Dados los conjuntos y
El producto cartesiano es
Definiendo la proposición abierta “x es mayor que y”, se obtiene el subconjunto solución :
Para llegar al conjunto solución R, se necesitó: Dos conjuntos A, B y una proposición abierta.
Observemos que el conjunto solución es un subconjunto de ; y se llama Relación.
1. Relación
Con los elementos de una relación se pueden formar dos conjuntos, el formado por las primeras componentes y el formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas; el primer elemento se le denomina Dominio y al segundo Recorrido de la relación.
Sean una función, se define:
DOMINIO: Es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas de un Relación. RANGO: Es el conjunto formado por las segundas com-ponentes de las parejas ordenadas de un Relación.
2. Elementos de una relación
3. Función
Dados los conjuntos M y N, una función f definida en M y tomando valores de N, es una relación que asigna a cada elemento de M un y solo un elemento de N. Para definir una función es necesario tener claro que: Toda Función es una relación, pero no toda relación es una Función. Para denotar que f es un a función del conjunto M en el conjunto N, se escribe:
a) se lee “f de M en N”
b) Para denotar que en la función f, corresponden elementos que pertenecen a los conjuntos, es
decir, y el elemento , se escribe:
Y se lee “la imagen de x por f es y”
Funciones
Para que se cumpla la definición de Función, debemos tener en cuenta: a) Todos los elementos de M deben tener una imagen en N b) Todos los elementos de M pueden tener una imagen y solamente una en N. De acuerdo con lo anterior se puede concluir que los ejemplos 1 y 2 cumplen estas condiciones y por tal razón son Funciones. En el grafico podemos observar que:
Sean una función, se define:
DOMINIO: Son los elementos del conjunto de Partida. En este caso M. CODOMINIO: Son los elementos del Conjunto de Llegada. En este caso N. RANGO: Son los elementos del Conjunto de Llegada que son imágenes de los elementos del Conjunto de Partida.
4. Dominio, co - dominio
y rango
Para las funciones reales, son aquellas que cumplen las siguientes condiciones: a) El dominio es un conjunto de los Números Reales. b) El dominio es un subconjunto de los Números Reales. Las funciones se clasifican de la siguiente manera:
5. Clasificación
de funciones reales
6. Operaciones entre
funciones
A partir de dos funciones definidas en los números reales podemos hallar nuevas funciones.
Sean las funciones reales y
Una función se puede operar con otras funciones, de la siguiente manera:
La suma es otra fun- ción, cuyo resulta-do se obtiene sumando los términos se-mejantes de las funciones dadas. Ejemplo:
Sean y . Hallar
Solución:
f g x
f g x f x g x
xgxfxgf
Diferencia entre funciones
La diferencia otra función, cuyo resultado se obtiene res-tando los términos semejantes de las funciones dadas. Ejemplo:
Sean y
Hallar
Solución:
f g x
xgxfxgf
Suma entre funciones
f g x f x g x
7. Producto de funciones
xgxfxgf
Ejemplo:
Sean y . Hallar
Solución:
f g x
xgxfxgf
Ejemplo:
Sean y .
Hallar
Solución:
Por lo que;
0;
xgxg
xfx
gf
/f g x
0;
xgxg
xfx
gf
Se escribe
se lee g compuesto
se lee f compuesto El dominio es el conjunto de valores de x para los que tengan sentido la operación realizada. Ejemplo:
Sean y .
a. Hallar
b. Hallar
f g x f g x xf
g f x g f x xg
f g x
g f x
8. C
oc
ie
nte
de
fu
nc
io
ne
s
9. Composición funciones