TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 1 -
OPERACIONES FINANCIERAS
1. FINANCIACION
La gestión de los recursos económicos y su mejor aplicación es el objetivo de una buena
gestión financiera.
Se entiende por financiación el conjunto de recursos económicos que utiliza una
empresa o familia. En este sentido podemos distinguir dos tipos de financiación:
Financiación interna o autofinanciación: viene generada por las propias
posibilidades de la unidad económica. Ejemplo: retención de los beneficios,
rentas. etc.…
Financiación externa: comprende los recursos captados fuera de la unidad
económica, tanto por cuenta de capital, que comprendería las aportaciones de los
empresarios o socios a la empresa, como mediante las aportaciones de terceros
(prestamos), que es preciso devolver con sus correspondientes intereses en el
tiempo pactado.
Cuando las unidades económicas cuentan con unas fuentes de financiación internas o
ingresos suficientes para cubrir sus gastos, nos encontramos con lo que llamamos
equilibrio presupuestario.
Pero en la mayor parte de las ocasiones este equilibrio no se produce, bien porque los
ingresos son superiores a los gastos (superávit), generando los que conocemos con el
nombre de ahorro, o bien porque los gastos son superiores a los ingresos (déficit),
necesitando los agentes económicos la financiación externa.
La buena gestión financiera se necesita cuando las unidades económicas no tienen
desequilibrio presupuestario. Para lograr la mayor rentabilidad de sus ahorros o el
menor coste de sus prestamos.
2. CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA
Entendemos por operación financiera toda opción encaminada a la sustitución en un
momento determinado de uno o varios capitales por otro u otros equivalentes en
diferentes momentos, aplicando una determinada ley financiera.
La ley financiera es el conjunto de reglas concretas de cálculo. A una operación
financiera se aplica la ley financiera de capitalización simple o la ley financiera de
capitalización compuesta.
En el cálculo de una operación financiera influyen siempre una serie de datos previos
que son:
El tiempo, que vamos a representar con “n”.
El tipo de interés, que es el rendimiento de una operación financiera expresado
en porcentaje y que representaremos con “i” cuando venga expresado en tanto
por 1.
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 2 -
El criterio de cálculo del interés, incluyendo la ley financiera aplicada al
capital inicial.
Por tanto se puede afirmar que el valor de un capital dependerá de:
El momento de valoración del mismo
El tipo de interés aplicado en la operación
La ley financiera que se use
El valor que tiene el capital en el momento presente se denomina valor actual, y
el que tiene cuando se aplaza su vencimiento se denomina valor final.
El capital valorado en el momento actual recibe el nombre de capital inicial, y
el capital valorado en su vencimiento final se denomina capital final o
montante.
3. ELEMENTO DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA
En toda operación financiera debemos tener en cuenta los siguientes elementos:
Origen de la operación financiera: es el momento de disponibilidad en el
tiempo del primer capital.
Fin de la operación financiera: es el momento que coincide con el
vencimiento del último capital.
Duración de la operación financiera: es el periodo de tiempo comprendido
entre el final y el original de la operación financiera.
Acreedor de la operación financiera: es la persona que presta el capital
(prestamista), es decir el que hace la prestación.
Deudor de la operación financiera: es la persona que recibe el capital
(prestatario) y realiza la contraprestación para liquidar la operación
financiera.
Acuerdo de las partes: normalmente toma forma de contrato.
Ley financiera: es la formulación matemática que aceptan las partes
contratantes y que sirven para calcular la contraprestación.
4. CLASIFICACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
Se clasifican atendiendo a diferentes criterios:
Dependiendo de la corteza de la cuantía del vencimiento.
Operaciones financieras ciertas: son aquellas en las que tanto la cuantía
del capital como el vencimiento están determinados desde el principio.
Operaciones financieras aleatorias: son aquellas en que tanto la cantidad
como el vencimiento son aleatorios y por tanto no están determinados de
antemano.
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 3 -
Dependiendo de la duración de la operación:
Operaciones financieras a corto plazo: son las operaciones financieras
inferior o igual a un año. Se le suele aplicar la ley de capitalización
simple.
Operaciones financieras a largo plazo: son aquellas operaciones
financieras que exceden al año. Se suele aplicar a este tipo de operación
la ley financiera de capitalización compuesta.
Dependiendo de la distribución temporal de los componentes de la
operación.
Operación simple: son aquellas en las que interviene un solo capital
tanto en la prestación como en la contraprestación.
Operaciones compuestas: corresponden a las operaciones financieras
donde la prestación y/o en la contraprestación intervienen varios
capitales con vencimientos distintos.
Dependiendo de la aplicación de la ley financiera.
De capitalización: se caracteriza porque el momento de equivalencia (P)
en el que se van a comparar varios capitales es posterior al vencimiento
del ultimo capital.
De actualización o descuento: son aquellas en las que el momento de
equivalencia es anterior al vencimiento del primer capital.
Operaciones financieras mixtas: son aquellas en las que el momento de
equivalencia se establecen en un momento intermedio entre los
vencimientos de los capitales.
C1=C2
C1 C2 ? De capitalización
n1 n2…………………...p (tiempo)
C1=C2
? C1 C2 De actualización
P n1 n2 (tiempo)
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 4 -
C1=C2
C1 ? C2 Mixtas
n1 p n2 (tiempo)
5. REGIMENES DE CAPITALIZACION
Toda operación financiera esta sujeta a una determinada ley financiera que se denomina
régimen de capitalización. Existen dos tipos de regimenes de capitalización.
régimen de capitalización simple: se caracteriza porque los intereses que se
generan en cada periodo de tiempo no se cumulan al capital principal. Por lo
tanto los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el capital inicial. Se
suele utilizar en operaciones a corto plazo.
régimen de capitalización compuesta: Se caracteriza porque los intereses que
se generan en cada periodo se acumulan al capital anterior para calcular los
intereses correspondientes al periodo siguiente. Se suele utiliza en operaciones
financieras a largo plazo.
CASOS PRÁCTICOS
CASO PRÁCTICO 2.
Una empresa realiza una inversión por valor de 1000000€, dinero que recibe en
préstamo del banco SH con las siguientes condiciones:
Entrega de 1000000€ en el momento de la firma del contrato y devolución del capital en
4 pagos anuales a interés compuesto, el primero transcurrido un año desde el inicio de la
operación financiera.
1M C1 C2 C3 C4 €
0 1 2 3 4 (años)
Origen de la operación financiera: momento 0
Fin de la operación financiera: momento 4
Acreedor de la operación financiera: Banco SH
Deudor de la operación financiera: la empresa
Duración de la operación: 4 años
Acuerdo entre las partes: contrato del préstamo
Ley financiera: capitalización compuesta
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 5 -
CASO PRÁCTICO
Un señor a pedido un préstamo de 10000€, la devolución del mismo se harán en 4 pagos
mensuales iguales de 2600€ cada uno, empezando el primero dentro de un mes.
Representación grafica
Clasificación de la operación financiera en las 4 clasificaciones.
10000 2600 2600 2600 2600 (€)
0 1 2 3 4 (meses)
Operación financiera cierta
Corto plazo
Operación compuesta
Se aplicaría la capitalización simple porque es inferior de un año
ACTIVIDADES DEL TEMA 1
111... ¿Qué diferencias existe ente la financiación interna y externa de una empresa?
La financiación interna es la que generamos nosotros mismos, por las propias
posibilidades de la unidad económica y la financiación externa es en la que los recursos
se captan fuera de la unidad económica, mediante la aportación de los empresarios o
mediante la aportación de terceros (prestamos)
222... Enumera las fuentes de financiación de una familia.
Sueldos, rentas, retención de beneficios, premios de lotería ahorro y prestamos.
333... Enumera las fuentes de financiación de una empresa.
Ventas, préstamos que haga, aportación de los socios.
444... Enumera las fuentes de financiación del estado.
Impuestos, prestamos, subvenciones, bonos del estado…
555... ¿Qué datos previos es preciso tener para realizar los cálculos en las operaciones
financieras?
El tiempo, el interés y el criterio de cálculo del interés
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 6 -
666... Realiza un esquema con los elementos de una operación financiera.
Origen
Fin
Duración
Elementos de una
Operación financiera Acreedor
Deudor
Acuerdo de las partes (contrato)
Ley financiera
777... Elabora un esquema con la clasificación de las operaciones financieras.
888... Pon un ejemplo de una operación financiera aleatoria.
Prestaciones a tipo de interés variable
999... Por un ejemplo de una operación financiera de capitalización.
Prestamos, hipotecas…
111000... Pon un ejemplo de una operación financiera de actualización (descuento)
Descuento de efectos, pagares, letras de cambio…
111111... ¿Cuál es la diferencia entre el régimen de capitalización simple y compuesta?
En la simple los intereses no se acumulan al capital y en la compuesta los intereses si se
acumulan con el capital para calcular los nuevos intereses
CLASIFICACION
DE LAS
OPERACIONES
FINANCIERAS
Dependiendo de la
certeza de la cuantía
y el vencimiento
Dependiendo de la
duración de la
operación
Dependiendo de la
distribución temporal
de los componentes
de la operación
Dependiendo de la
aplicación de la ley
financiera
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 7 -
111222... Si una familia con unos ingresos de 25000 euros anuales tiene que hacer frente a
unos gastos de 30000 euros al año, ¿cuál es su situación financiera?
Déficit
111333... La familia del caso anterior deberá:
Ir al banco a pedir un préstamo
111444... Una empresa ha vendido mercancías por valor de 30000 euros. El cliente se
compromete a pagar su deuda dentro de un año. Si el interés del mercado (precio
del dinero) es del 6% anual:
El cliente deberá pagar más de 30000 euros para saldar la deuda
111555... En una sociedad con inflación (subida de los precios), el tipo de interés (precio del
dinero) será:
Mayor que 0
111666... Cotas, S.A., desea comprar un nuevo local comercial para ampliar su negocio. Para
ello solicita un préstamo de 100000 euros al banco X, con la condición de
devolución del mismo en tres pagos anuales a interés compuesto. Confecciona la
correspondiente representación gráfica e identifica cada uno de los elementos de la
operación financiera.
100000 C1 C2 C3
0 1 2 3 (años)
Origen: momento 0
Fin: momento 3
Duración: 3 años
Acreedor: Banco X
Deudor: Cotas SA
Acuerdo: contrato de préstamo
Ley de capitalización compuesta
111777... La señora Dolores ha pedido un préstamo de 10000 euros a una entidad financiera,
para financiar la compra de un automóvil, con las siguientes condiciones: la
devolución se hará en seis pagos trimestrales iguales de 2000 euros cada uno,
empezando el cobro del primero dentro de tres meses. Efectúa la correspondiente
representación grafica de la operación financiera y clasifícala atendiendo a los
diferentes criterios estudiados en la unidad.
Préstamo de 10000€
10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
0 1 2 3 4 5 6 (trimestral)
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 8 -
Operación financiera cierta
Largo plazo
Operación compuesta
Capitalización
EL INTERÉS SIMPLE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cuela los intereses
de cada periodo de capitalización no se agregan al capital inicial para hallar los intereses
del periodo siguiente, sino que se calculan siempre sobre el capital inicial (Co).
Si denominamos:
Co: Capital inicial
n: El tiempo que dura la O.F. en años
i: Tipo de interés anual en tanto por 1, que representa la cantidad de dinero que se
obtiene en euros invertido en un año.
I: Interés de un año (Co.i)
It: Interés total, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo.
Cn: Capital final o montante, que es la suma del capital inicial y los intereses totales.
Para calcular el capital final Cn vamos a partir de que conocemos el valor de Co, de n y
de i y sabiendo que It = Co.i y que Cn = Co + It y combinándolas obtenemos:
It = Co.n.i
Cn = Co + Co.n.i =>
Cn = Co + It
=>
A la expresión 1 + n.i se les llama factor de capitalización para la capitalización simple
porque sirve para trasladar capitales de un momento dado a otro posterior.
Representa el capital final o montante que obtendríamos al invertir una unidad
monetaria a un tanto unitario de interés simple anual i durante n periodos anuales.
It = Co.n.i
Cn = Co + It
Cn = Co (1 + n.i)
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 9 -
CALCULO DEL CAPITAL INICIAL O VALOR ACTUAL
Si en una operación financiera conocemos el valor de Cn, de n y de i obtendríamos el
valor de Co por medio de la siguiente expresión:
Cn
n Cn = Co. (1 + n.i) =>
i
=> in
CnCo
.1 => Cn (1 + n.i)
1
A la expresión in.1
1= (1 + n.i)
1 se le denomina factor de actualización para la
capitalización simple y sirve para trasladar capitales de un memento dado a otro
anterior.
Representa el capital inicial de una inversión realizada a un tanto de interés unitario
anual i durante n periodos anuales, cuyo capital final o montante ascendió a una unidad
monetaria.
CALCULO DEL TIPO DE INTERÉS (i)
Si conocemos el valor de Co, Cn y n en una operación financiera, podemos obtener el
valor de i despejando de la siguiente expresión:
Co
Cn i => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>
I => Cn – Co = Co.n.i => nCo
CoCn
. = i =>
=> nCo
CoCni
.
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 10 -
CALCULO DEL TIEMPO (n)
Si conocemos el valor de Cn, Co y i en una operación financiera, podemos obtener el
valor de n despejando de la siguiente expresión:
Co
Cn n => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>
I => Cn – Co = Co.n.i => niCo
CoCn
.
=> iCo
CoCnn
.
CALCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Si conocemos en una inversión el valor de Co y Cn podremos obtener el interés total
por medio de la siguiente expresión.
Co
Cn
2. RELACION ENTRE EL TIEMPO Y EL TIPO DE INTERÉS
En las formulas planteadas hasta el momento, el tipo de interés y el tiempo han de estar
referidas a periodos homogéneos; así, si se habla de meses, el tiempo vendrá medido en
meses y el tipo será mensual. Lo normal es que el tiempo se mida en meses, días, etc. Y
que el tipo de interés siempre se de en un tanto anual. En este caso se habrá de
transformar el tiempo a la unidad del tanto o buen el tipo a la unidad del tiempo: una
vez realizada esta transformación podremos utilizar las formulas planteadas.
TANTO EQUIVALENTE TANTO PROPORCIONAL
Dos tanto son equivalentes cuando aplicados a un mismo capital durante el mismo
tiempo producen el mismo montante.
RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERES ANUAL Y EL DE UN PERIODO FRACCIONADO.
Para establecer esta relación partiremos de:
i: Tanto de interés anual
i)(m: Tanto de interés fraccionado
m: Frecuencia de fraccionamiento
It = Cn - Co
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 11 -
Cn = Cn)(m
Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)(m)
Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)(m)
Para darle valor a m habrá que preguntarse ¿ Cuantas unidades de tiempo pequeñas se
contienen en la unidad de tiempo mayor?
El tanto fraccionado ( i)(m) es un tanto proporcional al i anual por lo que se puede
afirmar que los tantos proporcionales en la capitalización simple son también
equivalentes.
Periodos m (Frecuencia de fraccionamiento
del año)
Años 1
Semestres 2
Cuatrimestres 3
Trimestres 4
Meses 12
Semanas 52
Días (años civil) 365
Días (año comercial) 360
EL AÑO COMERCIAL Y EL AÑO CIVIL
El año comercial es el que tiene exclusivamente una utilidad comercial. Su uso ha
facilitado el cálculo en operaciones financieras con consecuencia de tomar meses de 30
días.
Al existir el año civil y el comercial el problema que se plantea es de hacer los cálculos
siguiendo uno u otros caminos los intereses varían mostrando una diferencia.
Si llamamos I 365 a los intereses obtenidos aplicando el año civil o natural e I 360 a los
intereses obtenidos aplicando el año comercial resulta:
i = i)(m. m
i)(m=
m
i
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 12 -
It = Co.n.i => I 365 = Co . i . 365
)(díasn
I 365
I 360 > I 365
I 360
It = Co.n.i => I 360 = Co . i . 360
)(díasn
Relación por diferencia:
I 360 - I 365 = Co . i . 365
)(díasn - Co . i .
360
)(díasn =
365.360
...360...365 )()( díasdías niConiCo=
=365.360
...5 )(díasniCo:
365365360365365
)(.
72
1.
72
1.
360
5
365
...
360
5IIIII
niCo días
360365360360360
)(.
73
1.
73
1.
365
5
360
...
365
5IIIII
niCo días
Relación por cociente:
72
73
72
73
360
365
365
1360
1
365..
360..
365
360
5:
5:
)(
)(
365
360
I
I
niCo
niCo
I
I
días
días
3. METODOS ABREVIADOS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES
Cuando tratamos de obtener el interés total generado por varios capitales distintos con
vencimientos distintos e igual tipo de interés es normal utilizar formulas abreviadas para
facilitar el calculo.
Dados varios capitales C1, C2, C3……….Ch que vencen en los momentos
n1, n2, n3………….nh valorados a un tanto de interés anual i generarán un It igual a:
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 13 -
C1, C2, C3……….Ch
m
niC
m
niC
m
niC
m
niCIt hh ..
................ 332211
n1, n2, n3………....nh
Sacando factor común m
i
It = m
i. ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)
Sabiendo que i
m se le denomina divisor fijo (D). D =
i
m
It = D
1. ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)
D
nCIt
h
j jj1.
A los productos de capital por tiempo “C.n” se les denomina número comerciales.
4. INTERESES ANTICIPADOS
En algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado, es
decir en el momento en que tiene lugar la operación que a de producirlos. Para ello
aplica un tipo de interés ia sobre el capital final Cn (nominal) para obtener el efectivo
(Co) de la operación.
El interés por anticipado se calcularía mediante la siguiente expresión.
RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERÉS POR ANTICIPADO Y EL TIPO POR VENCIDO
Para plantear dicha operación debemos suponer que el interés total obtenido por vencido
sea igual al interés total obtenido por anticipado.
It (por vencido) = It (por anticipado)
Ya sabemos que It = Cn – Co y que por tanto si despejamos Co; Co = Cn – It.
Si sustituimos It en dicha operación, por anticipado tendríamos:
Co = Cn – Co . ia . n
It = Cn . ia . n
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 14 -
Aplicando la igualdad entre los intereses por vencidos y los intereses por anticipado
obtendríamos:
It(v) = It(a) => Co . n . i = C . n . ia
Sustituyendo Co.
(Cn – Cn . ia . n) i . n = Cn . n . ia =>
Cn (1 – ia . n) i = Cn . ia =>
(1 – ia . n) . i = ia =>
ia = i – ia . n . i =>
i = ia + ia . n . i =>
i = ia (1+ n . i) =>
CASOS PRACTICOS
CASO PRACTICO 1
Calcula el montante que se obtendrá mediante la inversión de un capital de 70000 euros
al cabo de tres años si se aplica un 4’25% de interés anual. Capitalización simple.
Cn: ?
Co: 70000€ Cn = Co (1 + n.i)
n: 3 años Cn = 70000 (1 + 3 . 0’ 0425)
i: 0’0425 anual simple Cn = 78925 €
CASO PRACTICO 2
Se ha recibido una notificación de ingreso en cuenta de 85476’85 euros por una
inversión cuyo importe desconocemos. Si el tipo aplicado fue de un 4’5% anual y la
duración tres años, ¿a cuanto ascendió la inversión inicial?
Cn: 85476’85€ Co = Cn
i: 0’045 1 + n.i
n: 3 años Co = 85476’85
Co: ? 1 + 0’045.3
Co = 75310 €
i = __ ia_____
1 – ia . n
ia = ___i____
1 + n . i
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 15 -
CASO PRACTICO 6
¿Cuál fue el tipo de interés que se coloco un capital de 8974 euros para que se
obtuvieran al cabo de cinco años unos intereses de 1678’14 euros? interés simple
i: ? It = Co . n . i
Co: 8974€ 1678.14 = 8974 . 5 . i
n: 5 años _1678.14 = i
It: 1678.14€ 8974 . 5
i = 0’0374 => 3’74%
CASO PRACTICO 7
Un capital de 125000 euros ha producido un montante de 142850 euros al cabo de
cuatro años. ¿Cuál ha sido el tipo aplicado? Interés simple.
Co: 125000€ i = __Cn – Co_
Cn: 141850€ Co.n
n: 4 años i = _141850 - 125000
i: ? 125000 . 4
i = 0’0357 => 3’57%
CASO PRACTICO 10
Calcula el montante de un capital de 12000 euros al 5% de interés anual simple,
colocado durante:
a) Cinco semestres.
b) Tres trimestres.
c) 90 días.
Cn: ? a) n: 5 semestres
Co: 1200€
i: 0’05 i)2(= 0’05 = 0’025
2
Cn = Co (1 + n.i)
Cn = 12000 (1 + 5 . 0’025)
Cn = 13500€
b) n: 3 trimestres c) n: 90 días comerciales
i)4(= 0’05 = 0’0125 i
)360(= 0’05
4 360
Cn = Co (1 + n.i) Cn = Co (1 + n.i)
Cn = 12000 (1+ 3 . 0’0125) Cn = 12000 (1 + 90 . 0’05/360)
Cn = 12450€ Cn = 12150€
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 16 -
CASO PRACTICO 11
Sabiendo que la diferencia entre los intereses calculados comercial y civilmente es de
24’35€, calcula el valor del capital inicial si la operación duro 90 días y aplicó un 4%
anual.
I360 – I365: 24’35€ I360 – I365 = _1_ . I365
Co: ? 72
n: 90 días 24’35 = _1_ . I365
i: 4% = 0’04 72
24’35 . 72 = I365
I365 = 1753’2
I365 = Co . i . n(días)
365
1753’2 = Co . 0’04 . _90_
365
_1753’2 . 365_ = Co
0’04 . 90
Co = 177755€
CASO PRACTICO 12
Si los intereses de un capital son de 1314€, sabiendo que los hemos hallado según el año
civil, ¿ Cuales serán los cálculos comercialmente?
I365: 1314€ _I360_ = _73_
I360: ? I365 72
_I360_ = _73_
1314 72
I360 = _73 . 1314_
72
I360 = 1332’25€
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 17 -
CASO PRACTICO 13
Utilizando el divisor fijo y los números comerciales, calcula el interés conjunto que
producirán tres capitales de 1977, 8470 y 2294’30 euros sabiendo que el tiempo al que
estuvieron calculados respectivamente fue de 45, 52 y 70 días y que aplicará un tipo del
6% anual simple. Año comercial.
Cj nj (días) Cj . nj
1977 45 88965 D
nCIt
h
j jj1.
8410 52 440440 It = 690006
2294’3 70 160601 6000
It = 115€
i: 6% = 0.06 690006
It: ?
D = i
m
D = 360
0’06
D = 6000
CASO PRACTICO 14
Sabiendo que tres capitales de 100, 200 y 300 euros, colocados a un 4% anual,
produjeron unos intereses de 18’89 euros, calcula lo que correspondió a cada uno si el
primero estuvo colocado la mitad de tiempo que el segundo y el segundo la mitad del
tercero. Año comercial.
Cj n(días) Cj.nj
100 X 100X D
nCIt
h
j jj1.
200 2X 400X
300 4X 1200X 18’89 = _1700X_
9000
i: 4% = 0’04 X = 100 días
It: 18.89€ D = _m_
i
D = _360_ n1 = 100 días It = Co.n.i =>100 . 0’04 . 100 =>
It1 = 1.11€
0’04 360
D = 9000 n2 = 200 días It = Co.n.i =>200 . 0’04 . 200 =>
It2 = 4.44€
360
n3 = 400 días It = Co.n.i =>300 . 0’04 . 400 =>
It3 = 12.22€
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 18 -
CASO PRÁCTICO 15
A un activo financiero a 6 meses se le aplica un tipo de interés anticipado (ia) del 4.22%
anual.
a) ¿Qué tipo anual por vencido le corresponderá?
b) Calcula el correspondiente a un año de tiempo.
c) Calcula el correspondiente a tres meses de tiempo.
a)
n: 6 meses = 0’5 años i = ___ia___
ia: 4.22% = 0’0422 1 – ia . n
i: ? i = __0’0422___
1 – 0’0422 . 0’5
i = 0’0431 => 4’31%
b)
n: 1 año
ia: 4.22% = 0’0422 i = ___ia___
i: ? 1 – ia . n
i = __0’0422__
1 – 0’0422 . 1
i = 0’04406 => 4’406%
c)
n: 3 meses = 0’25 años
ia: 4.22% = 0’0422 i = ___ia___
i: ? 1 – ia . n
i = __ 0’0422_____
1 – 0’0422 . 0’025
i = 0’04265 => 4’265%
CASO PRÁCTICO INVENTADO
Determina el tiempo de una operación financiera cuyo capital inicial ascendió a 75000€
y su montante a 97500€. El tipo de interés aplicado es 3% simple anual.
Co: 75000€ n = _Cn - Co
Cn: 97500€ Co . i
i: 0’03 n = _97500 - 75000
n: ? 75000 . 0’03
n = 10 años
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 19 -
ACTIVIDADES DEL TEMA 2
111... Halla el capital final que resultara de aplicar un tipo simple del 3’75% anual a un
capital de 19877’24 euros durante cuatro años.
Cn: ? Cn = Co(1 + n.i)
i: 3’75% = 0’0375 Cn = 19877’23 (1 + 4 . 0’0375)
Co: 19877’23€ Cn = 22858’83
n: 4 años
222... Al recibir una notificación referente a una inversión, queremos comprobar su
corrección: para ello contamos con los siguientes datos: una inversión inicial:
112432’22 euros; tipo aplicado: 4’17% anual; tiempo: dos años. Efectúa los
cálculos y especifica la cuantía acumulada. Capitalización simple.
Co: 112432’22€ Cn = Co(1 + n.i)
i: 4’17% = 0’0417 Cn = 112432’22 (1 + 2 . 0’0417)
n: 2 años Cn = 121809’07€
Cn: ?
333... Un comerciante, que deberá entregar dentro de tres años una cantidad de
77420’12 euros, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del
mismo un rendimiento del 4’25% anual a interés simple.
n: 3 años Cn = Co(1 + n.i)
Cn: 77420’12€ 77420’12 = Co (1 + 3 . 0’0425)
i: 4’25% = 0’0425 Co = __77420’12___
Co: ? (1 + 3 . 0’0425)
Co = 68665’29€
444... ¿Qué capital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo,
sabiendo que el montante generado ascendió a 1237’4 euros?
Co: ? Cn = Co + It
It: Co/2 1237’4 = Co + Co/2
Cn: 1237’4€ 1237’4 = 1’5Co
Co = _1237’4_
1’5
Co = 824’93€
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 20 -
555... La señora Rodríguez desea saber si puede hacer frente a una deuda de 156000
euros que vence dentro de cinco años, con los rendimientos de un capital de
520340 euros sin tener que menguar el mismo. El rendimiento previsto es de un
6% anual a interés simple.
n: 5 años It = Co . n . i
It: ? It = 520340 . 5 . 0’06
Co: 520340€ It = 156102€
i: 6% = 0’06
Si puede, pues los intereses generados son 156102€, cantidad superior a 156000€
666... Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital
de 1278’3 euros se obtiene un montante equivalente a un 125% de capital
inicial.
It: ? Cn = Co + It
Co: 1278’3€ 1597’88 = 1278’3 + It
Cn = 125%/Co = 1597’88€ 1597’88 – 1278’3 = It
It = 319’58€
777... Un individuo desea saber que tipo de interés simple fue el que permitió que por
un capital de 224440’75 euros se obtuviera 64775’85 euros de intereses en siete
años. Calcula dicho tipo.
i: ? Cn = Co + It
Co: 224440’75€ Cn = 224440’75 + 64775’85
It: 64775’85€ Cn = 289316’6€
n: 7 años
Cn = Co (1+ n . i)
289316’6 = 224440’75 (1 + 7 . i)
1’29 = 1 + 7 . i
0’29 = 7 . i
i = 0’04123 => 4’123%
888... Sabiendo que el tipo de interés del mercado vigente, a interés simple, es de 5%
anual, ¿le conviene a la señora Pérez cambiar su inversión de 17407’40 euros
por la que le aseguran un montante de 20784’44 euros al cabo de cuatro años?
Co: 17407’40€ Cn = Co (1 + n . i)
Cn: 20784’44€ 20784’44 = 17407’40 (1 + 4 . i)
n: 4 años 1’194 = 1 + 4 . i
0’194 = 4 . i
i = 0’0485 => 4’85%
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 21 -
999... ¿Qué tiempo estuvo colocado un capital de 22000 euros al 0’02 por uno anual, si
los intereses fueron de 4400 euros? interés simple.
n: ? Cn = Co + It
Co: 22000€ Cn = 22000 + 4400
i: 2% = 0’02 Cn = 26400€
It: 4400€
Cn = Co (1 + n . i)
26400 = 22000 (1+ n . 0’02)
1’2 = 1 + n . 0’02
0’2 = n . 0’02
n = 10 años
111000... ¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco
veces mayor a un 8% a interés simple?
n: ? n = _Cn – Co_
Co Co . i
Cn: 5Co n = _5Co – Co_
i: 8% = 0’08 Co . 0’08
n = __ 4Co__
Co . 0’08
n = __4__
0’08
n = 50 años
111111... ¿Cuál será el montante resultante de la inversión de un capital de 71216’75
euros al 6% anual durante:
a) 4 cuatrimestres
b) 17 meses
c) 120 días
Cn: ?
Co: 71216’75€
I: 6% = 0’06
a) 4 cuatrimestres = 4/3 = 1’33 años
Cn = Co (1 + n . i)
Cn = 71216’75 (1 + 1.33 . 0’06)
Cn = 76914’09€
b) 17 meses => 17/12 = 1’4266 años
Cn = Co (1 + n . i)
Cn = 71216’75 (1 + 1’4166 . 0’06)
Cn = 77270’17€
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 22 -
c) 120 días => 120/360 = 0’333333333 años
Cn = Co (1 + n . i)
Cn = 71216’75 (1 + 0’33 . 0’06)
Cn = 72641’09€
111222... ¿Qué intereses generara un capital de 120000 euros a un 6’25% anual durante 42
días?
Co: 120000€ It = Co . n . i
i: 6’25% = 0’0625 It = 120000 . 0’116 . 0’0625
n: 42 días = 42/360 = 0’11666666666 It = 875€
111333... A un capital de 91743’62 euros que ha estado colocado durante un tiempo, se
sabe que se le aplico un 4’74% anual y que la diferencia entre los intereses
calculados comercial y civilmente fue de 9’9285 euros. Calcula dicho tiempo.
Co: 91743’62€ I360 – I365 = _1_ . I360
n: ? 73
i: 4’47% = 0’0447 9’9285 = _ 1_ . I360
I360 – I365 = 9’9285€ 73
9’9285 . 73 = I360
I360 = 724’78€
I360 = _Co . n(dias) . i_
360
724’78 = _91743’62 . 0’0474 . n_
360
n = 60 días
111444... ¿Qué tipo de interés es el que hizo que un capital de 752743’12 euros colocado
durante 73 días generara una diferencia entre los intereses calculados comercial
y civilmente de 148’46 euros?
i: ? I360 – I365 = _1_ . I360
Co: 752743’12€ 73
n: 73 dias 148’46 = _1_ . I360
I360 – I365 = 148’46€ 73
I360 = 10837’58€
I360 = _Co . n(dias) . i_
360
10837’58 = _752743’12 . 73 . i_
360
10837’58 = 152639’12 . i
i = 0’071 = 7’1%
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 23 -
111555... ¿Es posible que los intereses de un mismo capital calculados comercialmente
sean superiores un 10% a los determinados civilmente? Razona la respuesta.
No puede ser, ya que:
_I360_ = _73_
I365 72
111666... ¿Qué tipo de interés aplicado a unos capitales de 12740’22; 22180’10 y 11320
euros colocados durante 30, 60 y 90 días, respectivamente , produjo unos interés
totales de 341’48 euros? Año comercial. Usa números comerciales.
Cj nj (dias) Cj.nj It = _ Cj . nj_
12740’22 30 382206’6 D
22180’10 60 133086 341’48 = _2731812’60_
11320 90 10188000 D
i: ? 2731812’60 D = 7999’92
It: 341’48€
D = _m_
i
7999’92 = _360_
i
i = 0’045 = 4’5%
111777... En un extracto bancario se nos comunica que los números comerciales del
peridodo de liquidación ascienden a 253623900. Si el tipo aplicado en la
operación es de un 0’75% anual, ¿a cuanto ascienden los intereses? Año civil.
Liquidación en dólares USA.
Cj.nj = 253623900 It = _ Cj . nj_
i: 0’0075 D
It = ? It = _253623900_
48666’67
It = 5211’45$
D = _m_
i
D = _365_
0’0075
D = 48666’67
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 24 -
111888... PI, S.A., hace una inversión en letras del Tesoro a un año. ¿Qué cantidad habrá
de entregar por un nominal de 10000 euros si se aplica un tipo por anticipado del
4’15% anual? ¿Cuál será el tipo por vencido?
Cn: 10000€ i = ____ia____
Co: ? 1 – ia . n
ia: 4’15 = 0’0415 i = __0’00415__
iv: ? 1 – 0’0415 . 1
n: 1 año i = 0’0432968 = 4.33%
It = Cn . n . ia Co = Cn - It
It = 10000 . 1 . 0’0415 Co = 10000 - 415
It = 415€ Co = 9585€
EL DESCUENTO SIMPLE
1. EL DESCUENTO
Es frecuente que los acreedores de una operación comercial en la que se utiliza el
crédito acudan a intermediarios financieros con la intención de percibir los cobros
pendientes antes del vencimiento de los mismos. Esta operación recibe el nombre de
descuento y por ella los intermediarios financieros suelen cobrar una cantidad que se
calcula aplicando la ley de capitalización simple, ya que son operaciones inferiores al
año. Además se suelen añadir otra serie de cobros, tales como comisiones, gastos de
correo, etc. Por tanto, la cantidad que percibe el acreedor que ha acudido al descuento
no es la que recibiría si esperara hasta el vencimiento, sino dicha cantidad menos el
descuento y los demás gastos
Matemáticamente, se entiende por descuento simple la operación financiera que
consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente, siendo
además una operación inversa a la capitalización simple.
Si llamamos:
Co: Efectivo o cantidad adelantada
Cn: Nominal o importe total del cobro que se adelanta.
D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo.
En la práctica, el denominado descuento comercial (Dc) es el criterio usado
normalmente para el cálculo.
Al tanto o tipo que se utilice en estas operaciones lo denominaremos tanto de descuento.
D = Cn - Co
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 25 -
2. EL DESCUENTO COMERCIAL
El descuento comercial es aquel cuyo cálculo se realiza a partir del nominal (Cn) de la
operación y aplicando la fórmula para el calculo de intereses.
A) CÁLCULOS POSIBLES
A partir de la formula anterior y despejando cada uno de sus componentes, se
obtendrían las siguientes expresiones:
Cálculo del efectivo en función del nominal
A partir de Dc = Cn – Co y despejando Co resulta:
Co = Cn – Dc
Poniendo el valor del descuento en función del nominal:
Co = Cn – Cn . n . i
y sacando factor común:
Cálculo del nominal en función del efectivo
Despejando Cn de la expresión: Co = Cn (1 – n . i)
Se obtiene:
Calculo del descuento en función del efectivo.
A partir de:
Dc = Cn . n . i
Cn = __Dc__
n . i
n = __Dc__
Cn . i
i = __Dc__
Cn . n
Co = Cn (1 – n . i)
Cn = __Co__
1 – n . i
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 26 -
Dc = Cn – Co
y sustituyendo Cn por su valor en fusión del efectivo:
Dc = __Co__ - Co
1 – n . i
Operando:
Dc = __Co – Co (1 – n . i)_ = __Co – Co + Co . n . i_
1 – n . i 1 – n . i
y resolviendo:
B) OPERACIONES DE DESCUENTO COMERCIAL
El descuento bancario
El descuento bancario es un contrato de préstamo o crédito por el que una entidad
financiera entrega el importe de una letra no vencida, previa deducción de los
descuentos (intereses) y comisiones correspondientes, recibiendo la letra (endoso) para
su cobro en el momento del vencimiento.
Valor líquido = Cn - Dc - Comisiones - Gastos
Comisiones y otros gastos
Las comisiones cobradas por los bancos no son fijas, dependen de las diferentes
entidades y de cada cliente en particular; no obstante, las más habituales son el 4‰ en
caso de letras aceptadas, y el 7‰ en las aceptadas. Ambas cantidades se aplican
siempre sobre el nominal del efecto. En el caso de que los porcentajes no alcancen un
mínimo por letra, es usual aplicar una cantidad mínima.
3. EL DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO
El descuento racional (Dr) es aquel cuyo cálculo se utiliza el valor efectivo (Co), por lo
que:
A) CALCULOS POSIBLES
Dc = __Co . n . i_
1 – n . i
Dr = Co . n . i
Co = _ Dr__
n . i
n = __Dr__
Co . i
i = __Dr__
Co . n
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 27 -
Calculo del descuento en función del nominal (Cn)
En la realidad comercial, las operaciones financieras se ajustan conociendo un nominal
con una fecha determinada de vencimiento, por lo que el valor efectivo se desconoce.
Por tanto, si:
Co = Cn – Dr y Dr = Co . n . i
Entonces:
Dr = (Cn – Dr) . n . i
Desarrollando:
Dr = Cn . n . i – Dr . n . i
Dr + Dr . n . i = Cn . n . i
y agrupando:
Dr (1+ n . i) = Cn . n . i
Despejamos:
Calculo del valor nominal en función del descuento
Despejando Cn de la expresión anterior se obtiene:
Calculo del efectivo en función del nominal
Sustituyendo Dr, por su valor en función del nominal en la expresión:
in
CnC
.10
in
inCD n
r.1
..
in
inDC r
n.
).1(
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 28 -
Resulta: inin
inC
in
in
inC
C n
n
.)..1(
..
.
.1
..
0
Y operando:
4. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL.
COMPARACIÓN
Dado que
Dr = Co . n .i y Dc = Cn . n . i,
es evidente que Dc > Dr, pues ambas expresiones tienen los mismos multiplicandos
excepto Cn y Co, y como
Cn > Co
el resultado de Dc, para unos mismos valores, será mayor que el de Dr.
Los descuentos comercial y racional se pueden relacionar entre sí mediante tres métodos
diferentes: diferencia, producto y cociente.
Por diferencia
).1
1.1(..)
.1
11(..
.1
....
in
ininC
ininC
in
inCinCDrDc nn
n
n
inDrDrDcniin
inCn .....1
..
in
inDcDrDc
in
ininCn
.1
..
.1
....
in
CC n
o.1
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 29 -
La diferencia entre el Dc y el Dr es el descuento comercial del descuento racional, así
mismo la diferencia entre Dc y Dr es el descuento racional del descuento comercial.
Por producto
Dc – Dr = Dr . n . i Dc . Dr = Cn . n . i . Dr Dc . Dr = Cn (Dc – Dr)
Dc = Cn . n . i DrDc
DrDcCn
.
Por cociente
ininC
ininC
in
inC
inC
Dr
Dc
n
n
n
n .1..
).1(..
.1
..
..
Despejando resulta:
O también:
Cálculo de n y i a partir de la fórmula:
in
inCD n
r.1
..
Dr (1+n . i) = Cn . n . i Dr (1+n . i) = Cn . n . i
Dr + Dr . n . i = Cn . n . i Dr + Dr . n . i = Cn . n . i
Dr = Cn . n .i – Dr . n . i Dr = Cn . n .i – Dr . n . i
Dr = n (Cn . i – Dr . i) Dr = i (Cn . n – Dr . n)
Dc = Dr (1+ n . i)
in
DcDr
.1
1).1( inDc
iDriCn
Drn
..
nDnC
Dri
rn ..
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 30 -
A) EQUIVALENCIA ENTRE EL TANTO DE DESCUENTO RACIONAL Y EL
TANTO COMERCIAL
Dado un mismo nominal Cn, efectivo, Co y tiempo, el tanto de descuento racional anual
iR, equivalente a otro anual ic de descuento comercial, es aquel que posibilita la
coincidencia de los descuentos, así: Dc = Dr.
Dc = Dr Cn . n . ic = ni
inC
R
rn
.1
..
R
Rc
in
ii
.1
ic (1+iR . n) = iR ic + ic . iR . n = iR ic = iR – ic . iR . n iR (1- ic . n)
EQUIVALENCIA FINANCIERA
1. CAPITALES EQUIVALENTES
Cuando el efectivo actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales,
diremos que son equivalentes financieramente.
En la practica mercantil, para hacer los cálculos de equivalencia se utiliza el descuento
comercia, por lo que se produce una alteración de la ley financiera de actualización
simple.
Si una serie de capitales de nominal C1, C2, C3 …, Ch con sus respectivos vencimientos
en n1, n2, n3 …,nh, se desean sustituir por uno equivalente de nominal Cn, con
vencimiento en n, bastará con que la suma del valor actual de los primeros sea igual al
valor de este último, es decir:
Con = Co1 + C02 + C03 + … + C0h
donde el subíndice en primer lugar indica el momento de cálculo de la equivalencia
financiera (en este caso, el momento actual, 0), y el segundo, el momento en que cada
capital respectivo tiene su vencimiento (1, 2, 3, …, h)
Si se recuerda la fórmula que relaciona el valor actual de un capital en función del
nominal en el descuento comercial:
C0 = Cn (1 – n . i)
ni
ii
c
c
R.1
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 31 -
y se sustituye en la expresión anterior, ya que los valores que se conocen son los
nominales:
Cn (1 – n . i) = C1 (1 – n1 . i) + C2 – C2 . n2 . i + … + Ch (1 – nh . i)
Desarrollando:
Cn (1 – n . i) = C1 – C1 . n1 . i + C2 – C2 . n2 . i + … + Ch – Ch . nh . i
Ordenando:
Cn (1- n . i) = C1 + C2 + … + Ch – (C1 . n1 . i) + C2 . n2 . i + … + Ch . nh . i)
Y agrupando:
Cn (1 – n . i) = hj
j
jj
hj
j
j nCiC11
..
Despejando Cn se obtiene:
Expresión que permite calcular el valor del capital con vencimiento en n que puede
sustituir el conjunto de capitales por uno único.
Si el tiempo se midiera en periodos distintos e inferiores al anual, entonces se podrían
simplificar los cálculos mediante el uso del divisor fijo i
mD , por lo que, partiendo de
la expresión:
m
in
nCm
iC
C
hj
j
jj
hj
j
j
n
.1
..11
Y como sabemos que i
mD , resulta que
i
m
D
1.
Sustituyendo en la anterior expresión
in
nCiC
C
hj
j
jj
hj
j
j
n.1
..11
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 32 -
D
in
nCD
iC
C
hj
j
jj
hj
j
j
n
.1
..11
Multiplicando numerador y denominador de esta expresión por D:
2. VENCIMIENTO COMÚN
El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del
conjunto de capitales por uno único.
Se puede obtener n utilizando el divisor fijo a partir de:
(D – n) Cn = D . Cj - Cj . nj
Cn . D – Cn . n = D Cj - Cj . nj
Cn . D - Cj - Cj . nj . n = Cn . n
D(Cn - Cj) + Cj . nj = Cn . n
Y despejando n:
3. VENCIMIENTO MEDIO
Se produce el vencimiento medio cuando la suma del nominal de los capitales a sustituir
es igual al nominal del capital que los sustituye. Por tanto, es un caso particular del
vencimiento común.
Si:
Cn = C1 + C2 + C3 + … + Ch = Cj
Entonces:
n
jjn
C
nCCCDn
.
nD
nCC
C
hj
j
jj
hj
j
j
n
11
..
n
jjjn
C
nCCCDn
..
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 33 -
El valor de n, fecha de sustitución del capital, es independiente del tipo de interés a que
se realice la operación.
A) CASO PARTICULAR DE VENCIMIENTO MEDIO
Cuando todos los capitales que van a ser sustituidos tienen un nominal igual entre sí,
entonces:
C1 = C2 = C3 = … = Ch
Y por tanto:
Cj = Cj . n = Cn
Sustituyendo en la formula del vencimiento medio:
h
n
Ch
nC
C
nCn
jjj
n
jj
1.
..
En donde h representa el número de capitales que van a ser sustituidos.
4. CAPITALES EQUIVALENTES EN DESCUENTO RACIONAL
Partiendo de:
in
CnCo
.1
y aplicando el concepto de capitales equivalente:
C0n = C01 + C02 + C03 + … + C0h
n
jj
C
nCn
.
h
n
n
hj
j
j
1n
TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 24/10/2010
- 34 -
Resulta:
in
C
in
C
in
C
in
C
in
Cn
h
h
.1...
.1.1.1.1 3
3
2
2
1
1
Si se despeja para obtener el valor de Cn:
hj
j j
j
in
CinCn
1 .1)..1(