Comprometidos con tu INGRESO!
1
1
CICLO ACADÉMICO 2020
Comprometidos con tu INGRESO!
2
2
CICLO ACADÉMICO 2020
SEMANA N° 02
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
VARIABLE.- Es una letra que representa a un
número real cualquiera, es decir, puede tomar
cualquier valor.
Las variables se representan generalmente con
las últimas letras del abecedario.
Ejemplos:
x, y, z, w, etc
CONSTANTE.- Es un número real fijo, es decir
no cambia de valor.
Las constantes se representan con las primeras
letras del abecedario.
2, 5,38 , √6, 𝜋, etc. a, b, c, d, etc
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es la reunión de
letras y números, enlazados entre si mediante
cualquier operación aritmética, en un número
limitado de veces.
Ejemplos:
2x3
4x2 y 3𝑥
𝑦√𝑧
EXPRESIÓN TRASCENDENTE.- Es toda
expresión no algebraica, y se reconoce porque
posee alguna operación no aritmética, o alguna
variable en el exponente, o es una expresión
ilimitada.
Ejemplos:
5x3y2 + logx – 4tanx + x+1
2x + 2x+1 + 2x+2
x + x2 + x3 + x4 + . . .
TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es la expresión algebraica más simple, la cual no posee los signos de adición (+) ni de sustracción (-).
Ejemplos:
2x3
1
4 √𝑥2𝑦𝑧53
NOTACIÓN:
Dónde: a = coeficiente, a ∈ R;
x = variable
n = exponente; n ∈ Q
TÉRMINOS SEMEJANTES.- Dos o más términos
se dice que son semejantes si tienen la misma
parte literal, es decir, las mismas variables
afectadas de los mismos exponentes.
Ejemplos:
4x2; -6x2; 1
3
x
2 ; √2x
2
8xy3; -2xy3; xy3; xy3
NOTA: Los términos semejantes se pueden
reducir sumando sus coeficientes.
Ejemplos:
2x3 + 4x3 = 6x3
3x5 + 8x5 = 11x5
CLASIFICACIÓN
RACIONAL ENTERA
EXPRESIÓN FRACCIONARIA
ALGEBRAICA IRRACIONAL
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (E.A.R.).- Si ninguna de sus variables se encuentran dentro del signo de radical
(√ )
Ejemplos:
4
5 X2 +
3
4 y2 -
𝑥
𝑦
√3
2 X3 +
2√2
3 x2 + √5
La expresión algebraica racional a su vez
puede ser:
a) ENTERA.- Si ninguna de sus variables
se encuentran en el denominador.
Ejemplos:
𝑥+1
4 +
𝑥−1
3
1
2 x3 +
1
3 x2 -
1
4
b) FRACCIONARIA.- Si alguna de sus
variables se encuentra en el
denominador o posee exponente
negativo.
Ejemplos:
𝒙+𝟏
𝒙+𝟐 +
𝒙−𝟏
𝒙+𝟑
3x2 y
5 4x
3 y 2
𝑥
𝑦
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (E.A.I.).-Si alguna de sus variables se encuentra dentro del signo de radical (
√ ), o posee exponente fraccionario.
Ejemplos:
5x3 y2 7x4 y3 √𝑥
2
3xy
3 +
1
5x
2 y
2 -
3
4 x
3 y
1/ 4
T(x) axn
Comprometidos con tu INGRESO!
3
3
CICLO ACADÉMICO 2020
DEFINICIÓN.- Se llama POLINOMIO, a toda
expresión algebraica RACIONAL ENTERA, es
decir, cuyos exponentes de sus variables sean
números enteros y positivos.
Ejemplos:
3
5 x4 +
1
4 x3 -
2
3 x2 +
1
6
√3
2 x5 +
√2
3 x3y2 -
√6
6 xy4
NOTACIÓN:
P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an
Dónde:
a0, a1, a2, . . . an ∈ R (coeficientes)
a0 = coeficiente principal
an = término independiente n, n-1, n-2, . . . ∈ Z+ ( exponentes)
n = grado
Si x =1:
P(1) = a0 + a1 + a2 + . . . + an =coef.
Si x =0:
P(0) = an = término independiente
NOTA.- Por el número de términos el POLINOMIO puede ser:
4x2 MONOMIO
3x+5 BINOMIO
6x2 – 3x + 7 TRINOMIO
Si la expresión algebraica no es RACIONAL
ENTERA, recibe el nombre de MULTINOMIO.
2x3y2 + 3x-2y-1 – 4x1/3y2/5
3
8 x4 +
2
3 √𝑥𝑦 +
√3
2 xy-1
GRADO DE POLINOMIOS
Se llama GRADO a la dimensión del
polinomio y está en función de los
exponentes de sus variables.
1. SI EL POLINOMIO TIENE UN SOLO
TÉRMINO. El GRADO ABSOLUTO es la
suma de los exponentes de todas sus
variables, mientras
que el GRADO RELATIVO es el exponente
de cada variable.
Ejemplos:
4x2y3 → G.A. = 2 + 3 = 5
GRx = 2 GRy = 3
7x3 → G.A. = 3 GRx = 3
2. SI EL POLINOMIO TIENE MÁS DE UN
TÉRMINO. El grado absoluto es el mayor
de los grados absolutos de todos sus
términos, mientras que el GRADO
RELATIVO es el mayor de los exponentes
de cada una de sus variables.
Ejemplos:
6x4 y
3 4x
2 y
7 3x
5 y
5
7° 9° 10° G.A. = 10; GRx = 5; GRy = 7
8x5 3x
4 2x
3 5x
2 x 4
5° 4° 3° 2° 1° 0° G.A. = 5; GRx = 5
CLASES DE POLINOMIOS
1. ENTERO.- Si todos sus coeficientes son
números enteros. Ejemplos:
4x3 + 8x2 – 3x + 5
10x4y – 13xy4 + 16
2. MÓNICO.- Si su coeficiente principal es igual
a la unidad. Ejemplos:
x2 + 9x + 13
x4 – 8x3 + 6x2 + 4x – 10
3. HOMOGÉNEO.- Si todos sus términos tienen
el mismo GRADO ABSOLUTO. Ejemplos:
4x3 y2 5x2 y3
5° 5°
7x4 y
4 3x
5 y
3 9x
2 y
6
8° 8° 8°
4. ORDENADO.- Si los exponentes de sus
variables están ORDENADOS en forma
CRECIENTE o DECRECIENTE.
Ejemplos: 2x4 + 3x5 – 6x8 + 7x12
8x9 - 2x7 + 10x5 + x2
5. COMPLETO.- Si tienen todas las potencias de
sus variables.
Ejemplos: 5x4 + 2 – 6x3 + 8x5 + 3x – 9x2
x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6
NOTA: En todo polinomio completo se cumple:
POLINOMIOS
Términos = Grado + 1
Comprometidos con tu INGRESO!
4
4
CICLO ACADÉMICO 2020
6. IDEAL.- Es aquel polinomio HOMOGÉNEO,
ORDENADO y COMPLETO.
Ejemplos: 4x3 + 6x2y – 2xy2 + 3y3
x5 + 2x4 – 7x3y2 +x2y3 – 3xy4 + y5
7. RECÍPROCO.- Es aquel polinomio COMPLETO
y ORDENADO cuyos coeficientes equidistantes
de los extremos, son iguales.
Ejemplos: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
5x5 – 4x4 + 8x3 + 8x2 – 4x + 5
8. EQUIVALENTES (< >).- Dos polinomios son
EQUIVALENTES, cuando toman el mismo valor
numérico para cualquier valor que se le dé a sus
variables.
Ejemplo: 2x(x+3) < > 2x2 + 6x
Si x = 2 → 2(2)(2+3) = 2(2)2+6(2)
20 = 20
9. IDÉNTICOS (≡).-Dos polinomios son
IDÉNTICOS, si tienen las mismas variables, los
mismos exponentes y los mismos coeficientes
respectivamente.
Ejemplo: ax
2 + bx + c 3x
2 + 4x + 5
a = 3; b = 4; c = 5
10. IDÉNTICAMENTE NULO (O).- Si todos sus
coeficientes son iguales a cero.
Ejemplo:
ax2 + bx + c 0;
a = 0, b = 0; c = 0
Nota.- El grado del polinomio nulo, es
indeterminado.
Así: P(x) = 0 = 0xn Donde: n Z+
Ejemplos: x3 + x2 + x + 4 cúbico (3º grado)
x2 + x + 4 cuadrático (2º grado)
x + 4 lineal ( 1º grado)
4 constante (grado cero)
0 nulo (grado indeterminado)
SEMANA 2
1. Determinar: 2 2 2M = a + b + c , si:
2 2P(x) = a(5x + x + 3) +b(3x - 1) - c(x - x) - 45x ; es
un polinomio idénticamente nulo:
a) 215 b) 275 c) 305
d) 315 e) 300
2. En un polinomio homogéneo, ordenado y
completo, se observa que la suma de los grados
absolutos de todos sus términos es 156 ¿Cuál
es el grado de homogeneidad del polinomio?:
a) 8 b) 14 c) 11
d) 12 e) 10
3. Si P(x) ax b .
Además P P P(x) = 8x +189 .
Determinar P(5):
a) 25 b) 37 c) 28
d) 35 e) 40
4. Si: mF x +1 = x - 1 y F(3) = -0.875 .
Hallar “m”:
a) 1/2 b) -1/2 c) 1/3
d) -1/3 e) 1
5. Dados lo polinomios P(x) y Q(x) de los que
se sabe: 3P(x).Q(x) es de cuarto grado;
2
P(x) ÷ Q(x) es de octavo grado ¿ cuánto vale
el grado de: P(x)+ )(3 xQ
a) 4 b) 8 c) 12
d) 64 e) 72
6. Señale el grado del polinomio ordenado en
forma decreciente: 12-2a 2a-6 6-2a
P(x) = x + x + x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. Hallar “n”, si la expresión es de 2do. Grado:
5 4 3n 2n 6 4nM(x) = 5x . 4x . 3x . 2x
a) 4,9 b) 2,6 c) 5,7
d) 7,3 e) 1,0
8. Si el grado de P(x).Q2(x) es 13 y el grado de
P2(x).Q3(x) es 22. Calcular el grado de
P3(x)+Q2(x)
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
Comprometidos con tu INGRESO!
5
5
CICLO ACADÉMICO 2020
9. Sea
a-b a+5 2a+3 4-b a+b a-2b+3P(x, y) = ax y + 2bx y +(a - b)x y
Calcular “a+b” si su G.A es 18 y la suma de
sus coeficientes es 5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Si el grado del polinomio:
2 n 3 n-2 5P(x) = (25x + 7) (100x - 1) (2x - 1) es 49.
Determinar:
Coeficiente Principal de P(x)E =
1750
F
a) 25 b) 15 c) 18
d) 4 e) 50
11. Hallar el número de términos del
polinomio completo y ordenado: m-7 m-6
P(x) = (m - 2)x + (m - 3)x +...
a) 4 b) 6 c) 5
d) m-7 e) m-3
12. Determinar a+c
E = a + b + c , si
a+c 2a-b c-3 a+b+c+3P(x) = ...+ x + 7x + 8x + 9x +...:
Es completo y ordenado descendentemente
a) 1 b) 0 c) -1
d) -2 e) 2
13. Si P(x) = 1+2 +3 +...+ x
Hallar: P(x - 1).P(x)E =
2P(x - 1)
a) 1/2 b) 1 c) 1/3
d) 2 e) 3
14. Dados los polinomios P(x) y Q(x), se sabe
que los polinomios: P3(x) . Q(x) y P3(x)
Q2(x), son de grado 17 y 2 respectivamente.
Hallar el grado P(x) . Q(x).
a) 4 b) 6 c) 10
d) 15 e) 9
15. Dado un polinomio cuadrático mónico P(x)
que genera el siguiente resultado tabulado
Calcular la suma de coeficientes del polinomio
a) 4 b) 2 c) 1
d) 3 e) 5
16. Determinar la suma de coeficientes, de
P(x), sabiendo que su término independiente es
17, además se cumple que:
P(x + 1) = (x+1) (ax+2) + (a–1) (x+2)+a
a) 34 b) 27 c) 8
d) 9 e) 7
17. Determinar “m” con la condición que el
término independiente del producto (m > 0)
(x + 3)2 (x + 2)3 (x – m)2 (x2 + 5)
sea 1440.
a) 2 b) 10 c) 360
d) 1 e) 1440
18. Si el polinomio:
3x3 ym + 8xn y4 +mxm ym+n-6
es homogéneo; hallar el grado del polinomio:
2x2m ym+n + 3xn ym+n – 4x3m
a) 15 b) 18 c) 19
d) 20 e) 27
19. Hallar el valor de P (6), sabiendo que:
P(x+3) = P (2x + 1) + x; además P(9) = 5
a) –2 b) 0 c) 2
d) 4 e) 12
20. Hallar “ab” en la siguiente identidad.
13 – 2x = a (2 – x) + b(1 + x)
a) 3 b) 5 c) 9
d) 15 e) 25
21. Si el polinomio P(x) es completo y
ordenado; y tiene catorce términos. Hallar (a +
n); donde:
P(x) = xn-3 + xn-2 + xn-1 + … + xa+4
a) 12 b) 15 c) 3
d) 7 e) 9
22. Hallar m + n + p, si el polinomio es
completo y ordenado en forma descendente.
P(x) = xm-10 – 3xm-n+15 + 15xp-n+16
a) 10 b) 12 c) 16
d) 48 e) 40
23. Dado el término: 2xa-1 ya z2a. Si su grado
absoluto excede en 9 a su grado relativo a “x”;
hallar su grado relativo a “y”.
a) 0 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
24. Se tiene un polinomio homogéneo: m n m n2 m 2 6 6 m
A(x,y) m x nx y mx y
Hallar la suma de los coeficientes de A(x, y)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
x 2 1
f(x) 7 3
Comprometidos con tu INGRESO!
6
6
CICLO ACADÉMICO 2020
25. Sea el polinomio: a 1 b 1 c 2
P(x) 2x (d 5)x 5x
, Si
P(1) 14, P(2) 576 y los grados de sus
términos son consecutivos en forma creciente
Hallar: a + b + c + d
a) 17 b) 14 c) 21
d) 35 e) 49
26. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tales
que; los grados de los polinomios: P2(x). Q(x) y 3
P (x)
Q(x) , son 27 y 23 respectivamente. Hallar el
grado de:
2Q (x)
P(x)
a) 3 b) 5 c) 7
d) 4 e) 9
27. Determinar “m” con la condición que el
término independiente del producto:
2 3 2 2x 3 x 2 x m x 5
sea 1440
a) 1 b) 2 c) 3
d) -1 e) -12
28. El polinomio: 2n 1 2n 2
x x .... 3x (n 1)
; Posee 18
términos, hallar el término independiente, si es
un polinomio completo y ordenado
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
29. Hallar la suma de coeficientes de la
expresión: 23
2 52x 3x 1 x 2
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
30. El grado del polinomio:
2 5
6 3 3 2P(x) 10 x 1 x 1 100 x 1 x 3
es:
a) 17 b) 16 c) 15
d) 10 e) 20
31. El polinomio: m m 1 n 4P(a,b) a a b b
,
es homogéneo hallar: m + n
a) 5 b) 3 c) 1
d) 0 e) 4
32. El polinomio: 3n 1 3n 2
x x .... 1
, es
ordenado y completo ¿Cuántos términos tiene?
a) 3n-2 b) 3n-1 c) 3n
d) n3 e) n3n
33. Sea 3 5 2 2P(x) a 7 x ax a 1 , un
polinomio mónico; a . Hallar el término
que no depende de la variable
a) 2 b) 5 c) 10
d) 17 e) 26
34. La suma de los grados absolutos de todos
los términos de un polinomio entero,
homogéneo, ordenado y completo de dos
variables es 600 ¿Cuál es su grado absoluto?
a) 12 b) 30 c) 24
d) 36 e) 25
35. Con: n 0 , la siguiente expresión se
puede reducir a monomio: 22 2n(n+1)a -a+22 3 a -a+1 a +a-1
n(n -1) x -2x +(n-2)x
El coeficiente del monomio reducido es:
a) -4 b) -5 c) 2
d) 3 e) 4
36. El valor de “n” n N si el producto de
los grados relativos de “x” e “y” es 24. n nn-2 n 2 n n
P(x,y)=x y +(xy) y -x
a) 3 b) 2 c) 1
d) 5 e) 6
37. Si el polinomio Q(x) es idénticamente nulo 3a 2 2 2b 3 3 c
Q(x)=(ab-1)x +(a c -4)x +(b c -8)x ,
Hallar: abc; si a >0, b> 0 y c >0
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 5
38. Hallar el grado absoluto del monomio: 1(2) 2(3) 3(4) 15(16)
M=x .y .z ....w
a) 1260 b) 1600 c) 1770
d) 2000 e) 1360
39. Calcular: f(2) si:
1+2m 1+mm mm m -mm m
f(m )= mm +1
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) 1/4 e) 2
Comprometidos con tu INGRESO!
7
7
CICLO ACADÉMICO 2020
40. Hallar “n” para que la expresión:
2n n43M(x)= x x , sea de grado 6
a) 8 b) 6 c) 4
d) 2 e) 1
41. En el polinomio completo y ordenado: n a b c
P(x)=x +........+x +x +x +.....+abc ;
Calcular a+c
3b
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3
d) 3/2 e) 5/3
42. Dar la suma de coeficientes del siguiente
polinomio entero completo y ordenado
26 3 a b6 a a -b 3 a
P x = a +b x + b -a x - b -a
a) 2 b) 2 2 c) 4
d) 3 2 e) 2 3
43. Si m, n N y además el polinomio:
4m(m-1) 3 m-1 m n -4P(x,y)=x y-(x ) y +x y ,
es homogéneo, Hallar: m + n
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
44. Si el grado de. 2P(x).Q es 13 y el grado
de: 2 3
P (x).Q (x) es 22. Calcular el grado de.
3 2P (x)+Q (x)
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
45. Calcular la suma de los coeficientes del
polinomio homogéneo:
b a a-b2 a 3 b a
P(x,y,z)= a x -b y +abz
a) 12 b) 14 c) 16
d) 15 e) 17
46. Determine: (a+b) si el polinomio a+3 b aa 8 a b +8 20 20
P(x,y)=ax y +bx y -abx y , es
homogéneo
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
47. Determinar el valor de “n” en el
polinomio. 2 3 nP(x)=nx+(n-1)x +(n-2)x +....+x ,
sabiendo que la suma de sus coeficientes es
153
a) 1 b) 9 c) 17
d) 8 e) 10
48. En un polinomio P(x, y) homogéneo y
completo en “x” e “y”, la suma de los grados
absolutos de todos sus términos es 156,
Calcular el número de términos del polinomio
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
49. Cuántos términos posee el polinomio
homogéneo: m m 2 2 m 4 4
P(x, y) x x y x y ......
,
Para que sea de grado 40 , respecto a “y”
a) 41 b) 40 c) 30
d) 20 e) 21
50. Sea un polinomio: 2 3 4 4
Q(x)=x+2x +3x +4x +....+100x .
Hallar: Q(-1)
a) 100 b) 99 c) 50
d) 25 e) 199