TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
CONTROL AUTOMATICO I β CAS6201
πΏππ₯(π‘)
ππ‘= π π π β π₯ 0
πΏπ2π₯(π‘)
ππ‘2= π 2π π β π π₯ 0 β π₯ (0)
πΏ π₯(π‘)π(π‘ β π‘0) = πβπ π‘0π(π )
πΏ ππ₯ π‘ + ππ¦(π‘) = ππ π + ππ(π )
Primera derivada
Segunda derivada
Retardo temporal
Linealidad
πΏ π₯ π‘ ππ‘π‘
0
=π(π )
π Integral
c(π‘) β π(π‘) = πΆ π π(π ) ConvoluciΓ³n
Propiedades de Laplace
Transformadas Comunes
πβππ‘ 1
π + π
cos(ππ‘) π
π 2 + π2
sen(ππ‘) π
π 2 + π2
πβππ‘cos(ππ‘) π + π
(π + π)2+π2
πβππ‘π ππ(ππ‘) π
(π + π)2+π2
π΄π(π‘) π΄
π
πΏ(π‘) 1
Transformadas Comunes
β’ Calcular transformadas de las siguientes seΓ±ales:
π π‘ = ππ‘/8
π π‘ = 8π(π‘)
π π‘ = πβ13π‘ + 10πΏ(π‘)
π’ π‘ = 7cos(2ππ‘)
π£ π‘ = 5sen(10ππ‘)
π π‘ β π(π‘)
π’ π‘ β π π‘ + π£ π‘ β π (π‘)
β²ββ² βΆ πΆπππππΏππΆπΌΓπ
Transformadas Comunes
β’ Calcular transformadas de los siguientes sistemas:
Be π‘ + π (π‘) = π’ π‘ + πΆπ’ β π΄π
π¦ π‘ = 3π¦ π‘ + 4π¦ π‘ + π’(π‘)
Funciones de Transferencia
β’ Transferencia es la relaciΓ³n existente entre la salida y la entrada de un sistema
G U Y
π = πΊ(π)
Funciones de Transferencia
β’ Divisor de TensiΓ³n:
πππ’π‘ =π 2
π 2 + π 1πππ
πππ’π‘πππ
=π 2
π 2 + π 1
π 2π 2 + π 1
πππ’π‘ πππ
Funciones de Transferencia
β’ Podemos entender una transferencia como FUNCION, es decir:
β’ Por ejemplo:
π¦ = π»(π’)
π» π’ = 5π’ + 3 H(u) U = 2 Y = 13
Funciones de Transferencia
β’ Se puede definir la FunciΓ³n de Transferencia como:
β’ Siempre y cuando las condiciones iniciales sean iguales a cero.
π» π = π(π )
π(π )
πΏ*β(π‘)+ = π»(π )
Funciones de Transferencia
β’ Respuesta a Impulso β La transformada de Laplace de un impulso unitario es
1 β Entonces:
β’ Entonces la transformada de la respuesta a impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
π π = π» π β πΏ*πΏ(π‘)+ = π»(π )
Funciones de Transferencia
β’ Determinar la salida βyβ en funciΓ³n de βuβ y βpβ.
H
+
+
p
u y
π¦ = π + π»(π’)
Polos y Ceros
β’ Polos: Son las raΓces del denominador de una funciΓ³n de transferencia.
β’ Ceros: Son las raΓces del numerador de una funciΓ³n de transferencia.
πππ π + ππβ1π
πβ1 +β―+ π1π + π0πππ
π + ππβ1π πβ1 +β―+ π1π + π0
Polos
β’ La ubicaciΓ³n de los polos de una funciΓ³n de transferencia en el plano βsβ determina el comportamiento del sistema que modela.
β’ Los polos ubicados en el semi plano izquierdo (SPI) son siempre estables ya que a entradas acotadas se obtienen salidas acotadas mientras que en el semi plano derecho (SPD) sucede al contrario.
Polos
RegiΓ³n Estable RegiΓ³n Inestable RegiΓ³n CrΓticamente
Estable
Polos
πβππ‘ 1
π + π
cos(ππ‘) π
π 2 + π2
sen(ππ‘) π
π 2 + π2
πβππ‘cos(ππ‘) π + π
(π + π)2+π2
πβππ‘π ππ(ππ‘) π
(π + π)2+π2
π΄π(π‘) π΄
π
Polos
β’ Polos Reales:
β’ Polos Imaginarios:
π» π =1
(π + π)(π β π)
πΌπ
π π βπ π
π» π =1
(π 2 + π2)
βπ
π
X
X
X
X
Polos
β’ Polos Complejos conjugados:
πΌπ
π π βπππ
π» π =1
(π 2 + 2πππ +ππ2)
ππ 1 β π2 X
X βππ 1 β π2
ππ
π 1 = βπππ + ππ 1 β π2
π 2 = βπππ β ππ 1 β π2
Polos
β’ DiseΓ±e βaβ y βbβ para que el sistema H sea estable y tenga un polo en el origen.
β’ ΒΏSe puede decir que sea crΓticamente estable?.
π» π =π + π
(π 2 + ππ + π)
Ejercicios
β’ Calcular los polos de los siguientes sistemas e indicar si son inestables:
β’ Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo sistema como entrada del primer sistema el conjunto sea estable.
Be π‘ + π (π‘) = π’ π‘ + πΆπ’ β π΄π
π¦ π‘ = 3π¦ π‘ + 4π¦ π‘ + π’(π‘)
Soluciones en el tiempo
β’ Fracciones Parciales: La idea de este mΓ©todo matemΓ‘tico es separar el denominador de una fracciΓ³n en una suma de fracciones mas simples.
β’ Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los coeficientes de cada orden de βsβ.
β’ Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
πππ π + ππβ1π
πβ1 +β―+ π1π + π0πππ
π + ππβ1π πβ1 +β―+ π1π + π0
=π΄π + π΅
π 2 + π1π + π0+
πΆ
π + π2+β―+
π·
π
Soluciones en el tiempo
β’ Calcular la salida del circuito si la entrada es un escalΓ³n unitario, L=5, C=0,01, R=45.
ππ =ππ
πΏπΆπ 2 + π πΆπ + 1
ππ =20
π (π 2 + 9π + 20)
ππ =1
π +
4
π + 5β
5
π + 4
π£π(π‘) = 1 + 4πβ5π‘ β 5πβ4π‘
Soluciones en el tiempo
β’ Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
π» π =π β 1
(π + 3)(π β 2)
π π =π΄
π + 3+
π΅
π β 2 π΄ π β 2 + π΅ π + 3 = π β 1
π΄ + π΅ = 1
3π΅ β 2π΄ = β1
π΄ =4
5
π΅ =1
5
π π =4/5
π + 3+
1/5
π β 2
π¦ π‘ =4
5πβ3π‘ +
1
5π2π‘
Soluciones en el tiempo
β’ Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
π» π =π + 6
(π 2 + 4π + 13)
π π =(π + 2) + 4
((π + 2)2+9)
π¦ π‘ = πβ2π‘ cos(3π‘) +4
3πβ2π‘ sin(3π‘)
πβππ‘cos(ππ‘) π + π
(π + π)2+π2
πβππ‘π ππ(ππ‘) π
(π + π)2+π2
(π + 2)
((π + 2)2+32) +4
3β
3
((π + 2)2+32)
RecapitulaciΓ³n
β’ La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la ubicaciΓ³n de sus polos, pudiendo ser un sistema: β Estable β CrΓticamente Estable β Inestable
β’ Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se
pueden definir en distintas regiones del plano de Laplace.
β’ Un sistema puede ser identificado mediante su respuesta al Impulso.