ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 11. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Introducción
La noción de área, que se formaliza en la teoría como una función de medida, en su génesis
histórica tiene un papel similar y paralelo o quizás más relevante que la relación de semejanza,
porque la medición de las extensiones de las tierras, para calcular así mismo las partes que
serian anegadas por los ríos en las temporadas de lluvias y que posteriormente serian las más
fértiles, se convertían en un problema real de supervivencia de la población como ocurría con el
pueblo Egipcio. Su presentación como una función de medida para polígonos simples permite
una vez más mostrar la arquitectura magnífica que subyace en la Geometría como una teoría
Axiomática; puesto que con tres propiedades de definición, que caracterizan a esta función,
permite finalmente determinar el área de cualquier polígono simple. Son en consecuencia
muchas las razones que me llevan a considerar que un tema de tanta importancia no puede
reducirse al aspecto totalmente mecánico y marginal de reducir este tema a la memorización de
unas fórmulas.
Objetivos específicos.
1. Presentar el área como una función de medida con dominio en el conjunto de polígonos
simples definidos en un plano dado y el conjunto de los números reales positivos.
2. Construir en forma coherente y precisa la determinación de las áreas en su orden de los
siguientes polígonos convexos: rectángulo, paralelogramo, triángulo, trapecio y rombo.
3. Destacar como la distancia de un punto a una recta y que en este contexto particular se
designa genéricamente como altura, tiene un papel determinante y unificador en la aplicación
de la función área.
4. Concluir como el área del triángulo se convierte nuevamente en la piedra angular en la
determinación del área de cualquier polígono convexo, utilizando la partición en triángulos y
aplicando la fórmula de Herón, procedimiento que en la actualidad subsiste para el cálculo del
área en polígonos de este tipo.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5. Estudiar el problema de la cuadratura de un polígono convexo, aprovechando este
importante teorema que recoge elementos básicos de la función área como de la
proporcionalidad.
6. Mostrar cómo se induce desde la geometría, pero que finalmente es en el cálculo donde
se resuelve, la determinación de la longitud de la circunferencia, el área del círculo y el
surgimiento del número Pi.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.1 LA FUNCIÓN ÁREA
Definición 67. Área.
Designamos por .
Definimos una función A de P en que llamaremos área así:
Con las siguientes propiedades:
i.)El área de un cuadrado de lado l es igual a .
ii.)Si un polígono simple p se particiona en n polígonos simples: entonces
.
Esta propiedad se designa como el Postulado de adición de Áreas.
iii.)Si dos polígonos son congruentes entonces tienen la misma área.
Notación: Dado un polígono de vértices indicaremos su área por:
ó ó .
Estas designaciones corresponden respectivamente a las iniciales en mayúsculas de las
palabras: Área, Superficie y en minúcula de medida.
Cuando un polígono simple p se particiona en n polígonos simples, deben cumplirse dos
condiciones: la unión de los n polígonos generados en la partición, incluyendo sus
interiores debe ser igual al polígono inicial y la intersección de dos polígonos cualesquiera
generados en la partición puedes ser únicamene: el conjunto vacio, un punto, un segmento
o una poligonal.
Definición 68. Área Unitaria.
Es el área correspondiente a un cuadrado de lado igual a uno. En consecuencia su área
es una unidad.
Definición 69. Polígonos equivalentes.
Diremos que dos polígonos son equivalentes si tienen la misma área.
planoun en simple polígonoun es / ppP
R
)(
:
pAp
RPA
2l
nppp ,,, 21
)()()()()( 21
1
n
n
i
i pApApApApA
nAAA ,,, 21
nAAAA 21 nAAAS 21 nAAAm 21
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Convención: Para indicar que los polígonos p y p’ son equivalentes, lo notamos .
Observación. Si entonces y .
Demostración:
Sea: ABCD: rectángulo; con , .
Construyamos un cuadrado de lado .
Particionemos el cuadrado en 5 polígonos simples como se indica en la figura; en
consecuencia se tiene:
Figura 204
Condición. (i) de la definición de área.
. Condición (ii) de la definición de área
'pp
'pp '~ pp 'pp
aAB bBC
ba
2)( baMNRTA
54321 pApApApApA
514 pApA
𝑝5
𝑝3
𝑝4
TEOREMA 101
El área de un rectángulo de lados a y b es .
ba
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
. Condición (i) de la definición de área.
Luego y .
2
14 bapA
2
1
24 bapAba bapA 1
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.2 ÁREAS DE LOS POLÍGONOS BÁSICOS
Demostración:
Sean: ABCD paralelogramo,
Tracemos por B;
Figura 205
El (Hipotenusa – ángulo agudo)
En consecuencia (1’)
condición (ii) de la definición de área.
condición (iii) a partir de (1)
condición (ii)
Teorema 1, para
.
Observación.
El teorema anterior también se enuncia así: “El área de un paralelogramo es igual al producto de
la longitud de un lado por la altura relativa a ese lado”. Entendiéndose por altura el segmento
perpendicular trazado desde un punto cualquiera del lado opuesto, al lado en mención.
DCAH
DCBH'
'BCHADH
'CHDH
ABCHAADHAABCDA )(
ABCHABCHA '
'ABHHA
HAHH ' DCDHHCCHHCHH ''
HADC
TEOREMA 102
El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados
por la distancia al lado opuesto.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración:
Sea , con .
Tracemos por A, (V.P.E.)
Tracemos por C, (V.P.E.)
Designemos por P la intersección de y ; en consecuencia ABCP es un
paralelogramo. (1)
(L-L-L) de (1). (2)
Figura 206
Teorema 2 de (1)
Condición (ii) de la definición de área. (1)
ABC BCAH
BCAK ||
ABCT ||
AK
CT
APCABC
))(()( AHBCABCPA
)()( APCAABCA
Corolario 1.
Si dos paralelogramos tienen un lado respectivamente congruente y la altura asociada a
esos lados, respectivamente congruentes, entonces son equivalentes.
TEOREMA 103
El área de un triángulo es igual al semiproducto de la longitud de uno cualquiera de sus
lados por la longitud de la altura relativa a ese lado.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Condición (iii) de la definición de área. De (2)
Luego .
Figura 207
)(2 ABCA
2
))(()(
AHBCABCA
Corolario 1.
Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente y la altura a ese lado también
congruente, entonces los triángulos son equivalentes.
Corolario 2.
Dado ∆ 𝐴𝐵𝐶; 𝐴𝐽 ∥ 𝐵𝐶 , 𝑋 ∈ 𝐴𝐽 , entonces . )()( XBCAABCA
Corolario 3.
En un triángulo rectángulo el área es el semiproducto de las longitudes de los catetos.
Corolario 4.
En un triángulo equilátero de lado a el área es .
4
32a
TEOREMA 104. Fórmula de Herón
Sea ∆ 𝐴𝐵𝐶, como se indica en la figura 208. 𝑎, 𝑏, 𝑐 las medidas de los lados. Si se designa,
𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐
2, entonces, .
cpbpappABCΔA
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración:
Sea: , con .
Teorema 103.
Teorema de Pitágoras
Figura 208
Resolviendo para x se tiene: y sustituyendo en (1).
y Sustituyendo en la formula inicial se tiene:
ABC BCAH 1
2
))(()( 1AHBC
ABCA
222
1
222
1
)( )1(
)1(
xabAH
xcAH
2
222
4a
bcax
221
22
2222
1
2
222222
1
2
2222222222
1
4
4
2222222
44
4
22
4
4
2
a
cpbpapp
a
apcpbppAH
a
cabcabbcabca
a
cabbcaAH
a
bcaacbcaacAH
a
bcaca
a
bcacAH
cpbpappa
AH 2
1
cpbpappABCΔA
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración:
Figura 209
Sean: ABCD trapecio; , .
Construyamos la diagonal y tracemos por A, (V.P.E).
Luego ADBK es un paralelogramo.
Condición ii. Definición de área.
Pero Corolario 2. Teorema 103.
También y en consecuencia .
Así .
Sustituyendo en la expresión se tiene:
BC//AD BCDH
BD BD//AK
DBCΔAABDΔABCDΔA
ADKΔAABDΔA
KBDΔADKΔ KBDΔADKΔ
KBDΔAABDΔA
DHBCADDHBCKBDHKCKCDΔABCDΔA
DCBΔAKBDΔABCDΔA
2
1
2
1
2
1
TEOREMA 105.
El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura; entendiéndose la
altura como la distancia entre las bases.
Corolario 1.
El área de un trapecio es igual al producto de la altura por la paralela media.
TEOREMA 106.
El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La demostración se deja al lector.
Demostración:
Sean∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴′𝐵′𝐶′ con:
De la hipótesis y
corolario 3 del Teorema 88
(Semejanza).
Figura 210
Así:
k'C'A
AC
'C'B
BC
'B'A
AB
BCAH
'C'B'H'A
k'H'A
AH
2
2
12
1
kk.k'H'A'C'B
AHBC
'H'A'C'B
AHBC
'C'B'AΔA
ABCΔA
TEOREMA 107.
Si dos triángulos son semejantes, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de
semejanza.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.3 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
Demostración:
Sea :𝐴1𝐴2𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 polígono regular.
a: apotema
𝑝 = 𝐴1𝐴2 + 𝐴2𝐴3 + ⋯ + 𝐴𝑛𝐴1; perímetro.
𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝐴(∆𝑂𝐴1𝐴2) + ⋯ + 𝐴(∆𝑂𝐴𝑛𝐴1)
𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝑛(∆𝑂𝐴1𝐴2) = 𝑛1
2(𝐴1𝐴2)(𝑎) =
𝑝𝑎
2
Figura 211
TEOREMA 108.
El área de un polígono regular es igual al semiproducto del perímetro por la longitud de
su apotema.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.4 LA CUADRATURA DE UN POLÍGONO CONVEXO DE N LADOS
Observaciones
La demostración de este teorema se desarrolla en (𝑛 ≥ 4) dos fases así:
i. Probar que todo polígono convexo de n lados es equivalente a un polígono de
lados y en esta forma se llega en consecuencia; a probar que todo polígono convexo de n
lados (𝑛 ≥ 4) es equivalente a un triángulo. (Inducción sobre n).
ii. Probar que todo triángulo es equivalente a un cuadrado.
De i. y de ii. se concluye por lo tanto que todo polígono convexo es equivalente a un
cuadrado.
Ilustración: Dado el polígono determinar un cuadrado equivalente.
Fase 1.
Trazamos (diagonal entre los vértices adyacentes a ) en esta forma “aislamos el
vértice ”.
Figura 212
1n
54321 AAAAA
41AA5A
5A
TEOREMA 109. Cuadratura de un polígono convexo de n lados.
Todo polígono convexo es equivalente a un cuadrado.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por trazamos . Sea la intersección de con .
Tracemos .
Corolario 2. Teorema 3. (1)
𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4) + 𝐴(𝐴1𝐴5𝐴4) Condición ii. Definición de área.
𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4) + 𝐴(𝐴1𝐴4𝑃1) Condición ii. Definición de área de (1).
𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝑃1) Definición de área.
En forma análoga se procede y se concluye que , esto es:
.
Fase 2.
Veamos que ; siendo OMRS cuadrado.
Si designamos por X lado del cuadrado equivalente se tiene: ; esto es;
X es media proporcional entre y .
Esta situación nos lleva a apoyarnos en el Teorema 13 (Semejanza) que establece “La
altura asociada a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que
determinan en ella”; para determinar el lado X es la siguiente construcción.
Sea
O: Punto medio de donde .
Trazamos .
Levantamos por , . Designamos por T la intersección de con
.
es rectángulo, y en consecuencia por el teorema 13 (de semejanza)
; luego .
5A 415 AA//kA1P 43AA kAs
11PA
141541 PAAΔAAAAΔA
22154321 PAAΔAAAAAAA
22154321 PAAΔAAAAA
OMRSAPAAΔA 221
2
2212
1XHPAA
212
1AA HP2
2
2212
1XHPAA
21MM HPAAMM 22112
1
1OM,OC
2A 212 MMWA WA2
1OM,OC
21TMMΔ
HPAA
TA 2212
22
TAX 2
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 213.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.5 LONGITUD Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA. EL NÚMERO 𝝅. ÁREA
DE UN SECTOR CIRCULAR.
Se expone a continuación un teorema, cuyo resultado es una consecuencia inmediata de uno
de los casos de semejanza; pero por su relación inmediata con el tema a desarrollar; se ha
incluido en esta sección.
La demostración se propone al lector.
Conceptos introductorios.
Consideremos e inscribamos un polígono regular de n lados 𝐴1𝐴2𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 .
Designemos por: : este polígono; : lado del polígono; ; apotema; : perímetro;
: Área del polígono; siendo ; .
Figura 214
r,OC
nP nl na np nPA
2
nnn
apPA ln.npn
TEOREMA 110.
Dos polígonos regulares de igual número de lados son semejantes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Si duplicamos el número de lados del polígono anterior, obtenemos otro polígono regular
de 2n lados; cuyos elementos designamos así:
: Lado del nuevo polígono.
𝑎2𝑛: Apotema.
: Perímetro.
: Área; con (¿Por qué?)
(¿Por qué?) y .
Si duplicamos de nuevo, el número de lados del último polígono; obtenemos otro polígono
regular de lados.
Podemos continuar en esta forma el proceso constructivo de polígonos regulares por
duplicación de los lados para obtener los polígonos: 𝑃𝑛, 𝑃2𝑛, 𝑃22𝑛 ⋯ 𝑃2𝑘𝑛 ⋯ y las sucesiones
monótonas crecientes:
{𝑎𝑛, 𝑎2𝑛, 𝑎22𝑛 ⋯ 𝑎2𝑘𝑛 ⋯ } con: 𝑎𝑛 < 𝑎2𝑛 < 𝑎22𝑛 < ⋯ < 𝑎2𝑘𝑛 < ⋯
{𝑝𝑛, 𝑝2𝑛, 𝑝22𝑛 ⋯ 𝑝2𝑘𝑛 ⋯ } con: 𝑝𝑛 < 𝑝2𝑛 < 𝑝22𝑛 < ⋯ < 𝑝2𝑘𝑛 < ⋯
{𝐴(𝑃𝑛), 𝐴(𝑃2𝑛), 𝐴(𝑃22𝑛) ⋯ 𝐴(𝑃2𝑘𝑛) ⋯ } con: 𝐴(𝑃𝑛) < 𝐴(𝑃2𝑛) < 𝐴(𝑃22𝑛) ⋯ < 𝐴(𝑃2𝑘𝑛) < ⋯
Definición 70. Longitud de .
La notamos por L y se define como:
Definición 71. Límite de las apotemas.
Observaciones:
La longitud es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos o
circunscritos, cuando el número de lados del polígono aumenta indefinidamente.
En este caso el radio es el límite de las apotemas de dichos polígonos.
nP2
nl2
nP2
nPA 2 nn aa 2
nn pp 2 nn pApA 2
n22
r,OC
nkkpLimL
2
nkkaLimr
2
r,OC
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración:
Figura 215
Sean: ; .
Inscribimos en cada circunferencia un polígono regular de n lados.
Teorema 69 y en consecuencia .𝐴′1 𝐴′2𝐴′3 … 𝐴′𝑛
Luego y ; esto es:
(2’)
Multiplicando por n en (2’) se tiene: que corresponde a
(2”)
Cuando n crece indefinidamente (paso al límite) se tiene:
)r,O(C )'r,'O(C
nAAAA 321
nn 'A'A'A~AAA 2121 2121 'A'A'OΔ~AOAΔ
'r
'A'A
r
AA 2121
'r
'A'An
r
AAn 2121
'r
'p
r
p
TEOREMA 111.
La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
El valor de esta constante corresponde al número , .
Demostración:
Sea .
Inscribimos en un polígono regular de n lados.
En los conceptos introductorios (página 374) se estableció que al duplicar k veces el
número de lados del polígono inicial se tiene:
(Teorema 108)
En consecuencia:
Propiedad de límite.
Pero Corolario Teorema 11 y Definición.
En consecuencia .
Este límite lo definimos como el área del círculo (𝑂, 𝑟) y en consecuencia:
Área del círculo (𝑂, 𝑟) = 𝜋𝑟2.
'r
'L
r
L
k'r
'L
r
L
22
14163,π *Qπ
)r,O(C
)r,O(C
2
22
2
nn
n
kk
k
appA
2
22
2
nn
knk
kk
k
apLimpALim
nknknk
kkk aLimpLimpALim222 2
1
rπpLimnk
k 22
raLimnk
k 2
2
22
2
1rπrrπpALim
nkk
Corolario
La longitud de una circunferencia de radio r es igual a 2 𝜋𝑟.
TEOREMA 112. Área del círculo.
Convención: Dada ; designemos por el conjunto unión entre
y su interior. Dicho conjunto lo llamaremos círculo de centro O y radio r.
El área del círculo es .
)r,O(C )r,O(Θ )r,O(C
)r,O(Θ 2rπ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Corolario.
Si el ángulo central está dado en radianes se tiene:
i) Longitud del arco .
ii) Área del .
θrAMB
θrOBMASect 2
2
1
TEOREMA 113.
Dada ; : ángulo central en grados, : arco subtendido por el ángulo ; entonces:
i) Longitud del arco
ii) Área del sector circular OBMA lo
designamos por
.
iii) Área del segmento circular AMB la
designamos por
)r,O(C
θ
AMB
θ
360
2 θrπAMB
OBMASect
360
2θrπOBMASect
AMBSg
OABΔAOAMBSectAMBSg
Figura 216
216
Figura 217
216
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: Función área.
1. Señale para cada enunciado si es verdadero o es falso, justificando su determinación.
1.1. El área de un polígono simple siempre es un número entero y positivo.
1.2. El área de un polígono simple puede ser un número real cualquiera.
1.3. Con relación a los polígonos señalados en las figuras siguientes:
1.3.1 A(A1A2A3A4A5A6)= A(ΔA1A2A3) + A(ΔA1A3A5) + A(ΔA1A5A6) +
A(ΔA3A4A5)
1.3.2 A(B1B2B3B4B5B6)= A(ΔB1SB6) + A(ΔB6B5T) + A(ΔB1B2S) +
A(B2STKWB4B3) + A(B4B5KW)
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.3.3. A(C1C2C3C4C5C6)= A(ΔC3C4C5) + A(ΔC3C5C6) + A(ΔC2C3C6) +
A(ΔC1C2C3)
1.3.4 A(D1D2D3D4D5D6D7)= A(D1D2D3D4) + A(ΔD1D4D7) + A(ΔD6D7F) +
A(D4D5D6S)
1.4 Si dos polígonos son semejantes, entonces, son equivalentes.
1.5 Si dos polígonos son congruentes, entonces, son equivalentes.
1.6 Si dos polígonos son equivalentes, entonces, son congruentes.
1.7 El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera
por la distancia al lado opuesto.
1.8 El área de un rombo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por
la distancia al lado opuesto.
1.9 El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de un lado
cualquiera por la distancia al lado opuesto.
1.10 Un polígono convexo de 15 lados es equivalente a un polígono convexo de 8
lados.
2 Para cada uno de los polígonos siguientes, determine un cuadrado equivalente.
3 Calcule el área para cada uno de los polígonos siguientes.
3.1. ΔABC rectángulo,
ABCrecto,
BH altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.2. ABCD rombo, 7.1),( DCOd
3.3. ABCDE representa un terreno, las
longitudes de los lados están en metros, calcule
el área del terreno.
Sugerencia: Particione el polígono en
triángulos, utilice ley de cosenos y de senos.
4 Calcule el área sombreada en cada una de las figuras
siguientes, teniendo en cuenta las hipótesis
respectivas.
4.1. El ΔABC es equilátero, inscrito en C(0, r), AH
altura. Calcule el área sombreada en términos del radio r.
Sugerencia: Tenga presente las propiedades de los
segmentos notables en el triángulo isósceles.
4.2. Las tres circunferencias son congruentes
de radio r y tangentes entre sí. Calcule
el área sombreada en términos de r.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.3. ABCD es un cuadrado de lado . Con
centros en cada vértice y radio igual a
la mitad de la diagonal, se trazan al
interior del cuadrado los arcos:
21OPP ,
43OPP
65OPP
87OPP . Calcule el área
sombreada en términos del lado .
Sugerencia: Calcule inicialmente el área
de un aspa de la cruz.
4.4. En la figura ΔPQT es equilátero,
C (0,r) está inscrita en este triángulo, AB
cuerda diametral, SMQTAB //// ; AK y
WB tangentes a C(0, r); S entre A y K, M
entre B y W. SMWK cuadrado, O’ punto de
intersección de las diagonales de este
cuadrado,
GFL semicircunferencia inscrita
en SMLG.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Calcule el área sombreada en términos de r.
4.5. ABCD es un cuadrado de lado . Los arcos
se han construido en la forma descrita en el
literal 4.3. Calcule el área sombreada en
términos de .
5 En el paralelogramo ABCD de la figura M es el
punto medio de BC y N lo es de
CD . Demuestre que ΔABM
ΔADN.
Sugerencia: Determine AC .
Compare ΔABM y
ΔACM; compare ΔADN
y ΔACN.
6 En el ΔABC de la figura O es el baricentro,
1AM , 2BM , 3CM medianas. Demuestre
que : ΔOBM1 ΔOM1C ΔOCM2
ΔOAM2 ΔOAM3 ΔOM3B
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
7 Lúnulas de Hipócrates
En la figura ΔABC es rectángulo y está inscrito en la semicircunferencia de cuerda
diametral AB .
Tomando como cuerda diametral cada cateto se traza una semicircunferencia en el
exterior del triángulo. Las regiones sombreadas se denominan lúnulas.
Demuestre que la suma de las regiones sombreadas es igual al área del ΔABC.
8 En la figura ABCD es un
paralelogramo, P es un punto
cualquiera de la diagonal BD . Se
determinan PA y PC .
Demuestre que ΔAPD ΔCPD y
ΔAPB ΔCPB.
9 En el trapecio ABCD de la figura,
DCAB // ; M1 y M2 puntos medios de AD
y BC respectivamente. Demuestre que
ΔAM2D ΔBM1C.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
10 En cada uno de los numerales siguientes, calcular la razón o el incremento pedido.
10.1. Si el radio de una circunferencia se incrementa en una unidad, entonces, calcule la
razón de la longitud de la nueva circunferencia respecto al nuevo diámetro.
10.2. Si el diámetro de una circunferencia se incrementa en unidades, entonces, calcule
el incremento en la longitud de la nueva circunferencia.
10.3. Si el radio de una circunferencia se incrementa en el 100%, entonces, calcule el
incremento de la nueva área del círculo.
11 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es igual a k2 , calcule, en función de k ,
el área del triángulo.
12 El área de un círculo es igual 64 unidades de área. Calcule el área del exágono regular
circunscrito a este círculo.
13 En la circunferencia C(0, r) de la figura, AB es
cuerda diametral, TBAT y 4
1)(
DMFm
medida del arco total de la circunferencia.
Calcule A )( ATB /A )( DOF .
14 Si se designa por L el perímetro de un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia, calcules el área del círculo en función de L.
15 Dados dos cuadrados cualesquiera de lados de longitudes a y b unidades
respectivamente, construya:
15.1. Un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los dos cuadrados.
15.2. Un cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas de los dos cuadrados
16 Generalice el problema anterior en su literal 15.1. Sean los cuadrados de lados cuyas
longitudes corresponden a 1a ,
2a ,3a ,…,
na unidades. Construya un cuadrado equivalente a
la suma de las áreas de los n cuadrados.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
17 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que el cuadrado construido sobre la
diferencia de dos segmentos, es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre
ellos menos el doble del rectángulo construido con estos mismos segmentos.
(Demostración geométrica de una propiedad algebraica)
18 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que la diferencia entre los cuadrados
construidos sobre dos segmentos es equivalente al rectángulo una de cuyas dimensiones
es la suma de ellos y la otra dimensión es la diferencia de los mismos. (Demostración
geométrica de una propiedad algebráica)
19 El diámetro de una toronja es de 10 centímetros y la cáscara tiene mm6 de espesor. Si se
corta un trozo de cáscara tangente a la pulpa interior, como se indica en la figura, calcule
el diámetro y la longitud de la circunferencia del trozo que se ha cortado.
20 El perímetro de un triángulo es el doble del perímetro de la circunferencia inscrita en él. Si
el área del círculo es 212m , calcule el área del triángulo. ¿Puede obtenerse una
generalización del problema planteado y concluirse un teorema?
21 En un rombo una de las diagonales mide el doble de la otra. Si el área del rombo se
designa por A en unidades de área, calcule la dimensión del lado del rombo en función de
A .
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
22 En la figura ABCD es un cuadrado
de área 25 unidades de área, P un
punto arbitrario, BCP .Por A
se levanta APAT ;
QATCD . Deteminamos
QP . Si el área del ΔPAQ es igual
a 15,125 unidades de área,
calcule QD.
23 En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de la diagonal BD , BCK tal que
BCBK3
1 . Demuestre que (A )( BMK /A )(MKCD )= 1/5
24 El ΔABC de la figura es rectángulo, con
A
recto, M es el punto medio de BC ,
BCMK . Si 12B unidades y 2,6
unidades, calcule el área del cuadrilátero
ACMK.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
H
25. En el ΔABC de la figura, ACAP3
11 , CBAP
3
12 , BABP
3
13 ; 2AP , 1BP y 3CP se
intersectan como se indica. Demuestre que A )( STW = 7
1A )( ABC .
26 En el ΔABC de la figura los lados son tangentes a las circunferencias y estas son a su vez
tangentes entre sí r 17 y r’ 10 unidades respectivamente, calcule el área del ΔABC.
Sugerencia: 1) Pruebe que ΔABC es isósceles y en
consecuencia 𝐴𝐻 es mediatriz de BC .
2)Determine los radios asociados a los
puntos de tangencia sobre los lados
AB y AC y considere los triángulos
semejantes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
27 En la figura ABCDEF es regular, ABHH 21 ,
EDHH 21 y H1, O, H2 son colineales, H1H2=50
unidades.
ST es una cuerda diametral con ST =
16 unidades. Calcule el área de la figura
sombreada.
28 En la figura el círculo C(0’, r’) está contenido en el
círculo C(0, r). Si el área del círculo mayor es igual
al valor del área de la región sombreada
multiplicada por el término b
a , pruebe que r / r ‘
ba
a
.
29 Si un arco intersectado por un ángulo central de 60º en un círculo C(O1, r1) tiene la
misma longitud que un arco intersectado por un ángulo central de 45º en un círculo
C(O2, r2) , calcule la razón entre las áreas
del primer círculo al segundo.
30 En la figura AB no nulo cualquiera, se
determina la semicircunferencia de centro
en O y diámetro AB . P un punto
cualquiera, )(ABIntP . En el mismo
semiplano de la circunferencia se trazan
dos semicircunferencia de diámetros AP y
PB respectivamente. Por P se levanta el segmento perpendicular que intersecta el arco
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
en K. Con centro en P se determina la circunferencia de radio PK . Demuestre que la
razón entre el área sombreada y el área del círculo de centro en P y radio PK es igual a
4
1.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.7 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
En la figura las tres circunferencias son
congruentes y tangentes dos a dos. Calcule
el área de la región rayada en términos del
radio común 𝑅.
Procedimiento.
1. Determinemos el ∆ 𝑂1𝑂203;
definición de triángulo.
2. ∆ 𝑂1𝑂203 es equilátero; ¿por qué?
3. 𝑚 )( 1
O = 𝑚 )( 2
O = 𝑚 )( 3
O = 60°; de 2 consecuencia por equivalencia.
4. Designamos por 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 los puntos de tangencia.
5.
21TT ≅
32TT ≅;
31TT teorema de relaciones ángulos vs arcos, de las premisas y 3.
6. Sect 𝑂1𝑇1𝑇3 ≡ sect 𝑂2𝑇1𝑇2 ≡ sect 𝑂3𝑇2𝑇3; de 3 y 5.
7. 𝐴 (región rayada) = 𝐴(∆ 𝑂1𝑂203 ) − 3𝐴 (sector 𝑂1𝑇1𝑇3 ); de 6.
8. 𝐴(∆ 𝑂1𝑂203) = (2 𝑅)2√3
4 ; ¿por qué?
9. 𝐴 (sect 𝑂1𝑇1𝑇3) =𝜋𝑅2×60°
360° ; teorema área del sector circular y 3.
10. 𝐴 (sect 𝑂1𝑇1𝑇3) =𝜋𝑅2
6 unidades de área; de 6.
11. 𝐴 (región rayada) = 𝑅2 √3 −𝜋𝑅2
2; sustitución 8 y 6 en 7.
= 𝑅2 (√3 − 𝜋
2) = 0.16 𝑅2 unidades de área.
Ilustración N° 2
Teorema de las Lúnulas de Hipócrates.
Se designan como Lúnulas de Hipócrates, las dos figuras comprendidas entre las
circunferencias construidas sobre la hipotenusa de un triángulo como cuerda diametral y las
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
construidas sobre los catetos como cuerdas diametrales, respectivamente. En la figura se
determinan como las regiones rayadas.
Demuestre que la suma de las áreas de las dos Lúnulas es igual al área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
Demostración
1. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 1
2 𝜋 (
𝐴𝐵
2)
2+
1
2 𝜋 (
𝐴𝐶
2)
2− [
1
2𝜋 (
𝐵𝐶
2)
2− 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶)]
*Observemos que los dos primeros sumandos de la derecha en la igualdad
corresponden a las áreas de los dos semicírculos con cuerdas diametrales sobre cada uno
de los catetos. Por tanto para determinar exactamente la suma de las áreas de las Lúnulas
debemos restarle las áreas de los segmentos circulares con cuerdas sobre cada cateto y
arcos en los arcos inferiores que delimitan cada una de las Lúnulas.
La suma de estas áreas de los dos segmentos circulares con iguales a la diferencia entre el
área del semicírculo de cuerda diametral sobre la hipotenusa y el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
2. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 1
8 𝜋. 𝐴𝐵2 +
1
8 𝜋. 𝐴𝐶2 −
1
8 𝜋. 𝐵𝐶2 + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
3. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) =𝜋
8 (𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
4. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 𝜋
8 (0) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
5. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); de 4.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N° 3
En la figura ABCD es un cuadrado, de lado
a, con centro en cada uno de los vértices
y radio 𝑅 =1
2𝐴𝐶 se trazan los arcos:
,FOE
,HOG
,JOI
.LOK
Calcule el área de la figura rayada.
Procedimiento.
Este tipo de ejercicios se constituye en un problema donde las relaciones espaciales juegan un
papel tan importante como las mismas herramientas de la geometría. Por ello es necesario
analizar con detalle las relaciones que presentan en sí mismas las figuras, en cuanto a su
distribución, antes de tratar de ensayar cualquier cálculo, esto es diseñar una estrategia para
abordar la solución del problema.
1. Consideremos en esta figura una cruz que se aproxima a la cruz de Malta y calculemos
el área correspondiente a la mitad del aspa total.
En particular señalemos el área de la región limitada por 𝐸𝑂𝐹𝐽𝑂𝐼.
2. 𝐴(mitad de un aspa) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 )
= 𝐴 (∆ 𝐷𝐸𝐼) − 𝐴(∆𝐹𝐵𝐽) ; ¿por qué?
3. = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 )
= 𝐴(cuadrado de lado 𝐹𝐵 ); ¿por qué?
4. 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝑎2; área del cuadrado.
5. 𝐴𝐹 = 1
2𝐴𝐶 =
1
2√2𝑎2 =
𝑎√2
2; ¿por qué?
6. 𝐴(semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 ) =1
2 𝜋 (
𝑎√2
2)
2
; teorema área del círculo.
7. 𝐹𝐵 = 𝑎 − 𝐴𝐹 = 𝑎 − 𝑎√2
2; propiedad de la medida y sustitución de 5.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8. 𝐴(cuadrado de lado 𝐹𝐵 ) = (𝑎 −𝑎√2
2)
2
; área del cuadrado y sustitución de 7.
9. 𝐴(mitad del aspa) = 𝑎2 −1
2𝜋
𝑎2
2− (𝑎 −
𝑎√2
2)
2
; sustitución de 4, 6, 7 en 3.
= 𝑎2 −𝜋
4𝑎2 − 𝑎2 (1 −
√2
2)
2
= 𝑎2 [1 −𝜋
4− (1 −
√2
2)
2
]
= 0.13 𝑎2
10. 𝐴(de la cruz) = 2 × 0.13 𝑎2
= 0.26 𝑎2 en unidades de área.
Ilustración N° 4
Construya un cuadrado equivalente a:
1. La suma de dos cuadrados dados.
2. La diferencia de dos cuadrados dados.
Procedimiento.
1. Sean 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑃𝑄𝑅𝑆 dos cuadrados dados de lados de longitudes a y b en unidades de
longitud respectivamente.
2. Si designamos por el lado del cuadrado correspondiente a la solución en el primer
caso; se debe cumplir la siguiente relación: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) + 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) = 2 ; teorema área
del cuadrado.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3. 𝑎2 + 𝑏2 =2 ; sustitución de 1 en 2.
4. En consecuencia corresponde a la medida de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de catetos de longitudes a y b respectivamente; ¿por qué?
5. En el segundo caso; si designamos por m la medida del cuadrado equivalente a la
diferencia de las áreas dadas; se debe cumplir que: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) = 𝑚2.
6. 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑚2; sustitución de 1 en 5.
7. 𝑎2 = 𝑚2+ 𝑏2; despejando en 6.
8. En consecuencia m corresponde a la medida de un cateto en un triángulo rectángulo
de hipotenusa de medida a y un cateto de medida b; ¿por qué?
Ilustración N° 5
Si el perímetro de un triángulo es el doble de la longitud de una circunferencia inscrita en él, y
el área del círculo es de 12 m2 calcule el área del triángulo.
𝑖. 𝐶(𝑂, 𝑅) inscrito en ∆ 𝐴𝐵𝐶
𝑖𝑖. Perímetro del ∆ 𝐴𝐵𝐶 = 2 longitud de 𝐶(𝑂, 𝑅)
𝑖𝑖𝑖. Área (círculo (𝑂, 𝑅)) = 12𝑚2
Hipótesis Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Tesis: calcular 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶)
1. Si designamos por 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 los puntos de tangencia de 𝐶(𝑂, 𝑅) con los lados
𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 y 𝐴𝐶 respectivamente, entonces, 𝑂𝐻1 ⊥ 𝐴𝐵 , 𝑂𝐻2
⊥ 𝐵𝐶 y 𝑂𝐻3 ⊥ 𝐴𝐶 ; ¿por qué?
2. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 2(2𝜋𝑅); de ii.
3. 𝜋𝑅2 = 12 𝑚2; de iii. y área del círculo.
4. 𝑅 = √12
𝜋= 1.95 𝑚; despejando en 3.
5. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 4 × 𝜋 × 1.95 𝑚; sustitución de 4 en 2.
= 24.5 𝑚
6. Determinamos 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 y 𝑂𝐶 ; definición de segmentos.
7. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) + 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) + 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶); propiedad función área.
8. 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) = 1
2 𝐴𝐵. 𝑂𝐻1; teorema área del triángulo.
9. 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) = 1
2 𝐵𝐶. 𝑂𝐻2; teorema área del triángulo.
10. 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶) =1
2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3; teorema área del triángulo.
11. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) =1
2 𝐴𝐵. 𝑂𝐻1 +
1
2 𝐵𝐶. 𝑂𝐻2 +
1
2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3; sustitución de 8, 9 y 10 en 7.
= 1
2 𝑅 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶); factorizando.
= 1
2 × 1.95 × 24.5 𝑚2; sustitución de 4 y 5.
= 23.9
Ilustración N° 6
En la figura las circunferencias de radios 5 cm y
13 cm respectivamente, son tangentes entre si y
tangentes, como indica de la figura al ∆ 𝐴𝐵𝐶.
Calcule el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶
1. Designamos por 𝐻´, 𝐻 y 𝐾 los puntos de
tangencia de las circunferencias con los
lados 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶 respectivamente; 𝐹´ y 𝐹
los puntos de tangencia de las mismas
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
con 𝐴𝐵 ; 𝑇 el punto de tangencia entre las dos circunferencias.
2. 𝐴𝐹 ≅ 𝐴𝐻 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐾 , 𝐶𝐻 ≅ 𝐶𝐾 . Teorema rectas tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior a ella.
3. Determinamos 𝐴𝑂′ ; definición de semirrecta.
4. 𝐴𝑂′ ; bisectriz de ;
BAC teorema rectas tangentes a una circunferencia desde un punto
exterior a ella.
5. 𝑂′ ∈ 𝐴𝑂 , 𝐾 ∈ 𝐴𝑂 ; ¿por qué?
6. 𝑂𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 ; de 1, propiedad de los radios asociados a los puntos de tangencia (teorema).
7. 𝐴𝐾 es bisectriz y altura en el ∆ 𝐴𝐵𝐶; de 4, 5 y 6.
8. ∆ 𝐴𝐵𝐶 es isósceles con 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 ; de 7 por teorema reciproco de las propiedades de los
segmentos notables del triángulo isósceles.
9. 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶) = 𝐵𝐶.𝐴𝐾
2; teorema área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
10. 𝐴𝐾 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐾 = 𝐴𝐺 + 36 𝑐𝑚
11. Determinemos los radios 𝑂′𝐻′ y 𝑂𝐻 , definición de segmentos.
12. 𝑂′𝐻′ ⊥ 𝐴𝐶 y 𝑂𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 ; de 1, ¿por qué?
13. ∆ 𝐴𝑂′𝐻′~ ∆ 𝐴𝑂𝐻 , (A-A); ¿por qué?
14. 𝐴𝑂′
𝐴𝑂=
𝑂′𝐻′
𝑂𝐻; consecuencia de 13.
15. 𝐴𝐺+5
𝐴𝐺+23=
5
13; sustitución en 14.
16. 𝐴𝐺 = 6.25 𝑐𝑚; despejando en 15.
17. 𝐴𝐾 = 42.25 𝑐𝑚; sustitución 16 en 10.
18. ∆ 𝐴𝐾𝐶 ~ ∆ 𝐴𝑂′𝐻′ (A-A); ¿por qué?
19. 𝐾𝐶
𝑂′𝐻′ =𝐴𝑂′
𝐴𝐶=
𝐴𝐾
𝐴𝐻′; consecuencia de 18.
20. 𝐾𝐶
5=
42.25
𝐴𝐻′ ; transitividad en 19 y sustitución.
21. 𝐴𝐻′ = √𝐴𝑂′2 − 𝑂′𝐻′2; teorema de Pitágoras, en el ∆ 𝐴𝑂′𝐻′.
= √(11.25)2 − 25 = 10.07𝑐𝑚
22. 𝐾𝐶 =5×42.25
10.07 𝑐𝑚; de 20 y 21.
= 20.97 𝑐𝑚
23. 𝐾𝐶 =𝐶𝐵
2; ¿por qué?
24. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 20.97 × 42.25 𝑐𝑚2; sustitución 17 y 22 en 9.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
= 885.98 𝑐𝑚2.
Ilustración N°7
En un trapecio ABCD, las diagonales 𝐶𝐴 y 𝐵𝐷 se cortan en 𝑂. Si los triángulos formados tienen
las áreas indicadas:
𝐴 (∆𝐴𝑂𝐷) = a 1 ; 𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) = a 2; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐶) = a 3 ; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐴) = a 4
Demostrar que el área del trapecio ABCD está dada por :
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 = (√a2 + √a4)2
Demostración
1. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴((∆ 𝐴𝑂𝐷) +
𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) + 𝐴(∆𝐶𝑂𝐵) +
𝐴(∆𝐵𝑂𝐴). ¿Por qué?
2. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ; de 1.
3. El área del ∆ 𝐴𝐷𝐶 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ∆ 𝐵𝐶𝐷. ¿Por qué?
4. a 1 + a 2 = a 2 + a 3, luego a 1 = a 3 ; de 3.
5. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2a 1; de 4 en 2.
6. Aplicando una relación entre las áreas de dos triángulos obtenemos:
a 1a 2
=𝑂𝐴. 𝑂𝐷
𝑂𝐷. 𝑂𝐶=
𝑂𝐴
𝑂𝐶
siendo el ∡ 𝐴𝑂𝐷 y ∡𝐷𝑂𝐶 suplementarios.
¿Son estas las únicas relaciones? ¿Cuáles otras se podrían plantear? ¿Cuáles de ellas nos
llevan a la solución?
Continuemos con el problema:
7. De 6, a 1
a 2=
a 4
a 3 , pero a 1 = a 3, entonces, (a 1)2 = a 2. a 4 y sustituyendo en 5 se tiene:
𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2√a 2. a 4. Luego: 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (√a 2 + √a 4)2 ¿Por qué?
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N°8
ABCD es un cuadrado de lado a. Desde cada vértice como centro y con radio a se trazan arcos
de circunferencia que se cortan en 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄. Hallar el área de la región sombreada.
i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado.
ii.
DMB
CNA
BPD
AQC
Tesis: Hallar el área sombreada.
Demostración.
1. Determinemos 𝑀𝐴 y 𝑀𝐵 .
2. El área a determinar es cuatro veces el
área sombreada 𝐷𝑀𝐶. ¿Por qué?
3. Hallemos el área sombreada 𝐷𝑀𝐶
𝐴(𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐴𝐷𝑀)) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐵𝐶𝑀)) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)
Ahora: 𝑚 (∡𝑀𝐴𝐵) = 𝑚 (∡𝑀𝐵𝐴) = 60°. ¿Por qué?
4.𝑚 (∡𝐷𝐴𝑀) = 𝑚 (∡𝐶𝐵𝑀) = 30°. ¿Por qué?
5. AM = MB = AB = r = a
6. Entonces el área del 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝐷𝑀 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐶𝑀
7. 𝐴(𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 2𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡 𝐴𝐷𝑀) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)
= (𝐴𝐵)2 − 2 [1
2𝑟2𝜃] −
1
2𝐴𝐵. ℎ
= a2 − a2.𝜋
6−
1
2a(
a√3
2)
Hipótesis
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
=a2
12(12 − 2𝜋 − 3√3)
8. Área sombreada = 4 𝐴(𝐷𝑀𝐶) =a2
3(12 − 2𝜋 − 3√3)
NOTA: consultar el concepto de simetría.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial