Capıtulo 4: Polinomios
Miguel Angel Olalla [email protected]
Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla
Diciembre de 2018
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 1 / 45
Contenido
1 Introduccion a los polinomios
2 Divisibilidad
3 Maximo comun divisor
4 Factorizacion. Factores multiples
5 Factorizacion en C[x ] y en R[x ]
6 Factorizacion en Q[x ]
7 Factorizacion en Fp[x ]
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 1
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 2x3 − x2 + x − 2 ∈ Z[x ]. ¿Esirreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo como productode polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces ni es productode dos polinomios de grado 2, luego es irreducible.
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F3[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ¿es irreducible en F3[x ]? En casonegativo descomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
No tiene raıces entre los elementos de F3 = {0, 1, 2} pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luego f (x) = (x2 + x + 2)2
es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 1
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 2x3 − x2 + x − 2 ∈ Z[x ]. ¿Esirreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo como productode polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces ni es productode dos polinomios de grado 2, luego es irreducible.
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F3[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ¿es irreducible en F3[x ]? En casonegativo descomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
No tiene raıces entre los elementos de F3 = {0, 1, 2} pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luego f (x) = (x2 + x + 2)2
es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 1
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 2x3 − x2 + x − 2 ∈ Z[x ]. ¿Esirreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo como productode polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces ni es productode dos polinomios de grado 2, luego es irreducible.
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F3[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ¿es irreducible en F3[x ]? En casonegativo descomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
No tiene raıces entre los elementos de F3 = {0, 1, 2} pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luego f (x) = (x2 + x + 2)2
es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 1
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 2x3 − x2 + x − 2 ∈ Z[x ]. ¿Esirreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo como productode polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces ni es productode dos polinomios de grado 2, luego es irreducible.
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F3[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ¿es irreducible en F3[x ]? En casonegativo descomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
No tiene raıces entre los elementos de F3 = {0, 1, 2} pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luego f (x) = (x2 + x + 2)2
es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 2
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 3x3 + 5x2 + 4x + 2 ∈ Z[x ].¿Es irreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo comoproducto de polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luegof (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 2) es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 2
a) Consideremos el polinomio f (x) = x4 + 3x3 + 5x2 + 4x + 2 ∈ Z[x ].¿Es irreducible en Z[x ]? En caso negativo descomponerlo comoproducto de polinomios irreducibles.
Las posibles raıces de f (x) son ±1, ±2. No tiene raıces pero sı esproducto de dos polinomios de grado 2, luegof (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 2) es reducible.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 2
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F5[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 3x3 + 4x + 2 ¿es irreducible en F5[x ]? En caso negativodescomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
En un primer paso, podemos trasladar la factorizacion sobre Z a estecaso. Es decir, f (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 2) tambien en F5[x ].Ademas el segundo factor tiene raıces 1 y 2, el primer factor no tieneraıces entre los elementos de F5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Luegof (x) = (x2 + x + 1)(x + 4)(x + 3) en F5[x ].
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 2
b) Consideremos ahora el mismo polinomio sobre F5[x ]. Pongamosf (x) = x4 + 3x3 + 4x + 2 ¿es irreducible en F5[x ]? En caso negativodescomponerlo como producto de polinomios irreducibles.
En un primer paso, podemos trasladar la factorizacion sobre Z a estecaso. Es decir, f (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 2) tambien en F5[x ].Ademas el segundo factor tiene raıces 1 y 2, el primer factor no tieneraıces entre los elementos de F5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Luegof (x) = (x2 + x + 1)(x + 4)(x + 3) en F5[x ].
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 3
a) Sea el polinomio f (x) = x6 − 2x5 + x4 + 2x3 − 8x2 + 12x − 12,Sabiendo que α = 1 + i es una raız de f (x), descomponerlo enfactores irreducibles sobre Z, R y C.
Sabemos que si α = a + ib ∈ C \ R es raız de f (x) entonces α = a− ibtambien. Ademas α + α = 2a ∈ R y αα = a2 + b2 ∈ R. Luego elpolinomio real (x −α)(x −α) = x2 − (α+α)x +αα es un factor de f (x).
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 3
a) Sea el polinomio f (x) = x6 − 2x5 + x4 + 2x3 − 8x2 + 12x − 12,Sabiendo que α = 1 + i es una raız de f (x), descomponerlo enfactores irreducibles sobre Z, R y C.
Sabemos que si α = a + ib ∈ C \ R es raız de f (x) entonces α = a− ibtambien. Ademas α + α = 2a ∈ R y αα = a2 + b2 ∈ R. Luego elpolinomio real (x −α)(x −α) = x2 − (α+α)x +αα es un factor de f (x).
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 3
En nuestro caso (x − α)(x − α) = x2 − 2x + 2 es un factor de f (x).Dividiendo se tiene f (x) = (x2 − 2x + 2)(x4 − x2 − 6). El segundo factores bicuadrado y es facil descomponerlo como producto de dos polinomiosde grado dos, quedando f (x) = (x2 − 2x + 2)(x2 + 3)(x2 − 2). Como f (x)no tiene raıces enteras, esa es su descomposicion en factores irreduciblessobre Z.
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 3
Las raıces de cada uno de los tres factores son, respectivamente, 1 + i y1− i , ±
√3i , ±
√2. Las cuatro primeras son raıces complejas no reales,
pero ±√
2 ∈ R. Luego la factorizacion de f (x) sobre R esf (x) = (x2 − 2x + 2)(x2 + 3)(x +
√2)(x −
√2).
Por ultimo, el polinomio f (x) de grado 6 se descompone en otros tantosfactores sobre C:f (x) = (x − (i + i))(x − (1− i))(x +
√3i)(x −
√3i)(x +
√2)(x −
√2).
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Algunos ejemplos previos
Ejemplo 3
Las raıces de cada uno de los tres factores son, respectivamente, 1 + i y1− i , ±
√3i , ±
√2. Las cuatro primeras son raıces complejas no reales,
pero ±√
2 ∈ R. Luego la factorizacion de f (x) sobre R esf (x) = (x2 − 2x + 2)(x2 + 3)(x +
√2)(x −
√2).
Por ultimo, el polinomio f (x) de grado 6 se descompone en otros tantosfactores sobre C:f (x) = (x − (i + i))(x − (1− i))(x +
√3i)(x −
√3i)(x +
√2)(x −
√2).
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Introduccion a los polinomios
Definicion de polinomio
Definicion (Polinomios con coeficientes en A)
Sea A un anillo. Llamaremos conjunto de polinomios con coeficientesen A, y lo denotaremos por A[x ], al conjunto de las expresiones de la forma
a(x) = amxm + am−1x
m−1 + . . .+ a1x + a0,
con los ai ∈ A y m ∈ N.
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Introduccion a los polinomios
Grado de un polinomio
Definicion (Grado)
El grado de un polinomio a(x), notado grado(a(x)), es el mayor entero ntal que an 6= 0. El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llamapolinomio nulo y se denota por 0. Por convencion, su grado esgrado(0) = −∞.
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Introduccion a los polinomios
Algunas definiciones
Definicion
Sea a(x) =∑n
i=0 aixi ∈ k[x ] un polinomio no nulo con an 6= 0 (de grado
n).Llamaremos termino lıder de a(x) al termino anx
n, coeficiente lıder a any termino constante a a0.Un polinomio es monico si su coeficiente lıder es 1. Los polinomios sedicen constantes cuando su grado es cero, ası como el polinomio nulo.
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Introduccion a los polinomios
El anillo A[x ]
Teorema
El conjunto A[x ] con la suma y producto habituales es un anillo. Ademas:
Si A es un anillo conmutativo, A[x ] es conmutativo.
Si A es dominio de integridad, A[x ] es dominio de integridad.
Observacion
Sean los polinomios a(x) =∑n
i=0 aixi y b(x) =
∑mi=0 bix
i . Entonces:
- grado(a(x) + b(x)) ≤ max{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dandose laigualdad solamente cuando m = n y am + bn = 0.
- grado(a(x)b(x)) ≤ grado(a(x)) + grado(b(x)) (se da la igualdadcuando A es dominio de integridad).
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Introduccion a los polinomios
El anillo A[x ]
Teorema
El conjunto A[x ] con la suma y producto habituales es un anillo. Ademas:
Si A es un anillo conmutativo, A[x ] es conmutativo.
Si A es dominio de integridad, A[x ] es dominio de integridad.
Observacion
Sean los polinomios a(x) =∑n
i=0 aixi y b(x) =
∑mi=0 bix
i . Entonces:
- grado(a(x) + b(x)) ≤ max{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dandose laigualdad solamente cuando m = n y am + bn = 0.
- grado(a(x)b(x)) ≤ grado(a(x)) + grado(b(x)) (se da la igualdadcuando A es dominio de integridad).
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Introduccion a los polinomios
Unidades de A[x ]
Teorema
Si A es un dominio de integridad, un polinomio de A[x ] es una unidad si ysolo si es una constante y es una unidad en A. Es decir, el grupomultiplicativo A[x ]∗ de las unidades de A[x ] es el grupo A∗ de las unidadesde A.
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Divisibilidad
Division euclıdea de polinomios
Teorema (Teorema de division)
Sean f (x), g(x) ∈ k[x ] dos polinomios, con g(x) 6= 0. Entonces, existendos unicos polinomios q(x), r(x) ∈ k[x ] tales que
f (x) = q(x)g(x) + r(x)
y grado(r(x)) < grado(g(x)).
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Divisibilidad
Algoritmo de division
Para calcular el cociente y el resto de la division entre f (x) y g(x), degrados respectivos m y n.Si m ≥ n tome
f1(x) = f (x)− (a/b)xm−ng(x) , q1(x) = (a/b)xm−n.
Repita con f1(x) y g(x) hasta que grado(ft(x)) < grado(g(x)). El cocientey el resto son
q(x) = q1(x) + . . .+ qt−1(x), r(x) = ft(x).
Si m < n, el cociente es 0 y el resto el propio f (x).
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Divisibilidad
Ejemplo de division
Dividir el polinomio f (x) = x6 − 7x2 + 6 entre g(x) = x4 + 4x2 + 3 enQ[x ]:
x6 − 7x2 + 6 =(x4 + 4x2 + 3
) (x2 − 4
)+ 6x2 + 18
− x6 − 4x4 − 3x2
− 4x4 − 10x2 + 64x4 + 16x2 + 12
6x2 + 18
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Divisibilidad
Division euclıdea de polinomios
Corolario (4.2.2)
Sea I ⊂ k[x ] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existem(x) ∈ k[x ] tal que
I = m(x) · k[x ] = {f (x)m(x) | f (x) ∈ k[x ]}.
Corolario (Teorema del resto)
Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ], y sea un elemento del cuerpo a ∈ k .Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a.
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Divisibilidad
Division euclıdea de polinomios
Corolario (4.2.2)
Sea I ⊂ k[x ] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existem(x) ∈ k[x ] tal que
I = m(x) · k[x ] = {f (x)m(x) | f (x) ∈ k[x ]}.
Corolario (Teorema del resto)
Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ], y sea un elemento del cuerpo a ∈ k .Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a.
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Divisibilidad
Divisibilidad
Definicion (Divisibilidad)
Sean f (x) y g(X ) dos polinomios de A[x ], decimos que g(x) divide af (x), y lo escribimos g(x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal quef (x) = g(x) · h(x).
Observacion
Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x ] si y solo sies una constante no nula.
En k[x ] g(x)|f (x) si y solo si el resto de dividir f (x) entre g(x) esnulo.
En k[x ], si g(x)|f (x) y f (x)|g(x) entoncesgrado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a · g(x) donde a ∈ k \ {0} esuna constante no nula.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 18 / 45
Divisibilidad
Divisibilidad
Definicion (Divisibilidad)
Sean f (x) y g(X ) dos polinomios de A[x ], decimos que g(x) divide af (x), y lo escribimos g(x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal quef (x) = g(x) · h(x).
Observacion
Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x ] si y solo sies una constante no nula.
En k[x ] g(x)|f (x) si y solo si el resto de dividir f (x) entre g(x) esnulo.
En k[x ], si g(x)|f (x) y f (x)|g(x) entoncesgrado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a · g(x) donde a ∈ k \ {0} esuna constante no nula.
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Divisibilidad
Divisibilidad
Definicion (Divisibilidad)
Sean f (x) y g(X ) dos polinomios de A[x ], decimos que g(x) divide af (x), y lo escribimos g(x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal quef (x) = g(x) · h(x).
Observacion
Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x ] si y solo sies una constante no nula.
En k[x ] g(x)|f (x) si y solo si el resto de dividir f (x) entre g(x) esnulo.
En k[x ], si g(x)|f (x) y f (x)|g(x) entoncesgrado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a · g(x) donde a ∈ k \ {0} esuna constante no nula.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 18 / 45
Divisibilidad
Divisibilidad
Definicion (Divisibilidad)
Sean f (x) y g(X ) dos polinomios de A[x ], decimos que g(x) divide af (x), y lo escribimos g(x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal quef (x) = g(x) · h(x).
Observacion
Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x ] si y solo sies una constante no nula.
En k[x ] g(x)|f (x) si y solo si el resto de dividir f (x) entre g(x) esnulo.
En k[x ], si g(x)|f (x) y f (x)|g(x) entoncesgrado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a · g(x) donde a ∈ k \ {0} esuna constante no nula.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 18 / 45
Divisibilidad
Raız de un polinomio
Definicion (Raız de un polinomio)
Se dice que un elemento a ∈ A es raız del polinomio f (x) ∈ A[x ] sif (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0.
Corolario (Teorema de la raız)
Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ] de grado positivo. Entonces f (x) tiene unaraız a ∈ k si y solo si es divisible por x − a.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 19 / 45
Divisibilidad
Raız de un polinomio
Definicion (Raız de un polinomio)
Se dice que un elemento a ∈ A es raız del polinomio f (x) ∈ A[x ] sif (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0.
Corolario (Teorema de la raız)
Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ] de grado positivo. Entonces f (x) tiene unaraız a ∈ k si y solo si es divisible por x − a.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 19 / 45
Divisibilidad
Multiplicidad de una raız
Definicion (Multiplicidad de una raız)
Sean f (x) ∈ A[x ] un polinomio y a ∈ A una raız. Se llama multiplicidad dea al mayor entero positivo m tal que (x − a)m divide a f (x).
Corolario (D’Alembert)
Un polinomio no nulo f (x) ∈ k[x ] de grado n tiene a lo sumo n raıcesdistintas en k .
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 20 / 45
Divisibilidad
Multiplicidad de una raız
Definicion (Multiplicidad de una raız)
Sean f (x) ∈ A[x ] un polinomio y a ∈ A una raız. Se llama multiplicidad dea al mayor entero positivo m tal que (x − a)m divide a f (x).
Corolario (D’Alembert)
Un polinomio no nulo f (x) ∈ k[x ] de grado n tiene a lo sumo n raıcesdistintas en k .
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 20 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Definicion (Maximo comun divisor)
Sean dos polinomios f (x), g(x) ∈ k[x ]. Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es unmaximo comun divisor de f (x) y g(x) si verifica:
1. p(x)|f (x) y p(x)|g(x)
2. Si q(x) es otro polinomio que divide a f (x) y a g(x) entoncesq(x)|p(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 21 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Observacion (Nota 4.3.1)
El maximo comun divisor de dos polinomios no es unico. Sip(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a ∈ k \ {0},ap(x) = mcd(f (x), g(x)).
Por eso cuando hablamos de un maximo comun divisor, podremos acordarque estamos tomando un polinomio monico y, en esas condiciones, sı quees unico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 22 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Observacion (Nota 4.3.1)
El maximo comun divisor de dos polinomios no es unico. Sip(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a ∈ k \ {0},ap(x) = mcd(f (x), g(x)).Por eso cuando hablamos de un maximo comun divisor, podremos acordarque estamos tomando un polinomio monico y, en esas condiciones, sı quees unico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 22 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Proposicion (4.3.2)
Sean f (x), g(x) ∈ k[x ] dos polinomios. Si f (x) = q(x)g(x) + r(x),entonces se tiene que
mcd(f (x), g(x)) = mcd(g(x), r(x))
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 23 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))
g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))
r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))...
rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...
rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))
rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Maximo comun divisor
Algoritmo (de Euclides)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:
f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))
...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).
Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 24 / 45
Maximo comun divisor
Identidad de Bezout
Teorema (Identidad de Bezout)
Sean f (x) y g(x) dos polinomios de k[x ] no nulos y sead(x) = mcd(f (x), g(x)). Entonces existen unos polinomiosa(x), b(x) ∈ k[x ] tales que
d(x) = a(x) · f (x) + b(x) · g(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 25 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Polinomio irreducible
Definicion (Polinomio irreducible)
Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es irreducible si no es una constante, y si el quepodamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores seauna unidad (una constante).
Proposicion (4.4.1)
Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que noes divisible por p(x), entonces mcd(f (x), p(x)) = 1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 26 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Polinomio irreducible
Definicion (Polinomio irreducible)
Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es irreducible si no es una constante, y si el quepodamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores seauna unidad (una constante).
Proposicion (4.4.1)
Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que noes divisible por p(x), entonces mcd(f (x), p(x)) = 1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 26 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Irreducibilidad
Proposicion (Teorema de Euclides)
Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Dados dos polinomiosf (x), g(x) ∈ k[x ], si p(x)|f (x)g(x), entonces p(x) divide a alguno de losdos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 27 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Irreducibilidad
Teorema (Descomposicion en factores irreducibles)
Cualquier polinomio no constante de k[x ] es irreducible o factoriza enproducto de polinomios irreducibles. Este producto es unico en tanto quesi tenemos dos factorizaciones de f (x) en producto de polinomiosirreducibles en k[x ] de la forma
f (x) = p1(x) · · · ps(x) = q1(x) · · · qt(x)
necesariamente s = t y existe una correspondencia uno a uno entre losfactores p1(x), . . . , ps(x) y q1(x), . . . , qt(x) donde si pi (x) se correspondecon qj(x), existe un α ∈ k \ {0} tal que pi (x) = αqj(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 28 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Irreducibilidad
Proposicion (4.4.3)
Sea I = (f (x)) ⊂ k[x ] un ideal. Entonces son equivalentes las siguientescondiciones:
1. I es primo.
2. f (x) es irreducible.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 29 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Derivada de un polinomio
Notacion
- f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x);
- D : k[x ]→ k[x ] es la funcion que a cada polinomio le asocia suderivada. Esto es, D(f (x)) = f ′(x).
Definicion (Derivada de un polinomio)
La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes reglas:
1- Si f (x) = axn con a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1. (Si n = 0,D(a) = 0.)
2- Si f (x) = g(x) + h(x), entonces D(f (x)) = D(g(x)) + D(h(x)). Estoes, la derivada es un homomorfismo de grupos aditivos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 30 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Derivada de un polinomio
Notacion
- f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x);
- D : k[x ]→ k[x ] es la funcion que a cada polinomio le asocia suderivada. Esto es, D(f (x)) = f ′(x).
Definicion (Derivada de un polinomio)
La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes reglas:
1- Si f (x) = axn con a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1. (Si n = 0,D(a) = 0.)
2- Si f (x) = g(x) + h(x), entonces D(f (x)) = D(g(x)) + D(h(x)). Estoes, la derivada es un homomorfismo de grupos aditivos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 30 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Propiedades de la derivada de polinomios
Proposicion (4.4.4)
Para cualesquiera polinomios f (x), g(x) ∈ k[x ] y para todo natural s > 1se verifica que:
1 D(f (x)g(x)) = f (x)D(g(x)) + g(x)D(f (x)).
2 D(f (x)s) = sf (x)s−1D(f (x)).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 31 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Factores multiples de un polinomio
Teorema (Factores multiples de un polinomio)
Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio, donde k ∈ {Q,R,C}. Entonces f (x) tienefactores multiples si y solo si f (x) y f ′(x) no son primos entre sı.
Observacion (Nota 4.4.5)
La especificacion de que el cuerpo de coeficientes es Q, R o C no esirrelevante. En efecto, en la segunda implicacion hemos usado que unpolinomio de grado mayor que 1 no puede dividir a su derivada. Esto encuerpos como Fp no es cierto ya que, por ejemplo, f (x) = x3 + 1 es unpolinomio irreducible de F3[x ] que verifica que f ′(x) = 0 y, por tantof (x)|f ′(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 32 / 45
Factorizacion. Factores multiples
Factores multiples de un polinomio
Teorema (Factores multiples de un polinomio)
Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio, donde k ∈ {Q,R,C}. Entonces f (x) tienefactores multiples si y solo si f (x) y f ′(x) no son primos entre sı.
Observacion (Nota 4.4.5)
La especificacion de que el cuerpo de coeficientes es Q, R o C no esirrelevante. En efecto, en la segunda implicacion hemos usado que unpolinomio de grado mayor que 1 no puede dividir a su derivada. Esto encuerpos como Fp no es cierto ya que, por ejemplo, f (x) = x3 + 1 es unpolinomio irreducible de F3[x ] que verifica que f ′(x) = 0 y, por tantof (x)|f ′(x).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 32 / 45
Factorizacion en C[x] y en R[x]
Teorema fundamental del algebra
Teorema (Teorema fundamental del algebra)
Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo tiene una raız compleja.
Corolario (4.5.1)
Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo, digamos n, tiene n raıcesen C, esto es, se puede escribir como
f (x) = αn∏
i=1
(x − αi ),
donde α, αi ∈ C.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 33 / 45
Factorizacion en C[x] y en R[x]
Teorema fundamental del algebra
Teorema (Teorema fundamental del algebra)
Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo tiene una raız compleja.
Corolario (4.5.1)
Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo, digamos n, tiene n raıcesen C, esto es, se puede escribir como
f (x) = α
n∏i=1
(x − αi ),
donde α, αi ∈ C.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 33 / 45
Factorizacion en C[x] y en R[x]
Factorizacion en R[x ]
Proposicion (4.5.2)
Todo polinomio de R[x ] de grado impar tiene una raız en R. Todopolinomio se descompone en producto de polinomios de grados 1 o 2 (loscuales son irreducibles si y solo si sus raıces son complejas no reales).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 34 / 45
Factorizacion en Q[x]
Polinomios de grado 2 o 3
Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) esreducible si y solo si tiene una raız en k . En efecto, el hecho de que f (x)sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1.Si este es ax − b, entonces b/a es una raız de f (x).
Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomiode grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factoresirreducibles de grado 2, como x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2)(x2 + 1) en Q, luegono tiene por que tener raıces en k
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 35 / 45
Factorizacion en Q[x]
Polinomios de grado 2 o 3
Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) esreducible si y solo si tiene una raız en k . En efecto, el hecho de que f (x)sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1.Si este es ax − b, entonces b/a es una raız de f (x).
Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomiode grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factoresirreducibles de grado 2, como x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2)(x2 + 1) en Q, luegono tiene por que tener raıces en k
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 35 / 45
Factorizacion en Q[x]
Regla de Ruffini
Proposicion (4.6.1)
Sea el polinomio
f (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n,
de grado n > 0. Supongamos que f (x) tiene una raız racional α = a/b cona y b primos entre sı. Entonces a|a0 y b|an.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 36 / 45
Factorizacion en Q[x]
Lema de Gauss
Definicion (Contenido de un polinomio)
Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x ] no nulo, se llama contenido de f (x) almaximo comun divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dira quef (x) es primitivo si su contenido es 1.
Teorema (Lema de Gauss)
El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 37 / 45
Factorizacion en Q[x]
Lema de Gauss
Definicion (Contenido de un polinomio)
Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x ] no nulo, se llama contenido de f (x) almaximo comun divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dira quef (x) es primitivo si su contenido es 1.
Teorema (Lema de Gauss)
El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 37 / 45
Factorizacion en Q[x]
Consecuencias del Lema de Gauss
Corolario (4.6.2)
Si f (x), g(x) ∈ Z[x ] son polinomios no nulos, entonces
c(fg) = c(f )c(g).
Corolario (4.6.3)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, que sedescompone en Q[x ] en producto de dos polinomios de gradosestrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x ] enproducto de dos polinomios de esos mismos grados.
Corolario (4.6.4)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo.Entonces f (x) es reducible en Z[x ] si y solo si lo es en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 38 / 45
Factorizacion en Q[x]
Consecuencias del Lema de Gauss
Corolario (4.6.2)
Si f (x), g(x) ∈ Z[x ] son polinomios no nulos, entonces
c(fg) = c(f )c(g).
Corolario (4.6.3)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, que sedescompone en Q[x ] en producto de dos polinomios de gradosestrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x ] enproducto de dos polinomios de esos mismos grados.
Corolario (4.6.4)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo.Entonces f (x) es reducible en Z[x ] si y solo si lo es en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 38 / 45
Factorizacion en Q[x]
Consecuencias del Lema de Gauss
Corolario (4.6.2)
Si f (x), g(x) ∈ Z[x ] son polinomios no nulos, entonces
c(fg) = c(f )c(g).
Corolario (4.6.3)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, que sedescompone en Q[x ] en producto de dos polinomios de gradosestrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x ] enproducto de dos polinomios de esos mismos grados.
Corolario (4.6.4)
Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo.Entonces f (x) es reducible en Z[x ] si y solo si lo es en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 38 / 45
Factorizacion en Q[x]
Criterio de Eisenstein-Schonemann
Proposicion (Criterio de Eisenstein-Schonemann)
Sea un polinomio de grado n > 0
f (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n.
Supongamos que existe un elemento irreducible p ∈ Z que divide a todoslos coeficientes, salvo a an, y cuyo cuadrado p2 no divide a a0. Entoncesf (x) es irreducible en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 39 / 45
Factorizacion en Q[x]
Una aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann
Ejercicio
Sean k un cuerpo y f (x) ∈ k[x ] un polinomio. Demostrar que f (x) esirreducible si y solo si lo es f (x + a) para todo a ∈ k .
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 40 / 45
Factorizacion en Q[x]
Una aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann
Ejemplo
Vamos a probar que para cada primo p el polinomio
Φp(x) =xp − 1
x − 1= xp−1 + · · ·+ x + 1 ∈ Z[x ]
es irreducible.
Si realizamos el cambio x por x + 1 se obtiene el polinomio
Φp(x + 1) = xp−1 +
(p
1
)xp−2 +
(p
2
)xp−3 + · · ·+ p,
cuyos coeficientes, salvo el lıder, son divisibles por p y tal que p2 no divideal termino constante.Por tanto, en aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann, elpolinomio Φp(x + 1) es irreducible. Lo que implica, por el ejercicioanterior, que lo es Φp(x) para cada p primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 41 / 45
Factorizacion en Q[x]
Una aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann
Ejemplo
Vamos a probar que para cada primo p el polinomio
Φp(x) =xp − 1
x − 1= xp−1 + · · ·+ x + 1 ∈ Z[x ]
es irreducible.Si realizamos el cambio x por x + 1 se obtiene el polinomio
Φp(x + 1) = xp−1 +
(p
1
)xp−2 +
(p
2
)xp−3 + · · ·+ p,
cuyos coeficientes, salvo el lıder, son divisibles por p y tal que p2 no divideal termino constante.
Por tanto, en aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann, elpolinomio Φp(x + 1) es irreducible. Lo que implica, por el ejercicioanterior, que lo es Φp(x) para cada p primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 41 / 45
Factorizacion en Q[x]
Una aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann
Ejemplo
Vamos a probar que para cada primo p el polinomio
Φp(x) =xp − 1
x − 1= xp−1 + · · ·+ x + 1 ∈ Z[x ]
es irreducible.Si realizamos el cambio x por x + 1 se obtiene el polinomio
Φp(x + 1) = xp−1 +
(p
1
)xp−2 +
(p
2
)xp−3 + · · ·+ p,
cuyos coeficientes, salvo el lıder, son divisibles por p y tal que p2 no divideal termino constante.Por tanto, en aplicacion del criterio de Eisenstein-Schonemann, elpolinomio Φp(x + 1) es irreducible. Lo que implica, por el ejercicioanterior, que lo es Φp(x) para cada p primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 41 / 45
Factorizacion en Fp [x]
Factorizacion en Fp[x ]
Seaf (x) = anx
n + . . .+ a1x + a0 ∈ Z[x ]
primitivo, sea p un primo que no divida a an, y llamemos f (x) al polinomio
f (x) = anxn + . . .+ a1x + a0 ∈ Fp[x ],
siendo ai = ai (mod p), 0 ≤ i ≤ n.
Proposicion (4.7.2)
Si f (x) es irreducible en Fp[x ], entonces f (x) es irreducible en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 42 / 45
Factorizacion en Fp [x]
Factorizacion en Fp[x ]
Seaf (x) = anx
n + . . .+ a1x + a0 ∈ Z[x ]
primitivo, sea p un primo que no divida a an, y llamemos f (x) al polinomio
f (x) = anxn + . . .+ a1x + a0 ∈ Fp[x ],
siendo ai = ai (mod p), 0 ≤ i ≤ n.
Proposicion (4.7.2)
Si f (x) es irreducible en Fp[x ], entonces f (x) es irreducible en Q[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 42 / 45
Factorizacion en Fp [x]
Ejemplo 4.7.3
Sea f (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 ∈ Z[x ]. Tomemos p = 2. Entoncesf (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ F2. Ya que f (0) = 1 y f (1) = 1, f (x) notiene raıces en F2.
Intentemos factorizar f (x) de forma artesanal. Como en caso de serreducible, ningun factor de la descomposicion de f (x) serıa de grado 1,pongamos por caso que
f (x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d).
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 43 / 45
Factorizacion en Fp [x]
Ejemplo 4.7.3
Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema
S :
1 = a + c1 = b + ac + d1 = ad + bc1 = bd
La ultima ecuacion nos dice que b = d = 1, y sustituyendo en el resto nosquedamos con
S :
{1 = a + c1 = ac
,
que no tiene solucion. Por tanto, f (x) es irreducible en F2 y ası, por laproposicion, f (x) es irreducible sobre Q.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 44 / 45
Factorizacion en Fp [x]
El recıproco no es cierto
Observacion (Nota 4.7.4)
Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los calculos a la hora deestudiar si un polinomio es o no irreducible sobre Q, tiene un graveinconveniente. El recıproco de la proposicion anterior es falso. Por ejemplo,el polinomio x2 + 2 es irreducible sobre Q, pero f (x) = x2 ∈ F2[x ] esreducible, o el polinomio x2 − x + 1, irreducible en Q y con f (x) reducibleen F3.
Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2018 45 / 45
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