Conjuntos numéricos e intervalos na reta numérica e real
http://youtu.be/WT-XMn4rz9s
Importância dos números no nosso dia a dia.
• O primeiro contato com os números é através da contagem.
• Os números estão presentes nas mais diversas situações do nosso dia a dia.
• Brasil tem 3,6 milhões de crianças e jovens fora da escola • 06/03/2013 - 12h49 • Educação • Mariana Tokarnia • Repórter da Agência Brasil
• Brasília – No Brasil, 3,6 milhões de crianças e jovens entre 4 e 17 anos estão fora da escola. A
maioria (2 milhões) tem entre 15 e 17 anos e deveria estar cursando o ensino médio. O déficit também é grande entre aqueles com idade entre 4 e 5 anos (1 milhão), que deveriam estar na educação infantil.
• Os dados foram divulgados hoje (6) no relatório De Olho nas Metas, do movimento Todos pela Educação (TPE)*. A entidade estabelece que até 2022, 98% ou mais dos jovens e crianças entre 4 e 17 anos estejam matriculados e frequentando a escola.
• que em 2011, ano referente ao levantamento, 94,1% dos brasileiros dentro da faixa etária estivesse • Para que essa meta seja cumprida, seria necessário m na escola. O número atual corresponde a
92%. Em relação aos que ficam de fora, em números absolutos, o estudo os compara a toda a população uruguaia (cerca de 3,4 milhões de pessoas).
Conjuntos numéricos • Os tipos diferentes de números podem ser
organizados em grupos.
• Esses grupos tem nomes, sabendo isso nos vamos entende melhor a linguagem da matemática
Conjunto dos números naturais
Como resolver esta questão
(4 – 6) = ? Para resolver questões como esta, foram criados os números inteiros.
Vamos ver o que acontece com a divisão de números inteiros (Z), será que o
cociente é sempre um número inteiro
dividendos
Nestes casos os dividendos são múltiplos dos divisores e o cociente e sempre um número inteiro.
divisores cocientes
Mas e quando o dividendo não é múltiplo do divisor?
• O resultado é um número decimal exato.
Dividendo não é múltiplo do divisor
Se tentássemos dividir 2:3=
teríamos uma fração
Se tentássemos dividir 1:9,
teríamos uma dízima periódica.
Conjunto dos números racionais (Q)
• Inclui os conjuntos
• Números Inteiros (Z)
• As frações
• Números decimais exatos
• Dizimas periódicas
0,1111 2,5
Característica comum a todos os números racionais (Q)
• Número racional e aquele que pode ser escrito em forma de fração.
• 5 = 5/1 = 10/2 = 15/3
• 0,8 = 8/10 = 4/5 = 12/15
O conjunto dos números naturais (N), está contido no conjunto dos números inteiros (Z),
por sua vez o conjunto dos números inteiros (Z), está contido no conjunto dos números racionais.
Os diagramas abaixo representam de forma bem simples os números: naturais,
inteiros e racionais
Revisando – Conjunto dos números Reais (Q)
• 5 – está na forma de número inteiro.
• 15/3 – 5 na forma fracionária 15:3=5.
• 2,5 – um número racional também pode ser um decimal exato.
• 0,171717...... Ou na forma de dízima periódica.
Reta numérica, números racionais
Número decimal exato e dizima periódica
• São números racionais
A reta e o conjunto dos números irracionais.
• 0,1717171717... Dizima Periódica o período se repete periodicamente, portando um número racional
• 0,1011011101111011111... Não é um número decimal exato, nem uma dízima periódica, são chamados números irracionais.
Número irracional
• Definição: É um número Real que não é racional.
Números irracionais
• Números naturais até 100 que são quadrados perfeitos, possuem raiz quadrada exata.
• 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100
• 2 = quando o radicando não é um quadrado perfeito é um número irracional. Se efetuarmos na calculadora, vamos ter como resultado. 1.414213562373095
Números Irracionais
• Portanto 2 = 1.414213562373095... é um número irracional, o período não se repete e é infinito.
• 3 = 1,73205080... Também é um número irracional, não tem raiz quadrada exata e não é uma dízima periódica.
• 5 = 2.236067977... Outro número irracional
Como representar os números irracionais na reta numérica?
• Já sabemos representar os números racionais na reta numérica.
• Vamos aprender como representar na reta numérica um número irracional 2
Como representar 2 na reta numérica
• Primeiro vamos precisar da ajuda de uma construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo (que tem um dos lados um ângulo de 90⁰) isósceles . Também vamos utilizar o teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
• A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. a² = b² + c²
• hipotenusa
b a
c
Somente para os triângulos retângulos
catetos
Como representar 2 na reta numérica
• a² = b² + c²
• x² = 1² + 1²
• x² = 2
• x² = 2
1
1
x a
b
c
Então chegamos a conclusão que
a medida da hipotenusa é a 2
Como representar 2 na reta numérica
• Com o compasso em zero tomamos a medida da hipotenusa e marcamos na reta numérica
Se girarmos o compasso para esquerda
teremos a localização - 2
Essa representação serviu para mostrar que 2 pode ser representada em um ponto exato.
Vamos tentar um meio mais simples
utilizando como exemplo 5
• Podemos localizar a posição aproximadamente
• Exemplo:
Vamos tentar um meio mais simples utilizando como
exemplo 5
• Vamos lembrar dos números que tem raiz quadrada exata (quadrados perfeitos).
• 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100
Utilizando as raízes exatas acima sabemos que:
4 < 5 < 9
2 < 5 < 3
Raiz quadrada de 4 é 2 e raiz quadrada de 9 é 3, concluímos que raiz quadrada de 5 está entre 2 e 3.
Localizamos nosso ponto, aproximadamente
Podemos melhorar esse cálculo aproximado
• Sabemos que 5 está entre 2 e 3 vamos tentar 2,1
• (2,1)²= 2,1 x 2,1 = 4,41
• Vamos tentar agora com 2,2
• (2,2)²= 2,2 x 2,2 = 4,82 – achamos um valor bem aproximado.
Desmembrando os conjuntos
Conjunto dos números naturais.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
Conjunto dos números naturais não nulos.
N* = {1, 2, 3, 4, 5...}
Conjunto dos números inteiros.
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Conjunto dos números inteiros não nulos.
Z* = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Números Reais Qualquer número racional ou irracional é chamado de número REAL. Podemos dizer portanto, que número real é todo número decimal, finito ou infinito, indica-se por “R” o conjunto dos números reais e R*o conjunto dos números reais não nulos.
R+ = {x | x é número real positivo ou nulo}
R* ̟= {x | x é número real positivo}
R_ = {x | x é número real negativo ou nulo}
R* ̠= {x | x é número real negativo}