XIX, los siguientes acontecimientos tomaronlugar gradualmente: la teoría de números como un campo de estudio, la subdivisión aproximada de la teoría de números en sus modernas sub-campos, y la teoría analítica de números y algebraicos,
Conjetura de Goldbach• El matemático Christian Golbach escribió una carta
dirigida a Euler, con fecha 7 de Junio de 1742, en la
que afirmaba haber observado que todo número
par mayor que 2 podía escribirse como suma de
dos primos. Para la matemática una conjetura es
una afirmación que se supone cierta pero que no
fue probada, ni refutada hasta la fecha. La
resolución de la conjetura de Goldbach está
considerada como uno de los problemas más
difíciles de la matemática.
Teorema • “Todo número par mayor que 2 se puede escribir
como la suma de dos números primos.” Ejemplos:
4= 2+2 8= 3+5 14= 7+7= 11+3
• Obras influidas por esta conjetura:
En cine
La conjetura de Goldbach forma parte de la trama
de la película española “La habitación de Fermat”
(2007)
También aparece en la película “Proof”, conocida
como “La verdad oculta”.(2005)
Aritmetización del análisis
• Uno de los temas fundamentales en el proceso defundamentación del cálculo fue la construcción ola validación de los números reales. Para ello, variosmatemáticos se orientaron a ofrecer diferentesdefiniciones y construcciones de estos números,donde por supuesto lo decisivo giraba alrededorde los irracionales. En esa dirección, hicieronimportantes aportes Weierstrass, Richard Dedekind(1831 - 1916), Georg Cantor (1845 - 1918), CharlesMéray (1835 - 1911) y tiempo después el filósofobritánico Bertrand Russell (1872 - 1970).
• Klein le llamó: "El padre de la Aritmetización"
Algunos de sus libros fueron publicados fuera de
Austria (Chequia pertenecía a Austria) por culpa
de la censura Se le prohibió que publicara sus
trabajos, pero él siguió escribiendo Durante algún
tiempo coincidió con Cauchy. Escribió a un alumno
suyo que se había encontrado y visitado varias
veces con Cauchy. Sus ideas sobre Aritmetización
del calculo, definición de límite, derivada,
continuidad y convergencia las desarrolló a la vez
que Cauchy pero de forma independiente.
Nicolás de Oresme • Nació en Normandía 1325 y murió en 1382
• Matemático y astrónomo francés. Estudió y enseñó
en París. Fue un genio intelectual perteneciente a la
escolástica tardía y probablemente el pensador más
original del siglo XIV. Fue también un teólogo
reconocido y obispo de Lisieux, además traductor y
consejero del rey Carlos V de Francia.
• En su obra Algorismus proportionum trabaja en el
cálculo de potencias con exponentes enteros y
racionales, e incluso deja entrever la posibilidad de
potencias de exponente irracional. En un trabajo
posterior, De proportionibus proportionum. Señala que
una proposición, merece ser señalada: dadas dos
magnitudes, es más probable que sean
inconmensurables que lo contrario.
• El Tractatus de latitudinibus formarum, donde las
funciones aparecen por primera vez dibujadas. Todo
lo que varía, se lo puede imaginar como una
cantidad continua representada mediante un
segmento rectilíneo
John Napier Merchiston Castle
• Nació en el año 1550 en el castillo deMerchiston (Edimburgo) y falleció enEdimburgo el 4 de abril de 1617. A los treceaños, en 1563 comenzó sus estudios en laUniversidad de Saint-Andrews, de la que salióaños más tarde para viajar .
• De regreso a Merchiston en 1571 dedico suvida a los estudios de matemáticas yteología, la administración de su patrimonioy los cargos públicos.
• Inventó los logaritmos , que dio a conocer en1614, fruto de un estudio de veinte años.
• Las aportaciones de Napier fueron acogidaspor Edward Wright, y por Henry Briggs y mástarde en Oxford.
• Se recuerda también a Napier en la historiade la trigonometría: teorema de Napier yanalogías de Napier.
Henry Briggs • Nació en 1561 y murió en1630
• Fue el primer profesor de Geometría del“Gresham College” de Londres. Estuvo
dedicado un tiempo a la Astronomía –el
estudio de los eclipses- y fue seguidor de
Kepler.
• Visitó a Napier en Edimburgo, con el motivo
de discutir la sugerencia de cambiar los
logaritmos de Napier
• Creó unas tablas para la navegación,
• En 1624 publicó su Aritmética Logarítmica untrabajo que contenía los logaritmos de treinta
mil números naturales a catorce decimales .
• Descubrió en una forma un tanto oculta y sin
la prueba, el teorema del binomio
Bonaventura Cavalieri • Nació en Milán en 1598 y murió en Bolonia
1647.
• Fue un matemático italiano pertenecientea la orden de los jesuatos. Fue alumno deGalileo Galilei, y enseñó matemática enBolonia (1629).
• Trabajó en los problemas de la óptica y demovimiento.
• Desarrolló un enfoque geométrico para elcálculo. Como aplicación, se calcula lasáreas bajo las curvas - una integral primera -que se conoce como fórmula decuadratura de Cavalieri
• Se caracteriza por el principio de Cavalieri.desarrolló un "método de los indivisibles",que se utiliza para determinar las áreas yvolúmenes. Fue un paso importante en elcamino al moderno cálculo infinitesimal.
Pierre de Fermat • Nació el 17 de Agosto de 1601 y murió 12
de Enero de 1665• Fue un jurista y matemático francés apodado
el «príncipe de los aficionados».• Fermat fue junto con Rene Descartes uno de
los principales matemáticos de la primeramitad del siglo XVII
• Descubrió el calculo diferencial antes queNewton y Leibniz fue cofundador de la teoríade probabilidades junto a Pascal eindependientemente de Descartes, descubrióel principio fundamental de la geometríaanalítica. Sin embargo, es más conocido porsus aportaciones a la teoría de números enespecial por el conocido como últimoteorema de Fermat.
• Espiral de Fermat• Números amigos• Números primos• Pequeño teorema de Fermat• Teorema sobre la suma de dos cuadrados• Último teorema de Fermat
Isaac Newton• Nació en Lincolnshire en el año 1642 y murió en
Londres en el año 172
• Se orientó hacia la investigación en Física yMatemáticas, y a los 29 años ya había formuladoteorías que señalarían el camino de la cienciamoderna hasta el siglo XX.
• Newton coincidió con Leibniz en eldescubrimiento del cálculo integral, quecontribuiría a una profunda renovación de lasMatemáticas.
• Formuló las tres leyes fundamentales delmovimiento: la primera ley de Newton o ley de lainercia, la segunda o principio fundamental dela dinámica, y la tercera, que explica que porcada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpoexiste una reacción igual de sentido contrario.
• De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es lamás conocida: la ley de la gravedad, que segúnla leyenda le fue sugerida por la observación dela caída de una manzana del árbol.
Gottfried Wilhelm Leibniz • Nació el 1 de Julio de 1646 y murió el14 de
Noviembre de 1716
• Fue un filósofo, lógico, matemático, jurista,bibliotecario y político alemán
• Fue uno de los grandes pensadores de lossiglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "Elúltimo genio universal". Realizó profundas eimportantes contribuciones en las áreas demetafísica, epistemología, lógica, filosofía dela religión, así como a la matemática, física,geología, jurisprudencia e historia
• Ocupa un lugar igualmente importante tantoen la historia de la filosofía como en el de lasmatemáticas
• Inventó el cálculo infinitesimalindependientemente de Newton y sunotación es la que se emplea desdeentonces. También inventó el sistema binario,fundamento virtualmente de todas lasarquitecturas de las computadoras actuales
Leonhard Euler • Nació el 15 de abril de 1707 y murió el18 de
septiembre de 1783• Fue un matemático y físico suizo. Se trata del
principal matemático del siglo XVIII y uno delos más grandes y prolíficos de todos lostiempos. Realizó importantes descubrimientosen áreas tan diversas como el cálculo o lateoría de grafos. También introdujo granparte de la moderna terminología y notaciónmatemática, particularmente para el áreadel análisis matemático.
• Trabajó prácticamente en todos los ámbitosde las matemáticas: geometría, calculo,trigonometría, algebra, teoría de números,además de física continua, teoría lunar yotras áreas de la física. Adicionalmente,aportó de manera relevante a la lógicamatemática con su diagrama de conjuntos
Sophie Germain • Nació el 1 de abril de 1776 y murió el 27 de junio de
1831
• Fue una matemática francesa, Nació en París ycomenzó a estudiar matemáticas a la edad detrece años
• Fue autodidacta, mantenía correspondencia conGauss-, sobre todo después de leer la obra de éste:Disquisiciones aritméticas.
• En 1809 a 1815 Sophie abandona su trabajo sobre lateoría de números y se concentra en los estudios defísicamatemática con una investigación acerca dela teoría de la elasticidad.
Anécdota: se disfrazaba de hombre para poder entrar a estudiar en lugares de matemáticos (donde solo dejaban entrar varones).
Augustin Louis Cauchy • Nació el 21 de agosto de 1789 y murió el
23 de mayo de 1857.
• Empezó a educarse tempranamente
con su padre . Era ingeniero.
• Fue pionero en el análisis matemático y
la teoría de grupos de permutaciones.
También investigó la convergencia y la
divergencia de las series infinitas,
ecuaciones diferenciales, determinantes,
probabilidad y física matemática.
• Toma el concepto tradicional de
integral, como suma y no como
operación inversa
Georg Friedrich Bernhard
Riemann• Nació en Breselenz, actual Alemania en
1826 y murió en Selasca, Italia en 1866.
• Se dedicó a la docencia.
• Hizo contribuciones básicas a la teoría delas funciones de una variable compleja, ala física matemática y a la teoría denúmeros.
• Él fue quien permitió calcular las integralesa partir de la definición como un límite desumas.
• En su corta vida contribuyó a muchísimasramas de las matemáticas: integrales deRiemann, aproximación de Riemann,método de Riemann para seriestrigonométricas, etc.
• Pese a la importancia de todas estascontribuciones, la más conocidaaportación fue su geometría noeuclidiana, basada en una axiomáticadistinta de la propuesta por Euclides.
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
• Nació 22 de diciembre de 1887 ymurió el 26 de abril de 1920
• Fue un llamativo autodidacta
• Algunos de sus hallazgos son:Propiedad de los números altamentecompuestos, las funciones de particióny sus asíntotas, función theta deRamanujan
• Ha logrado notables progresos ydescubrimientos en las áreas relativasa: Funciones Gamma, formasmodulares, series divergentes, serieshipergeométricas, teoría de losnúmeros primos.
• Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural quese puede expresar como la suma dedos cubos de dos maneras diferentes.