7/21/2019 Cinetica de Un Punto Material - Fuerza y Aceleracion - Vac 2015
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M Sc Norbil Tejada Campos
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2015
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
LA COLLPA
CINTICA DE UN PUNTO MATERIALSegunda Ley del Movimiento
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CINTICA DE UN PUNTO MATERIAL
pdtdamF
1. Cintica.- Parte de la Mecnica que estudia las relaciones existentesentre las fuerzas que actan sobre una partcula y su movimiento, dado por
la Segunda Leydel Movimiento o Segunda Ley de Newton; As, tenemos:
Donde: m es la masa de la partcula, considerada constante para
velocidades pequeas ( v
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As, tenemos:
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
x
xx
2
2
dt
ydm
dt
dvmmaF
y
yy
2
2
dt
zdm
dt
dvmmaF
z
zz
1. LEY DE NEWTON EN COORDENADAS RECTANGULARES
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Si, la fuerza resultante que acta sobre una partcula tiene la mismadireccin y lnea de accin durante todo el tiempo; dicha partcula,con movimiento resultante, esta obligada a moverse sobre una lnearecta y normalmente se denomina Movimiento Rectilneo.
Casos:
A. Fuerza es constante ( F = constante ).
B. Fuerza en funcin del tiempo ( F = F(t) ).
C. Fuerza en funcin de la rapidez ( F = F(v) ).
D. Fuerza en funcin de la posicin ( F = F(x) ).
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):
2
2
dtxdm
dtdvmmaF
1Ct
m
Fv
21
2
2CtCt
m
Fx
Se obtiene: Por condiciones iniciales: si, parat0= 0, tenemos: x = xo^ v = vo
tvvm
F
o
2
2 ttvxxm
F
oo
Caso particular: Caida Libre:F = W (peso) ^ a = g (aceleracin de la gravedad)
2
2
1 gttvyyoo
gtvv o
Por condiciones iniciales: si, yo= 0 ^ vo= 0
gtv
2
2
1gty
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):
Ejemplo 01.- (p. 12.3; pag. 529; Dinmica, Irvin Shames). Un cuerpo
puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de
rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar al punto ms
bajo es de 9 m/s. A qu altura se solt y durante cunto tiempo viaj?.
30
= 0,05
Respuesta:
1. h = 4,54 m
2. t = 2,01 s.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
2
2
)(dt
xdm
dt
dvmmatF
1
)(Cdt
m
tFv
t
m
tF
dt
dx
dt
d
dt
xd )(2
2
Se obtiene:
Donde:
t t
CdtCdtm
tFx 21
)(
mF(t)
y
x
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
Ejemplo 02.-(p. 12.25; pg. 531; Dinmica, I. Shames). Unafuerza en la direccin xdada por la relacin F = 10sen6t (N)
acta sobre un cuerpo de 10 kg de masa. Si cuando t = 0 el
cuerpo tiene una velocidad de 3 m/s y est en la posicin x = 0,
Cul es la posicin alcanzada por el cuerpo a partir del origen
cuando t = 4 s?. Hacer la curva desplazamiento-tiempo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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C. FUERZA EN FUNCION DE LA VELOCIDAD ( F = F(v)):
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
1
1
)(Ct
mvF
dv
v
m
vF
dt
dv
dt
xd )(2
2
Se obtiene:
Donde:
21),( CdtCtHx
Ecuacin: t = t(v), lo cual es mejor encontrar
una ecuacin de la forma: v = H (t , C1)
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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2. MOVIMIENTO RECTILINEO
Ejemplo 03.- Un avin de carreras aterriza a una velocidad de 100 m/s cuando se
despliega un paracadas de freno. Este paracadas tiene un rea frontal de 30 m
2
y un CD= 1,2 . El avin tiene un rea frontal de 20 m2 y un CD= 0,4. Si el avin y
el paracadas tienen una masa conjunta de 8 Mg, Cunto se tardar en reducir
su velocidad de 100 m/s hasta 60 m/s simplemente rodando? Considrese aire =
1,2475 kg/m3 e ignrese la resistencia al rodamiento de los neumticos, y que no
hay viento.En el rea de Mecnica de Fluidos, se conoce como la resistencia al avance D de un cuerpo a travs de un fluido cuya densidad de
masa es viene dada porCDv2A, donde v es la velocidad del cuerpo relativa al fluido, A es la superficie frontal del objeto, y C Des el
denominado coeficiente de resistencia al avance (drag)que se determina, normalmente, mediante experimentacin.
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D. FUERZA EN FUNCION DE LA POSICION ( F = F(x)):
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
21
1)(2
CdxxF
mv
x
)(2
2
xFdt
dvm
dt
xdm
Se obtiene:
Donde:
22
1
1)(2
C
CdxxFm
dxt
x
x
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
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2. MOVIMIENTO RECTILINEO
Ejemplo 04.- El rozamiento (=0,10) y un resorte lineal (k=365N/m)
oponen resistencia al movimiento del bloque A (P=3580N). Si se suelta elbloque partiendo del reposo con el resorte indeformado, determinar,
durante la primera fase del movimiento hacia abajo del plano inclinado:
a) el desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicin de reposo,
b) la velocidad del bloque cuando se halle a 4,5 m de su posicin de
reposo, c) el tiempo que emplea el bloque en llegar a 4,5 m de su posicin
normal.
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)(nt
aamamF
dt
dvmmaF
TT
2v
mmaFnn
Donde:
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALY TANGENCIAL
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3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALY TANGENCIAL
Ejemplo 05.- Un pndulo de 6 m de longitud se mueve en un plano vertical,
de tal forma que, en la posicin representada en la figura , la tensin en la
cuerda es 2 veces el peso de la masa pendular. Determinar para la masa
suspendida: a) las componentes tangencial y normal de la aceleracin en
dicha posicin, b) la velocidad correspondiente.
0
37L
Trayectoria
m
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3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALY TANGENCIAL
Ejemplo 06.- Una esfera de 3 kg se desliza por una varilla que est curvada en el
plano vertical y cuya forma puede estar descrita por la ecuacin
, donde x e y se expresan en metros. Cuando x = 2 m, la esfera se
mueve a lo largo de la varilla con celeridad de 5 m/s que est aumentando a razn
de 3 m/s2. determinar las componentes normal (Fn) y tangencial (Ft) de la fuerza
que ejerce la varilla sobre la esfera en ese instante.
2
2
18 xy
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3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALY TANGENCIAL
Ejemplo 07.- Una esfera que pesa 15 N se desliza por una varilla contenida en
un plano vertical y cuya forma queda descrita por la ecuacin ,
donde x e y se miden en metros. Cuando la esfera se halla en el punto (-2,4 ;
2,4), indicado, se mueve a lo largo de la varilla con una celeridad de 4,5 m/s,
disminuyndola a razn de 0,9 m/s2. Determinar las componentes normal y
tangencial de la fuerza que en ese instante ejerce la varilla sobre la esfera.
yx 4,22
yx 4,22
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)(aamamF
r
2 rrmmaF rr
rrmmaF 2
Donde:
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
urrurrmF r
22
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
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Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa mse libera estando
la cuerda bin tensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante
el movimiento resultante. (figura adjunta).
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
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Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa mse libera estando la cuerda bintensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante el movimiento resultante.
(figura adjunta).
m
0
L
Eje Radial
(+)
EjeTransversal (-)
(+)
mg
T
ru
u
SOLUCION:
Hiptesis:
1. La cuerda es inextensible.2. L,longitud de la cuerda constante.
Respuesta:
13 senmgT
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
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)(zr
aaamamF
2 rrmmaF rr
rrmmaF 2
Donde:
zmmaFzz
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
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3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
Ejemplo 09.- Un pndulo cnico consiste en una esfera que pesa 100 Nsostenida por un hilo de 2,4 m de longitud que gira en torno a un ejevertical con una velocidad angular constante tal que mantenga el hiloformando un ngulo de 30 con la vertical. Determinar la tensin T en elhilo y la celeridad lineal v de la esfera.
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x
y
z
0
mF
r
3.4. LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
GRAVITATORIAS
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES