Capítulo 4
Sistemas Eléctricos
4.1 Elementos eléctricos
4.2 Sistemas eléctricos
Resistencia Capacitor
Grados de libertad (DOF)
Respuesta natural
Respuesta forzada con Simulink
Inductor
Leyes de Kirchhoff
Circuitos con amplificadores operacionales
Métodos de modelamiento
Fuentes de Voltaje y Corriente
Amplificador Operacional
Elementos eléctricos: resistencia
Energía disipada (efecto Joule)
Símbolos para representación gráfica
ρlR
A
resistividad
longitud
área
22 v
E Ri t vit tR
Ley de Ohm
( ) ( )v t Ri t
voltaje corriente
22 v
P Ri viR
Resistencia de alambre – cálculo Relación voltaje-corriente
potencia energía
Unidad SI: Ω (Ohmio)
(variable)
Serie Paralelo
Conexiones de resistencias
1 2v v v
1 2sR R R
1 2i i i
1 2v v v
1 2i i i
1 2
1 1 1
pR R R
Resistencia equivalente
Principios
Elementos eléctricos: resistencia
Elementos eléctricos: capacitor
Símbolos para representación gráfica
εAC
g
permitividad
área
separación
Capacitor de placas paralelas:
Cálculo de capacitancia: Relaciones básicas
( )( )
dv ti t C
dt
0
1( ) ( )
t
v t i t dtC
( )( )
dq ti t
dt
221 1 1 ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
q tE t Cv t q t v t
C
( )( ) ( ) ( )
dv tP t v t i t vC
dt
Energía almacenada
potencia energía
( ) ( )q t Cv t
Unidad SI: F (faradio)
Aplicación: actuador y sensor en MEMS
Actuador
Transversal (placa-paralela)
Sensor
0
A AC
g g x
2 2
2
0
ε
2 2
E v C Avf
x x g x
2
0 2
0
ε
2
Avf
g
0
Δ Δbvv x
g
Una placa del capacitor es móvil
Placa móvil del capacitor se mueve hacia la placa
fija; área se mantiene constante; la separación varía
Se genera una fuerza/momento Se genera un voltaje
Fuerza variable
Elementos eléctricos: capacitor
Actuador
Longitudinal
Sensor
0 0
( )A x wxC
g g
Placa móvil del capacitor se mueve paralela a la fija;
separación es constante; área superpuesta varía
Se genera fuerza/momento Se genera voltaje
2 2ε
2 2
E v C wvf
x x g
Fuerza constante
0
ΔΔ
Δb
xv v
x x
Elementos eléctricos: capacitor
Aplicación: actuador y sensor en MEMS
Serie Paralelo
Conexiones de capacitores
1 2v v v
1 2pC C C
1 2q q q
1 2v v v
1 2q q q
1 2
1 1 1
sC C C
Capacitancia equivalente
Principios
Elementos eléctricos: capacitor
Elementos eléctricos: inductor
Símbolos para representación gráfica
Inductor cilíndrico de alambre: Cálculo de inductancia
Relaciones Voltaje-corriente
21( ) ( )
2E t Li t
Energía almacenada
energía
( )( )
di tv t L
dt
0
1( ) ( )
t
i t v t dtL
( )( ) ( ) ( ) ( )
di tP t v t i t Li t
dt potencia
2 2πμ
4
N DL
l
permeabilidad
diámetro
longitud
# de vueltas
Unidad SI: H (Henrio)
Serie Paralelo
Conexiones de inductores
1 2v v v
1 2sL L L
1 2i i i
1 2v v v
1 2i i i
1 2
1 1 1
pL L L
Inductancia equivalente
Principios
i
v1 v2
i L1 L2
L1
v
i
i1
i2 L2
Le i
v
Elementos eléctricos: inductor
Funciones
Op Amp
Elementos eléctricos: Amplificador operacional
Funciones:
• Amplificar voltajes
• Aislar circuitos
• Contar señales
• Operaciones
matemáticas (suma,
integración,
diferenciación, etc.)
Sistemas eléctricos: Leyes de Kirchhoff
Primera ley de Kirchhoff: de nodos (KNL)
Ejemplo
Suma algebraica de corrientes conectadas a un nodo= 0
1 2 3 4 0i i i i
1 2 2 3 4 3 5 6 8 1 5 7 4 6 7 8; ; ; ; ;i oi i i i i i i i i i i i i i i i i i
4 6 1 5 4 1 3 1 2o ii i i i i i i i i i i
Segunda ley de Kirchhoff: de voltajes (KVL)
Suma algebraica de voltajes en los componentes = Suma algebraica de fuentes de voltaje
En una malla:
Ejemplo 1 2
( ) 1( ) ( )R L C
di tv v v L Ri t i t dt v v
dt C
2
1 22
( ) ( ) 1( )
d q t dq tL R q t v v
dt dt C
Vea Ejemplo 4.6
Vea Ejemplo 4.7
Sistemas eléctricos: grados de libertad (DOF)
Grados de libertad (DOF) Mínimo número de parametros que definen completamente la
configuración (estado) de un sistema eléctrico
Ejemplos
Sistema de un-DOF Sistema de dos-DOF
# mallas = 1
# DOF = # mallas con KVL
Regla práctica para establecer # DOF
# mallas = 2
Método de análisis de mallas
Se conoce: v, R1, R2 , R3, R4, R5
Sistemas Eléctricos: métodos de modelamiento
• Utiliza leyes de Kirchhoff
• Usualmente, calcula corrientes Ejemplo
Encuentre: i1, i2 , i3
Derive el modelo matemático
1 5 1 4 3
2 3 2 4 3
1 2 3
0
0
R R i R i v
R R i R i
i i i
KVL
KNL
Modelo Matemático
1 5 4 1
2 3 4 2
3
0
0 0
1 1 1 0
R R R i v
R R R i
i
2 3 4
1
1 2 3 4 2 3 4 5 4 5
42
1 2 3 4 2 3 4 5 4 5
2 3
3
1 2 3 4 2 3 4 5 4 5
R R R vi
R R R R R R R R R R
R vi
R R R R R R R R R R
R R vi
R R R R R R R R R R
Solución
Vea Ejemplo 4.9
Ver MATLAB/Ejemplo 4.9
Método de análisis de nodos
Sistemas eléctricos: métodos de modelamiento
• Utiliza leyes de Kirchhoff
• Usualmente, calcula voltajes
Se conoce: v, i, R1, R2 , R3, R4
Ejemplo
Encuentre: vA, vC, i1, i2, i3, i4
Derive el modelo matemático
Modelo matemático
Solución
1 2
1 2
2 3 4
2 3 4
0; or
0; or
A CA
A C C C
v vvi i i i
R R
v v v v vi i i
R R R
1 2 3 3 4 4 2 1 3
1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4
3 1 21 3 4
1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4
A
C
R R R R R R R R Rv i v
R R R R R R R R R R R R
R R RR R Rv i v
R R R R R R R R R R R R
Vea Ejemplo 4.10
Ver MATLAB/Ejemplo 4.10
1
𝑅1+
1
𝑅2−
1
𝑅2
−1
𝑅2
1
𝑅3+
1
𝑅4+
1
𝑅2
𝑣𝐴𝑣𝐶
=𝑖
1
𝑅4𝑣
Sistemas eléctricos: respuesta natural
Ejemplo
Frecuencia natural
Sistemas conservativos de un-DOF
( ) 1( ) 0
di tL i t dt
dt C
10Lq q
C
2 22 21 1 1 1
2 2 2 2
q qE Li Lq
C C
10q Lq q
C
10q q
LC
1ωn
LC
Modelo matemático
Ley de voltaje de Kirchhoff
Método de la energía ( )i t q
( ) 0d
E tdt
Ver Ejemplo 4.11
Circuito LC
Type equation here.
Sistemas eléctricos: respuesta natural
Ejemplo
Frecuencias naturales
Sistemas conservativos de Múltiple-DOF: método analítico
Modelo matemático
Ecuaciones KVL
1 1 1 2
2 2 2 1
10
10
L q q qC
L q q qC
2
1 1 2
2
1 2 2
1 1ω 0
1 1ω 0
L Q QC C
Q L QC C
2
1
2
2
1 1ω
01 1
ω
LC C
LC C
1
1 22
1 2
ω 0
ω
n
n
L L
CL L
1 1
2 2
sin ω
sin ω
q Q t
q Q t
1 2
1 2
1 2
2 1ω
0.6L L
CL L
Q L
Q L
2
2
1
0.6
11
n
L
LQ
Modo (vectores propios)
Ecuación característica
Ver Ejemplo 4.12
Solución armónica
Sistemas eléctricos: respuesta natural
Ejemplo
Sistemas conservativos de Múltiple-DOF: método MATLAB
Modelo matemático
1 1 1 2
2 2 2 1
10
10
L q q qC
L q q qC
Ver Ejemplo 4.12
𝐿1 00 𝐿2
𝑞1 𝑞2
+
1
𝐶−
1
𝐶
−1
𝐶
1
𝐶
𝑞1𝑞2
=00
𝐿 𝑞 + 𝐶 𝑞 = 0
det ( 𝐿 −1 𝐶 - λ 𝐼 ) = 0
λ = ωn2 = Valores Propios
𝐿 −1 𝐶 = 𝐷
D = Matriz Dinámica
[Q, W] = eig(D) En MATLAB:
Cuando se asume una solución sinusoidal
Vectores Propios (modos) Valores Propios (ωn2 )
Sistemas eléctricos: respuesta natural
Ejemplo 4.13 Derive el modelo matemático y determine las frecuencias naturales y
los modos, para L1 = L2 = L = 50 mH; C1 = C2 = C = 800 µF.
Sistemas conservativos de Múltiple-DOF
Ver MATLAB/Ejemplo 4.13
Energía Total:
Método de la energía:
dE/dt = 0
Sistemas eléctricos: respuesta natural
Ejemplo 4.13
Sistemas conservativos de Múltiple-DOF
De MATLAB,
frecuencias
naturales:
De MATLAB,
Vectores Propios
(Modos):
Factor de amortiguamiento eléctrico
Ejemplo Modelo matemático
Sistemas eléctricos: respuesta libre amortiguada
( ) 1( ) ( ) 0
di tL Ri t i t dt
dt C
10
Rq q q
L LC
( )i t q
22ξω ω 0n nq q q
σ σ σ
1 2cos ω sin ω sin ωt t t
d d dq Q e t Q e t Qe t
2
σ ξω
ω ω 1 ξ
n
d n
Frecuencia natural
2 1ω
2ξω
n
n
LC
R
L
Solución para sistema subamortiguado (0<ξ<1)
Donde: atenuación
frecuencia natural amortiguada
Ejemplo 4.14
Modelo matemático
Sistemas eléctricos: respuesta libre amortiguada
10
Rq q q
L LC
2 1ω
2ξω
n
n
LC
R
L
¿Qué cambios se deben aplicar a C y L
para que ξ sea 25% menor y ωn
incremente 30%? R = 250Ω
ξ = 0.45
ωn = 1200 Hz
L1 = 0.03684H
C1 = 4.77x10-7F
Nuevos valores:
ξ2 = 0.75 ξ = 0.3375
ωn2 = 1.3 ωn = 9,801.77 rad/s
= 2.75 x 10-7 H
= 37.79 x 10-3 H
Voltaje de entrada diferencial
Amplificador
Operacional
Propiedades
Circuitos de Amplificadores Operacionales
Voltaje de salida
2 1 1 2o iv Kv K v v K v v
Ganancia
• Alta impedancia de entrada (resistencia a la corriente)
• Baja impedancia de salida
Amplificador inversor 1 2 3i i i
1 1 2 2
i o o ov v v v
R KR R KR
Realimentación negativa
1 2
1 2
;i A A ov v v vi i
R R
o Av Kv
2
1
o
i
v R
v R
K
Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink
Ejemplo 4.17
• Identifique un circuito eléctrico cuyo modelo matemático es:
• Use Simulink para resolver esta ecuación diferencial para x(0) = 0
y ω = 100 rad/s
Si:
R = 1Ω
C = 0.1F
v = Cos(100t)V
)100(10 tCosqq
Para Simulink: )100(10 tCosqq
Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 4.17 )2/100()100( tSentCos
Ejemplo
Modelo matemático
Sistema de op amp de dos etapas
18sin 5 Viv tGrafique vo
Valores de todas las resistencias Se conoce:
Saturación de voltaje
Se satura fuera de -10 V — 15 V
2 4 2 4
1 3 1 3
o o
i i
v v R R R RvK
v v v R R R R
,min ,min
,min ,max
,max ,max
,
,
,
o i i
o i i i i
o i i
v v v
v Kv v v v
v v v
Vea Ejemplo 4.18
Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink
Ejemplo 4.18 (continuación)
Gráfico de vo
Modelo en Simulink
Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink
Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 4.18
Ver MATLAB/Ejemplo 4.18
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