Objetivos
Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.)
Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución.
Definir el concepto de S.E.L. homogéneos.
Resolver un S.E.L. mediante el método de eliminación.
Presentar un S.E.L. en forma matricial.
Resolver un S.E.L. con matrices, a través del método de Gauss (matriz escalonada)
pag.: 152 - 163
Introducción: un problema de inversiones
Un inversionista colocó $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindió una tasa de 5% durante el primer año y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer año obtuvo una rentabilidad total del 8%, ¿cuánto invirtió en cada proyecto?
Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables (incógnitas).
Una solución de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuación del sistema se verifica.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Conjunto SoluciónSolución (C.S.) del S.E.L.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Definición
Sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2 ,..., xn :
a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm
.... .. .. ..
Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientesSi los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogéneo.
Interpretación geométrica
Cada ecuación representa una recta:
x + 2y = 72x + y = 8
----------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + y = 8
. (3,2)
El punto de El punto de corte es la corte es la única solución.única solución.
Sistema Sistema compatible - compatible - determinadodeterminado
C.S. = {(3;2)}C.S. = {(3;2)}x
y
x + 2y = 7 2x + 4y = 14
---------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 142x + 4y = 14
Interpretación geométrica
Rectas Rectas coincidentes: coincidentes: infinitas infinitas solucionessoluciones
Sistema Sistema compatible - compatible - indeterminadoindeterminado
C.S. = {(x;y) C.S. = {(x;y) ЄЄ R R22 / x + 2y = 7} / x + 2y = 7}
x
y
x + 2y = 7 2x + 4y = 8
--------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 8
Interpretación geométrica
Rectas paralelas: Rectas paralelas: no admite solución. no admite solución. Sistema Sistema IncompatibleIncompatible
C.S. = C.S. = ØØ
x
y
Determinado: solución única.
Indeterminado : infinitas soluciones.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
COMPATIBLE
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variables
Los métodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse también para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los métodos matriciales.
Una ecuación lineal general con 3 variables es una Una ecuación lineal general con 3 variables es una ecuación de la forma:ecuación de la forma:
ax + by + cz = dax + by + cz = ddonde, a, b, c y d son constantesdonde, a, b, c y d son constantes
Pivot de una fila
Definición:
Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la fila i de la matriz.
niki aa ,,00
ai,k≠0 pivot de la fila i
Matriz escalonada por filas
Definición:Una matriz se llama escalonada por filas si:
1. Todas las componentes que se encuentran debajo del pivot de una fila son ceros.
2. Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz.
Matriz escalonada reducida por filasDefinición:Una matriz se llama escalonada reducida por filas si, además de ser escalonada por filas se cumple que:
1. Todos los pivots son iguales a 1.
2. En cada columna donde el pivot es 1 los otros elementos son iguales a cero.
Ejemplos:
2100
0130
1012
Matriz escalonada por filas
Matriz escalonada reducida por filas
3100
4010
2001
Rango de una matriz
Llamaremos rango de la matriz A, al número de filas no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A.
982
663
325
A Al escalonar se obtiene:
000
**0
***
* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2
OBS:Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS MATRICIAL
Para resolver el sistema, se requiere el Para resolver el sistema, se requiere el uso de la uso de la matriz ampliadamatriz ampliada del sistema, la del sistema, la cual se define como [A:B]cual se define como [A:B]
A.X = BA.X = B
0
2
4
643
171
352
Luego, se sustituye A por la matriz escalonada Luego, se sustituye A por la matriz escalonada equivalente, aplicando operaciones equivalente, aplicando operaciones elementales.elementales.
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS
4242
334
123
22
zyx
zyx
zyx
zyx
4242
3134
1213
2121
0000
55110
5550
2121
Ejemplo:Ejemplo: Resolver el Resolver el sistemasistema
Solución:Solución: la matriz ampliada [A:B] la matriz ampliada [A:B]
0000
55110
1110
2121
0000
6600
1110
2121
0000
1100
1110
2121
1
1
22
z
zy
zyx
~ ~
~ ~
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS
15
322
03
21
21
21
xx
xx
xx
Ejercicios:Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas Resolver los siguientes sistemas
0523
042
zx
zyx
Análisis de un SEL mediante el rango
1.- El sistema es compatible solamente si 1.- El sistema es compatible solamente si rango [A:B] = rango [A]rango [A:B] = rango [A]
2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número 2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número de incógnitas), entonces el sistema tiene de incógnitas), entonces el sistema tiene solución única.solución única.
3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, 3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, entonces el sistema tiene infinitas entonces el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso se eligen n-r soluciones. En este caso se eligen n-r variables libres (parámetros)variables libres (parámetros)
4.- El sistema es incompatible solamente si 4.- El sistema es incompatible solamente si rango [A:B] ≠ rango [A]rango [A:B] ≠ rango [A]