Cálculo Vectorial
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• Identifica un campo Escalar y Vectorial.
• Determina el Gradiente, Divergencia y Rotacional de un campo escalar o vectorial.
• Establece condiciones suficientes y necesarias, para que un campo vectorial sea conservativo.
• Determina la función Potencial.
Habilidades
Son funciones del tipo T = f(x, y) ó T = f(x, y, z) que ya estudiamos (representamos, derivamos e integramos) como casos particulares que son de funciones de dos o tres variables.
Sea E un conjunto de R3 [R2]. Un campo vectorial sobre E es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) [(x, y)] de E un vector tridimensional [bidimensional] F(x, y, z) [F(x, y)].
Campo escalar
Campo vectorial
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Campos escalares y vectoriales.
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Campos Vectoriales
Sea D un subconjunto de R2. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna, a cada punto (x; y) D, un vector de dos dimensiones F(x; y).
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Ejemplo 1. Considere el campo vectorial F: R2 R2 dado por
2, R :x y xyyx ,, F
(a) Describa gráficamente el campo vectorial F.(b) Efectúe el producto escalar e interprete el resultado.
yxyx ,, F
En R3, el campo vectorial F se puede expresar como zyxRzyxQzyxPzyx ,,;,,;,,,, F
Campos Vectoriales
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Suponga que RR: 2 Df es una función real
de dos variables; el gradiente
),(;),(, yxfyxfyxf yx
es llamado el campo vectorial gradiente de f.
Campo gradiente
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(a) 22 3, yxyxyxf
(b)
Ejemplo 2 Halle le campo vectorial gradiente de cada una de las funciones siguientes:
222,, xyzzxyyzxzyxf
kjizyx
zyx
;;
Operador diferencial vectorial “Nabla”
Si es un campo vectorial sobreR3 y existen las derivadas parciales entonces la divergencia de F, es el campo escalar definido por:
Mediante el operador Nabla:
kjiF RQP
zR
yQ
xP
Fdiv
FF div
,;zRy
yQ
xP
Divergencia de un campo vectorial
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Determine la divergencia del campo vectorial
Ejemplo 3:
kjiF 222),,( xyzzxyyzxzyx
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Si es un campo vectorial sobre R3 y existen las derivadas parciales de P, Q y R, entonces el rotacional de F, es el campo vectorial sobre R3
definido por:
kjiF RQP
kjiF
yP
xQ
xR
zP
zQ
yRrot
Mediante el operador Nabla:
FF rot
RQPzyx
kjiF
Rotacional de un campo vectorial
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Halle el rotacional del campo vectorial kjiF 2),,( yxyzxzzyx
Ejemplo 4:
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Teorema1: Si f es un campo escalar que posee segundas derivadas parciales continuas, entonces:
Teorema 2: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces:
rot( )f 0
div(rot( ) ) 0 F
Relación entre el gradientes, la divergencia y el rotacional.
(b) Sean un campo vectorial y A un subconjunto no vacío de D. Se dice que F, es un campo vectorial conservativo en A, si existe una función real f que cumpla la siguiente propiedad
33: RRD F
),,(),,(:),,( zyxzyxfAzyx F
(a) Sean un campo vectorial y A un subconjunto no vacío de D. Se dice que F es un campo vectorial conservativo en A, si existe una función real f que cumpla la siguiente propiedad
22: RRD F
),(),(:),( yxyxfAyx F
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Función Potencial y campos conservativos.
Si F es el gradiente de f, entonces:1. f es una función potencial de F.2. F es un campo conservativo.
Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial sea conservativo.
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Teorema: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que
rot(F) = 0
La condición anterior, se particulariza para campos en el plano tomando F(x; y; z) = P(x; y)i + Q(x; y)j + 0 k y se obtiene:
Teorema: Si F(x; y) = P(x; y)i + Q(x; y)j es un campo vectorial en el plano, cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que
yP
xQ
Condición suficiente y necesaria para que un campo vectorial sea conservativo.
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es una de sus funciones potenciales, entonces se cumple:
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¿Cómo hallar una función potencial de un campo vectorial ?
Si es un campo vectorial y 22: RRD FRRD:f 2
1
)2.......();();()1.......();();(
yxQyxfyxPyxf
y
x
),(;),(),( yxQyxPyx F
Función Potencial y campos conservativos.
Determine, si el campo vectorial
F(x, y) = (2x – 3y)i + (2y – 3x)j es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.
Ejemplo 5:
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¿Cómo hallar una función potencial de un campo vectorial dado ?
donde
zyxRzyxQzyxPzyx ,,;),,(;),,(),,( F
)3........();;();;()2.......();;();;()1.......();;();;(
zyxRzyxfzyxQzyxfzyxPzyxf
z
y
x
es una de sus funciones potenciales, entonces se cumple:
Si es un campo vectorial y 22: RRD F
RRDf 21:
Función Potencial y campo conservativo
Determine si el campo vectorial
es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.
kjiF )2()2()2(),,( 222222 xyzxyyxxzxyzzxyzzyxyzzyx
Ejemplo 6:
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