2012
MATEMÁTICA INTERMEDIA II
Edwin Alexis Cordero Pesquera © 201145938
Hugo René Días Linares 201145972
Keneth Obed Rodas Linares 201146031
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Capitulo 13
Determine una ecuación vectorial y ecuación paramétrica para el
segmento rectilíneo P y Q.
P(0,0,0) Q(1,2,3)
Ver ejemplo 3 pagina 819 de James Stewart
Utilizando la ecuación 12.5.4 que se encuentra en la página 797 del
libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta
edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
ISBN 13: 978-970-686-638-7
En este caso se toma ⟨ ⟩ y ⟨ ⟩ para obtener una
ecuación vectorial del segmento rectilíneo que va de P a Q.
Se determinó una ecuación vectorial para el segmento rectilíneo que
une la punta del vector con la del vector .
( ) ( )
Sustituyendo valores:
(1-t)(0,0,0) + t(1,2,3),
Obtenemos la ecuación vectorial:
( ) ⟨ ⟩
13.1.15
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Ecuación paramétrica
Determine una ecuación vectorial y paramétrica para el segmento
rectilíneo que une P y Q.
Ver ejemplo 3 pagina 819 de James Stewart
Utilizando la ecuación 12.5.4 que se encuentra en la página 797 del
libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta
edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
P(1,0,1) Q(2,3,1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Ecuación Paramétrica
13.1.16
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Encuentre una función vectorial que representa la curva de
intersección de las dos superficies.
Cilindro y la superficie z = xy
xy= plano z=
( )( ) ( )
Convertimos el 4costsent por identidad trigonométrica ver página
542 del libro de Precálculo, James Stewart-Lothar Redlin-Saleem
Watson, quinta edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10:
970-686-638-8 ISBN 13: 978-970-686-638-7
Ecuaciones paramétricas
( )
Función vectorial
( ) ( )
El paraboloide y el cilindro
13.1.36
13.1.38
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
La función vectorial que representa la curva de intersección de la
grafica son:
Si [
]
Si [ ]
Si tenemos que
= ( )
( ) ( )
Calcule la derivada de la función vectorial:
( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ( )( )
( )
Encuentre el vector tangente T(t) en el punto con el valor dado del
parámetro t.
( )
( ) ⟨ ⟩
13.2.9
13.2.21
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Utilizando la formula:
Ver ejemplo 1 pagina 825 de James Stewart
Utilizando la ecuación 13.2.1 que se encuentra en la página 824 del
libro de Calculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta
edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
ISBN 13: 978-607-481-152-0
( ) ( )
| ( )|
( ) ( )
( )
( )
| ( )| √ √
( ) ( )
| ( )|
√ ( )
√
√
√
( )
( ) ( ) ⌈
⌉
( ) ( ) ⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈
⌉
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Evalué la integral:
∫( )
((∫
) (∫
) (∫
) )
[ ]
[ ]
[ ]
Evalué la integral dada:
∫ ( )
((∫
) (∫
)
(∫
) )
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
13.2.33
13.2.35
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
13.3.1
Determine la longitud de la curva:
( )
( )
| ( )| √( ) ( )
| ( )| √ ( ) ( ) √ √
∫ | ( )| ∫ √ √ ]
√
= 107.70
Determine la longitud de la curva
Ver ejemplo 1 pagina 830 de James Stewart
Utilizando la ecuación 13.3.2 que se encuentra en la página 830 del
libro de Cálculo Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta
edición, Cengage Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
ISBN 13: 978-970-686-638-7
( )
( ) √
| ( )| √ √ ( ) ( )
∫ | ( )| ∫ ( ) [ ]
13.3.7
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Encuentre la longitud de la curva:
( ) √
( )
√
| ( )| √(
√ ) ( ) √
Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida
desde el punto t =0 en la dirección en que se incremente:
( ) ( ) ( )
( )
| ( )| √ √
( ) ∫ | ( )| ∫ √
√
√
√
( ( ))
√ (
√ ) (
√ )
13.3.6
13.3.13
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
a) Determine los vectores unitario, tangente y normal unitario T(t) y
N(t).
b) Aplique la fórmula 9 de la página 832 del libro para calcular la
curvatura.
La ecuación 9, que se encuentra en la página 832 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
( ) | ( ) ( )|
| ( )|
( ) ⟨ ⟩
( ) ⟨ ⟩
( ) ⟨ ⟩
| ( )| √ √ ( ) √
| ( )| √
( ) ( )
| ( )|
√ ⟨ ⟩
√ ⟨ ⟩
( )
√ √
√
( ) ( )
| ( )|
√
√
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
B) ( ) | ( )|
| ( )|
√
√
√
13.3.18
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Aplique el teorema 10 de la pagina 833 del libro para calcular la
curvatura.
( )
La ecuación 10, que se encuentra en la página 833 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
( ) | ( ) ( )|
| ( )|
( )
( )
| ( )| √( ) ( ) √
( ) ( )
| ( ) ( )|
( )
(√ )
( ) ⁄
Mediante la formula 11 de la pagina 834 del libro, determine la
curvatura
13.3.21
13.3.27
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
La ecuación 11, que se encuentra en la página 834 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
( ) | ( )|
[ ( ( )) ] ⁄
( )
( )
( )
( ) | |
[ ( ) ] ⁄
[ ] ⁄
Calcule los vectores tangente T, normal N y binormal B en el punto
dado:
( ) ⟨ ⟩ ( )
( ) ⟨ ⟩
| ( )| | |
( ) ( )
| ( )| ⟨ ⟩
( ) ⟨ ⟩ ( ) ( )
( ) ⟨ [( )( ) ( )( )] ( )( ) ⟩
( ) ⟨ ⟩
13.3.44
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
( ) ( )
| ( )| ( )
√
√ ( ) ⟨
√
√ ⟩
( ) ( ) ( ) ( ) (
√
√ )
( ) (
√
√ )
( ) ⟨ ⟩
( ) ⟨
√
√ ⟩
( ) (
√
√ )
Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de
la curva en el punto dado:
( )
( )
( ) ( )
| ( )|
( )
√
( )
√ ( )
( )
√ ( ) ( ) ( )
La ecuación 7, que se encuentra en la página 798 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
13.3.45
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Ecuación del plano tangente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
√ ( )
| ( )| √
√
√
| ( )| ( )
( ) ⟨ ⟩
( ) ( )
√ ( ) ( )
√ ( )
( ) ( ) Ecuación del plano osculador:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula con
la función de posición dada.
( ) (
)
13.4.3
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
| ( )| √
Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula con la
función de posición dada:
( ) ⟨ ⟩
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
| ( )| √( ) ( ) ( ) √
Determine los vectores de velocidad y posición de una partícula que
tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales dadas:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ∫ ( ) ∫( )
13.4.9
13.4.15
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Constante cuando v(t = 0) = c; Entonces tenemos que c = k
( )
( ) ∫ ( ) ∫( )
( )
Cuando r(t = 0) = D entonces D = i entonces:
( ) (
)
Encuentre el vector de posición de una partícula que tiene la
aceleración y la velocidad y posición iniciales especificadas:
( )
v(t = 0) = k
r(t = 0) = j+k
( ) ∫( )
Cuando k = v(t = 0) tenemos que:
( )
( )
( )
Entonces:
Entonces tenemos que:
( )
( ) ( )
13.4.18
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
( ) ∫ ( ) ∫(
( ) ( ) )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Entonces: D = 0
( )
( ) ( )
La función de posición de una partícula está definida por
( ) ⟨ ⟩ Cuando la rapidez sea:
( ) ( ) ( )
| ( )| | ( )| √( ) ( )
| ( )| | ( )| √
| ( )| | ( )| √
| ( )|
( ) ⁄ ( )
Si el número es cero tenemos que:
16t - 64= 0 ; t=4
13.4.19
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Si
| ( )|
| ( )|
Sustituyendo t = 4 en
| ( )| | ( )| √ ( ) ( ) √
Una fuerza de magnitud de 20N actúa en forma directriz hacia arriba
del plano xy sobre un objeto con masa de 4kg, el objeto parte del
origen con velocidad inicial ( )
Determine la función de posición y su rapidez en el tiempo t:
| ( )| en la dirección positiva de z.
m = 40kg
F = ma
( ) [ ( )]; ( )
Entonces: ( )
( )
Velocidad magnitud: ( ) √ √
Entonces: ( )
Entonces: pues la partícula parte del origen.
( )
13.4.21
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Calcule las componentes tangencial y normal del vector aceleración:
( ) ( )
( ) ( )
| ( )| √( ) ( )
| ( )| √( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
| ( )|
Ecuación 9, que se encuentra en la página 843 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
Por la relación,
( )
| ( ) ( )|
| ( )|
La ecuación 10, que se encuentra en la página 843 del libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas, James Stewart, sexta edición, Cengage
Learning Editores, S.A. ISBN 10: 607-481-152-0
( )
( )
13.4.33
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz
Encuentre el vector unitario tangente T(t) en el punto con el valor
dado del parámetro z.
( ) √
( )
√
( )
( ) ( )
| ( )|
√ ( )
( )
( )
Encuentre la función vectorial que representa la curva de
intersección de estas dos gráficas:
Si
Si
:
( )
( ) ( )
13.9.18
13.9.38
Recommended