FUNCIONES I
Definicin
Una relacin f de A en B denotada por f: A B es una funcin si y slo si a cada elemento x ( A, le corresponda un nico elemento y(B a travs de f.
Simblicamente:
f : { (x;y) ( AxB / y = f(x)
Dicho de otra manera, si f es una relacin entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una funcin si se verifica las siguientes condiciones:
1ra. f ( AxB
2da. Si: (x;y) ( f ( (x;z) ( f ( y = z
Grficamente una funcin debe guardar siempre un principio:
Si una recta imaginaria paralela al eje y, corta a su grfica en un solo punto, entonces se podr afirmar que es una funcin. De lo contrario no ser una funcin.
Ejemplo:
Dado los conjuntos:
A = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
B = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
Hallar:
a) f = { (x;y) ( AxB / y = x+1 }
b) Dom(f) y Ran(f)
c) Representar la funcin mediante un diagrama sagital.
Solucin:
a) La funcin f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde x(A ( y(B que satisfacen la igualdad: y=x+1.
Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:
x
y = x+1
Pares ordenados
2
y = 2 + 1 = 3 ( B
(2;3) ( f
4
y = 4 + 1 = 5 ( B
(4;5) ( f
6
y = 6 + 1 = 7 ( B
(6;7) ( f
8
y = 8 + 1 = 9 ( B
(8;9) ( f
( f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) }
Donde:
A: es el conjunto de partida
B: es el conjunto de llegada
Y = f(x) : es la regla de correspondencia
Dom(f) : es el dominio de f
Ran(f) : es el rango de f
b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 }
Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 }
c) Diagrama sagital:
Regla de Correspondencia
Para que se pueda definir bien una funcin es suficiente conocer su dominio (Df) , y una regla que permita asignar para cualquier x Df , su imagen F(x).
Ejemplo:
Hallar el dominio en las siguientes funciones:
a) F = { (2;3) , (4;5) , (6;3) , (2;a) }
Df = { 2 ; 4 ; 6 ; -2 }
b) F(x) =
x2
-
Df : x 2 ( 0 ; x ( 2 ( Df = [2;+(>
c) F(x) =
x23
x5x3
-
+
+-
Df :
x-2
0x30
x+5
-
Df : U [2;+(> - {3}
Ejemplo:
Hallar el rango de las siguientes funciones:
a) F = { (2;3) , (4;6) , (5;7) , (7;6) , (-2;3) }
Rf = {3;6;7}
a) Sea: F(x) = x2
{
}
2
x
yx
y3
+
=
; Df = < -(;+( > ; Rf = [0;+(>
Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las ms conocidas.
- Cuando tenemos una funcin donde su dominio no presenta rango, se despeja en funcin de y
- Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades.
b) Para la funcin definida por:
g(x) = 2x2 + 3x + 2 ; x R
Solucin: y = 2x2 + 3x + 2 ( 2x2 + 3x + (2-y) = 0
394(2)(2y)
x
2(2)
---
=
Si: x R; luego y tambin R
Pero: ( ( 0 ; 9 8(2-y) ( 0 ( y ( 7/8 ( Rg = [7/8;+>
c) Para la funcin definida por: H(x) = x2 4x + 7 ; x [2;3]
Solucin:
y = x2 4x + 7 ( y = (x-2)2 + 3
2
x
3 ( 0
x 2
1
Al cuadrado:
0
(x-2)2
1
mas de tres:
3
(x-2)2 + 3
4
3
y
4
Rh = [ 3 ; 4 ]
d) Para la funcin:
2
(x)
2
x
F
x1
=
+
Solucin:
2
222
2
2
x
yyxyxx(y1)y
x1
yyyy
x00
1y1y1yy1
=+=-=-
+
=
----
( y [0;1> ( Rf = [ 0 ; 1 >
PROBLEMAS
BLOQUE I
01.- Si el conjunto:
F = { (1;7a+3b) , (-2 ; 3a+2b) , (-2 ; -2) , (1 ; -8) , (a+b ; 4) }
Es una funcin, hallar a2 + b2
a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10
02.- Hallar el dominio de la funcin:
F(x) = x + 9
a) R {9}b) R {-9}c) Rd) R {0} e) R+
03.- Hallar el dominio de la funcin:
F(x) = 3x2 + 2x + 1
a) R {3}b) R {2}c) R {1}d) R e) R-
04.- Hallar el dominio de la funcin:
F(x) = (x+1)2 + (x-1)2
a) R {1}b) R {-1}c) Rd) R+ e) R-
05.- Hallar el rango en:
3x2
N(x)
x4
+
=
+
a) y R {4}b) y R {-4}
c) y R {3}d) y Re) y R {-3}
06.- Hallar el rango en:
x2
M(x)
x8
+
=
+
a) y R {8}b) y R {-8}
c) y R {1}d) R+ e) R-
07.- Calcular el rango de:
F(x) =
x+5
a) [5; +>b) [-5; +>c) [0; +>d) [2; +>e) [-3+>
08.- Hallar el dominio de:
42
(x)
F=x2x2
++
a) R+ b) R-c) R {2}d) Re) R {-2}
09.- Hallar el dominio de:
(x)
F=x+94
+
a) x R+b) x R-1c) x Rd) x [9; +>
e) x [-9; +>
10.- Cules de las siguientes relaciones dadas son pares ordenados, son funciones?
R1 = { (a;x) , (b;x) . (c;y) }
R2 = { (a;x) , (a;y) . (b;x) }
R3 = { (a;x) , (b;y) . (c;z) }
a) Slo R1 b) Slo R2c) Slo R3 d) R1 y R2e) R1 y R3
BLOQUE II
01.- Hallar el dominio de la funcin f definida en R por:
(x)
x
F3
2
=-+
a) x R+ b) x R- c) x Rd) R {2}e) R {-2}
02.- Hallar el rango de la funcin f definida en R por:
(x)
x
F3
2
=-
a) x R+ b) x R- c) x Rd) R {2}e) R {-2}
03.- Hallar el dominio de la funcin f definida por:
(x)
yFx5
==+
en el conjunto N,
a) {0; 2; 3; 4;..}
b) {0; 1; 2; 3;..}
c) {2; 3; 4;..}
d) {2; 4; 6;..}
e) {3; 5; 7;..}
04.- Hallar el dominio de la funcin f definida por:
(x)
yFx5
==+
en el conjunto Z,
a) x Rb) Zc) R {5}d) Z {5}
e) Z {-5}
05.- Cul es el rango de la funcin:
F = { (1;3) , (2;5) , (1;a-1) , (2;b+2) , (a;b) , (2b;a) } ?
Seale la suma de sus elementos.
a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18
06.- Reconocer el rango de la funcin:
F = { (2;a) , (2;3a-4) , (3;a-1) , (4;a2) } ?
a) {3; 6; 9}b) {1; 2; 4}c) {0; 2; 4}d) {3; 5; 7}e) {2; 4; 6}
07.- El dominio de la funcin: F(x) = x2
es [-1; 1]. Determinar el rango de f.
a) [-1;1]b) [-1; 0]c) [0;1]d) [1;2]e) [1;4]
08.- Cul es el valor mnimo del rango de la funcin:
g(x) = x2 + 3 ?
a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
09.- Cul es el valor mximo del rango de la funcin:
h(x) = 10 - x2 ?
a) 0b) 3c) d) 1e) 10
10.- El dominio de la funcin:
(x)
2
x1
F=
x1
-
+
a) [-1;0]b) [0;1]c) [0;2]d) [-2;0]e) [-1;1]
BLOQUE III
01.- Determinar el rango de la funcin:
F(x) = |x-2| + |x+3|
a) [-5;5]b) [1; +>c) [5; +>d) e) [0; +>
02.- Si:
(x)
F=x-2x
+
Calcular el dominio de dicha funcin.
a) b) [-2;2]c) [-2; +>d) [2; +>e) c) b) c) [-1;1]d) e) R+
07.- Si: F(x) = x2 4x + 2 y x .Hallar el dominio.
a) Rb) R+c) [-1;4]d) e)
08.- Hallar el dominio de:
(x)
F= x+x
a) [0; +>b) Rc) R+d) R {0}e) [0;1]
09.- Calcular su rango:
2
(x)
F= x9
-
a) [0; +>b) c) Rd) R+ e) R-
10.- Hallar el dominio
(x)
2
2x
F=
x9
-
a) R+ b) R- c) [-3;0]U[3;+> d)