Matemáticas
PROYECTO DE AULA
TEMAS:
*Trinomios que se encuentran en la factorización
*Ecuaciones con radicales que se reducen a 2grado
*Ecuaciones incompletas
*Ecuaciones con radicales
*Ecuaciones fraccionarias con factorización
PERTENECIENTE A:
Carmen Gómez
Karen Pozo
Ericka Saltos
Joel Bajaña
Dayana Pluas
DOCENTE:
Paulina Verzosi
Periodo:2013-2014
Contenido INTRODUCCION ............................................................................................ 3
1. TRINOMIOS QUE SE ENCUENTRAN EN LA FACTORIZACION .............. 4
1.1EJEMPLO DE TRINOMIOS ....................................................................... 5
1.2Trinomio cuadrado Perfecto .................................................................... 5
1.3 Trinomio de la Forma +bx+c .............................................................. 5
1.4 TRINOMIO DE LA FORMA a +bx+c .................................................. 6
ECUACIONES CON RADICALES .................................................................. 8
*ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A 2DO GRADO –
SOLUCIONES EXTRAÑAS .......................................................................... 11
ECUACIONES DE 2DO GRADO: IMCOMPLETAS ...................................... 15
*ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO ............................ 17
INTRODUCCION
Este proyecto se enfoca en la elaboración de ejercicios Matemáticos que nos
permite el desarrollo de las habilidades y nos ayuda a aplicar estrategias que
facilitan la comprensión de los procesos involucrados en la solución de los
ejercicios planteados , los estados intermedios que conducen al resultado final y
las operaciones requeridas nos permite alcanzar la repuesta deseada .
Entre los ejercicios a realizar están los siguientes:
*Trinomios que se encuentran en la factorización
*Ecuaciones fraccionarias de primer grado
*Ecuaciones con radicales
*Ecuaciones con radicales que se reducen a 2do grado
*Ecuaciones incompletas
Estos ejercicios ayudan al desarrollo intelectual, cognitivo y práctico a través de la
elaboración de cada uno de ellos, facilitando la compresión y analizando cada
proceso requerido para el desarrollo de los mismos.
En matemáticas es primordial cada uno de los casos que contiene las ecuaciones
ya que se vinculan con la factorización que es un paso previo para la resolución de
operación algebraica.
Este material es prácticamente para uso de estudiantes en donde se explica paso
a paso cada uno de los temas expuestos, teniendo como objetivo facilitar la
resolución de cada ejercicio matemático que se asocia específicamente, al
desarrollo intelectual.
Es fundamental incentivar a los estudiantes a que se guíen de ejercicios prácticos
y bien formulados logrando obtener un interés propio hacia la materia,
desarrollando sus habilidades y obteniendo destrezas.
1. TRINOMIOS QUE SE ENCUENTRAN EN LA FACTORIZACION
TRINOMIOS
TRINOMIO CUADARADO
PERFECTO TRINOMIO DE LA FORMA
TRINOMIO DE LA FORMA
a
.El primer y el tercer
término tiene raíz
cuadrada exacta
.El segundo término es el
duplo de la raíz del
primero por el segundo
.El coeficiente del primer
término es 1
.El primer término es una
letra cualquiera elevada al
cuadrado
.El segundo término tiene
la misma letra que el
primero con exponente 1 y
su coeficiente es una
cantidad cualquiera
positiva
.Se diferencia del
caso anterior en que
el primer término
tiene un coeficiente
distinto de 1
EJEMPLO:
-30 b+25
EJEMPLO:
+5x+6
EJEMPLO:
2 +11x+5
1.1EJEMPLO DE TRINOMIOS
1.2Trinomio cuadrado Perfecto
a 2(a)(b) b R= (a-b)(a-b)
* + 2ab +
a 2(a)(b) b R=(a+b)(a+b)
* - 2x + 1
x 2(x) (5) 1 R=(x-1)(x-1)
* - 10a + 25
a 2(a) (5) 5 R=(a-5)(a-5)
*16 + 40 +25
4 2(4) (5 ) 5 R=(4+5 )(4+5 )
1.3 Trinomio de la Forma +bx+c
* + 7x + 10
R=(x+5) (x+2)
* + 5m – 14
R= (m+7) (m-2)
* - 17x -60
R=(x+12) (x+5)
* +13m-30
R= (m+10) (m-3)
* +13m-30
R= (m-14) (m+12)
1.4 Trinomio de la forma a +bx+c
*14 -31m-10
2m -5 = -35m
7m 2= 4m
-31m
R= (2m-5) (7m+2)
*20 +7x-6
4x 3= -8x
5x -2= 15x
7x
R= (5x-2) (4x+3)
*18 - 13a – 5
1a -1= -18a
18a 5= 5a
13a
R=(a-1) (18ª+5)
*6 + 7x + 2
3x 2= 4x
2x 1= 3x
7x
R= (3x+2) (2x+1)
*4 +15a+9
4a 3= 3a
1a 3= 12a
15x
R= (4a +a) (a +3)
ECUACIONES CON RADICALES
Para resolver este tipo de ecuaciones debemos eliminar el radical elevando al
cuadrado.
RESOLUCION
1- Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando al otro miembro el
resto de los términos aunque tenga también radicales.
2- Se eleva al cuadrado los dos miembros.
3- Se resuelve la ecuación obtenida.
4- Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. hay
que tener encuentra que elevar al cuadrado una ecuación que se obtiene
cambiando el signo el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5- Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases de
proceso hasta eliminarlas todas.
EJERCICIOS
*√ + √ = 5
√ = 5 - √
(√ = (5 - √
X + 4 = (5 – 2(5) (√ ) + (√
X + 4 = 25 – 10 √ +x -1
X +4 -25 –x +1 = -10 √
-20 = 10 √ ÷10
(2 = (√
4 = x – 1
4 + 1 = x
X = 5
*√ + √ -2√ = 0
(√ + √ = (2√
(√ +2 (√ ) (√ ) + (√ = 4(x + 2)
X +7 +2 √ +x -1 = 4x +8
2√ = 4x +8 –x -7 –x +1
2√ = 2x +2 ÷2
(√ = (x + 1
+6x -7 = (x +2 (x) (1) + (1
+6x -7 = +2x +1
- +6x -2x = 1 +7
4x = 8
X=
X = 2
*√ - √ = -4
(√ = (√
(√ +2 (√ ) (4) + (4 = x + 8
X -16 +8 √ +16 = x + 8
8√ = x +8 +16 -16 –x
8√ = 8 ÷8
(√ = (1
X -16 = 1
X = 1 +16
X = 17
*√ - √ = -3
(√ + 3 = (√
(√ + 2 (√ ) (3) + (3 = x +9
X -8 +6√ +9 = x +9
6√ = x +9 -9 -6 +18 –x
6√ = 12 ÷ 6
(√ = (2
X -8 = 4
X= 4+18
X= 22
*√ + √ = 2
√ = 2 - √
(√ = (2 - √
X +2 = (2 - 2 (2) ( √ ) + (-√
X +2 = 4 -4√ +x -4
4√ = 4 +x -4 -2 –x
4√ = -2 ÷4
(√ = (-2
X -4 = 4
X = 4 +4
X = 8
ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A 2DO
GRADO –SOLUCIONES EXTRAÑAS
Estas ecuaciones se resuelven destruyendo los radicales mediante la elevación de
los miembros a la potencia que indique el índice del radical. A continuación se
explicaran los siguientes ejercicios.
*X+√ = 5
√ = 5-X
( √ = (5-X
4X+1= (5 -2(5) (X)+(X
4X+1=25-10X+
4X+1-25+10X- =0
- +14X-24=0
-14X+24=0
X -12=-12X
X -2= -2X
-14X
(X-12)(X-2)=0
X-12=0 X-2=0
=12 =2
*2X-√ =3X-7
2X-3X+7=√
(-X+7 = (√
(-X)+2(-X) (7)+ (7 =X-1
-14X+49=X-1
-14X+49-X+1=0
-15X+50=0
X -10=-10X
X -5= -5x
-15
(x-10)(x-5)=0
X-10=0 x-5=0
=12 =5
*√ +√ =4
(√ = (4—√
5x-1= (4 -2(4)√ + (√
5x-1=16-8√ +x+3
5x-1-16-x-3=-8√
4x-20=-8√ ÷4
(X-5 =(-2√
-10x+25-4-x-3=0
-11x+18=0
X -9=-9x
X -2=-2x
-11x
(x-9)(x-2)=0
X-9=0 x-2=0
=9 =2
*2x-√ =3x-7
2x-3x+7=√
(-x+7 = (√
(-x +2(-x) (7)+ (7 =x-1
-14x+49=x-1
-14x+49-x+1=0
-15+50=0
X -10=-10x
X -5 =- 5x
-15x
(x-10) (x-5)=0
X-10=0 x-5=0
=10 =5
*√ +√ =3
(√ =3-√
2x-1=9-6√ +x+3
-26x+169=36(x+3)
-26x+169=36x+108
-62x+61=0
X -61=-61x
X -1= -1x
-62x
(x-61)(x-1)=0
X-61=0 X-1=0
=61 =1
ECUACIONES DE 2DO GRADO: IMCOMPLETAS
Se dice que una ecuación de 2do grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b
o c, o ambos, son iguales a cero; Ejemplo.
* +1=
+3
m.c.m= 9
9 +9=7 +2x
9 +9-7 -27=0
2 -18=0
X= √
X=±√
X=±√
X= ± 3
* +5=7
-2=0
X= ± √
X= ±√
X= ±√
*5 +12=3 -20
5 -3 =-20-12
2 =-32
2 +32=0
X=±√
X=±√
X=±√ i
*5 -55=0
X=±√
X=±√
X=±√
*9 - =0
X=±√
X=±√
X=±√
*ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO Se procede a sacar el mínimo común múltiplo de los denominadores apoyándonos en la
factorización en los casos necesarios. y se procede a resolver de la siguiente forma:
*
M.c-m= (1+3x) (1-3x)
(1-3)(1+2x)- (1+3x) (1-2x) =-(3x-14)
(1-x-6x)- (1+x-6x) =-(3x-14)
1-x-6x-1-x+6x=-3x+14
-x - 6x-x+6x+3x=14+1 - 1
R// X=14
*
m.c.m= 6(x+3) (x+4)
6(3x-1) =3(x+4) +7(x+3)
18x-6=3x+12+7x+21
18x - 3x - 7x=12+21+6
8x=39
X=
R// X=4
*
m.c.m= 15 (x-3)
(X-3)(5x+13)-3(4x+5) =5x(x-3)
(5 -2x-39)- (12x+15) = (5 -15x)
5 -2x-39-12x-15=5 -15x
-2x-12x+15x=39+15
-14x+15x=54
R// X=54
*
m.c.m=3(2x+1) (3x-2)
3(2x-1) (3x-2)-3(x-4) (2x+1) =2(2x+1) (3x-2)
(18 -21x+6)- (6 -21x-12) = (12 -2x-4)
18 -21x+6-6 +21x+12=18 -21x-4
18 -6 -12 -21x+21x+2x=-4-12-6
2x=-22
X=
R// X=-11
*
=1
m.c.m= (2x-5) (3x-7)
(3x-7)(4x+3)- (2x-5) (3x+8) = (2x-5) (3x-7)
12 -19x-21-6 -x+40=6 -29x+35
12 -19x- 6 -x- 6 +29x=35-40+21
9x=16
X=1
R// X=1
Conclusión
Este proyecto se llevo a cabo para facilitar el aprendizaje estudiantil desarrollando
ejercicios prácticos y sencillos.
Deduciendo que muchos alumnos no muestran el interés necesario debido al
desconocimiento que tienen, entonces el objetivo es buscar la manera más
adecuada como lo es este proyecto, que les permita despejar los inconvenientes
que en su mayoría se obtiene de la materia.
Teniendo como finalidad que este proyecto sirva de mucha ayuda para aquellos
estudiantes que por lo general se les presenta dificultades en las materia, de esta
manera llegar cada uno de ellos incentivándolos a conocer cuán importante es
conocer matemáticas.
Bibliografía
Libro de Repetto
Libro de Espol
Álgebra de Baldor.