Unidad 1er año de
bachillerato
2
Las
Ciencias
Naturales
Ciencias Naturales •
mediciones,
su xpresión
y
representación
119
Introducción
En esta unidad encontrarás términos como “precisión”, “error”, “incerteza”,
“sistemas de medida”, “potenciación”, etc. pero debes tener la certeza de tus
capacidades, propósitos y metas para tu vida, por lo que, si las medidas que
realizas no son confiables, tú debes expresar toda la confianza y determinación
en lo que desde hoy emprendas.
Es un área muy bonita de la física, útil y práctica en tu vida, en la diversidad de
todos los ámbitos, ya que no existe persona alguna que nunca haya medido
algo; ni proceso, actividad económica, educativa o industrial, sin elementos
mensurables.
Para expresar las mediciones correctamente deben llevar las unidades respectivas;
pero dado que una misma cantidad física puede estar en diferente sistema, es
necesario tener equivalencias de los sistemas utilizados desde y hacia el sistema
internacional SI, con los factores de conversión y las herramientas de matemática.
Para comprender las magnitudes físicas debes leer detenidamente la teoría,
relacionar tus conocimientos previos, responder las preguntas, comparar y discutir
las respuestas, proponer otras magnitudes y clasificarlas como escalares o
vectoriales, buscar cantidades físicas correspondientes, realizar las medidas
requeridas en las actividades, las operaciones y conversiones de los ejercicios
planteados; aprender y comprender las ideas básicas te ayudará a la
autoevaluación, tanto como ejercitar operaciones con incertezas y analizar
las gráficas de las proporcionalidades. Tú puedes.
120
• Módulo 2
Objetivos
Tú serás competente para:
Objetivo general
Comprender las magnitudes y cantidades físicas, sistemas de unidades y
proporcionalidades para utilizarlas en situaciones de la vida cotidiana, a la vez
reflexionar sobre la inexactitud de las medidas y como te afecta en la diversidad
del entorno.
Objetivos específicos
• Comprender las magnitudes físicas, a partir de tus conocimientos previos,
para realizar mediciones y demostrar diferencias entre medidas directas e
indirectas en un ambiente de participación y colaboración con tus compa-
ñeros/as.
• Diferenciar sistemas de unidades y aplicar en ejercicios de conversiones para
lograr seguridad en el contenido y el desempeño personal.
• Comprender las relaciones entre magnitudes físicas por medio de repre-
sentaciones gráficas para aplicarlas en problemas afines de todos los ámbitos,
y comparar tus logros y cambios significativos al interpretar la relación directa
entre tu esfuerzo y el éxito.
Ciencias Naturales •
121
Mapa conceptual
Mediciones, expresiones y
representación
¿Qué medimos? ¿Kilómetros? ¿Cuánto confiar en
Representación gráfica
¿Qué es medir?
¿Millas?
¿Metros?
¿Yardas?
Sistemas de
unidades
Como se
relacionan
las medidas?
Inexactitud
¿Cómo saber?
Tipos de
incertezas
de medidas
¿Qué forma
adquieren las
relaciones?
Proporcionalidad
Directa Inversa
Relaciones Relaciones
122
lineales y kxn
• Módulo 2
¿Qué es lo que medimos
en realidad?
Objetivo
Comprender las magnitudes físicas, a partir de tus conocimientos previos, para
realizar mediciones y utilizar unidades apropiadas, a la vez, compartir la
experiencia en un ambiente de amistad y colaboración con los/as demás.
Preguntas
¿Qué colores observas en los objetos de tu alrededor?
¿De qué material están hechos los lápices, el techo, el depósito de la basura, tus
zapatos, etc.?
¿Cuánto pesas?
¿Cuál es tu estatura?
¿Cuántos litros de agua consumes al día, aproximadamente?
Los objetos que te rodean, los fenómenos naturales, e incluso tú mismo/a, tienes
ciertas “propiedades que te caracterizan a los objetos y fenómenos”.
Algunas de estas propiedades son bastante
independientes de aspectos subjetivos, a estas les
denominamos “propiedades físicas”.
Por ejemplo, acerca de una pizarra podemos decir, que es “bonita”, y esa es una
“propiedad”, pero cuando decimos que la pizarra tiene cierta “área” o cierto “color”,
estamos mencionando propiedades físicas.
Algunas de las propiedades físicas pueden asociarse con un número, otras no.
Por ejemplo el “color” de la pizarra no se expresa con un número, decimos!
“es verde”, sin embargo el área definida es de 3 x 1.5 metros cuadrados”.
Ciencias Naturales •
123
Las propiedades físicas de los objetos o fenómenos
naturales que podemos expresar cuanti-
tativamente se denominan “magnitudes físicas”
Actividad
Observa el siguiente cuadro donde se indi-
can las propiedades físicas y las magnitudes
físicas de un lápiz y una naranja. completa
el cuadro con el otro objeto.
Objeto
lápiz
color
Propiedades físicas
magnitudes físicas
longitud
naranja
otro objeto
material
consistencia
color
consistencia
forma
peso
masa
volumen
densidad
peso
masa
diámetro
volumen
densidad
Nota: la materia, el sabor y el valor nutritivo de la naranja son propiedades químicas.
124
• Módulo 2
• Observa y comparte las propiedades del objeto propuesto en el cuadro de tus
compañeros/as.
• Para poder expresar numéricamente una magnitud física, necesitamos medirla:
Lo que medimos son las magnitudes físicas de
los objetos y fenómenos
• Mide la longitud del lápiz con una regla graduada
• Mide el diámetro de una naranja con la regla graduada. El diámetro de la
naranja es equivalente a la distancia entre la parte interna de los lápices en
paralelo. Hacer dibujo.
valores probables:
longitud del lápiz: 14 cm.
diámetro de la naranja: 6 cm.
Concepto importante
los valores que tú mediste
El valor específico que toma una magnitud
física se llama: Cantidad Física
Ciencias Naturales •
125
Por ejemplo, si decimos que el área de una pizarra es de 3m2, el área es la
magnitud física y los 3m2 es la cantidad física. Observa el cuadro:
objeto
libro
naranja
lápiz
pizarra
otro
magnitud física
volumen
masa
longitud
área
cantidad física
168 cm3
0.4 kg.
10cm.
3m2
Es posible que estés pensando en la enorme cantidad de magnitudes físicas que
existen, sin embargo también notarás que hay un pequeño grupo que son las
más utilizadas y también las aplicadas en una mayor diversidad de casos. Así, de
manera arbitraria (conveniencia), las magnitudes físicas se dividen en “básicas”
y “derivadas”.
Las magnitudes derivadas se calculan en términos de las básicas, así, dos mag-
nitudes básicas (longitud y tiempo) al combinarse apropiadamente, dan lugar a
una derivada que es la rapidez ( longitud / tiempo). En el caso de la naranja, la
masa es magnitud básica; el volumen, es magnitud derivada.
El siguiente cuadro muestra las magnitudes físicas básicas aceptadas en la
actualidad y algunas derivadas:
Magnitudes básicas
Masa, longitud, tiempo,
intensidad de corriente
eléctrica, temperatura,
termodinámica, cantidad
de substancia e
intensidad luminosa
126
Magnitudes derivadas
Rapidez, fuerza, voltaje, carga eléctrica, área,
volumen, aceleración, cantidad de movimiento,
densidad, calor, temperatura, presión, inercia
rotacional, capacidad calorífica, energía, trabajo,
coeficiente de dilatación, campo eléctrico, campo
magnético, resistencia eléctrica, ....
• Módulo 2
La mayoría de las magnitudes enumeradas serán utilizadas en el desarrollo de
los temas de ciencias naturales.
Optometrista
Debe tomar medidas precisas y
exactas para indicar lentes
adecuados al paciente.
Entonces, ¿qué es medir?
¿Has hecho alguna vez una medición?, piensa qué haces cuando mides una
magnitud física.
Para poder hacer una medición necesitamos tres elementos: Un patrón, una
unidad, y un procedimiento.
Estos tres elementos están íntimamente relacionados, ya que el patrón es el
objeto que posee la magnitud física en la cantidad que vamos a tomar como tér-
mino de referencia, es decir como unidad. Así, por ejemplo, el patrón de masa
es un cilindro metálico cuya masa se define como un kilogramo.
El patrón es el cilindro y la unidad, la cantidad de masa que el mismo posee.
Un patrón no necesariamente es un objeto, también puede ser un concepto. Por
ejemplo si alguien decide utilizar el tiempo que tarda un péndulo en realizar
una oscilación (el período) como unidad, esa oscilación en particular constituye
el patrón. La oscilación es un concepto y no un objeto.
El procedimiento particular en medición, es importante para realizar
correctamente las medidas, y depende de los patrones, las unidades, del objeto
medir y las condiciones en que se realiza el proceso.
Ciencias Naturales •
127
Medir es comparar una cantidad física con otra de la misma
naturaleza que se toma como término de comparación.
Es el proceso mediante el cual asignamos el valor concreto
a una magnitud física, es decir, encontramos la cantidad
física correspondiente.
Medidas: directas e indirectas
Las medidas pueden ser directas e indirectas, según sea el procedimiento para
obtenerlas. Así, cuando comparamos directamente el patrón (o en general el
instrumento de medida) con la cantidad que deseamos cuantificar, hacemos
una medida directa.
En cambio cuando primero tenemos que realizar dos o más mediciones y luego
operar matemáticamente los resultados para calcular la cantidad buscada,
efectuamos una medida indirecta.
Ejemplos de medidas directas
Tu estatura (metros); el volumen de cierto líquido en una botella (mililitros); la
masa de algún cereal en una balanza (kilogramos); intensidad de corriente
eléctrica en un amperímetro (amperios); medida de fuerzas mínimas con un
dinamómetro (décimas de newton o en dinas); temperatura de un reactivo en
probeta (centímetros cúbicos) y grados centígrados.
Ejemplos de medidas indirectas
La altura de un edificio (en metros, utilizando fórmulas); el volumen de un
sólido (en metros cúbicos usando fórmulas); el área de una cancha de foot ball
(en metros cuadrados con la fórmula del rectángulo, obteniendo primero largo y
ancho directamente, luego multiplicamos esos valores); la altura de un árbol,
128
• Módulo 2
midiendo la sombra que proyecta y por triangulación utilizas el teorema de
Pitágoras. Este procedimiento puedes utilizar para calcular la altura del edificio.
Actividad
Mide con un metro las dimensiones de la puerta de tu
salón (ancho y largo en metros), luego, multiplica esos
valores y tendrás el área en metros cuadrados.
Las longitudes son medidas directas; el área es medida
indirecta.
Área = base por altura, o sea, ancho por largo de un rectángulo.
Continuemos con la naranja
Ya tienes el diámetro: 6cm. medida directa
El radio es la mitad del diámetro: 3.cm.
Calcular el volumen a partir de la fórmula medida indirecta.
Aunque la naranja no es una esfera regular, usemos la fórmula del volumen de 3
una esfera; donde V = volumen ; = 3.1416 (constante) ; R = radio al cubo.
Sustituyendo R en la fórmula: R = 3cm x 3cm = 9cm² x 3cm = 27 cm3
¿kilómetros o millas? ¿metros o yardas?
Ciencias Naturales •
129
Nuestro país cuenta con hermosos paisajes naturales. Uno de ellos son sus pla-
yas. Nota la distancia a la que se encuentran las siguientes playas desde San
Salvador.
playa
El Tamarindo
El Espino
Los Cóbanos
distancia
113.7 millas
156 kilómetros
85,000 metros
¿Cuál playa es la más cercana a San Salvador?
Como notaste, para responder esta pregunta es necesario que las distan-
cias estén expresadas en las mismas unidades de longitud, de tal forma que
puedas compararlas. Para realizar esta conversión, debes conocer los dife-
rentes sistemas de medidas.
Las medidas pueden ser directas o indirectas, según sea el procedimiento para
obtenerlas. Así, cuando comparas directamente el patrón (o en general el
instrumento de medida) con la cantidad que deseas cuantificar, haces una
medida directa”. En cambio, cuando primero tienes que realizar dos o más
mediciones y luego operar matemáticamente los resultados para calcular la
cantidad buscada, efectúas una medida indirecta.
Ejemplos:
En nuestro país utilizas una gran cantidad de unidades, las cuales no siempre
son compatibles entre sí, por ejemplo es muy común utilizar libras para medir el
peso de los objetos, pero también esto puede hacerse mediante kilogramos.
Algunas medidas de longitud, por ejemplo la longitud de las piezas de tela,
suelen medirse en yardas; pero para otras cosas utilizas los metros.
130
• Módulo 2
Muchas veces tienes una idea clara de cuanto es una libra, pero no conoces cuál
es su equivalencia en kilogramos, compras un tubo especificando su diámetro
en pulgadas, pero generalmente no lo conoces en centímetros.
Ejercicio
El diámetro de un tubo es de 5 pulgadas. ¿A cuántos centímetros equivale esa
medida?
Una pulgada = 2.54 centímetros
5 pulgadas = 2.54 x 5
= 12.2cm.
De seguro puedes pensar en otras situaciones en las cuales se mezclan diferentes
unidades para medir las mismas magnitudes.
Ejercicio
1 sandía pesa 3lbs. ¿a cuántos kilogramos equivale?
1kg = 2.205 lbs.
1kg = 2.205lbs.
XKg 31 lbs 1.36 Kg
3lbs
2.205 lbs
1.36 Kg
2.205lbs
En realidad lo que se mide en una balanza o en una báscula es la masa. El peso
está relacionado con la atracción de la gravedad sobre esa masa.
peso = masa x gravedad o sea, p = mg
El peso es una magnitud física vectorial y sus unidades son combinadas (new-
ton, dinas y kg. fuerza).
En la comunidad científica internacional, las unidades utilizadas no eran (aún
no son del todo) las mismas que se utilizan en diferentes países o regiones.
Algunos utilizaban un determinado conjunto de unidades, otros, utilizaban
diferente. Ese hecho dificulta, entre otras cosas, la comunicación efectiva de los
conocimientos científicos, de igual manera esa diversidad conlleva problemas en
el uso práctico de las mediciones.
Ciencias Naturales •
131
¿Qué son los sistemas de unidades?
Dado que el medir es algo tan común en la vida y tan importante en la ciencia,
es necesario definir un conjunto consistente de unidades, es decir, un “sistema
de unidades de medida”, para facilitar las tareas que requieren de la medición.
Desafortunadamente, no todos los países adoptaron el mismo sistema de
unidades, inclusive en un mismo país, por ejemplo en El Salvador, utilizamos
una mezcla de varios sistemas.
En la siguiente tabla se muestran las unidades para las tres principales magni-
tudes básicas en diferentes sistemas de unidades:
magnitud
longitud
masa
tiempo
sis. inglés
pie
slug
segundo
sistema
centímetro
gramo
segundo
sistema
metro
kilogramo
segundo
sistema
metro (m)
kilogramo
(kg)
Como puedes notar, el sistema internacional tiene las tres unidades indicadas
iguales a las del sistema m.k.s.; pero el sistema internacional (SI) es diferente
al m.k.s. Entonces ¿dónde está la diferencia? Básicamente la diferencia está en
la definición de otras magnitudes básicas y de sus correspondientes patrones.
El Sistema Internacional (SI) ha sido adoptado por la mayoría de países en la
actualidad, y su uso es obligatorio por ley, por ejemplo en El Salvador, la Ley
del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología contenida en el Decreto Nº
287, publicada en el Diario Oficial Nº 144 el 10 de agosto de 1992, declara al
(SI) el sistema legal de unidades de medida en nuestro país.
132
• Módulo 2
Los patrones evolucionan y se refinan en la medida que la ciencia y la
tecnología avanzan, por ejemplo en la edad media, el patrón para el “pie” se
definía así:
“Para encontrar la longitud de una
pértica (sic) de forma correcta y
legal, y de acuerdo con el uso cientí-
fico, se procederá como sigue.
Sitúese en la puerta de una iglesia un
domingo y pida que se queden dieci-
séis hombres, altos y bajos, a medida
que vayan saliendo al terminar el ser-
vicio; entonces haga que pongan sus
pies izquierdos uno detrás de otro.
La longitud así obtenida será pértica
correcta y legal para medir (sic) y
apear la tierra, y su dieciseisava parte
será un pie correcto y legal.”
En la actualidad la definición para el patrón de longitud según
(SI) es:
“El metro es la longitud del trayecto recorrido en el vacío
por la luz durante 1/299792458 de segundo”
¡Es notable la diferencia en la definición!
En la práctica, cuando realizamos una medición, no
utilizamos los patrones directamente, sino utilizamos
copias de dicho patrón u objetos que han sido
contrastados con el patrón correspondiente; razón
por la cual difieren las escalas de los instrumentos
de medida y se da la impresición en la lectura de las
mediciones.
Ciencias Naturales •
133
El sistema internacional de unidades establece, la forma correcta de escribir los
símbolos de las unidades, lo cual es importante cuando se tiene que leer datos
sin importar el idioma en que se haya escrito la información.
Este tipo de notación es cada vez más usado en el comercio y la industria, por
ejemplo, casi todos los aparatos eléctricos que utilizamos en nuestras casas tienen
anotadas las especificaciones acerca de su capacidad, consumo de energía
eléctrica, etc. Esta información debe ser tomada en cuenta para la apropiada
conexión de los aparatos, lo cual se vuelve aún más crítico en la instalación de
maquinaria industrial.
Cuadro de prefijos para múltiplos y submúltiplos
prefijo
pico
nano
micro
mili
kilo
mega
giga
tera
símbolo
p
n
ì
m
k
m
g
t
valor numérico
10-12
10-9
10-6
10-3
103
106
109
1012
Definir los anteriores prefijos para los múltiplos y submúltiplos, es una necesidad
que surge al tener que realizar mediciones en un amplio rango de valores y
134
• Módulo 2
tener que expresarlos de manera concisa, así, escribir 0.000001 m se simplifica
escribiendo 1μm; 1000 m como un km., etc.
• Las bacterias tienen diámetros de más o menos 0.00001 micras, los filtros de
agua tienen porosidades con un mínimo de 0.5 micras, o sea, entre 0.1 y 1
micras.
Es fácil concluir que por cualquier filtro las bacterias se pasan libremente hasta
en colonias.
1 micra = 0.001 milímetros.
a) Equivalencias entre diferentes unidades de longitud
1 m =
1 m 1 cm
1 100
1 km 1 pie 1 milla 1 pulgada 1 yarda
0.001 3.281 6.215x10-4 39.37 1.0936
1 cm =
1 km =
1 pie =
1 milla =
1 pulgada=
1 yarda=
0.01
1000
0.3048
1609
2.540x10-2
0.9144
1
100000
30.48
1.609x10-5
2.540
9144
10-5
1
3.048x10-4
1.609
2.540x10-5
9.144x10-4
3.281x10-2
3281
1
5280
1/12
3
6.214x10-6
0.6215
1.894x10-4
1
1.578x10-5
1760
0.3937
3.937x10-4
12
6.336x10-4
1
36
1.0936x10-2
10.93
1/3
1/1760
1/36
1
Ciencias Naturales •
135
1 kg =
1 kg
1
1 g
1000
1 slug
6.852x10-2
1 onza
35.27
1 libra 1 tonelada
2.205 1.102x10-3
1 g =
1 slug =
1 onza =
1 libra =
1 tonelada =
Ejercicio
0.001
14.59
2.835x10-2
0.4536
907.2
1
1.459x10 -4
28.35
453.6
9.072x10-5
6.852x10-5
1
514.8
3.108x10-2
62.16
3.527x10-2
514.8
1
16
3.2x10-4
2.205x10-3
32.17
1/16
1
2000
1.102x10-5
1.609x10-2
3.125x10-5
0.0005
1
1. Expresar 46 millas en metros
Revisa la tabla de conversiones y encontrarás 1 milla = 1609metros, entonces,
se plantea la regla de tres
1mi
46mi
1609m
X
X = 46mi x 1609m ÷ 1mi
X = 74014m
2. ¿A cuántos kilogramos equivalen 45lbs?
de la tabla de valores tienes que 1kg = 2.205lbs, por lo tanto
2.205lbs
45lbs
136
1kg
X
X = 1kg x 45lbs ÷ 2.205lbs
X = 20.41kg
• Módulo 2
3. Expresar 5 pies en centímetros, 1pie = 30.48cm
1pie
7pies
30.48cm
X
X= 30.48cm x 7p ÷ 1p
X = 213.36cm
4. Reducir 5horas a segundos
1h
5h
3600seg
X
X = 3600seg x 5h ÷ 1h
X = 18000seg
Nota: se eliminan las unidades 1) millas, 2) libras, 3) pies, 4) horas
Actividad
• Mide con una regla graduada en centímetros, el largo de tu cuaderno y expresa
la medida en pulgadas.
R/ según sea el tamaño del cuaderno
1 pulg. = 2.54cm
• ¿A cuantas pulgadas equivalen tres metros?
• ¿Cuántas onzas hay en quince libras?
• ¿Cuántas yardas hay en ocho metros?
• ¿A cuántas micras equivalen 3 centímetros?
Ciencias Naturales •
R/ 118 pulgadas
R/ 240 onzas
R/ 8.75 yds
R/ 30,000 micras
137
• ¿De San Salvador a Santa Ana hay 60km aproximadamente; cuánto sería en
metros?
R/ 60,000 metros
• Convertir 8 micras a pulgadas R/ 0.003 pulg
• Expresar cinco yardas en metros R/ 4.57 metros
• 32 onzas convertirlas a gramos R/ 909 gramos
• Convertir 4000 micras a centímetros R/ 0.4 centímetros
¿Cuánto confiar en las medidas?
Objetivo
A partir de conceptos previos y afines, inducir los conceptos de precisión y
exactitud en las medidas para aplicar incertezas en la expresión de las mismas
y, a la vez, lograr actitudes de confianza y eficiencia en tu trabajo de ciencias.
¿En qué caso utilizas la palabra “cabal”? o la expresión “ok, le va completo, hasta
pasadito”
Pero muchas veces te quejas de la inexactitud de las medidas, principalmente
cuando compras algún producto. Por ejemplo, la libra de arroz que compras en
muchos establecimientos contiene menos gramos de los que legalmente debe
tener.
En este punto debes diferenciar dos aspectos, el primero, es el caso de las medidas
inexactas debido a una deshonesta intención, el segundo, es la limitación que
toda medida tiene, aún cuando pones empeño y técnica para realizarla.
138
• Módulo 2
El conocimiento de las medidas y sus limitaciones ayuda también a combatir las
medidas inexactas y te da un respaldo para reclamar, en forma objetiva, tus
derechos como consumidor.
Inexactitud
Una medida nunca puede ser 100% exacta
La anterior es una sentencia que puede parecer pesimista; pero ciertamente
nunca puedes obtener una medida exacta, aunque uses los instrumentos y
técnicas de medición más avanzados. Esto se debe a que siempre que realices
una medida, interactúas con el objeto o fenómeno que mides, alterando de alguna
manera sus cantidades o sus magnitudes físicas.
¿Cómo saber si es confiable una medida?
Cuando tienes una medida es deseable saber cuánto puedes confiar en ella.
El error (E) en una medida (X) se define como el valor
absoluto de la diferencia entre el verdadero valor (Xv) y
el valor medido (Xm):
E = |Xv - Xm|
Este error así definido nunca se puede llegar a conocer ¿por qué?
Cuando no puedes conocer algo, es muy común que lo estimes de alguna manera,
así el error en una medida se estima mediante otra cantidad llamada o
denominada incerteza.
Ciencias Naturales •
139
La incerteza de una medida es un dato vital para los científicos, prácticamente si
una medida no es acompañada de su incerteza, no tiene ningún valor
científico.
Así también en el comercio, la industria y la vida diaria, es cada vez más frecuente
el uso de las incertezas, sobretodo con los requisitos que el proceso de
globalización exige a los productos de las empresas, también es una fuente de
información útil para los consumidores.
Debes tener la certeza de que eres capaz y persistente
para alcanzar tus metas, no importa en qué medida
tengas que esforzarte
Tipos de incerteza
absoluta
incerteza unitaria
relativa
porcentual
a. incerteza absoluta ( x)
Expresa la desviación que puede tener una medida respecto del valor reportado,
∆ así la medida (X) se expresa: (X ± X)
Por ejemplo: si dices que un alambre mide (2.0m ± 0.1m), significa que el
140
• Módulo 2
verdadero valor se encuentra entre 1.9m y 2.1m, siendo el más probable 2.0m.
Como puedes notar, la incerteza absoluta tiene las mismas unidades que la
medida.
b. incerteza relativa unitaria X
X
Indica la fracción del error en el que se puede estar incurriendo en la medida,
por cada unidad contabilizada, la medida se reporta como:
( X ± X )
X
Por ejemplo, si una longitud se reporta como (2.3m ± 0.1)cm, significa que el
valor más probable es 2.3m, pero que posiblemente se haya cometido un error
en una décima (0.1); la incerteza relativa es 0.1
2.3 = 0.04
de cada metro medido, la incerteza relativa no tiene unidades.
c. incerteza relativa porcentual ( X . 100 )
X
Es la misma incerteza relativa unitaria multiplicada por 100, en tal caso representa
el porcentaje de error probable en la medida. El ejemplo anterior se escribiría
así: 0.04 x 100 = 4 entonces quedaría así (2.3 m ± 4 %).
¿Cómo se encuentra la incerteza de una medida?
Ahora, estudiarás las técnicas básicas para obtener la incerteza de una medida,
el criterio a aplicar siempre es que debes tratar de reportar una medida con su
incerteza de la forma más segura, es decir, que es preferible decir que la calidad
de la medida no es muy buena (incerteza grande) a decir que es excelente
(incerteza pequeña) pero sin estar seguro de eso. Lo ideal es obtener una medida
con una incerteza pequeña de la cual estés razonablemente seguro/a.
Ciencias Naturales •
141
Casos posibles:
a. medida directa realizada una sola vez. b. medida directa realizada varias
veces.
c. medida indirecta realizada una sola vez. d. medida indirecta realizada varias
veces.
Actividad
Realiza 4 veces la siguiente medida (caso b)
Con una regla o metro graduado hasta los milímetros mide la longitud de tu
pupitre
a = _____cm, b =____cm, c =_____cm, d =_____cm
promedio = a + b +c +d entre 4 (centímetros)
a) medida directa realizada una sola vez
Cuando realizas una medida directa una sola vez, la incerteza se calcula basándose
en las características de los instrumentos utilizados, consultando el manual del
aparato, ejemplo: los multímetros utilizados por los radiotécnicos en su manual,
generalmente especifican su incerteza, en cualquiera de sus variantes, o al menos,
la información necesaria para calcularla.
Si el instrumento que utilizas para medir no tiene manual o no puedes accederlo,
se toma como incerteza absoluta una fracción “razonable” de la misma escala
que tenga el aparato.
Al medir con una regla graduada en milímetros, la incerteza absoluta es
0.5milímetros; si la menor división es un centímetro, la incerteza puede ser 0.3
cm. de acuerdo a las condiciones en que se realiza la medición.
142
• Módulo 2
Si la escala es muy pequeña se toma la menor división completa.
b) medida directa realizada varias veces
Si es posible realizar varias veces la misma medida puedes utilizar un criterio
más formal para asignar la incerteza, mediante el cálculo del promedio con su
desviación típica.
c) medida indirecta realizada una sola vez
Las medidas originales se trabajan individualmente con los criterios del literal
“a” y luego se aplican las reglas de propagación de incertezas.
d) medida indirecta realizada varias veces
En los casos “c” y “b”, es necesario definir las reglas de propagación de las
incertezas, ya que cuando una magnitud física se obtiene midiendo otras y luego
operándolas matemáticamente, los errores de las cantidades originales deben
reflejarse adecuadamente.
¿Cómo se propagan las incertezas?
Sabes que el error se propaga en los resultados de las operaciones que realizas.
Considera dos medidas tomadas con su incerteza
(X ± X) (Y ± Y)
Reglas para la propagación de incertezas
Suma o resta de dos cantidades
Si Z = X + Y ó Z = X - Y, la incerteza de “Z” se calcula z = x + y.∆ ∆ ∆
Ciencias Naturales •
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No importa si las cantidades se suman o se restan, la incerteza del resultado
siempre es la suma de las incertezas de las cantidades originales, además, hay
que tener en cuenta que para sumar o restar dos o más cantidades, éstas deben
tener la misma naturaleza. Esto significa sumar o restar metros con metros,
kilogramos con kilogramos, etc. ¿acaso puedes sumar dólares más quetzales sin
antes hacer una conversión?
Atención: Si estás manejando la propagación de errores
e incertezas, debes convenir en esto:
Sí cometes errores, aprende lo que puedas de ellos; pero
jamás los repitas, mucho menos los propagues en tu
convivencia con los demás.
Continúa, concéntrate en el siguiente ejercicio, si es posible dibuja el puente.
Un puente tiene dos tramos, de diferente longitud: el primero, tiene L1 = 13.6m.
± 0.1m.; y el segundo, una longitud L2 = 20.8m. ± 0.3m. ¿ cuál es la longitud
total del puente.?
tramo A tramo B
L1 = 13.6 ± 0.1m. L2 = 20.8 ± 0.3m.
L1 + L 2 = 13.6 m. + 20.8m. = 34.4 (suma de longitudes)
0.1 + 0.3 = 0.4
o sea (13.6 + 20.8)m ± (0.1 + 0.3)
(34.4 ± 0.4)m. longitud total del puente
144
• Módulo 2
Una medición está correctamente expresada si
además del valor numérico y las unidades
correspondientes, lleva la incerteza absoluta.
En el ejercicio la suma total resultó 34.4m. pero ± 0.4 significa que puede tener
4 decímetros menos ó 4 decímetros más, o sea que el intervalo donde se encuentra
la longitud verdadera del puente es de 34.0m. a 34.8m.
Multiplicación o división de dos cantidades
si Z = X.Y ó Z = X÷Y
Entonces para calcular la incerteza de Z, debe utilizarse la incerteza relativa
(unitaria o porcentual)
∆z = ∆x + ∆y
Z X Y
Ejemplo: se mide un terreno rectangular y se encuentra que su largo es L =
320.5m ± 0.6m y que su ancho es 90.2m. ± 0.3m. ¿cuál es el área del terreno?
área = largo x ancho, debes usar la incerteza porcentual
En los datos tienes incerteza absoluta y debes calcular las relativas, la incerteza
relativa porcentual
El área “A” se calcula A = largo x ancho.
Ciencias Naturales •
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Como son porcentajes no es necesario que:
∆l / l x 100 = 0.6m / 320.5m x 100 = 0.187 %
∆a / a x 100 = 0.3 m / 90.2 m x 100 = 0.333 %
El número de decimales coincida con los de las medidas y los de las incertezas
absolutas.
El área es:
A= (320.5 m x 90.2m) ± (0.187 % + 0.333 %)
Es decir:
A= 28909.1m² ± 0.52 %.
Potenciación y radicación
Al elevar una medida a una potencia n, es decir Z = Xn ó sacar la raíz enésima
Z = X , (recordando que los radicales pueden expresarse como exponentes
fraccionarios:
n 1/n
X = X
La incerteza relativa de Z es igual al producto de la incerteza relativa de X
multiplicada por el exponente de X, es decir:
basándose en las reglas anteriores, ¿puede argumentar las razones para este
último caso?
∆Z ∆X
Si Z = Xn entonces = n *
Z X
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• Módulo 2
n ∆Z 1 ∆X
Si Z = X entonces = *
Z n X
Ejercicios de propagación de incertezas:
Si A = (X ± ∆X) = (20.5 ± 0.2) cm
B = (Y ± ∆Y) = (74.2 ± 0.3) cm
Incertezas relativas: 0.2/20.5 y 0.3/74.2
= 0.0098 y 0.0040
Incerteza porcentual: 0.0098 x 100 y 0.0040 x 100
= 0.98 y 0.40
Suma de incertezas porcentuales: 0.98 + 0.40 = 1.38
Producto de las medidas: 20.5cm x 74.2cm = 1521.1cm²
Expresión correcta del producto: (1521.1 ± 1.38 %) cm²
Encontrar el volumen de un cubo si una de sus aristas es de (2 ± 0.1)cm
Volumen = a³ = l³ (1 arista = 1 lado)
(2 ± 0.1)³
Incerteza relativa unitaria: 0.1/2 = 0.05
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Entonces: n = 3
0.1
n (2)
= 3 ( 0.05 ) = 0.15
23 = 8 entonces (8 ± 0.15) cm³
Reflexiona:
En la potencia la propagación de incertezas es más
grande que en la suma, la resta, el producto y el cociente.
Actividad ex aula:
construye un cubo de 5 ± 0.1cm. de lado y
encuentra su volumen
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• Módulo 2
Representación gráfica de las relaciones
entre magnitudes físicas
Objetivo
Comprender las relaciones entre magnitudes físicas por medio de representaciones
gráficas para aplicarlas en problemas afines de todos los ámbitos, y comparar
tus logros y cambios significativos al interpretar la relación directa entre tu esfuerzo
y el éxito.
En las ciencias, la representación gráfica de los resultados de un experimento o
un estudio, es una primera forma de buscar las relaciones entre dos o más
magnitudes físicas, además de una forma de reportar los resultados.
¿Qué forma adquieren las relaciones
entre las magnitudes físicas?
En realidad, la pregunta del título es la pregunta crucial de las ciencias natu-
rales, equivale a preguntar, en muchos casos ¿cuál es la ley que describe un
fenómeno?
Pero antes reflexiona sobre las variables un tanto
subjetivas pero reales y muy significativas para ti:
1. Si te levantas temprano dispones de mayor tiempo para hacer más actividades
productivas.
2. Entre más trabajas o estudias, tendrás más satisfacciones.
Ciencias Naturales •
149
3. Cuanto más te esfuerces serán más tus posibilidades de éxito.
4. A mayor atención e interés en tus clases y documentos, mayor comprensión y
aprendizaje.
Todas esas reflexiones y muchas más que puedas pensar y escribir, son relaciones
directamente proporcionales. También puedes aplicarles los adverbios menos,
menor y verás que los resultados son negativos; pero siempre son directamente
proporcionales.
Dos variables o magnitudes físicas son directamente
proporcionales, si al aumentar una, aumenta la otra o si
al disminuir una disminuye la otra.
Observa esta gráfica (solo para ilustrar)
Calificaciones
La variable dependiente de
esta gráfica debería ser
“indicadores de logros” en
vez de calificaciones.
Horas de estudio
150
• Módulo 2
Por supuesto que si utilizas tu tiempo con calidad, puede ocurrir que estudiando
sólo 2 horas, tus notas sean excelentes; pero ¿qué pasaría si sólo estudiaras 15
minutos?
La diversidad de formas como se relacionan las magnitudes físicas es muy grande.
Las más comunes y que tienen aplicación práctica en otros ámbitos, son éstas:
Las proporcionalidades directas. Las relaciones lineales en general. n
Las proporcionalidades inversas. Las relaciones de la forma Y = K.X
Para indicar que una cantidad es proporcional a otra, se utiliza el símbolo de
proporcionalidad: α
Al decir que la cantidad “a” es directamente proporcional a la cantidad “F”, escribe
a F.
Proporcionalidades directas
Son el tipo de relación más simple entre dos magnitudes, en este tipo de relación,
cuando cambia la variable independiente, la otra lo hace en la misma proporción,
es decir, si “x” se duplica, el valor de “y” también se duplica, si “x” se reduce a la
décima parte “y” cambia también a su décima parte. Matemáticamente se
representa de la forma y = k.x, donde “k” es una “constante de proporcionalidad”,
la cual depende del fenómeno particular que se estudie.
Ejemplo: La distancia recorrida “x” por una motocicleta que se mueve con rapidez
constante “v”, a medida que el tiempo “t” trascurre.
t = 0 s t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
x = 0 m
Ciencias Naturales •
x = 3 m
x = 6 m
x = 9 m
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Así, cuando la rapidez de la motocicleta es 3 m/s tenemos los siguientes:
t = 0 s
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
x = 0 m
x = 3 m
x = 6 m
x = 9 m
Debes notar que al duplicar el tiempo, también se duplica la distancia recorrida,
al triplicar el tiempo, también se triplica la distancia, etc.
Si la motocicleta aumenta la velocidad (acelera), en menor tiempo
puede recorrer la misma distancia. Eso pasa contigo como estudiante
de la modalidad semipresencial, tienes que acelerar tu velocidad de
estudio para alcanzar el mismo nivel de otros sistemas. Tú no eres
diferente, puedes lograrlo.
Las gráficas de este tipo de relaciones, son líneas rectas que pasan por el origen
de coordenadas:
Forma general de la gráfica que representa la distancia recorrida por una
motocicleta con rapidez constante en función del tiempo.
x (m)
t (seg)
El tiempo es la variable independiente;la distancia es la variable dependiente.
152 • Módulo 2
=
La pendiente de esa gráfica es la velocidad
V =
x
t
en
m
s
Las relaciones lineales en general
Este tipo de relación es una generalización del anterior, la diferencia básica es
que en la relaciones lineales, no necesariamente la relación contiene al par
ordenado (0,0), por lo tanto la gráfica no pasa por el origen, sino que intercepta
al eje “y” por el par ordenado (0,b), donde “b” se denomina el “intercepto”, y por
lo tanto la relación toma la forma
y = k.x + b. Su gráfico general es:
y
b
x
Para el ejemplo anterior de la motocicleta que se mueve con rapidez constante,
podríamos tener este tipo de gráfico si en el momento que comenzamos a
=
observarlo (t = 0 s) ya ha recorrido alguna distancia. (en este caso (x = y) y
(t =x).)
Ciencias Naturales •
153
Las proporcionalidades inversas
Como su nombre lo indica, en este tipo de relación las magnitudes se comportan
de forma inversa entre sí. Así cuando una aumenta, la otra disminuye en la
proporción inversa; es decir si “x” se duplica, “y” se reduce a la mitad; si “x” se
reduce a su décima parte, “y” aumenta por un factor de 10, etc.
La gráfica típica de esta proporcionalidad es:
y
x
x
Un ejemplo lo tenemos cuando un volumen (V) de gas es sometido a una presión
(p). El volumen es inversamente proporcional a la presión bajo ciertas condiciones,
tal como se estudiará más adelante.
Las relaciones de la forma y = k.xn
Esta forma de relación es más general e incluye a las anteriores como casos
particulares, con la excepción de la relación lineal general.
154
• Módulo 2
La mayoría de fenómenos que estudiarás en este curso de ciencia y los próximos
años, adquieren esta forma o se pueden aproximar de manera aceptable a ella.
Las formas de las gráficas son muy diversas, ya que el exponente puede ser
entero o fracción, positivo o negativo. Así tenemos las siguientes posibilidades:
y y y
0
x 0 x 0 t x
y = k.xº y = k.x y = k.x²
y y
0 x 0 x
y = k.√x y = k.x¯¹
Autoevaluación
1. El objeto o concepto que materializa a las unidades se denomina:
a) metro
b) cantidad física
c) patrón
d) magnitud física
Ciencias Naturales •
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2. ¿Qué literales sólo contienen magnitudes físicas?
a) belleza, presión, fuerza, área.
b) densidad de masa, velocidad, fuerza, área.
c) temperatura, longitud, color, superficie.
d) volumen, cantidad de movimiento, fuerza, textura.
3. Expresa correctamente las unidades básicas del SI
4. Escribe el nombre de las incertezas estudiadas
5. Cuando decimos que el peso de una caja es 450N, la cantidad física es:
6. La incerteza absoluta de una medida nos indica:
a) el error cometido al realizarla.
b) el porcentaje de error que está equivocada.
c) el rango donde puede encontrarse la verdadera medida.
7. En la expresión (23.4 ± 0.2) la incerteza relativa porcentual es:
a) 0.85
b) 0.0085
c) 0.085
8. El nombre de las dos variables que intervienen al hacer una gráfica son.
a) pendiente, dependiente.
b) incerteza, independiente.
c) dependiente, independiente.
156
• Módulo 2
9. 60 km expresados en millas equivalen a
a) 120 millas
b) 37.5 millas
c) 30.5 millas
10. Al convertir 64oz a libras obtienes
a) 32lbs
b) 16lbs
c) 4lbs
Ciencias Naturales •
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Glosario
Cantidad física:
Error:
Incerteza:
Incerteza absoluta:
es el valor particular que toma una magnitud física.
La diferencia entre el valor medido y el verdadero
valor. Nunca puede llegar a conocerse.
es una estimación del error.
es el valor que puede desviarse en uno u otro
sentido, el valor reportado es una medición.
Incerteza relativa unitaria: es la fracción en la cual posiblemente se haya
cometido error, en uno u otro sentido, por cada
unidad medida.
Incerteza relativa porcentual: es el probable porcentaje de error cometido al
obtener una medida.
Magnitudes físicas:
Medición:
Medida directa:
Medida indirecta:
Patrón:
Propiedades físicas:
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son aquellas propiedades físicas que pueden
medirse.
proceso mediante el cual se asocia un valor
numérico a una magnitud física.
se realiza cuando se compara el patrón o
instrumento de medición con otra magnitud que
se desea medir.
se realiza cuando se miden antes otras magni
tudes y luego se realizan con ellas una o más
operaciones matemáticas.
Es el objeto o concepto que materializa a las
unidades.
cualquier cantidad de los objetos, sistemas o
• Módulo 2
fenómenos que existe relativamente
independiente de nuestra
subjetividad.
Proporcionalidad directa: relación entre dos magnitudes, en la que cuando
cambia la variable independiente, la otra lo hace
en la misma proporción.
Proporcionalidad inversa: relación entre dos variables donde cuando una
aumenta, la otra disminuye en la misma
proporción.
Bibliografía
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ZITZEWITS, P., NEFT, R. & DAVIDS, M. 1995. Física 1. Principios y problemas.
Editorial Mcgraw Hill, Bogotá, Colombia.
Ciencias Naturales •
159
• Módulo 1
Recommended