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Consejería Educacional
Bienvenidos a CPECHEl preuniversitario de Chile
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Te apoyamos en tu proceso
La Consejería Educacional Cpech es un serviciodisponible para todos nuestros alumnos, donde unprofesional te brinda apoyo y orientación en tu procesode preparación para la PSU y el ingreso a la educaciónsuperior. Lo anterior, desde tres ámbitos principales de
acción: ámbito pedagógico, ámbito vocacional y ámbitode la consejería.
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Estrategias para un estudio
eficientembito Pedagógico:!e entregamos las "erramientas necesariaspara desarrollar e#cientes sistemas de estudio$ue te permitan favorecer el aprendi%aje yalcan%ar las metas necesarias para el ingreso ala educación superior.
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Infórmate acerca de todas lasposibilidades
mbito &ocacional:Te entregamos los lineamientos y la informaciónnecesaria para que seas capaz de tomar decisiones de
carreras, universidades y/o instituciones acertadas;manejando la información necesaria para el acceso acréditos y becas y/o beneficios posibles.
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Conviértete en el protagonista delproceso
mbito de la 'onsejería:Te entregamos las herramientas necesarias paradesarrollar la auto responsabilidad del proceso de
enseanza!aprendizaje y la autorregulación del mismo,permitiéndote lograr la correlación necesaria entreintereses y habilidades.
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Acércate al Consejero/aEducacional de tu Sede
http"//###.cepech.cl/
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P P T C E S 0 0 1
M T 2 1 - A 1 3 V 1
Clase
Números
MT-21
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$prendizajes esperados
• denti!i"ar pertenen"ia de n#$eros a los "on%untos nu$&ri"os'
• (e"ono"er los n#$eros a trav&s de sus "ara"ter)sti"as'
• Co$parar distintos tipos de n#$eros'
• Apli"ar "on"eptos arit$&ti"os *n#$eros pri$os+ pares+ i$pares+$#ltiplos , divisores'
• Trans!or$ar de"i$ales a !ra""iones , vi"eversa'
• Apli"ar "ara"ter)sti"as nu$&ri"as en la resolu"i.n de pro/le$as'
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1' a su$a de tres n#$eros i$pares "onse"utivos es siempre
divisi/le por 3'
divisi/le por '
divisi/le por '
Es *son verdadera*s
A solo '
B solo '
C solo , '
4 solo , 'E + , ' Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2010.
%regunta oficial %&'
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1' Con%untos nu$&ri"os
2' 4e!ini"iones
3' 5rden
' Trans!or$a"iones
6' Propiedades
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7 8 91+ 2+ 3+ + 6+ :;• (aturales"
• )ardinales" 70 8 90+ 1+ 2+ 3+ + 6+ :;
• *nteros" < 8 9:+ = 3+ = 2+ = 1+ 0+ 1+ 2+ 3+ :;
• +acionales" a
/> a , / son enteros+ , / es distinto de "ero? 8
a@ nu$erador , /@
deno$inador Todo n#$ero entero es ra"ional
7 70 < ?⊂ ⊂ ⊂
• rracionales" ,....π,π±,2±,3.....±? 8
Son auellos n#$eros ue (- sepueden es"ri/ir "o$o una !ra""i.n
. )onjuntos numéricos
? ∩ ? 8 ∅
? ∪ ? 8 (
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os n#$eros ra"ionales pueden epresarse
"o$o !ra""iones o "o$o n#$eros de"i$ales@
(a"ional
Dra""i.n 4e"i$al
Propia
$propia
nu$erador
$enor ue el
deno$inador
nu$erador
$a,or ue eldeno$inador
7#$ero $iton#$ero
entero $s
!ra""i.n
Dinito
Peri.di"o
Se$iperi.di"o
E%@ 0+0
E%@ 0+:
E%@ 0+2:
(- es ra"ional'15
0
. )onjuntos numéricos
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. )onjuntos numéricos
<
70
? ?
( C
7 70 < ? ( C⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂
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• &ucesor
)onsecutividad numérica
Todo n#$ero entero tiene un su"esor+ , se o/tiene su$ando 1 al n#$ero+
es de"ir@
Si n pertene"e a ℤ+ su su"esor ser n 0 1'
• $ntecesor Todo n#$ero entero tiene un ante"esor , se o/tiene al restar 1 al n#$ero+
es de"ir@
Si n pertene"e a ℤ+ su ante"esor ser n 2 1'
*n = 1 *n F 1n
Enteros "onse"utivos
ante"esor su"esor
3. 4efiniciones
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%aridad e imparidad
• (5meros pares 9''+ = + = + = 2+ 0+ 2+ + +:;
• (5meros impares
65ltiplos
os m5ltiplos de un n#$ero natural son auellos ue se o/tienen al$ultipli"arlo por alG#n otro n#$ero natural'
Por e%e$plo@
M#ltiplos de @ 9+ + 12+ 1+ 20+ :;
M#ltiplos de 6@ 96+ 10+ 16+ 20+ 26+ :;
3. 4efiniciones
9''+ = 6+ = 3+ = 1+ 1+ 3+ 6+:;
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3. 4efiniciones
4ivisores
os divisores de un n#$ero natural son auellos n#$eros naturalesue lo dividen ea"ta$ente *divisi.n "on resto "ero'
Por e%e$plo@
4ivisores de 2@ 91+ 2+ 3+ + + + 12+ 2;
4ivisores de 3@ 91+ 2+ 3+ + + + 12+ 1+ 3;
(5meros primos
Son auellos n#$eros naturales ue solo son divisi/les por , por s7
mismos *solo tienen 2 divisores'
92+ 3+ 6+ I+ 11+ 13+ 1I+ 1+ 23+ 2+:;'
El 1 (- es pri$o+ pues tiene un solo divisor'
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El $)ni$o "o$#n $#ltiplo *$'"'$' de dos o $s n#$eros naturales+"orresponde al $enor de los $#ltiplos ue tienen en "o$#n'
$'"'$' 8 3 J 2 J 6 8 30
El $'"'$' entre 3+ , 16 se puede o/tener a trav&s del siGuiente $&todo@
3 16 3
2 6 2
1 6 6
1
Se divide "ada n#$ero por
n#$eros pri$os hasta ue en
"ada "olu$na uede 1' El
produ"to de ellos "orresponde al
$'"'$' entre 3+ , 16'
3. 4efiniciones
67nimo com5n m5ltiplo m.c.m.1
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El $i$o "o$#n divisor de dos o $s n#$eros+ "orresponde al $a,orde los divisores ue tienen en "o$#n'
El M'C'4' entre 3+ 1 , 2 se puede o/tener a trav&s del siGuiente
$&todo@
3 1 2 2
1 12 3
3
Se divide por n#$eros pri$os ue sean
divisores de "ada n#$ero+ hasta ue
,a no se pueda dividir a todos en !or$a
si$ultnea' a $ultipli"a"i.n de estos
pri$os es el M'C'4'
6.).4. 8 2 J 3 8 8
69:imo com5n divisor 6.).4.1
3. 4efiniciones
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)omparación de fracciones
. -rden
gualar denominadores 6ultiplicación cruzadaSe a$pli!i"an las !ra""iones hasta
iGualar deno$inadores' ueGo se
"o$paran los nu$eradores'
*jemplo" 1316
I
12, Al "o$parar
13J
16J
IJ6
12J6,
62
0
36
0,
Co$o 62 K 36+ 13
16
I
12K
Se $ultipli"an "ruLados
nu$eradores , deno$inadores+
, lueGo se "o$paran estos
produ"tos'
*jemplo"
13 J 12 , 16 J I
Al "o$parar13
16
I
12,
16 , 106
Co$o 16 K106 + 13
16
I
12K
< f
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• 4e decimal finito a fracción
El nu$erador+ de la nueva !ra""i.n+ "orresponde al de"i$al pero sin "o$a'El deno$inador es una poten"ia de 10 "on tantos "eros "o$o de"i$ales
tuviera el ra"ional a trans!or$ar'
*jemplo"
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• 4e decimal semiperiódico a fracción
1' El nu$erador de la !ra""i.n "orresponde a la di!eren"ia entre el n#$erode"i$al "o$pleto+ sin la "o$a , la parte entera in"lu,endo las "i!ras
del anteperiodo'
2' El deno$inador ueda !or$ado por tantos nueves *+ "o$o "i!ras
tenGa el per)odo+ , tantos "eros *0+ "o$o "i!ras tenGa el anteperiodo'
*jemplo"
3,214 = 3.214 – 32 = 3.182
990 990
Se lla$a anteperiodo a losn#$eros ue ha, entre la
"o$a de"i$al , el per)odo'
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=. %ropiedades
El valor a/soluto de un n#$ero representa la distan"ia del n#$ero al"ero en la re"ta nu$&ri"a'
Por e%e$plo+ la distan"ia del 6 al oriGen es "in"o unidades+ iGual ue la
distan"ia del *= 6 al oriGen' a nota"i.n es@ N6N 8 6 , N= 6N 8 6
-6 60
6 unidades 6 unidades
N= 20N 8 20 N3N 8 3 N= 12N 8 12
*jemplo"
>alor absoluto
= % i d d
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)onmutatividad
a F */ F " 8 *a F / F "
=. %ropiedades
a J / 8 / J aa F / 8 / F a
$sociatividad
a J */ J " 8 *a J / J "
4istributividad
a J */ F " 8 a J / F a J " a J */ = " 8 a J / = a J "
*lemento neutro aditivo
a F 0 8 0 F a 8 a
Si a+ / , " son n#$eros reales+ enton"es se "u$plen las siGuientes
propiedades@
= % i d d
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*lemento neutro multiplicativo
a J 1 8 1 J a 8 a
=. %ropiedades
*lemento absorbente de la multiplicación
a J 0 8 0 J a 8 0
nverso aditivo opuesto1
El inverso aditivo *opuesto de a es *= a
nverso multiplicativo rec7proco1
a
1Si a O 0+ el inverso $ultipli"ativo *re")pro"o de a es
% t fi i l %&'
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1' a su$a de tres n#$eros i$pares "onse"utivos es siempre
divisi/le por 3'
divisi/le por '
divisi/le por '
Es *son verdadera*s
A solo '
B solo '
C solo , '
4 solo , '
E + , ' Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2010.
%regunta oficial %&'
$?T*+($T>$)-++*)T$
$
T bl d ió
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Tabla de corrección
@tem $lternativa 'nidad tem9tica Aabilidad
1 4Con%untos nu$&ri"os
Anlisis2 C Con%untos nu$&ri"os Anlisis
3 B Con%untos nu$&ri"os Anlisis
C Con%untos nu$&ri"os Anlisis
6 E Con%untos nu$&ri"os Anlisis
E Con%untos nu$&ri"os Anlisis
I A Con%untos nu$&ri"os Co$prensi.n
E Con%untos nu$&ri"os Apli"a"i.n
B Con%untos nu$&ri"os Apli"a"i.n
10 C Con%untos nu$&ri"os Apli"a"i.n
11 4 Con%untos nu$&ri"os Apli"a"i.n
12 4 Con%untos nu$&ri"os Apli"a"i.n
T bl d ió
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Tabla de corrección
@tem $lternativa 'nidad tem9tica Aabilidad
13 CCon%untos nu$&ri"os
Anlisis1 4 Con%untos nu$&ri"os Anlisis
16 E Con%untos nu$&ri"os Anlisis
1 B Con%untos nu$&ri"os Anlisis
1I 4 Con%untos nu$&ri"os Co$prensi.n
1 B Con%untos nu$&ri"os Cono"i$iento
1 E Con%untos nu$&ri"os Anlisis
20 4 Con%untos nu$&ri"os Anlisis
21 C Con%untos nu$&ri"os Anlisis
22 C Con%untos nu$&ri"os Anlisis
23 E Con%untos nu$&ri"os Anlisis
2 B Con%untos nu$&ri"os Evalua"i.n
26 A Con%untos nu$&ri"os Evalua"i.n
&7ntesis de la clase
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&7ntesis de la clase
(B6*+-&
)onjuntosnuméricos
? ?
( C
⊂ ⊂⊂
4efiniciones
n#$ero i$par
$#ltiplos 9+ 1+ 2I+:;
divisores 91+ 3+ ;
2
n#$ero par $#ltiplos 92+ + +:;
divisores 91+ 2;
n5mero primo
-rden
nn – 1 n + 1
36 <
6
3
2
I
&7ntesis de la clase
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&7ntesis de la clase
(B6*+-&
Transformaciones %ropiedades
nverso multiplicativo rec7proco1 en C
nverso aditivo opuesto1 en D
*lemento neutro aditivo yelemento absorbentemultiplicativo en (E
100
1361+36 =
0660+
−=
0
6363116+3
−=
6
31
6
1J6
6
1=
+=
%repara tu pró:ima clase
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%repara tu pró:ima clase
En la pr.i$a sesi.n+ estudiare$os
-peratoria
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Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414
ESE !AERIA" SE ENC#ENRA PR$E%ID$ P$R E" RE%ISR$ DE
PR$PIEDAD INE"EC#A"&
*quipo *ditorial 6atem9tica