Educación para la Vida y el Trabajo • CienciasEducación para la Vida y el Trabajo • Matemáticas
Libro del adulto
Queda prohibido su uso para fines distintos a los establecidos en el programa.
Coordinación académica María Esther Amador Gómez Autoría María Esther Amador Gómez Revisión de contenidos Rosa Elvira Páez Luis Ramírez Flores María de Lourdes Aravedo Reséndiz Sofía Arce y Paredes Rubén Gutiérrez Ramos Alonso Carrillo García
Coordinación gráfica y cuidado de la edición Greta Sánchez Muñoz Adriana Barraza Hernández Seguimiento editorial Tania Fernández Urías María del Carmen Cano Aguilar Revisión editorial Felipe Sierra Beamonte Laura Sainz Olivares Diagramación Abraham Menes Núñez Jesús García Morales
Diseño e ilustración de portada Ricardo Figueroa Cisneros Ilustración María Isabel Gómez Guízar Ricardo Pérez Rovira Gabriel Loyo Romero Ricardo Martínez Hernández Maya Selene García López Alejandro Villalobos González Ismael David Nieto Vital Bruno López Mario Grimaldo González Víctor Sandoval Ibáñez Fotografía Pedro Hiriart y Valencia Este material tiene como antecedente los contenidos de la primera y segunda edición. Primera edición.- Coordinación académica: Araceli Limón Segovia. Autoría: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez, Patricia Limón Segovia, María Mireya Torres Galicia. Colaboradoras: Irma Susana Millán Rojano, Carlos Nicanor Ramos. Revisión de actividades: Rosa Emma González Bernal. Revisión de estilo: José Luis Chagolla Remigio. Lectoras: Fabiola Rubí Márquez Hernández, Mónica Edith Villanueva Vilchis. Coordinación gráfica y cuidado de la edición: Greta Sánchez Muñoz, Laura Sainz Olivares. Diseño: Jaime Baldenegro M., Ricardo Figueroa Cisneros. Diagramación: Gustavo Amador R. Ilustración: José Luis Novoa, Jonathan González, Alejandro Salazar. Fotografía: Pedro Tzontémoc, Christa Cowrie. Segunda edición.- Coordinación académica: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez. Actualización de contenidos: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez, Rosa Emma González Bernal. Revisores: Alicia Ávila Storer, Hugo Espinosa, María de Lourdes Aravedo Reséndiz. Coordinación gráfica y cuidado de la edición: Greta Sánchez Muñoz, Adriana Barraza Hernández, Guadalupe Pacheco Marcos. Revisión de estilo: José Luis Moreno Borbolla. Diseño y formación: Rocío Mireles. Fotografía: Pedro Tzontémoc, Christa Cowrie, Raúl Cano, Dante Bucio. Operaciones avanzadas. Libro del adulto. D.R. 2000 ©Instituto Nacional para la Educación de los Adultos INEA. Francisco Márquez 160, Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140. 3ª edición 2007. Esta obra es propiedad intelectual de su autora y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos. Algunas veces no fue posible encontrar la propiedad de los derechos de algunos textos aquí reproducidos. La intención nunca ha sido la de dañar el patrimonio de persona u organización alguna, simplemente el de ayudar a personas sin educación básica y sin fines de lucro. Si usted conoce la fuente de alguna referencia sin crédito, agradeceremos establecer contacto con nosotros para otorgar el crédito correspondiente. ISBN Modelo Educación para la Vida y el Trabajo. Obra completa: 970-23-0274-9 ISBN Operaciones avanzadas. Libro del adulto: 970-23-0700-7 Impreso en México
Secretaría de Educación Pública
Dirección General de INEA
Dirección Académica
Índice
Estimada persona joven o adulta 6
Propósitos del módulo 7
Estructura del módulo 8
Recomendaciones generales 13
UNIDAD 1 Números con signo 14
1. Fríoocaliente 16
NúmeroscoNsigNos
2. Laatmósfera 25
sumayrestadeNúmeroscoNsigNo
3. ¿enabonos? 33
muLtipLicacióNydivisióNdeNúmeroscoNsigNo
autoevaluacióndelaunidad1 42
UNIDAD 2 Aplicaciones de los números con signo 44
4. Losmeridianos 46
pLaNocartesiaNo
5. “pirámide”,¿negocioofraude? 54
poteNcias
6. alimentosyenergía 65
JerarquíadeoperacioNes
7. Nanotecnología 72
NotacióNcieNtíFica
autoevaluacióndelaunidad2 76
3
4
UNIDAD 3 Expresiones algebraicas 78
8. eltrabajodedonchuy 80 usodeLasLiteraLes
9. underechociudadano 90 reguLaridadesypatroNes
10. Laexperienciahaceladiferencia 103 usodeLLeNguaJeaLgebraico
autoevaluacióndelaunidad3 110
UNIDAD 4 Ecuaciones de primer grado 114
11. conunpocodeingenio 116 NocióNdeecuacióN
12. elcambio 122 ecuacioNesdeLaFormax + a = b y a – x = b
13. aguamalgastada 130 ecuacioNesdeLaFormaax = b y
x
a = b
14. grandesconstrucciones 140 ecuacioNesdeLaFormaax + b = c y
x
a + b = c
autoevaluacióndelaunidad4 150
UNIDAD 5 Relaciones en plano cartesiano 154
15. botellallena 156
probLemascoNdosvariabLes
16. ¡Factura! 163
gráFicadeLareLacióNeNtredosvariabLes
17. ¿cuálleconvienemás? 171
probLemascoNdosvariabLes
autoevaluacióndelaunidad5 178
5
UNIDAD 6 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 182
18. yoloxóchitl 184resoLucióNdesistemasdedosecuacioNescoNdosiNcógNitasporLosmétodosdesustitucióNydesumayresta
19. Latiendafamiliar 195 resoLucióNdesistemasdedosecuacioNescoNdosiNcógNitas
porLosmétodosdesustitucióN,desumayrestaygráFico
autoevaluacióndelaunidad6 206
UNIDAD 7 Monomios y polinomios 210
20. cuandoelríocorre 212 NocióNdemoNomioypoLiNomio
21. carpetas 218 sumayrestademoNomiosypoLiNomios
22. reparticióndetierra 225 muLtipLicacióNdemoNomiosydeuNpoLiNomio
poruNmoNomio
autoevaluacióndelaunidad7 232
UNIDAD 8 Teorema de Pitágoras 234
23. evalúesumasacorporal 236 poteNciascuadradas
24. grandespuentes 243 teoremadepitágoras
autoevaluacióndelaunidad8 250
Autoevaluación del módulo 254Respuestas del módulo 268Respuestas a la Autoevaluación del módulo 345
6
Estimada persona joven o adulta
Nos da gusto que haya
decidido continuar sus estudios
de educación básica en el
Instituto Nacional para la
Educación de los Adultos.
Usted ha elegido el módulo
Operaciones avanzadas.
Al resolver las actividades
que en él se plantean,
aplicará lo que ha aprendido
en su vida diaria.
7
Propósitos del módulo
enestemódulo,usted:
• Leerá,escribiráycompararánúmerosconsigno.
• realizaráoperacionesdenúmerosconsigno.
• emplearáelplanocartesianoparaubicarpuntosapartirdesuscoordenadas,
yviceversa,apartirdeunpuntoencontrarálascoordenadas.
• conocerá el lenguaje algebraico y utilizará letras para representar
variables.
• resolveráproblemasque involucranelplanteamientoy la resoluciónde
ecuacionessencillasdeprimergradoconunaincógnita.
• resolveráproblemasque involucranelplanteamientoy la resoluciónde
sistemasdedosecuacionescondosincógnitas.
• resolverásistemasdedosecuacionescondosincógnitasporlosmétodosde
sustitución,sumayrestaygráfico.
• resolveráproblemasaplicandoelteoremadepitágoras.
8
Estructura del móduloEl módulo Operaciones avanzadas contiene los siguientes materiales:
Libro del adulto
Las unidades que conforman el Libro del adulto se integran con actividades
relacionadas con situaciones de la vida cotidiana.
Las actividades se identifican con un logo que permite visualizar la principal tarea
matemática a desarrollar:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
c
M-M+
Mr
%x
7 8 9
4 5 6
1 2 3
. 0 =
+
on off
9
Propósito:enuncialoqueseesperaqueusted
logrealrealizarlasactividades.
Número y nombre:identificanlaactividad.
Recuperar y compartir experiencias:se
realizan preguntas relacionadas con diversas
actividadesdondeseutilizaelcontenidoatratar.
Presentación: información breve que da la
oportunidaddesaberalgomássobreunhechoo
situaciónenlaquesevaatrabajarelcontenido.
Situación problemática inicial:sepresenta
unasituaciónqueustedresuelveconsuspropias
estrategias.
Cómo resuelve otra u otras personas una
situación similar: seincluyenejemplosde
cómootrapersonaresuelveunproblemasimilar
alpropuestoinicialmente.
Resolvamos otros problemas:ustedresolverá
problemas en los que requiere aplicar lo
aprendidoeneldesarrollodelaactividad.
10
Cierre:presentainformaciónsobreelcontenido
matemáticodesarrolladoenlaactividad.
Autoevaluación de la unidad:enestasección
usted resolverá problemas que requieren que
apliqueloaprendidoenlaunidadcorrespondiente,
conloqueustedpodráautoevaluarsusaprendizajes
altérminodecadaunidad.
11
Autoevaluación del módulo:enestasección
usted resolverá problemas que requieren que
aplique lo aprendido al estudiar el módulo
Operaciones avanzadas.
Compare sus respuestas: presentalasrespuestascorrectasalaspreguntasyproblemasdecada
actividad,asícomolasrespuestasalaautoevaluacióndecadaunidad.
Respuestas a la Autoevaluación del módulo:presentalasrespuestascorrectasalosproblemas
planteadosenlaautoevaluacióndelmódulo.
Hoja de avances:enestahojasuasesorregistrarálosavancesqueustedtienealdesarrollarlas
actividadesdecadaunidad.
Nodesprendaestahojadesulibroporqueselapediránalpresentarsuexamendeacreditación
delmódulo.
elLibrodeladultorelacionalosmaterialesdelmódulo,indicacuándoutilizarlacalculadora,
realizarunalecturadelarevistaojugar.
12
Revista Lecturas de matemáticas
contienelecturasrelacionadasconlahistoriadelasmatemáticas,laexistenciaderegularidades
ylautilidadquetienenennuestravidacotidiana.
Folleto de juegos
contienejuegosquelepermitirándesarrollarsushabilidadesymejorarsusestrategiaspararesolver
problemasrelacionadoscontemasdelmóduloOperaciones avanzadas.
Calculadora y regla
La calculadora es un instrumento que usted utilizará para hacer cuentas y verificar sus
resultados.
Lareglaesuninstrumentobásicoparatrazarlíneas.enestemódulolarequerirácontinuamente
enlaelaboracióndegráficas.
Guía del asesor
contieneorientacionesgeneralessobresuaprendizaje.déselaasuasesor.
Al recibir su módulo Operaciones avanzadas revise su contenido, si le falta
algún material, solicítelo a su asesor, promotor de la Plaza comunitaria o
técnico docente.
13
Recomendaciones generales
• Lea con cuidado la actividad que va a resolver.
• Si es posible, comente con sus compañeros y su asesor o asesora de qué trata la actividad y cómo
resuelve usted los problemas que se proponen en ella.
• Resuelva las actividades y al término de cada una verifique sus respuestas en la sección
Compare sus respuestas del Libro del adulto.
• Utilice la Revista Lecturas de matemáticas, el Folleto de juegos, la calculadora y la regla
cuando se le indique en este libro.
• Al terminar de resolver los problemas de una unidad, conteste en el Libro del adulto la
autoevaluación de la unidad correspondiente y compare sus respuestas con las que se
incluyen en este libro.
• Al concluir todas las actividades, resuelva la Autoevaluación del módulo. Al final del libro
encontrará las respuestas a la autoevaluación.
Recuerde consultar a su
asesor si tiene dudas sobre
un tema en particular.
Recuerde consultar a su asesor si tiene dudas sobre una actividad en
particular.
Para que obtenga el mejor
resultado al trabajar este módulo,
le sugerimos lo siguiente:
UNIDAD 1UNIDAD 1Números con signo
En esta unidad, usted:
• Leerá, escribirá y comparará números con signo.
• Sumará y restará números con signo.
• Multiplicará y dividirá números con signo.
16
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
¿Cómo es el clima del lugar donde usted vive? ¿Es frío o caliente? ¿Alguna vez ha tiritado
de frío o se ha sentido de mal humor por el calor? Comente con su asesor.
El clima en nuestro planeta es variable; por ejemplo, en algunos lugares de Chihuahua hay tem-
poradas en que se registran temperaturas de 48 °C (centígrados), y otras en las que se llega hasta
8 °C bajo cero.
1 Observe las temperaturas registradas en un día de invierno en distintos lugares de la República
mexicana. Después conteste las preguntas que se plantean.
Propósito: Usted leerá, escribirá y comparará números con signo.
Actividad 1 Frío o caliente
-20
-10
0
10
20
30
°C
Chihuahua
-20
-10
0
10
20
30
Distrito Federal
°C
-20
-10
0
10
20
30
San Luis Potosí
°C
-20
-10
0
10
20
30
Saltillo
°C
-20
-10
0
10
20
30
Cuernavaca
°C
17
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
A) ¿Qué ciudad tuvo la temperatura más alta el día que se realizaron dichos registros?
¿Cuál la más baja?
B) ¿Qué ciudad tuvo una temperatura igual a cero grados centígrados?
C) ¿Qué ciudades tuvieron temperaturas más altas que Saltillo y San Luis Potosí?
D) ¿Qué significa que una ciudad, comunidad o región tenga una temperatura bajo cero?
E) ¿De qué otra manera puede usted escribir 2 °C bajo cero?
F) Comente con sus compañeros y asesor el tipo de problemas que enfrentan los habitantes de
un lugar con una temperatura bajo cero.
18
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
si tuvo alguna dificultad para contestar las preguntas anteriores, observe el razonamiento de
Juanyandrésalleerunanoticiadelperiódico.
¡Vamos a ver! Si dijera 13 °C, significaría que
está por arriba del cero, es decir, positiva
y que puede escribirse como 113 °C, pero
como dice 13 °C bajo cero significa que la
temperatura está por debajo del cero y se
puede escribir como 213 °C.
Tienes razón, pero,
¿eso quiere decir que la
temperatura en Quebec,
Canadá, es mucho más
baja que en las ciudades
mexicanas?
Fuente:periódicoEl Universal,domingo6demarzode2005,p.1J.
19
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Resolvamos otros problemas
2 useelsigno1pararepresentartemperaturasarribadelceroyelsigno2pararepresentar
temperaturasbajocero.
a) 3 °carribadelcero
b) 18 °cbajocero
c) 40 °cbajocero
d) 1 °cbajocero
e) 2 °carribadecero
F) 36 °carribadecero
-20
-10
0
10
20
30
40
50°C
Así es, ve el termómetro, 213 °C está por
abajo de 24 °C, que es de las temperaturas
más bajas registradas en nuestro país.
Y mucho más baja que 8 °C, que es la
temperatura registrada en un día de invierno
en la capital de la República mexicana.
20
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
3 Losrefrigeradorescaserosconservanlosalimentosa24 °c(centígrados).¿esunatemperatura
arriba de cero o bajo cero?
¿porqué?
4 elplanetatierratieneunacapadegasesllamadaatmósfera,sinestacapalatemperaturadela
tierraseríaaproximadamentede218°c.¿estaríaporabajooporarribadelatemperaturaala
queustedestáacostumbrado?
5 ordenedemayoramenorlassiguientestemperaturas,todasengradoscentígrados:16,28,
0,216,7,140,100,22,21,3,19,2.
6 La temperaturaa laquehierveelaguaes100 °cya laque secongelaes0 °c.escriba
las temperaturas usando el signo 1 si es mayor que cero y el 2 si es menor que cero.
• Losnúmeros naturalessonel1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...
• Los números enteros incluyen a los naturales, al cero y a los números negativos:
...26,25,24,23,22,21,0,1,2,3,4,5,6,....
• Losnúmeros positivospuedenonoserprecedidosporelsigno+.
por ejemplo: 15, 19, 1234, 47, 8 945 son números positivos. y, generalmente
representanunaumentooincremento.
• Losnúmeros negativossiemprevanprecedidosdelsigno2.porejemplo:26,29,
247,2678 sonnúmerosnegativos. ygeneralmente seutilizanpara representaruna
disminuciónodecremento,unadeuda,unapérdida,etcétera.
21
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
analicelasiguienteinformaciónyrealiceloquesepide.
sedicequehaydéficitcuandolosgastosdeunapersona,
familia o sociedad son mayores a la cantidad de dinero
queganaorequiereparasatisfacersusnecesidades.
porelcontrario,sedicequehaysuperávitcuandolosingresossonmayoresalosgastos.
elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90.
a) ¿quétipodeinformaciónsepresentaenlatabla?
b) ¿quégrupogastamásenalimentosporpersonaaldía?
¿cuálmenos?
c) ¿Haypalabrasenlatablacuyosignificadonoconozcausted?
¿cuáles?
La pobreza alimentaria de los no pobres of iciales
GruposGasto Alimentario (GA)
por persona al día$
Déf icit o superávit con relación al Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria
(CCNA)$
Medio urbano3 10.70 210.204 12.20 28.705 14.40 26.506 14.50 26.407 16.90 24.008 18.90 22.009 22.50 1.60
10 32.80 11.90
Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.
22
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
d) busqueensudiccionarioycomenteconsuasesor
oasesoraelsignificadodealgunostérminosde
latabla.
e) ¿quénúmerosnegativosidentificaenlatabla?
¿quérepresentaelsigno2enelcontextodela
informacióndadaenlatabla?
F) ¿quérepresentanlascantidadespositivas?
g) ¿quécantidaddedinerorequierenlosintegrantesdelgrupo8paracubrirelcostoporpersona
delacanastaNormativaalimentariaurbana?
8 elcostodelacanastaNormativaalimentariaruralesde$15.40.siunapersonasólotiene
$8.20paracomidaaldía,¿quécantidaddedinerolefaltaparacubrirelmínimosupuesto?
a) ¿quésignolecolocaríapararepresentarlo?escribalacantidadusandodichosigno.
9 ordenedemenoramayorlossiguientesnúmeros:
26.4,11.9,24.0,22.0,28.7,1.6,210.2,26.5,27.8,5.7,22.9,25.5,4.0
a) ahora,ubíquelosenlasiguienterectanumérica.
b) ¿quénúmerosestánalamismadistanciadelceroperoensentidosopuestos?
212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
23
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
10 siustedgasta$35.00aldíaygana$35.00pordía,¿cuántodinerolequeda?
11 coloqueelsímbolo=(igual),>(mayorque)o<(menorque)entrecadapardenúmeros:
26.4 11.9 24.0 22.0 28.7 1.6
210.2 26.5 27.8 5.7 22.9 25.5
28.7 28.7 1.6 26.4 26.5 25.7
4.0 24.0 11.9 11.9 24.0 24.0
11.9 28.7 25.5 22.0 210.2 5.7
12 escribaunposiblenúmerosegúnloindiqueelsímbolo> (mayor que)o<(menorque).
9.3 > 28.9< 0 <
0 > 17.8> 223.9<
• Losnúmerospositivosynegativossonllamadosnúmerosconsigno.
• Los números con signo pueden ser representados en la recta numérica de la forma
siguiente:
• elceromarcaladivisiónentrelosnúmerosnegativosypositivos.alaizquierdadelcerose
representanlosnegativosyaladerechadelcero,lospositivos.
01 2 3 44 3 2 1
12
121
4
14
24
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
• elceronoespositivoninegativo.
• Losnúmerosdecimalescomo1.2ó23.5seencuentranentredosnúmerosenteros:
• Los números que tienen signo positivo se leen anteponiendo la palabra “más”. por
ejemplo,125seleemásveinticinco.
• Losnúmerosquetienensignonegativoseleenanteponiendolapalabra“menos”.por
ejemplo,27seleemenossiete.
• cadanúmerosobrelarectanuméricatieneunsimétrico,yesaquelqueseencuentra
a la misma distancia del cero que el número inicial, pero en sentido opuesto. por
ejemplo,al116lecorrespondeelnúmero216,yviceversa.
• cadapuntodelarectanuméricarepresentaunnúmero.
• sihaydospuntosaybenlarectanumérica,puedensucedertrescosas:
- siasesobreponea b,entoncesa=b.
- siaestáaladerechadeb,entoncesa>b.
- siaestáalaizquierdadeb,entoncesa<b.
Lossímbolossignifican:=(igual),>(mayorque)y<(menorque)
4 3 2 11.53.5
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18160
25
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
¿sabeaquéalturaconrespectoalniveldelmarviveusted?¿algunavezhasentidolos
efectosdelcambiodepresiónydetemperaturaalviajardeunlugaraotro?comente
consuasesoroasesora.
elplanetatierra tieneunacapagaseosa llamadaatmósfera.Laatmósferaejerceunapresión
sobrelatierraytodoloqueenellaseencuentra;además,regulalatemperaturaenlasuperficie
delatierra.
1 Lealasiguienteinformación.
Latemperaturaylapresióndelairecambianconlaaltura(altitud).aunquelatemperaturano
dependesólodelaaltura,sinodeltipodesueloydelasnubes,entreotrosfactores.
Propósito: Sumará y restará números con signo.
Actividad 2La atmósfera
26
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
conbaseenlainformaciónanterior,contestelassiguientespreguntas.
a) ¿a qué altura con respecto al nivel del mar hay mayor presión
atmosférica?
b) ¿aquéalturaconrespectoalniveldelmaresposibleencontraruna
temperaturade217.5 °c?
c) ¿cuálesladiferenciaentrelatemperaturamedidaa2 000metrosde
alturaylamedidaa5 000?
d) ¿cuálesladiferenciaentrelatemperaturamedidaa5 000 metros
dealturaylamedidaa8 000?
e) unaviónregistróunatemperaturaambientalexternade211 °cy
unosminutosmástardeaumentó13 °c.¿quétemperaturaalcanzó
el ambiente externo? ¿estaba subiendo o bajando el
avión?
0
10
- 10
- 20
- 30
- 40
°C
Altura en metros con respecto al nivel del mar
Presión en milímetros de mercurio (mm Hg)
Temperatura en grados centígrados (°C)
8 000 266.9 237.0
6 000 353.8 224.0
5 000 405.1 217.5
4 000 462.3 211.0
3 000 525.8 24.5
2 000 596.2 2.0
1 000 674.1 8.5
0 760 15
Fuente:http:omega.iLce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/102/htm/sec_5.htm
27
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
si tuvo alguna dificultad para contestar las preguntas anteriores, observe la forma en que lo
hacenmaríayJacinto.
Yo uso una recta numérica para realizar operaciones.
Para sumar (27) 1 (22), coloco mi pluma en 27 y la muevo 2
unidades a la izquierda, pues el 2 tiene un signo negativo. Así
llega al 29, por lo que (27) 1 (22) = 29.
Muy bien, pero si hubieras sumado 12,
hubieras tenido que mover tu pluma 2
unidades a la derecha, (27) 1 (+2) = 25.
Si la temperatura ambiente es 7.5 °C y
necesitamos congelar un alimento a 218 °C,
¿cuántos grados hay de diferencia?
Para saberlo, coloco mi pluma en 7.5 y la
muevo hacia abajo, contando cuántas
unidades hay hasta encontrar el 218.
Esto quiere decir que entre 7.5 °C y 218 °C
hay 25.5 °C de diferencia.
Lo cual se puede representar así:
(17.5) 2 (218) = 25.5
- 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 100
0°
10°
- 10°
- 20°
20°
28
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Resolvamos otros problemas
2 Las integrantes de una cooperativa que hace muñecas
compararonlospreciosalosquecomprabanelañopasado
susmaterialesconelprecioalquecompranesteaño.
conbaseenlainformaciónanterior,realiceloquesepide.
a) comparadoconelañopasado,¿cuántomáscuestaelrollodelistónesteaño?
b) ¿cuántobajódeprecioelcarretedehilo? ¿porquéelcambioestárepresentado
conunsignonegativo?
c) ¿cuántodinerogastaránmásesteañoalcomprar2 rollosde listóny4 carretesdehilo?
d) ¿porquéelcambiodelpreciodelpardeojitosestárepresentadopor-----?
e) ¿cuánto dinero más gastarán al comprar5 metros de dubetina y5 docenas de botones?
F) ¿Lacooperativatendráquesubirobajarelpreciodelasmuñecas? ¿porqué?
Material Cantidad Año anterior$
Año actual$
Variación$
Listón rollo 75 89 114
Botones docena 6 5 21
Tafetán (tela) metro 8 10 12
Dubetina (tela) metro 25 31 16
Ojitos par 3 3 ----
Hilo carrete 7 5 22
29
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
elvalor absoluto deunnúmeroes ladistanciadedichonúmerocon respectoal
origen,esdecir,alcero.porejemplo,elvalorabsolutode8y28es8,porqueambos
seencuentrana8unidadesdelorigen.
parasumar dos números con el mismo signo,sesumanambosnúmerosyse
dejaelmismosigno.
ejemplos.
(19) 1 (17) = 116
(29) 1 (27) = 216
parasumar dos números con signo diferente, se restaelnúmerodemenor
valorabsolutoaldemayorvalorabsolutoysedejaelsignodelnúmerodemayorvalor
absoluto.
ejemplo.
(25) 1 (112) = 17
•
•
•
- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10
0
3 realicelassiguientessumas.
a) (19)1(25)= b)(112)1(8)= c)(23)1(19)=
d) (216)1(235)= e)(142)1(218 )= F)(254)1(289)=
g) (191)1(215)= H)(274)1(348)= i) (2743)1(166)=
30
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
4 analiceeltalóndepagoderosalíayrealiceloqueselepide.
a) ¿quéconceptosrepresentaningresospararosalía?
b) ¿cuántolepaganpordichosconceptos?
c) ¿porcuántosconceptoslehacendescuentos?
d) ¿cuántoledescuentanentotal?
e) ¿cuántodinerocobrórosalíaenlaquincena?
5 graciasalaatmósfera,latemperaturapromediodelatierraesde15 °c.sinlaatmósfera,
latemperaturadelatierraseríaaproximadamentede218 °c.¿cuántosgradoshabríade
diferenciaenlatierra?
6 Las fechasdenacimientodealgunosmatemáticos importantes son:Fermat,1601n.e.;
gauss,1777n.e.;pitágoras,572a.e.;eratóstenes,273a.e.;pappus,300n.e.;cantor,
1845n.e.;euclides,300a.e.
entradibujodeuntalóndepago.
31
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
a) en la recta siguiente ubique las fechas de nacimiento en el tiempo. recuerde que el
nacimientodeJesucristofueenelaño0,puesmarcaeliniciodelanuevaera,yquea.e.
significaantesdenuestraerayn.e.significanuestraera.
b) escribalasfechasdenacimientousandolossignos1y2enlugardelassiglasn.e.ya.e.
c) calcule cuántos años han pasado del nacimiento de cada uno de los matemáticos a la
fecha.
Fermat, ; gauss, ; pitágoras, eratóstenes,
;pappus, ;cantor, ;euclides, .
7 estudieycomparelassiguientessumasyrestas.
(19)1(23)=16 (19)2(13)=16
(19)1(13)=112 (19)2(23)=112
(29)1(23)=212 (29)2(13)=212
(29)1(13)=26 (29)2(23)=26
a) ¿quéresultadoobtieneal sumar23a9? ¿ycuál si resta13almismo
número?
b) ¿qué resultadoobtieneal sumar13 a9? ¿y cuál si resta23 almismo
número?
c) ¿esciertoquealsumar13daelmismoresultadoquealrestar23,yquealsumar–3da
elmismoresultadoquealrestar13?
500-500-1500 15000 1000 2000-1000
Gauss, 1777 n.e.
32
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
pararestar números con signo,secambiaelsignodelsustraendoyseprocedecomo
enlasumadenúmerosconsigno.
ejemplos.
(18) 2 (17) = 1 es igual que (18) + (27) = 1
(29) 2 (24) = 25 es igual que (29) 1 (14) = 25
•
8 realicelassiguientesrestas.
a) (119)2(28)= b)(217)2(18)= c)(239)2(19)=
d) (261)2(235)= e)(142)2(218)= F)(250)2(289)=
g) (196)2(125)= H)(247)2(34)= i)(2743)2(166)=
enresumen:
parasumardosnúmerosdeigualsigno,sesumanyquedaelmismosigno.
ejemplo.
(239)1(210)=249
parasumardosnúmerosdediferentesigno,serestaelnúmerodemenorvalorabsolutoal
demayorvalorabsolutoyquedaelsignodelnúmerodemayorvalorabsoluto.
ejemplo.
(245)1(125)=220
para restarnúmeros con signo, se cambia el signodel sustraendo (en formamental o
escrita)yseprocedecomoconlasuma.
ejemplo.
pararestar:
minuendo 219 2192
sisecambia1
sustraendo 27 enformaescrita 1 7
resta o diferencia 212 212
•
33
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
¿Hacompradoustedacréditooenabonos? ¿Lospagosqueha realizado son fijose
iguales?comenteconsuasesoroasesora.
en ocasiones, la poca liquidez de nuestra economía nos obliga a comprar cosas en abonos.
generalmente,lastiendasquevendenenabonosagreganunporcentajedeinterésalpreciofinal
ylodividenenunciertonúmerodepagos.
1 analicelassiguientessituacionesyutilizandonúmerosconsignorealiceloquesepide.
a) siestablececomocerolas0horasdeldíadehoy,¿dóndeubicaría3semanasantesenuna
rectanumérica?
b) ¿dónde8semanasdespués?
¿porqué?
c) escriba3semanasantesusandounnúmeroconsigno ;y8semanasdespués
d) ubique23y18enlasiguienterectanumérica.
e) usandosignos(1y2)representeundepósitoalbancode$100.00
unadeudade$100.00
F) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:
Juanplaneaahorrar$100.00cadamesdurante6meses.¿cuántodineroahorrará?
Propósito: Usted multiplicará y dividirá números con signo.
Actividad 3¿En abonos?
0
34
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
g) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:
Los abonos del televisor son de $100.00. Juan
todavíadebe6pagos,¿cuántodinerodebeJuan?
H) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:
Juanhaahorrado$100.00cadamesdurantelosúltimos6meses.¿cuántodineromenos
teníahace6meses?
i) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:
Juanhagastado$100.00cadamesdurantelosúltimos6meses.¿cuántodineromástenía
hace6meses?
35
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Los vecinos han ahorrado $300.00
semanales durante las últimas 3 semanas.
¿Cuánto dinero menos tenían hace 3
semanas?
(1300) 3 (23) = 2900
tenían $900.00 menos de lo que ahora
tienen.
¡Mmmmm! Si ahorramos $200.00 a
la semana durante 8 semanas:
(1200) 3 (18) = 1 600
tendremos $1 600.00
analicelosrazonamientosquesilviayricardorealizanantesituacionescomolasanteriores.
Mi hermano Antonio ha gastado
de sus ahorros $600.00 semanales
durante las últimas 5 semanas.
¿Cuánto dinero más tenía antes de
empezar a gastar?
(2600) 3 (25) = 13 000
es decir, tenía $3 000.00 más.
En cambio, los abonos semanales
de la lavadora son de $50.00
y todavía debemos 8 abonos,
¿cuánto debemos aún?
(250) 3 (18) = 2400
es decir, todavía debemos $400.00
36
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Resolvamos otros problemas
2 analicesiguienteinformación,despuésrealiceloqueselepide.
sedicequehaydéficitcuandolosgastosdeunapersona,familia,osociedadsonmayoresala
cantidaddedineroqueganaorequiereparasatisfacersusnecesidades.
porelcontrario,sedicequehaysuperávitcuandolosingresossonmayoresalosgastos.
• paramultiplicar dos números que tiene el mismo signo,semultiplicanambosnúmerosyquedasignopositivo.ejemplos. (16)3(18)=148
(29)3(27)=163• para multiplicar dos números que tienen signo diferente, se multiplican
ambosnúmerosyquedasignonegativo.ejemplos. (25) 3 (112) =260
(116)3(215)= 2240
La pobreza alimentaria de los no pobres oficiales
Grupos Gasto Alimentario (GA) porpersona al día
$
Déficit o superávit con relación al Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria (CCNA)
$
Medio urbano3 10.70 210.204 12.20 28.705 14.40 26.506 14.50 26.407 16.90 24.008 18.90 22.009 22.50 1.60
10 32.80 11.90
Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.
37
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90.
a) ¿cuáleselcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbana(ccNa)?
b) ¿cuáleselgastoalimentario(ga)porpersonaaldíadelgrupo5?
c) unapersonadelgrupo5,¿quédéficittieneconrelaciónalccNa?
d) ¿cuáleseldéficitdiariodeunafamiliadelgrupo5quetiene6integrantes?
e) ¿cuáleseldéficitdiariodeunafamiliadelgrupo3quetiene4integrantes?
F) una familia del grupo7 tiene un déficit diario de2$20.00, ¿cuántos integrantes son?
g) una familia del grupo6 tiene un déficit diario de2$38.40, ¿cuántos integrantes son?
H) unafamiliade3integrantestieneundéficitdiariode2$26.10.¿cuálessudéficitdiario
porpersona? ¿aquégrupopertenecelafamilia?
i) ¿cuáleselsuperávitdiariodeunafamiliadelgrupo10quetiene3integrantes?
J) unafamiliadelgrupo9tieneunsuperávitde$11.20diarios,¿cuántosintegrantesson?
38
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
3 analiceycomparelassiguientesoperaciones,despuéscontestelaspreguntasquesehacen.
(16)3(14)=124 porloque (124)4(16)=14
(26)3(14)=224 porloque (224)4(26)=14
(26)3(24)=124 porloque (124)4(26)=24
(16)3(24)=224 porloque (224)4(16)=24
a) aldividirdosnúmerosquetienenelmismosigno,¿quésignolequedaalcociente(resultado)?
b) aldividirdosnúmerosquetienendiferentesigno,¿quésignolequedaalcociente(resultado)?
observeelrazonamientodeLucyacercadeladivisióndenúmerosconsigno.
Si conozco el producto y uno de los factores de la multipli-
cación, entonces puedo encontrar el factor desconocido
dividiendo el
producto entre el factor conocido.
Esto es: factor 15 factor 3 8 entonces: 120 4 8 = 15 120
Veo que:
(19) 3 (13) = 127 entonces (127) 4 (13) = 19
(29) 3 (13) = 227 entonces (227) 4 (13) = 29
(29) 3 (23) = 127 entonces (127) 4 (23) = 29
(19) 3 (23) = 227 entonces (227) 4 (23) = 19
También observo que al dividir dos números que tienen el mismo signo, el
resultado o cociente lleva signo positivo. Pero al dividir dos números que tienen
signo diferente, el resultado o cociente lleva signo negativo.
39
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
4 realice mentalmente las siguientes operaciones. después verifique sus resultados con la
calculadora.
a) (19)3(18)=
d) (210)3(130)=
g) (16)3(212)=
J) (260)3(130)=
m) (145)4(25)=
p) (1100)4(125)=
s) (2300)4(215)=
v) (1525)4(25)=
5 analiceeltalóndepagodeestebanycontestelaspreguntas.
a) ¿cuántopagaporsegurosocialalmes?
b) ¿cuántopagadeimpuestosobrelarentaanualmente?
c) ¿cuántocobraalaquincena?
b) (15) 3 (28)=
e) (115) 3 (14)=
H) (134) 3 (24)=
K) (241) 3 (25)=
N) (260)4(13)=
q) (1200)4(225)=
t) (270)4(135)=
W) (2180)4(23)=
c) (29)3(11)=
F) (17)3(210)=
i) (214)3(6)=
L) (120)3(221)=
o) (160)4 (212)=
r) (290)4 (230)=
u) (1120)4 (260)=
X) (2160)4 (220)=
40
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Multiplicación
elproductodedosfactoresconelmismosignoespositivo:
(1)3(1)=1
(2)3(2)=1
ejemplos.
(15)3(19)=145
(25)3(29)=145
elproductodedosfactoresconsignodiferenteesnegativo:
(1)3(2)=2
(2)3(1)=2
ejemplos.
(15)3(29)=245
(25)3(19)=245
División
elcocientededosnúmerosconelmismosignoespositivo:
(1)4(1)=1
(2)4(2)=1
ejemplos.
(145)4(19)=15
(245)4(29)=15
elcocientededosnúmerosconsignodiferenteesnegativo:
(1)4(2)=2
(2)4(1)=2
ejemplos.
(145)4(29)=25
(245)4(19)=25
•
•
•
•
41
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Para saber más
ensurevistaLecturasdematemáticaslea“Números,númerosymásnúmeros”ycontestelas
siguientespreguntas:
1. ¿cómosellamanlosnúmerosqueusamosparacontar?
2. ¿cómosurgenlosnúmerosfraccionarios?
3. ¿quéotrotipodenúmerosconoceusted?
4. ¿Lepareceinteresantelahistoriadelosnúmeros?
5. ¿seledificultaaustedpensarennúmerosnegativos?
desarrollesushabilidadesdepensamientoresolviendo“Labrecha”ensuFolletodejuegos.
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
Autoevaluación Unidad 1resuelvalossiguientesproblemas.
1 analicelainformaciónsiguiente.
elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90ydelaruralde
$15.40.Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.
conbaseenlainformaciónanterior,realicelosiguiente.
a) ¿cuáleselcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariarural?
b) ubique en la siguiente rectanumérica losdéficits y superávits alcanzadospor losgrupos
urbanosyrurales.observeelejemplo.
42
La pobreza alimentaria de los no pobres oficiales
Grupo
GastoAlimentario
(GA) porpersona al día
$
Déficit o superávit con relaciónal
Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria (CCNA)
$
Grupo
Gasto Alimentario
(GA) porpersona al día
$
Déficit o superávit con relación al Costo por
Persona de la Canasta Normativa Alimentaria
(CCNA)$
Medio urbano Medio rural5 14.40 26.50 5 7.6 27.8
6 14.50 26.40 6 8.2 27.2
7 16.90 24.00 7 9.9 25.5
8 18.90 22.00 8 12.5 22.9
9 22.50 1.60 9 14.6 20.8
10 32.80 11.90 10 21.1 5.7
- 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80
Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo
c) escribalossímbolos>(mayorque)o<(menorque),segúnseaelcaso.
11.9 26.5 27.8 15.7
26.5 26.4 27.2 25.5
20.8 11.6 25.5 15.7
d) unapersonadelgrupo7ruralyotradelgrupo7urbano,¿quédéficittienenjuntas?
e) comparandoelgrupo5delmediourbanoconeldelrural,¿cuáltienemayordéficit?
F) comparandocadagrupodelmediourbanoconsurespectivogruporural,¿cuálmediotiene
mayordéficit?
g) unafamiliade5integrantesdelgrupo8rural,¿quédéficitdiariotiene?
H) una familia del grupo 9 rural tiene un déficit diario de 2$4.00, ¿cuántos integrantes
son?
2 consucalculadora,resuelvalassiguientesoperaciones.
(1234)1(1897)= (1456)1(2983)=
(2895)1(13 456)= (2789)1(28 346)=
(1784)2(1578)= (2984)2(1456)=
(2324)2(21 235)= (1429)2(2342)=
(1379)3(1832)= (2956)3(2123)=
(2735)3(1196)= (1919)3(2548)=
(1894)4(1222)= (2934)4(224)=
(2467)4(1106)= (11 025)4(2125)=
43
44
UNIDAD 2UNIDAD 2 En esta unidad, usted:
• Ubicará puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas (x, y); y viceversa, a partir de la posición de un punto en el plano obtendrá las coordenadas correspondientes.
Aplicaciones de los números con signo
45
• Resolverá problemas que involucran potencias.
• Utilizará la jerarquía de operaciones (incluyendo potencias).
• Utilizará la notación científica con exponentes enteros positivos y negativos.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
46
¿sabeustedcómoselocalizanpuntosenlatierra?,¿algunavezhavistounglobo
terráqueo?comenteconsuasesoroasesora.
Propósito: Usted ubicará puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas (x, y); y viceversa, a partir de la posición de un punto en el plano obtendrá las coordenadas correspondientes.
Actividad 4Los meridianos
1 Lealasiguienteinformaciónyrealiceloqueselepide.
unaformadelocalizarpuntosenunmapaesutilizandolongitudes,lascualesse
representanconsignopositivosiestánalestedelmeridianodegreenwichynegativosi
estánaloeste.
deigualforma,laslatitudesqueserepresentanconsignopositivoestánalnortedel
ecuadoryconnegativo,alsur.
paralocalizarpuntosenungloboterráqueo,
éstesehadivididoengrados(°),marcados
pormediodelíneas.
Losllamadosmeridianosquevandelpolo
Nortealpolosurindicanlalongitud.el
meridianoprincipalpasaporgreenwich,
inglaterra,ymarcalalongitud0°.
otraslíneascortantransversalmentealglobo
eindicanlalatitud.elecuadormarcala
latitud0°.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
47
a) ¿porquésedicequeelpuntoAestáubicadoenlongitud0°,latitud0°?
b) ¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoEsonlongitud75°,latitud220°?
c) ¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoGsonlongitud2135°,latitud110°?
d)¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoHsonlongitud230°,latitud240°?
e)escribalascoordenadasdelossiguientespuntos.
Punto Longitud Latitud
B D F J
-180º 180º-150º 150º-120º 120º-90º 90º-60º 60º-30º 30º0º
0º
30º
60º
90º
-30º
-60º
-90º
A
C
B
D
E
F
G
K
H
I
J
L
M
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
48
g)elcapitándeunbarcoreportóquesuembarcaciónseencuentraaunalongitud230°yunalatitud210°.ubiqueelbarcoenelmapa.
situvoalgunadificultadpararealizarlosejerciciosanteriores,observeelrazonamientodeteresayFelipe.
Localizar puntos en el mapa es fácil. El Ecuador viene
a ser el eje x y el meridiano de Greenwich el eje y.
Así la longitud indica la coordenada x y la latitud la
coordenada y.
El punto donde se cruza el meridiano de Greenwich
con el Ecuador es el origen, por lo que sus
coordenadas son (0°, 0°).
F) escribalospuntosqueseubicanenlassiguientescoordenadas.
Longitud Latitud Punto
45° 240° 2150° 30° 245° 70° 0° 60° 260° 250°
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
49
y
x
Meridiano de Greenwich
Ecuador
30º
60º
90º
-30º
-60º
-90º
-180º 180º-150º 150º-120º 120º-90º 90º-60º 60º-30º 30º0º
A
Entonces, para localizar un punto en el mapa,
colocamos la pluma en el origen y lo movemos a la
derecha si la longitud o coordenada x tiene signo
positivo y a la izquierda si es negativo.
De ahí, movemos la pluma hacia arriba si la latitud
o coordenada y tiene signo positivo y hacia abajo
si es negativo.
Desde luego que vamos a mover la pluma tantas
unidades como indique la coordenada.
Por ejemplo,
para localizar en el mapa el punto A cuya
longitud es 290° y latitud es 120°,
se inicia en el punto (0°, 0°), se mueve la pluma
90° a la izquierda y luego se sube 20°.
Vea en el mapa de arriba dónde se localiza
dicho punto.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
50
Resolvamos otros problemas
2 indiquecuálessonlascoordenadasdelossiguientespuntos.
A( , ) B ( , ) C ( , )
D ( , ) E ( , ) F ( , )
a) comenteconsuasesoroasesoracómolohizo.
3 ubiqueenelplanoanteriorlossiguientespuntos.
G(7,3) H (28,10) I (9,25) J (29,21)
K (0,9) L (0,24) M (7,0) N(25,29)
a) comenteconsuasesorcómolohizo.
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3 4 5 6 7 8 9 10-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-3-4-5-6-7-8-9-10
A
D
F
E
B
C
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
51
4 elplanocartesianoestádivididoen4cuadrantes.observecadaunodeellosenelsiguiente
plano.
conbaseenloqueobservó,realiceloqueseindicaacontinuación.
a) ¿enquécuadranteselocalizaelpunto(6,28)?
b) ¿enquécuadranteselocalizaelpunto(24,21)?
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3 4 5 6 7 8 9 10-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-3-4-5-6-7-8-9-10
Cuadrante 1
Cuadrante 2
Cuadrante 3
Cuadrante 4
• alejexselellamaejedelasabscisas.
• alejeyselellamaejedelasordenadas.
• enlascoordenadasdeunpuntosiemprevaprimerolaabscisaydespuéslaordenada.
ejemplo.
enelpunto(9,25),laabscisaes9ylaordenada25.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
52
c)escribalascoordenadasdeunpuntoqueseencuentre:
enelcuadrantei
enelcuadranteii
enelcuadranteiii
enelcuadranteiv
recuerdequelosnúmerosromanosdel1al10son:
d)elpunto(0,29),¿enquécuadranteseencuentra?
1 i
2 ii
3 iii
4 iv
5 v
6 vi
7 vii
8 viii
9 iX
10 X
• enelcuadranteisiemprehabrápuntoscuyaabscisayordenadaseanpositivas.
• Lospuntosdelcuadranteiisecaracterizanportenerlaabscisanegativaylaordenada
positiva.
• Lascoordenadasdecualquierpuntodelcuadranteiiitendránabscisayordenada
negativas.
• enelcuadranteivhabrápuntosconabscisapositivayordenadanegativa.
• paraubicarunpunto(x,y)enelplanocartesiano,seiniciaenelorigenysecuentan
tantasunidadescomoloindicalaabscisa(x),aladerechasiespositivaoalaizquierda
siesnegativa. deahí,secuentantantasunidadescomoloindiquelaordenada(y),haciaarribasies
positivaohaciaabajosiesnegativa.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
53
• paraencontrarlascoordenadasdeunpuntoenelplano,setrazan,enformamental
oescrita,unalíneaparalelaalejedelasabscisasyunalíneaparalelaalejedelas
ordenadasquepasenpordichopunto.
• Lascoordenadasdelpuntoestaránindicadasporloscortesquelaslíneasparalelas
trazadashacenalosrespectivosejes.
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3 4 5 6 7 8 9 10-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-3-4-5-6-7-8-9-10
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
54
¿Hasidoustedvíctimadeunfraude?,¿algunavezlehaninvitadoaformarpartede
una“pirámide”enlaqueusteddaunacantidadyselaquintuplican,sextuplican,
etcétera?comenteconsuasesoroasesora.
existenpersonasqueorganizan“pirámides”.siustedquiereformarpartedela“pirámide”,
tienequedarciertacantidaddedinero,ycomprometerseameterotraspersonas.
1 a don eusebio le invitaron a formar una “pirámide” donde le prometieron$5 000.00,
paraellotienequedar$1 000.00.comolevanaquintuplicarsudinero,tienequellevar
a5personasmás.élpensódareldineroquetieneparacomprarmaíz,¿leconviene?
a) analiceelsiguienteesquemaquerepresentacómosevaformandola“pirámide”,
empezandoporunapersona.
b) ¿cuántaspersonashayeneliniciodela“pirámide”? ¿cuántasenelsegundo
escalón? ¿cuántaseneltercero?
Propósito: Resolverá problemas que involucran potencias.
Actividad 5“Pirámide”, ¿negocio o fraude?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
55
c) ¿cuántaspersonasserequierenparaformarelcuartoescalóndela“pirámide”?
¿cuántasparaelquinto?
d)¿cuántaspersonassenecesitanparaformareldécimoescalóndela“pirámide”?
¿cómolehizoparasaberlo?
e) ¿cuántaspersonasentotalsenecesitanparaformaruna“pirámide”de10escalones?
F) ¿enlacomunidaddondeustedvivehaytalnúmerodepersonas?
g)¿La“pirámide”esunbuennegociooesunfraude?
¿porqué?
• cuandolosfactoresdeunamultiplicaciónsoniguales,sepuedeescribircomopotencia.
• enunapotencia,labaseindicaelfactoryelexponenteindicacuántasvecessetomaal
númerocomofactor.
ejemplo.
6 3 6 3 6 3 6 3 6 = 65
65 seleecomo“seiselevadoalexponentecinco”
• todonúmeroelevadoalexponenteceroesiguala1.
ejemplo.
50=1
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
56
observecómohacenpedroyFranciscapararesolverunasituaciónsimilar.
¡Vamos a ver! Para formar una “pirámide” donde cada uno invite
a 8 personas, en el primer escalón va una persona; en el segundo
van 8; en el tercero 8 3 8, es decir, 64 personas, ya que cada uno
de esos 8 invita a otros 8.
En el cuarto escalón 64 3 8, o sea, 512 personas.
¡Claro! Son potencias de 8. El primer escalón es 80 (ocho
elevado al exponente cero); el segundo, 81 (ocho elevado al
exponente uno); el tercero, 82 (ocho elevado al exponente
dos) y así sucesivamente.
Entonces, el número de personas que se requiere para formar
el décimo escalón es 89 (ocho elevado al exponente nueve).
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
57
Significa que hay que multiplicar:
8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8
y tenemos un total de 134 217 728 personas.
¡Aún no llegamos a esa población en México!
Pero todavía falta, pues si sumamos:
1 1 8 1 64 1 512 1 4 096 1 32 768 1 262 144
1 2 097 152 1 16 777 216 1 134 217 728 = 153 391 689
tenemos que para formar una “pirámide” así requerimos de
153 391 689 personas.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
58
Resolvamos otros problemas
2 severinoypedrovanacontratarlarentadeun
tractorporunmes.enlatienda“Labarata”lo
rentana$100.00diariosyen“elcomercio”
cobran$1.00elprimerdía,$2.00elsegundo
día,$4.00eltercerdía,$8.00elcuartodía
yasísucesivamente.¿encuáltiendaconviene
máscontrataryporqué?
a) completelatablaqueseverinousóparaargumentarporqué,segúnél,fuesumejor
elección.
Núm. de días “La barata” “El comercio”
1 $100 $1
2 $100 $2
3 $100 $4
4 $100 $8
5 $100
6 $100
7 $100
8 $100
9 $100
10 $100 $512
Total $1 000 $1 023
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
59
Yo pagué $511.00 por 9 días en
“El comercio”, porque era lo más
conveniente. Ya que si contrataba
por 10 días, pagaba más en “El
comercio”, como se puede apreciar
en la tabla anterior.
b)analiceelargumentodepedroparatomarsudecisiónydiscutaconsuasesory
compañerosquiéndelosdostomólamejordecisiónyporqué.
Yo contraté en “El comercio” sólo
por los días en que me cobraban
menos de $100.00, puesto que si
pagaba más de $100.00, ya no me
convenía.
c)severinocontratóenlatienda“elcomercio”sólopor9díasyluegocambióa“La
barata”paracompletarelmes;pedrocontratóen“elcomercio”por7díasyluego
cambióa“Labarata”.¿quiéndelosdospagómásyporqué?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
60
3 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias.calculelosresultados.
a)3 3 3 3 3 =
b)9 3 9 3 9 3 9 =
c)(26) 3 (26) 3 (26) =
d)(28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) =
e)10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 =
F)2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 =
4 escribalassiguientespotenciascomomultiplicacionesusandopuntosoparéntesis.calculelos
resultados.
a) 94 =
b) 49 =
c) 39 =
d) 93 =
e) 85 =
F) 58 =
• Lamultiplicaciónsepuederepresentarconun·(punto)ousandoparéntesis.
ejemplo.
535 35=5 · 5 · 5 = (5)(5)(5) =125
unadelasventajasesqueenálgebraelsigno3nosevaaconfundirconlaletrax.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
61
5 Leaelsiguienteinventariodeunapropiedad.
Juanitatiene9casas;
cadacasatiene9habitaciones;
cadahabitacióntiene9mesas;
encadamesahay9platos;
encadaplatohay9monedasdeoro.
¿cuántasmonedasdeorotieneJuanita?
Observequecadavezquesedisminuyeunexponenteenunaunidad,lapotenciasedivideentre5.Deacuerdoconesto,alpasardelexponente1al0hayquedividir5entre5ydacomoresultado1.
• el5elevadoalexponenteceroesiguala1.
ejemplo.
54 = 625
53 = 125
52 = 25
51 = 5
50 = 1
6 discutaconsuscompañerosporqué80esiguala1.
7 en una comunidad de 2 000 habitantes el párroco
platicó a 3 personas que se retiraría. estas personas
tardaron 20 minutos para platicarlo con otras 3
cada una. a su vez esas personas lo comentaron con
otras3 cada una en los siguientes20 minutos y así
continuaron.¿cuántotiempotardóenenterarsetodala
comunidad?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
62
8 a)usandoparéntesis,escribalafórmulaparacalculareláreadeuncuadrado.
b)elladodeuncuadradomide8cm,¿cuálessuárea?
c) ¿cuáleseláreadeuncuadradoquemide9mdelado?
9 a)escribacomopotencialafórmulaparacalcularelvolumendeuncubo.
b) ¿cuáleselvolumendeuncubocuyaaristamide6cm?
c)Laaristadeuncubomide2m,¿cuálessuvolumen?
vértice
cara
arista
• enálgebratambiénseusanletraspararepresentarcantidades.
ejemplos.
a · a=a2
a · a · a =a3
a · a · a · a · a · a · a · a =a8
tambiénelexponentesepuederepresentarconunaletra:
a · a ·... · a =an
locualindicaqueelfactorestáelevadonveces.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
63
• Lapotenciaeselresultadoqueseobtienedespuésdeusarelfactortantasvecescomolo
indicaelexponente.
ejemplo.
39 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 19 683
exponente exponente
39 = 19 683 an = a · a · a ··· a
base potencia basenfactores
cuandolabaseesnegativaseprocededelamismaforma:
ejemplo.
(28)2 = (28) 3 (28) =164 porque (2) 3 (2) =1
(25)3 = (25) 3 (25) 3 (25) =2125
porque (2) 3 (2) 3 (2) =2
10 enunhotelantiguo,exclusivoparagenteconfortuna,cobrabancadanocheunacantidad
diferente.elcobropordíaestabadefinidoporpotenciasde4.Laprimeranochecobraban
40monedasdeoro; la segunda,41; la tercera,42; la cuarta,43 y asíhastaque salía el
huésped.
a) ¿cuántasmonedasdeorocobrabanporlaprimeranoche? ¿cuántaspor
lasegunda?
b) ¿cuántasmonedasdeorocobrabanporladécimanoche?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
64
Para saber más
ensurevistaLecturasdematemáticaslea“resolverproblemas”ycontestelassiguientes
preguntas.
1. ¿quétipodeproblemasresuelveustedensuvidacotidiana?
2. ¿encuálesdeellosrequiereelusodesusconocimientosmatemáticos?
3. ¿ustedcreequeesverdadquelasmatemáticaspermitenafrontaralgunosproblemasdeuna
maneramásadecuadayeficiente?
4. polyadivideelprocesoderesoluciónencuatroetapas,¿cuálessonesasetapas?
5. ¿quéimportanciatieneelcomprenderelproblema?
resuelvalosacertijosde“Laterminaldeautobuses”ensuFolletodejuegos,despuéscontestela
siguientepregunta.
1. ¿cuálacertijoleexigiómayorrazonamiento?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
65
¿comeustedadecuadamente?,¿sabíaustedquelosalimentosnosaportanenergíayque
laenergíaqueconsumimossemideenkilocalorías?comenteconsuasesoroasesora.
cuandocomemosobtenemosenergíaparapodermovernosyreparareldesgasteconstanteque
sufreelcuerpo.unaalimentaciónnoadecuadatraecomoconsecuenciasladesnutriciónyla
obesidad,entreotrosproblemas.
1 ofeliayJorgequierenconocerlacantidaddekilocaloríasquedebenconsumiraldía.
teniendoencuentasusexo,talla,edadypeso,ellosencontraronquelapuedencalcularconlas
siguientesfórmulas.
mujeres: kilocalorías = 665 1 9.56 3 pesoenkg 11.85
3 tallaencm 24.68 3edad
más25%delresultadoobtenido.
Hombres: kilocalorías = 66.5 1 13.75 3 pesoenkg15
3 tallaencm26.78 3edad
más25%delresultadoobtenido.
Propósito: Usted utilizará la jerarquía de operaciones (incluyendo potencias).
Actividad 6 Alimentos y energía
Peso Talla Edad
ofelia 68kilogramos 155cm 35 años
Jorge 79kilogramos 166 cm 40 años
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
66
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observelaformaenqueyolandacalculalaskilocaloríasquepuedeconsumir.
porloqueellosllegaronalosiguiente:
ofelia:kilocalorías=665 1 9.56 3 68 11.85 3 155 2 4.68 3 35
más25%delresultadoobtenido.
Jorge: kilocalorías=66.5 1 13.75 3 79 1 5 3 166 2 6.78 3 40
más25%delresultadoobtenido.
conbaseenlainformaciónanteriorrealicelosiguiente.
a) calculelaskilocaloríascorrespondientesaofeliaantesdeaumentarleel25%.
b)calculelaskilocaloríascorrespondientesaJorgeantesdeaumentarleel25%.
c)analicelosresultadosalosquellegaronofeliayJorgeenunprimerintento:
paraofelia: 248855056.5 kilocalorías
paraJorge: 52267666 kilocalorías
d)¿sonresultadoscorrectos? ¿dóndepuedeestarelerrorsielloshicieron
lasoperacionesdecorrido?
e) ¿cuántaskilocaloríaspuedeconsumirofeliaaldía?
F) ¿cuántaskilocaloríasdiariopuedeconsumirJorge?
¡Cuidado al realizar las operaciones con la calculadora! Puede obtener
un resultado diferente al de su compañero, esto depende de cómo estén
programadas sus calculadoras.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
67
Primero, realizo las multiplicaciones:
665 1 602.28 1 301.55 2 163.8 =
Luego, sumas y restas y resulta:1 405.03.
Calculo el 25 %, que es igual a 351.25, y lo sumo.
Yo puedo consumir 1 756.28 kilocalorías.
Resolvamos otros problemas
2 analicelasiguienteinformaciónyrealiceloquesepide.
Hayotrasformasdecalcularlacantidaddeenergíaqueserequiere.yaquesilapersonarealiza
unaactividadfuerterequieredemayorenergía.
margaritallevaunaactividadintensa,porloqueellatienequecalcularsupesoconla
siguientefórmula:
mujeresconactividadintensa:(8.7 3 pesoenkilos 1 829) 3 1.82
Fuente:saludaliainteractiva©copyright2000
margarita:(8.7 3 60 1 829) 3 1.82
a) ¿quéindicaelparéntesisenlafórmula?
b) ¿cuáleslacantidaddekilocaloríasquepuedeconsumirmargarita?
c)simultiplica8.7 3 60y829 3 1.82 yluegosuma,¿quéresultadoleda?
¿porquénoescorrectohacerloasí?
De acuerdo con mis datos, las operaciones son:
kilocalorías = 665 1 9.56 3 63 11.85 3 163 2 4.68 3 35
más 25 % del resultado obtenido.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
68
3 bernardollevalacontabilidaddeelectrodomésticosquetransportaelferrocarrilquesalecada
findemes.élanotaloquesaleyloquedejaencadaestaciónhastallegaralabodega.
Lassiguientesoperacionesindicanlosucedidoenlacargaydescargadeaparatos.
30 3 10 2 5 3 10 1 20 3 5 1 20 2 6 1 253 2 3 3 252
a) realicelasoperacionesparasabercuántosaparatosllegaronalabodega.
analicelasrespuestasquedan3personas.
demetrio: Llegaron5 816 013 750aparatos,porque253es25 3 25 3 25;de
lamismaforma252es25 3 25.porloquehicetodaslasoperacionesde
corridoyalllegaral253 multipliqué 25 3 25 3 25.Hicealgoparecido
con252.
Julio: Llegaron14 114,porqueprimerohayquecalcularlaspotencias,despuéshay
quehacerlasmultiplicacionesydivisiones(sihay),yalúltimolassumasylas
restas.
daniel: Llegaron28 614aparatos,porqueprimerohayquecalcularlaspotenciasy
despuéshacertodaslasdemásoperacionesdecorrido.
b) ¿quiéndelos3estáenlocorrecto?
¿porqué?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
69
4 analicelainformacióndelatablasiguiente.
a) 20 2 6
b) 30 3 10 – 5 3 10
c) 20 3 5
d) 253 2 3 3 252
1. unvagóncontenía25cajonescon25cajasde
25estéreoscadauna.descargaron3cajonesen
unaestacióndepaso.
2. enunvagónllevaban20cajascon5pantallas
cadauna.
3. enunaestacióndepasodescargarondeunvagón
6lavadorasdelas20quecargaronenellugarde
origen.
4. enunvagóncargaron30cajascon10televisores
cadaunaydejaron5cajasenunaestación.
c)relacionelaoperaciónuoperacionesconlasituaciónquesedescribe.
Consumo promedio de agua en actividades domésticas
Acción Gasto de agua
Baño con regadera (20 minutos) 140 litros
Baño con regadera economizadora 290 litros que una común
Lavarse los dientes (3 minutos) 20 litros
Barrer la calle con la manguera (15 minutos) 5.25 litros
Lavar los trastes (30 minutos) 210 litros
Descarga del sanitario 10 litros
Una carga de lavadora automática 200 litro
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
70
conbaseenlainformaciónanteriorescribalasoperacionesquedescribenlassiguientes
situaciones.
a) LafamiliaFernández,compuestapor3personas,sebañadiarioconunaregadera
común,selavalosdientes3vecesaldía,lavalostrastes3vecesaldíayusanel
sanitario6vecescadaunoaldía.¿cuántaaguagastaaldíalafamiliaFernández?
b)realicelasoperacionesycompruebesusrespuestas.
c)enlafamiliadeantoniahay9integrantes,ellosusanunaregadera
economizadora,perolavandiario2cargasderopa,lavanlostrastes5vecesal
día,selavanlosdientes2vecesaldíay5integrantesusanelsanitario4veces
aldía,elrestosólo3veces.¿cuántaaguagastaaldíalafamiliadeantonia?
d)realicelasoperacionesycompruebesusrespuestas.
paramayorinformacióndecómoahorraragua,reviseelmóduloPor un mejor ambiente.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
71
5 conayudadesucalculadoraencuentrelosresultadosdelassiguientesoperaciones.
a)4 3 (5 1 53) 4 36 1 (6 2 2) =
b)7 1 46 3 (16 4 4) 2 13 =
c)93 1 67 2 12 3 (34 2 68) =
d)90 4 6 2 45 3 ( 6 2 24) =
• alresolverunaexpresiónaritméticaqueincluyevariasoperaciones,esnecesarioseguir
elsiguienteorden.
Primero:resolverlaspotencias.
Segundo:Lasoperacionesqueesténdentrodeparéntesis(siloshay).
Tercero:Lasmultiplicacionesylasdivisiones.
Cuarto:Lassumasylasrestas.
ejemplo.
6 3 (73 1 8) 2 (24 212) 1 125 4 5 =
potencias: 6 3 (343 1 8) 2 (16 2 12) 1 125 4 5 =
paréntesis: 6 3 351 2 4 1 125 4 5 =
multiplicaciones
ydivisiones: 2 106 2 4 1 25 =
sumasyrestas: 2 127
elresultadoes 2 127
Loanteriorseconocecomojerarquíadeoperaciones.algunascalculadorasestánprogramadas
paraaplicarlajerarquíadelasoperaciones,otrasnoloestán.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
72
¿quéeslomáspequeñoylomásgrandequeustedconoce?,¿avistoatravésdeun
microscopioodeuntelescopio?comenteconsuasesoroasesora.
Nanussignificadiminuto.Lananotecnologíacreananocables,nanomotores,nanotransistores
quepermitiránlacreacióndediminutosrobotsparaconocerlaspartesmásdiminutasdel
cuerpohumano,comosonlascélulas,losglóbulosrojos,etcétera.
1 analicelasiguienteinformación.
Actividad 7Nanotecnología
El cuerpo humano tiene 3 3 107
glóbulos rojos.
Un caracol se mueve a
7.5 3 1023
kilómetros
por hora.
La película Titanic produjo
1.8 3 109 dólares de ganancias.
Los japoneses inventaron un termómetro
que mide 1 3 1023
mm de largo por
7.5 3 1026
mm de ancho.
1.95 3 107 es la cantidad de
barriles de petróleo que Estados
Unidos consume al día.
Propósito: Usted utilizará la notación científica con exponentes enteros positivos y negativos.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
73
conbaseenlainformaciónanteriorrealiceloquesepide.
a) ¿quénúmerosrepresentancantidadespequeñas?
¿porquésecaracterizan?
b) ¿quémedidaesmáspequeña1 31023 mmó7.5 31026 mm?
¿cómolosupo?
c) ¿cuálesnúmerosrepresentangrandescantidades?
¿porquésecaracterizan?
d)¿quécantidadesmásgrande1.8 3 109 ó1.95 3 107?
¿cómolosabe?
observelaformaenquemarcoyLupitainterpretaninformaciónescritaconnotacióncientífica.
En notación científica, una
potencia positiva indica una
multiplicación por 10, por 100,
por 1 000, etcétera, según sea 1,
2, 3, etcétera, el exponente de la
base 10.
Una potencia negativa indica una
división entre
10, 100, 1 000, etcétera, según
sea 21, 22, 23, …
el exponente de la base 10.
Por ejemplo,
una aguja pesa 4 3 1023 kg, es
decir, pesa 4 3 0.001, lo que
equivale a 0.004 kg.
¡Vamos a ver! 6.5 3 104 especies
de arañas quiere decir que son
6.5 3 10 000, es decir, 65 000 especies.
Pero, ¿qué significa una potencia
negativa?
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
74
• Lanotacióncientíficasebasaenlosprincipiosdelsistemadenumeracióndecimal.
porejemplo,elnúmero28 948 sepuedeescribircomo:
20 000 1 8 000 1 900 1 40 1 8
tambiéncomo:2 3 104 1 8 3 103 1 9 3 102 14 3 101 18 3 100
asíelnúmero30 000 000es3 3 107
• deigualmanera,0.54puedeescribirsecomo:
5
10 1
4
100
tambiéncomo:5 3 1021 1 4 3 1022
Resolvamos otros problemas
2 analicelainformacióndelasiguientetabla.
Medidas de las células
Tipo de organismo microscópico Notación científica Medida en notación decimal
1 3 1027 cm
1 3 1025 cm
2 3 1025 cm
1 3 1026 cm
Fuentedefotos:http://www.botanica.cnba.uba.ar/pakete/dibulgeneral/
a) paracompletarlatabla,escribaennotacióndecimallasmedidasdelos
microorganismosencentímetros.
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
75
3 Joelcompróunacajadepastillasconunasustanciaactivade2.5mgcadauna.eldoctorle
indicóquetomara5 x 1023gdiariamente.¿cuántaspastillasdebetomaraldía?
4 escribalossiguientesnúmerossinnotacióncientífica.
a) 6 3 108= e)7 3 1023=
b) 8.5 3 107= F) 8.9 3 1025=
c) 5.62 3 106= g)5.9 3 1027=
d)9.793 109=
encienciascomolafísica,laquímicaylaastronomía,esnecesarioescribirnúmerosmuy
grandesomuypequeños.unamaneradeescribirlosenformaabreviadaesmediantela
notacióncientífica.
paraescribirunnúmerograndeennotacióncientífica,seescribelaprimeracifradel
número,elpuntoydespuéslascifrassignificativas(diferentesdecero)quequieranponerse;
finalmente,seindicalamultiplicaciónpor10dedichonúmeroyelexponenteesigualal
númerodecifrasdelnúmeroinicialmenos1.
ejemplos.
7 860 000 = 7.86 3 106
990 000 000 = 9.9 3 108
paraescribirunnúmeropequeñoennotacióncientífica,seescribelaprimeracifra
significativa(diferentedecero)delnúmero,elpuntoydespuéslascifrassignificativas
(diferentesdecero)quequieranponerse;finalmente,seindicalamultiplicaciónpor10
dedichonúmeroyelexponenteesigualalnúmerodecerosquehayentreelpuntodel
númeroinicialylaprimeracifrasignificativamás1yllevasignonegativo.
ejemplos.
0.000045 = 4.5 3 1025
0.009412 = 9.412 3 1023
Autoevaluación Unidad 2
resuelvalossiguientesproblemas.
1 ubiquelossiguientespuntosen
elplanocartesiano.
a)(29,4)
b)(8,12)
c)(23,1)
d)(2,21)
e)(12,25)
F) (7,8)
g)(211,11)
H)(0,24)
i)(210,0)
J)(11,11)
2 unbarcoseencontrabaenelpunto(0,0)yavanzó8kilómetrosaladerechay6kilómetros
haciaelNorte,¿enquepuntoseencuentra?
3 enelpunto(9,28)seencuentraunobjeto;parallegarahítuvoqueavanzar8unidades
haciaelsur(abajo),¿dóndeseencontrabaanteriormente?
4 un coche se encuentra en el punto (26,24). para llegar ahí avanzó2 unidades a la
izquierday6unidadeshaciaabajo,¿enquépuntoseencontraba?
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12
y
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
76
Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo
5 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias.
a) (4) (4) (4) (4)=
b)5 · 5 · 5 · 5 · 5 =
c) (26) (26) (26) =
d)(211) (211) (211) (211) =
e)12 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 =
F) (220) (220) (220) (220) (220) =
6 escribalassiguientespotenciascomomultiplicacionesusandopuntosoparéntesis.calculelos
resultados.
a) 28=
b)46=
c)64=
d)83=
e)38=
7 ¿esigual 46que64? ¿38que83?
8 realicelassiguientesoperaciones.
a) (5 1 8 1 45 3 20) 4 (15 2 83) =
b) (29)4 1 65 2 5 3 (45 1 65) =
9 elpesodeunelectrónesde9 3 10228g.escríbaloenformadecimal.
10 el peso de la tierra es 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. escríbalo en notación
científica.
11 elcoeficientedeexpansióndelmercurioes1.8131024.escríbaloennotacióndecimal.
77
UNIDAD 3UNIDAD 3En esta unidad, usted:
• Conocerá la utilidad de las literales en el álgebra. Usará algunas reglas de escritura algebraica.
• Encontrará la regularidad que relaciona una lista de cantidades.
Expresiones algebraicas
• Utilizará el lenguaje algebraico. Modelará con expresiones algebraicas algunas situaciones de la geometría y de la física.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
80
¿Hasembradoárboles?,¿hatenidoproblemaspararegarlosycuidarlos?comentecon
suasesoroasesora.
comotodotrabajo,elcuidadodelosárbolesesalgoquesepuedeoptimizar,esdecir,quese
puedeahorrartiempoyesfuerzo.
1 sembraron 35 árboles en hilera con
igualseparaciónunodelotro.donchuy
pidióuntinacoconaguapararegaruno
aunoconunacubeta.donchuyquiere
caminar lo menos posible al regarlos,
¿dóndetienequecolocareltinaco,junto
alárboldeenmedioojuntoaunárbol
decualquierextremo?
a) ¿porqué?
b)sihubieransido36árboles,¿cuálhubierasidoellugaridealparacolocareltinaco?
sugerencias:supongaunamenorcantidaddeárboles.determineunadistanciaalaqueseencuentranlosárboles,nadamásnoolvidequeesigualentreunárbolyotro.
c)comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.
Actividad 8 El trabajo de don Chuy
Propósito: Usted conocerá la utilidad de las literales en el álgebra. Usará algunas reglas de escritura algebraica.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
81
analicelosrazonamientosdesoniaymiguelanteunasituaciónparecida.
sesembraronárbolesenhileracada5m.sobrelamismahileraya5mdelprimerárbolhay
unpozo.¿cuántosmetrostienequecaminardonchuypararegarconunasolacubetacada
árbol?
entraundibujodealgunosarbolitosenhilera
conunpozotodosalamismadistancia:seseñala
ladistanciaentreelárbolqueestámáscercadel
pozoyelpozoconunaflecha hacia el árbol y otra
al pozo. Dice: “5 m” sobre cada flecha 5 m
5 m
2 veces 5 m
2 veces 5 m
¡Vamos a ver!
Para regar el primer árbol tiene que caminar 2 veces 5 m.
Es decir, 5 m del pozo al árbol y 5 m del árbol al pozo.
Para regar el segundo árbol, son 2 veces (2)(5 m). Es decir,
10 m del pozo al árbol y 10 m del árbol al pozo.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
82
Para regar el tercer árbol, tiene que caminar
2 veces (3)(5 m). Es decir, 15 m del pozo al
árbol y 15 m del árbol al pozo.
Si te fijas, siempre hay que caminar 2 veces
la distancia del árbol al pozo.
La distancia del árbol al pozo depende del
lugar que ocupe el árbol en la hilera.
El primero está a (1)(5) = 5, es decir,
a 5 m de distancia; el segundo está a
(2)(5) = 10 m; el tercero está a
(3)(5) = 15 m. Entonces, para calcular la
cantidad de metros que hay que caminar
para regar el árbol x, es decir, cualquier
árbol, podemos multiplicar:
(2)(x)(5) = (2)(5)(x)
(10)(x) = 10x
Donde x representa el número de árbol
y 10x la cantidad de metros que hay que
caminar para regarlo.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
83
Resolvamos otros problemas
2 mireasualrededortodoslosobjetosquetienenformarectangular.
a) dibujeunobjetodelosquevioyalladodibujeunrectánguloquerepresenteatodos
losobjetosrectangularesquevio.
b)escribaunalíneaconflechasqueindiqueellargodelrectánguloyunal.Hagalo
mismoconelancho,peroescribaunaa.
c) ¿cuáleselperímetrodelrectángulo?
3 tome tres objetos rectangulares (hojas de papel, tarjetas de cartulina, libros, etcétera) del
mismo tamaño y colóquelos uno junto a otro para formar un rectángulo largo, como se
muestraenseguida.
a) ellargodecadaobjetomidel.utilicelpararepresentarlamedidadeb:
b) ¿cuántomidesuperímetrosielanchomidea?
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
84
• enálgebraseusanletraspararepresentarcantidadesyselesllamaliterales.
ejemplo.
enestecaso,laliteralesmyrepresentalamedidadelsegmento.
• suempleoesparecidoaldelosnúmerosenlaaritmética.
ejemplo.
comocadasegmentopequeñomidem,lamedidadelsegmentoABes:
m 1m 1m 1m 1m =5m
• Loanterioresporquelamultiplicaciónporunnúmeroyunaliteraloentredosliterales,quedaexpresadacuandoseescribenjuntos.
5mexpresaunamultiplicaciónde5porm.
c)midaunodelosobjetosysustituyaelvalor
delya,¿cuántomideelperímetrodel
rectánguloformado?
4 elpesodecadachocolateconfitadoesb,¿cuánto
pesaunsobresitrae55chocolates?
5 elpreciodeldólarvaríaconmuchafrecuencia.utilizandounaletra,¿cómopuederepresentar
elimportede250dólares?
m
m m m m m
A B
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
85
6 unautorecorrióladistanciaABenundía.eldíasiguienterecorrióladistanciaBC,comose
indicaenelsiguientediagrama.
a) ¿quédistanciarecorrióenlosdosdías?
7 Lamedidadelaalturadeunescalónesu,¿quésignifica8u?
a) escriba8ucomosuma.
8 Lasiguientefiguramuestralasdistanciasrecorridasporunferrocarril.
a) ¿quédistanciahaydeAaB?
b) ¿cuálesladistanciadeBaC?
c) ¿cuálfueladistanciatotaldelrecorrido?
m m m m m
A B
m m m
C
l m
A B C
• expresionescomo4l;2b+2a;3
5m;2b2seconocencomoexpresiones algebraicas.
• Lasexpresionesalgebraicasestánformadasporuncoeficiente,unaliteraloliterales
(letras)queestánelevadasaalgúnexponenteysignosdeoperaciones.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
86
• Coeficiente:eselnúmeroquemultiplicaunaliteral.
ejemplo.
5eselcoeficientedelaexpresión5m
• cuandodosexpresionesalgebraicastienenlamismaliteraloliteralesyéstasestán
elevadasalmismoexponente,sedicequesontérminos semejantes.
ejemplo.
5messemejantea3m.
• dostérminos semejantes sepuedensimplificar.
ejemplos.
5m13m =8m
29b17b =22b
• cuandodosexpresionesalgebraicastienendiferenteliteral/esodiferenteexponente,se
dicequenosontérminossemejantes.
porejemplo:7nnoessemejantea9t
• cuandodostérminosnosonsemejantesnosesimplifican.
ejemplos.
7n19t
5n16t22n18n=11n16t
9 simplifiquelassiguientesexpresionesalgebraicas.
a) b1b1b1b1b= b) d1d1d1d12d=
c) l12l15l= d)5b2b=
e)h22h16h= F) l1b1b1b=
g)2b1b1l= H)m1m16m12b1b=
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
87
10 sembraron 5 árboles en hilera con igual separación uno del otro. don chuy pidió que
colocaranuntinacoconaguajuntoalprimerárbolpararegarunoaunoconunacubeta.
¿cuántovaacaminardonchuysiladistanciaentreárbolyárbolesl?
a) silmide1m,¿cuántocaminarádonchuy?
b)silmide2m,¿cuántocaminarádonchuy?
c) ¿quédistanciahayentreárbolyárbolsidonchuycamina120 m?
11 diegoganaunacomisiónfporcada$100.00quevenda.Hoyvendió$900.00,¿cuálfuesu
comisión?
a) sifvale$3.00,¿cuántodineroledierondecomisión?
b) sifvaliera$5.00,comoselohanprometido,¿cuántotendríanquedarlede
comisión?
12 observelasiguientefigura.
a) ¿cuáleselperímetrodelafigura?
b)silvale9m,hvale11mybvale13 m,¿cuáleslamedidadelperímetro?
ll
l
b
h
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
88
13 calculeelvalornuméricodelassiguientesexpresionesalgebraicas:
sib=12,l=20,d=5,h=30, m=1
a) 6b= b) 19d=
c)8l+5h= d) 5b2b=
e)22h116d= F) 4l17b=
g)9b1l= H) 10m15b=
14 analicelasiguientetabla,quemuestralasfórmulasparacalcularlacantidaddekilocalorías
diariasquedebemosconsumir.
prepresentaelpesodelapersonaenkilos.
Tipo de actividad Hombres Mujeres
Ligera (11.6 p 1 879) 1.55 (8.7 p 1 829) 1.56
Moderada (11.6 p 1 879) 1.78 (8.7 p 1 829) 1.64
Intensa (11.6 p 1 879) 2.1 (8.7 p 1 829) 1.82
Fuente:saludaliainteractiva©copyright2000
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
89
a) ¿cuántaskilocaloríasdebeconsumirpabloaldíasipesa67kgytieneunaactividad
intensa?
b)Lucíarealizaunaactividadintensaypesa63kg.¿cuántaskilocaloríasdebe
consumir?
c)calculelaskilocaloríasquedebenconsumirusted,suesposooesposaysuasesoro
asesora.
d)comparesusrespuestasconsuscompañeros.
• paracalcularelvalornuméricodeunaexpresiónalgebraica,sedanvaloresparticulares
alasliteralesyseoperaconellos.
ejemplos.
sim=3yl=9
12m18l=12(3)18(9)=108
sif=2yb=6
4f4+3f25b=4(24)13(2)25(6)=40
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
90
¿conoceustedsusderechoscomo
ciudadano?,¿haejercidosuderecho
avotar?,¿cuándoseránlaspróximaselecciones
parapresidente?comenteconsuasesoro
asesora.
votaresunderechociudadano.enméxico
serealizaneleccionesparaelegirpresidente,
gobernadorencadaunodelosestados,
presidentesmunicipales,diputadosysenadores.
1 La siguiente lista muestra los últimos años en que ha habido elecciones presidenciales en
méxico.
1946, 1952, 1958, 1964, 1970, 1976, 1982, 1988, 1994, 2000, 2006
a) ¿cadacuántosañoshayeleccionesparapresidenteennuestropaís?
¿aloscuántosañossepuedevotar?
b)elhijodevíctorychelanacióenenerode2003,¿cuáleselprimerañoenquepodrá
votarparapresidente?
c)decontinuarlaactualpolíticaelectoral,¿habráneleccionesenelaño2055?
¿cómolosupo?
d)¿Habráneleccionesenelaño2054sicontinúalamismapolítica?
¿cómolosabe?
e)sisepudieraconservarlapolíticaatravésdelossiglos,¿enelaño6002habrán
elecciones? ¿cómolosabe?
Actividad 9 Un derecho ciudadano
Propósito: Encontrará la regularidad que relaciona una lista de cantidades.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
91
F) consucalculadora,dividaalgunosdelosañosenquehayeleccionesentre6,¿qué
pasaconlapartedecimaldelresultado? ¿Habráalgunarazónpara
ello?
g)divida,usandolápizypapel,algunosdelosañosenquehayeleccionesentre6,sin
decimales.¿quépasaconelresiduo?
H)supongaquedesdehacemuchosañoshanhabidovotacionescada6añosyque
siempreseráasí.simultiplico6poralgúnnúmeroyleaumento2,¿esunañode
eleccionespresidenciales?
i) escribaenformaalgebraicalaafirmaciónanterior.
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicealrazonamientode
antonioyalejandro.
eldueñodeunacadenadesanitarioscompróunsistemaahorradordeagua.
elsistemalepermiteahorrarlassiguientescantidadesenlitrosdeaguadeacuerdoconel
númerodedescargasdeagua:
3, 7, 11, 15, 19, 23, ...
Para escribir en forma algebraica, es decir, como
expresión algebraica, el número de litros que se
ahorran por descarga:
Debemos buscar qué regularidad se encuentra en
la sucesión anterior.
Veo que en cada descarga se ahorran 4 litros,
excepto en la primera, que sólo se ahorran 3.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
92
¿Viste?, sin querer resolvimos
otras secuencias.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
25 26 27 28
... ... ... ...
4 k 23 4 k 22 4 k 21 4 k
Creo que podemos organizar los números
de 4 en 4 como se muestra a la derecha.
Fíjate que en la última columna están los
múltiplos de 4 y los podemos expresar
como 4k, donde k es un número natural.
Así, 4(1) = 4; 4(2) = 8, y así sucesivamente.
¡Tienes razón! Para escribir en forma
algebraica la tercera columna, basta fijarse
que todos los números de esa columna son
múltiplos de 4 menos 1.
Entonces, puede expresarse como 4k–1.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
93
Resolvamos otros problemas
2 analicelasiguientesucesión.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...
a) escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.
b)elprimernúmerodelasucesiónes2;elsegundo,4;etcétera.¿quénúmeroocuparála
posición100enlasucesión?
3 escribaunasucesiónquerespondaalaexpresión2n21.
4 analicelasiguientesucesión.
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41 ...
a) escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.
b) ¿quénúmerovaenlanovenaposicióndelasucesión?
c) ¿quénúmerovaenlaposición50delasucesión?
• unasucesiónesunconjuntodenúmerosdondeunoesdesignadocomoelprimero;otro,
comoelsegundoyasísucesivamente.cadanúmerodelasucesiónesuntérmino.
• Lassucesionespuedensercrecientes,cuandovanenaumento.
ejemplo.
9, 18, 27, 36, ...
• sondecrecientescuandovandisminuyendo.
ejemplo.
99, 88, 77, 66, 55,...
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
94
5 escribalostérminosfaltantesenlassiguientessucesiones.
a) 7, 13, 19, 25, , , 43, 49, ...
b)156, 151, 146, 141, , , , ...
c)1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, , , 46, ...
d)34, 35, 37, 40, , , 55, 62, ...
6 analicelasiguientesucesión.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
a) ¿puedeencontrarcadatérminosumandounacantidadaltérminoanterior?
paracontinuar,analiceelsiguientediagrama.
teniendoencuentaquecadarepresentaunaunidadcuadrada,realiceloqueselepide.
b)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradoazulclaro.
c)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradoazulmarino.
d)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradonegro.
e)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradocafé.
• •
• •
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
95
F) teniendoencuentaquecadarepresentaunaunidadlineal,dibujeenel
diagramauncuadradoquemida5unidadesporlado.cuentecuántasunidades
cuadradastienedichocuadrado.
g)sidibujarauncuadradode6unidadesporlado,¿cuántasunidadescuadradastendría?
¿cómolosupo?
H)sirepresentamosconlalnúmerodeunidadesporladoquetienecualquiercuadrado,
¿conquéfórmulacalculamossuárea?
i) vuelvaaanalizarlasucesiónycompletelatablaqueestáenseguida. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
J) expliqueporquéunaformaderepresentaralgebraicamentelasucesiónanterioresn2.
• •
Número de posición en la sucesión Sucesión Es igual a También se puede
representar como
1 1 1 3 1 12
2 4 2 32
3 9 32
4
5
6 36
7
8
9 9 3 9
n n 3 n
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
96
7 estudielostamañosquehaydeunjuegoinfantilcompuestoporaros,yrealiceloquesele
indica.
a)¿cuántosarosllevaelprimermodelo? ¿cuántoselsegundo,tercero,cuarto
yquinto?
b)enellugarcorrespondiente,dibujeelsextomodelo.
c)¿cuántosarostendráeldécimomodelo?
d)analicelasiguientesucesiónybusquélarelaciónconlasucesiónanterior.
analicelossiguientesdiagramasrectangulares.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1 2 3 4
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
97
e) ¿cuántospuntostienecadadiagrama?
F) ¿puedeencontrarunaformarápidadecontarlospuntosdecadadiagrama?
¿cuál?
sisedenominaconnalnúmerodepuntosquetieneenlabasecadaelementodelasucesión,
podemosverquealcompletarconpuntosrojosunrectángulo,elrectánguloformadotiene
(n+1)puntosenlabaseynpuntosenlaaltura.
g)enelrectánguloformado,¿hayigualcantidaddepuntosrojosquenegros?
H)¿puedeencontrarunaformarápidadeconocereltotaldepuntosenelrectángulo?
¿cuál?
i) ¿estádeacuerdoqueelnúmerodepuntosenelrectánguloes(n11)(n)?
¿porqué?
J) despuésdeconocereltotaldepuntosdelrectángulo,¿quéoperaciónlefaltahacer
paraconocersóloelnúmerodepuntosnegros?
K)¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquepermitecalcularelnúmerodearosdeljuego
infantil?
n
n
n � 1
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
98
a) ¿cuálessonlosvaloresdeccuandopvale70y90?
b) ¿cuálesvalordeccuandopvale53?
c) ¿quéexpresiónalgebraicapermitecalcularlacantidaddecalorías(c)conrelaciónal
peso(p)delapersona?
d)utilizandolaexpresiónobtenida,calculeccuandop=68.
e) ¿cuántascaloríasquemaustedalcaminar30minutosapasorápido?
F) dibujelagráficaquerelacionapconc.
8 analicelasiguienteinformaciónyrealiceloqueselepide.
caminar30minutosapasorápidoayudaaperdergrasa.useropacómoda.
Si usted pesa (p) 40 kg 50 kg 60 kg 70 kg 80 kg 90 kg
Calorías quemadas (c) 256 320 384 512
p
c
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
99
9 salvador llenó el tanque de gasolina de su camioneta. al llegar a la gasolinería, la aguja
marcaba 60 litros. La tabla muestra cuántos litros eran registrados a los 3 segundos,
5segundosyasísucesivamentehastaquesellenóeltanque.
a) ¿cuálessonlosvaloresdelcuandotvale7,9,11y13?
b)escribaunaexpresiónalgebraicaquepermitacalcularlacantidaddelitros(l)con
relaciónaltiempo(t).
observecómoalbertoresuelvelasiguientesituación.
albertoyalejandroobservanunregistrodelatemperaturarespectoalaaltitud(alturasobre
elniveldelmar).ellosquierensaberquéexpresiónalgebraicaofórmulapermitiráconocerla
temperaturaambienteapartirdeconocerlaaltitud.
Tiempo en segundos (t) 0 3 5 7 9 11
Litros (l) 60 72 80
Altitud en metros (a) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 8 000
Temperatura °C (t) 15 8.5 2.0 24.5 211.0
Debido a que por cada metro disminuye
20.0065 °C, puedo decir que la temperatura es igual a
15 °C que hay a nivel del mar menos 0.0065 por
el número de metros de la altitud.
t = 115 2 0.0065a
Donde a es el número de metros de altitud.
La expresión anterior también la puedo escribir así:
t = 20.0065a 115
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
100
a) ¿cuálesladiferenciaentrevender5piezasy10piezas?
b) ¿cuáleslacomisiónporpieza?
c)completelatabla.
d)escribaunaexpresiónquerelacioneelsueldoconelnúmerodepiezasvendidas.
A nivel del mar hay 15 °C, pero cada 1 000 m disminuye 26.5 °C. Con una
proporción, veo que por cada metro disminuye 20.0065.
10 el sueldo semanal de david está compuesto por una cantidad fija más comisiones por
ventas.
Número de piezas vendidas (v) 5 10 50 100 200
Sueldo semanal (s) 275 300
Entonces:
(20.0065) (5 000) 1 15 = 217.5.
Por lo que cuando a vale 5 000,
t vale 217.5 y cuando a vale
6 000, t vale 224.
Así que por 5 000 m disminuye
(26.5) (5) = 232.5
Finalmente, cuando a vale
8 000, t vale 237.
La temperatura desciende cada
vez más.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
101
a) ¿cómovaríanlosvaloresdeyconrespectoalavariacióndelosvaloresdex?
b) ¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentalarelacióndelatabla?
c)construyalagráficaensucuaderno.
11 analicelosdatosdelasiguientetabla.
(x) 0 5 7 9 11
(y) 45 80 94 108 122
• cuandohayunacantidadquecambiadevalorcuandocambiaelvalordeotra,sedice
queunadependedelaotra.
ejemplo.
Lacantidaddekilómetrosquerecorreunautomóvildependedelacantidadde
gasolina.
• entonces,sedicequelavariable independienteeslyla variabledependienteesd:
d =6l
• Losnúmerosquenocambiansellamanconstantes,enestecaso,esel6.
Litros (l) 0 1 2 3 4 5 6
Kilómetros (d) 0 6 12 18 24 30 36
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
102
Para saber más
ensurevistaLecturasdematemáticas,lea“regularidadesmatemáticas”,ycontestelas
siguientespreguntas.
1. ¿cuáleseltemadelalectura?
2. ¿Lepareceinteresante? ¿porqué?
3. ¿quétipoderegularidadesencuentraasualrededor?
ensuFolletodejuegosdiviértasejugando“JunJun”ensusdosversiones,despuéscontestela
preguntasiguiente.
1. ¿encontróunamaneraparaganarsiempre?sinolaencontró,sigajugando.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
103
Propósito: Usted utilizará el lenguaje algebraico. Modelará con expresiones algebraicas algunas situaciones de la geometría y de la física.
Actividad 10 La experiencia hace la diferencia
¿algunavezharealizadounexperimento?,¿aprendióalgoalrealizarlo?comente
consuasesoroasesora.
Losexperimentossonfuentedeconocimiento,lamayoríadelosconocimientoscientíficoshan
surgidoapartirdeexperimentarunayotravez.enellolamatemáticajuegaunpapelmuy
importantepuespermitecuantificarymodelardistintosfenómenos.
realicelassiguientesactividadesconayudadeuncompañero,familiar,amigooasesor.
1 consigaelmaterialsiguiente:
• unresortemetálicoounaliga(sitieneunabásculaderesorteesmejor).
• unareglagraduada.
• objetoscuyopesoconozca,ocanicasdeigualtamañoypeso.
registreenlasiguientetablalosdatosquevayaobteniendo.
a) midaeltamañodelresorte.escribasumedidaenlatabla.
b)coloquepeso(8canicas)enunextremodelresorte.midaellargodelresorteyregístrelo.
c) dupliqueelpeso(ponga8canicasmás).vuelvaamediryaregistrar.
Peso (p)(número de canicas)
0
Largo en centímetros (l)
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
104
d)tripliqueelpeso(8canicasmás)yrepitalaoperaciónhastaqueelresortenosedeforme.
e) ¿cómocambialconrespectoap?
F) ¿cuáleslafórmulaquepermitecalcularlapartirdeconocerp?
g)busqueenunlibrodefísicacómoselellamaalfenómenoanterior.
2 escribalaexpresiónalgebraicaquerepresentacadaunadelasafirmacionessiguientes,observe
losejemplos.
Un número más 15. y 1 15Un número menos 20.El doble de un número.El triple de un número. 3x
El cuádruple de un número. La suma de dos números. El doble de un número más 12. El triple de un número menos 4. 3m 24La mitad de un número.
La mitad de un número menos 7. x
2 27
Dos terceras partes de un número. Un número dividido entre otro. El producto de dos números. xy
El producto de dos números más 5. La mitad del producto de dos números.5 menos un número. 5 2 b2 000 menos un número. 6 más un número. Un número más la mitad del mismo. Ocho veces un número. Un número al cuadrado. Un número al cubo. m3
Un número elevado al exponente ocho.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
105
3 marina compróun terrenode200metros cuadrados.ellapuede elegir las dimensionesde
acuerdoconsusnecesidades.siquierequelasdimensionesdelterrenoseanmetrosenteros,
¿cuálessonlasdimensionesqueelterrenopuedetener?
a) Hagaundibujoquedescribalasituación.
b)completelasiguientetabla.
c) ¿cuálesfórmulaquepermiteencontrarelanchoapartirdellargo?
4 consigaelsiguientematerial:
• variosobjetosenformadecilindro.
• unacintamétrica.
a) midaeldiámetrodelabasedecadaobjetoyelperímetrodelacircunferencia.
Largo (l) metros 200 100 50 40 20
Ancho (a) metros cuadrados
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
106
c)dividaelperímetrodecadacircunferenciaentrelalongituddeldiámetro
correspondiente,¿quéresultadoobtiene?
d)¿esconstanteentodosloscasos?
e) ¿cuáleslafórmulaparacalcularelperímetrodelacircunferenciaapartirdela
longituddeldiámetro?
5 realicelosiguiente.
• tomeunpalolargoymídaloconunacintamétrica.
• marqueendondellegalamitad.
• enunextremocuelgueunkilogramodealgo(unapesa,frijolesomaíz).
• cuelgueenelotroextremodoskilogramosdealgo.
• apóyeloalamitadsobreunabase.
a) ¿quésucede?
b)busquelamaneradeponerloenequilibriosinquitarpesodeningúnlado.
c) ¿dequémanerapuedelograrlo?
d.)¿cuálesladistanciaentreelobjetoquepesaunkilogramoyelpuntodeapoyo?
b)registrelosdatosenlatablasiguiente.
Longitud del diámetro en cm (d)
Perímetro de la circunferencia en cm (C)
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
107
e) ¿cuálesladistanciaentreelpesode2kilogramosyelpuntodeapoyo?
F) Hagaundibujodelasituación.
escribalosresultadosenlasiguientetabla.
¿cómopuedeconocerd2apartirdeconocerlasotrastrescantidades?
Peso del objeto ( p)( p1)1 kg
( p2)2 kg
Distancia (d )(d1) (d2)
6 analicelosdatosdelatablasiguientereferentesamedidasdecuadrados.complételay
realiceloqueseleindica.
Largo (l), centímetros 1 2 3 4 5 6 7 8
Área (A), centímetros cuadrados
1 4 9 16 36
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
108
a) ¿alduplicarlamedidadelladodeuncuadrado,suáreaseduplica?
¿quésucedeconelárearespectoaláreainicial?
b)dibujeuncuadradode1cm2deáreayuncuadrado9cm2deárea.
c) ¿altriplicarlamedidadelladodeuncuadrado,suáreasetriplica?
¿quésucedeconelárearespectoaláreainicial?
d)¿quépasaconeláreadeuncuadradoalcuadriplicaryquintuplicarlamedidadesus
lados?
e)escribalafórmulaparacalculareláreadeuncuadrado.
F) analicelosdatosdelasiguientetablaycomplétela.
Lado (l) 5 10 15 20 25 30 35
Área (A) 25 100 225 400 625 900 1 225
25(2)(2) 25(3)(3) 25(4)(4)
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
109
g)óscarescribiólascantidadesqueaparecenenelúltimorenglónporquedicequesi
seduplicalamedidadelosladosdeuncuadrado,eláreaoriginalsemultiplicapor
22;sisetriplicalamedidadeloslados,eláreaoriginalsemultiplicapor32;cuando
secuadriplicalamedidadeloslados,eláreaoriginalsemultiplicapor42yasí
sucesivamente.¿tienerazón?
H)unalonaquemide4mdeanchopor6mdelargocuesta$234.00,
¿cuántocostaráunalonadelamismacalidadquemide8m312m?
i) alaumentareldiámetrodeuncírculoaltriple,¿cuántoaumentasuárea?
7 analice los datos de la tabla siguiente referentes a medidas de los volúmenes de cubos.
complételayrealiceloqueseleindica.
a) ¿alduplicarlamedidadelaaristadeuncubo,¿quésucedeconelvolumenrespectoal
volumendelcuboinicial?
b)Hagaeldibujodeuncubodearista1ydeuncubodearista2.
Arista (l) 1 2 3 4 5 6 7 8
Volumen (V) 1 8 27 125 343
Autoevaluación Unidad 3
1 encadamovimientounaarañarecorrelamitaddeladistanciaquelaseparadesupresa.
Ladistanciaquelaseparadeunamoscaesb,¿cuántorecorreráenelprimermovimiento?
2 mireasualrededoreidentifiquetodoslosobjetosquetienenformacuadrada.
a)dibujeunobjetodelosquevioyalladodibujeuncuadradoquerepresenteatodos
losobjetoscuadradosquevio.
b)escribaunaletraquerepresentelamedidadelladodecualquiercuadrado.
c)¿cuáleselperímetrodelcuadrado?
3 dibujecuatrocuadradosdelmismotamaño,unojuntoaotroparaformarunrectángulo
largo.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
110
a)elijaunaletrapararepresentarlamedidadelladodecadacuadrado.
b)¿cuántomideelanchoyellargodelrectánguloformado?
c)¿cuántomideelperímetrodelrectángulo?
4 simplifiquelassiguientesexpresionesalgebraicas.
a) x1x1x1x= b)12x1x=
c) l12l16l= d)8b22b=
5 calculeelvalornuméricodelassiguientesexpresionesalgebraicas.
sib=12,l=20,a=5,h=30ym=1:
a) 9b= b)15h=
c)2l15a= d)5m2m=
e)2m116b= F) 24l17h=
g)3h 1 l= H)12a15b=
6 analicelasiguientesucesión.
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...
a)elprimernúmerodelasucesiónes5;elsegundo,10,etcétera.¿quénúmeroocupará
laposición100enlasucesión?
b)escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.
c)analicelasiguientesucesión.
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, ...
¿enquéseparecealaprimera?
¿enquéesdiferente?
d)escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
111
7 escribaunasucesiónquerespondaalaexpresión4n11.
8 escribalostérminosfaltantesenlassiguientessucesiones.
a) 4, 9, 14, 19, , , 34, 39, ....
b)1, 3, 6, 10, , , 28, ...
c)125, 122, 119, , , ....
d) , , 33, 44, 55, ...
9 salvadorllenóeltanquedegasolinadesucamioneta.alllegaralagasolinería,laaguja
marcaba40 litros. La tabla muestra cuántos litros eran registrados a los2 segundos,
4segundosyasíhastaquesellenóeltanque.
a) ¿cuálessonlosvaloresdelcuandotvale6,8,10y12?
b)escribaunaexpresiónalgebraicaquepermitacalcularlacantidaddelitros(l)con
relaciónaltiempo(t).
10 elpreciodeunantecomedorestácompuestoporelpreciodelamesamáselpreciodecada
unadelassillas.
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicasOperaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
112
Tiempo en segundos (t) 0 2 4 6 8 10 12
Litros (l) 40 44 48
Número de sillas (x) 2 4 6 8 10
Precio total (y)mesa con sillas $1 100 $1 400
a) ¿cuálesladiferenciaentreelpreciodelantecomedorcon2y4sillas?
b) ¿cuáleselpreciode2sillas?
c)completelatabla.
d)escribaunaexpresiónquerelacioneelpreciototalconelnúmerodesillasque
requieraelcomprador.
11 carloscompróunterrenode240metros.élpuedeelegirlasdimensionesdeacuerdocon
susnecesidades.siquierequelasdimensionesdelterrenoseanmetrosenteros,¿cuáles
sonlasdimensionesqueelterrenopuedetener?
a) Hagaundibujoquedescribalasituación.
b)completelasiguientetabla.
c)¿cuáleslafórmulaquepermiteencontrarelanchoapartirdellargo?
Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicasOperaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas
113
Largo (l) 240 120 80 60 40 30 24 20
Ancho (a)
UNIDAD 4UNIDAD 4En esta unidad, usted:
• Aplicará la noción de ecuación de primer grado e incógnita.
• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma x 1 a = b y a 2 x = b.
Ecuaciones de primer grado
• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma
ax = b y xa
= b
• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma
ax 1 b = c y xa
1 b = c
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
116
¿Hatenidoquerepartirenpartesiguales
sincontarconelinstrumentoadecuado
paramedir?,¿cómolohahecho?comenteconsu
asesoroasesora.
muchasvecesrepartimosequitativamente(enpartes
iguales)usandoobjetosnoconvencionalespara
medir,porejemplo,medimostelaconlosbrazos
abiertososemillasconbotes.
1 rosalíanecesitapesar3kgdefierro,¿cómolopuedehacersisólotieneunabalanzayuna
pesa5kgyotrade2kg?dibujelabalanza,buscandounasolución.
2 doshermanosdeseandividirequitativamente5botesde20litrosdecremacadauno,3botes
de5litrosy5botesde1litro.
sintenerqueabrirningunodelosbotes,¿cómopuedenhacerlarepartición?
Propósito: Usted aplicará la noción de ecuación de primer grado e incógnita.
Actividad 11 Con un poco de ingenio
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
117
3 urieltienequemedir4litrosdelecheysólotieneunamedidade3litrosyunade5litros.
además, sólo tiene el recipiente donde está toda la leche y las dos medidas. ¿cómo puede
hacerlo?
observelaformaenqueolgayLuperazonananteunasituaciónsimilar.
¡Vamos a ver! Tengo un reloj de
arena que dura 9 minutos y uno
que dura 4 minutos, y quiero
medir 5 minutos.
Pongo los dos al mismo tiempo y
empiezo a medir cuando se acaba
el reloj de 4.
¡Claro! Porque lo que se
busca es una igualdad.
5 = 9 2 4
5 = 5
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
118
Resolvamos otros problemas
4 rodrigogana$45.00másqueóscar.rodrigogana$925.00.¿cuántoganaóscar?
5 Lasmedidasdeunparqueconformacuadradasonde6mporlado.¿cuántomideelperímetro
delparque?
a) escribalafórmula.
b)realiceloscálculos.
unaigualdadindicaquedosexpresionesrepresentanunmismonúmero.
ejemplos.
4 = 416 = 2(8)6x 1 4 = 28p = 3l
unafórmulaesunaigualdadqueindicaunaafirmacióngeneralizada.
ejemplo.
p = 3l
eselperímetrodecualquiertriánguloequilátero.
unaecuaciónesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas,enlascualeslasliterales
representanincógnitas.
ejemplo.
¿quénúmeroalsermultiplicadopor8da40?
sepuederepresentarenlaecuaciónsiguiente:
8x = 40
dondexeslaincógnita.
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
119
• Solución es el valor que al sustituirlo en la ecuación por la incógnita permite llegar a
una identidad.
Ejemplo.
8(5) = 40
40 = 40
• Miembros de la ecuación. Una ecuación está formada por el signo = y dos
miembros, el primer miembro se encuentra a la izquierda del signo = y el segundo, a
la derecha.
Ejemplo.
8x = 40
Primer miembro Segundo miembro
• Una ecuación de primer grado se caracteriza porque las literales o incógnitas
están elevadas al exponente uno.
Ejemplos.
8x = 40
7y 1 6z = 79
En estos casos, x, y y z están elevados al exponente 1, pero no se acostumbra
escribir x1.
6 Juan tiene dos relojes de arena, uno que dura 11 minutos y otro que dura 3 minutos, ¿cómo
le hace para medir 5 minutos?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
120
7 escribaelnúmerooexpresiónquefaltaparacompletarlaigualdad.
a) 8 1 5 = 9 1 b)45 2 5 = 9 1
c)9w 1 6w = 4w 1 d)96a 2 17a = 60a 1
Propiedades de la igualdad
elsumarunmismonúmeroaambosmiembrosdelaigualdadnolaaltera.esdecir,el
resultadoeselmismoenambosmiembros.
ejemplo.
7 1 8 = 10 1 5
alsumar12: 7 1 8 1 12 = 10 1 5 1 12
27 = 27
elrestarunmismonúmeroaambosmiembrosdelaigualdadnolaaltera.esdecir,el
resultadoeselmismoenambosmiembros.
ejemplo.
30 1 15 = 40 1 5
alrestar23: 30 1 15 2 23 = 40 1 5 2 23
22 = 22
almultiplicarambosmiembrosdelaigualdadporunmismonúmero(diferentede
cero),seobtieneigualresultadoenambosmiembros.
ejemplo.
4 1 3 = 2 1 5
almultiplicarpor15: 15(4 1 3) = 15(2 1 5)
105 = 105
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
121
aldividirambosmiembrosdelaigualdadentreunmismonúmero(diferentedecero),
seobtieneigualresultadoenambosmiembros.
ejemplo.
15 1 12 = 13 1 14
aldividirentre3: 15 1 12 = 13 1 14 3 3
9 = 9
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
122
¿Lehapasadoquevaacompraryno
haycambio?,¿hasalidodelatienda
condudasilehabrándadobienelcambioole
dierondemásodemenos?comenteconsuasesor
oasesora.
daryrecibircambioesunasituacióntan
cotidianaqueparecieranotenerningún
problema.sinembargo,conmuchafrecuencia
dudamossielcambioquedimosorecibimosfuecorrecto.
1 bety es cajera de una zapatería. esta mañana tuvo que cobrar $178.00 de un billete de
$200.00.ellalepreguntóalclientesi traíacambioyélledijoquesólotraía$3.00,ella
aceptó.¿cuántotienequeregresardecambio?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?esdecir,¿cuáleslapreguntaquehayque
responder?
b)elijaunaletraquerepresentelaincógnita.
c)paraplantearunaecuaciónquelepermitaconocerlaincógnita,escribael
dineroqueelclienteestápagandomás(1)elcambioquelesolicitólacajera:
estoseráelprimermiembrodesuecuación
(no realice la operación).
d)escribaelpreciodeloszapatosmás(1)elcambioque,enestecaso,estárepresentado
porlaletraqueustedeligió.
estoseráelsegundomiembrodesuecuación.
Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma x + a = b y
a – x = b.
Actividad 12 El cambio
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
123
e)escribalaecuacióncompleta.
F) pararesolverlaecuación,realicelaoperaciónindicadaenelprimermiembrodela
ecuación.
ahoratienequedespejarlaincógnita,esdecir,dejarsolaalaincógnitaenun
ladodelaecuación.recuerdequeparaconservarlaigualdad,siustedaumentao
disminuyealgodeunlado,lotienequehacerdelotro.
g)¿cuántotienequerestarenelsegundomiembrodelaecuaciónparadejarsolaala
incógnita? ¿cuántotienequerestaralprimermiembro?
H)realicelaoperación.
i) ¿cuántotienequeregresardecambio?
J) sielclientelehubieradado$28.00,¿conquéecuaciónpodríaconocerelcambioque
tendríaquedarle?
K) ¿cuántohubierasido?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
124
=
observelaformaenqueramonarazonaunasituaciónsimilar.
Como sólo tengo un billete de $100.00 y uno de $50.00,
entonces tengo que pedirle $16.00 más al cliente.
Así, quedamos iguales, él me da en total $500.00 más
$16.00 y yo le entrego $366.00 en mercancía y $150.00
de cambio.
500 1 16 = 366 1 150
516 = 516
¿Y si sólo tuviera un billete de $200.00
para dar el cambio?
– ()
¡Vamos a ver! Si tengo que cobrar $366.00 de un
billete de $500.00 y no hay cambio,
primero tengo que ver que el cambio que debo dar
son $134.00.
Entonces, tengo que buscar billetes y monedas que
sean una cantidad igual de dinero.
Lo anterior es similar a plantear la siguiente ecuación:
134 = 150 – x
donde x representa la cantidad que debe darme el
cliente si le doy $150.00 de cambio.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
125
Lo que significa que tengo que pedirle $66.00
más al cliente.
Así, quedamos iguales, él me da
$500.00 más $66.00 y yo le entrego $366 en
mercancía más $200.00 de cambio.
500 1 66 = 366 1 200
566 = 566
Si tengo que cobrar $366.00 de un billete de
$500.00 y sólo cuento con un billete de $200.00
para dar cambio, ¿cómo planteo la ecuación?
El cambio que debo dar sigue siendo $134.00.
Para que pueda darle los $200.00 al cliente,
tengo que plantear la siguiente ecuación:
134 = 200 2 x
donde x representa la cantidad que debo de
pedir al cliente para completar los $200.00.
= – ()
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
126
Resolvamos otros problemas
2 araceliessupervisoradecalidad.encontróquelosrefrescosdelitro
ymediotraenmenorcantidad.¿cuáleslacantidaddelíquidoque
faltaaunenvase?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita.
c)almedirlacantidadderefrescoquetraeelenvase,encontróquesólotrae1.32litros.
escribaelcontenidototaldelenvasecomolasumadeloquetraemásloquelefalta,
esdecir,máslaincógnita.
d)planteelaecuaciónescribiendoenunmiembrolasumaqueacabausteddeescribiry
enelsegundomiembroeltotalquedeberíatraer.
e) ¿quénecesitahacerparaconocerelvalordelaincógnita?
F) ¿quécantidadderefrescofaltaaunenvase?
paraplantearunaecuaciónquedérespuestaaunproblema,esnecesario:a. Leercondetenimientoelproblema.b. analizarcómoestánrelacionadoslosdatosdelproblema.siesnecesario,hacerun
dibujodeloselementosdelproblema.
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
127
c. encontrarcuáleslapreguntaquesequiereresponderyelegirunaletraque
representelacantidaddesconocidaoincógnita.
d. plantearlaecuaciónquerepresentalasituación.
e. asegurarsequelaecuaciónrepresentalasrelacionesqueindicaelproblemayquelos
miembrosdelaecuaciónsonequivalentes.
F. resolverlaecuación.
g. verificarquelarespuestaobtenidacumplelascondicionesdelproblema.
3 Latemperaturadelhornoestabaa250 °cyelpasteldebióhornearsea180 °c,¿porcuántos
gradossepasóelhorno?
a) ¿cuáleslaincógnita?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita.
c)escribalatemperaturaalaqueestabaelhornoyréstelelosgradosquelesobraban.
¿aquédebeserigualesto?
d)escribalaecuacióncompletayresuélvala.
4 Lucíatiene7años,¿cuántosañoslefaltanparapodervotar?
a) ¿aloscuántosañosseobtieneelderechoavotarennuestropaís?
b)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.
c)resuélvala.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
128
5 patypagó$167.00 porunostenisquecostaban$217.00.¿cuántoledescontaron?
a) planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.
b)resuélvala.
6 marycompró$286.00demercancía.alpagarconunbilletede$500.00,lacajeralepidió
$36.00más.¿cuántodinerotienequeregresarledecambio?
a) planteeunaecuaciónpararesolverelproblema.
b)resuélvala.
c) ¿cuántohubieratenidoqueregresarledecambiosidoñamarylehubieradado
$86.00másenlugardelos$36.00?
d)planteeunaecuaciónpararesolverelproblema.
e)resuélvala.
7 resuelvalassiguientesecuaciones.
a) a 1 23 =45
b)892b=97
c)m256=206
d)5=c29
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
129
• Para resolver una ecuación de la forma x 1 a = b, donde x es la incógnita, se resta
a en ambos lados de la ecuación:
x 1 a = b
x 1 a 2 a = b 2 a
Como a 2 a = 0
x = b 2 a
Ejemplo.
x 1 65 = 135
x 1 65 2 65 = 135 2 65
x = 135 2 65
x = 70
• Para resolver una ecuación de la forma a 2 x = b, donde x es la incógnita, se
resta a en ambos lados de la ecuación:
a 2 x = b
a 2 a 2 x = b 2 a
Como a 2 a = 0
2 x = b 2 a
Para que el valor de x quede positivo, se multiplican ambos miembros de la ecuación
por (21):
x = 2 b 1 a
Ejemplo.
45 2 x = 8
45 2 45 2 x = 8 2 45
2 x = 8 2 45
2 x = 2 37
2 (2 x = 237)
1 x = 37
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
130
Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma ax = b y x
a = b.
Actividad 13 Agua malgastada
¿ustedcuentaconserviciodeaguapotable?¿tieneproblemasparaconseguirelaguaqueconsumediariamente?comenteconsuasesoroasesora.
elaguaesunlíquidoesencialparalavida,queademásdebeber,lousamosenmúltiplesactividadesdiarias,comosonbañarse,lavartrastes,lavarselosdientes,etcétera.
1 LaRevista del Consumidorrealizóuncálculoparaconocerlacantidaddeaguaquepuedemalgastaraldíaunafamiliade5miembros.Losresultadosfueronquelafamiliamalgastó580litros.¿cuántoslitrosmalgastaunsolomiembrodelafamilia?
a) paraconocercuántoslitrosmalgastacadamiembrodelafamilia,uselaletrapcomoincógnitayescribalaecuaciónquerelacionalosdatos.
asegúresequelaecuaciónrepresentalosdatosdelproblemaylosdosmiembrosdelaecuación
sonequivalentes.
resuelvalaecuación.
verifiquequeelresultadoescorrecto.
b)¿cuáleselresultado?c)comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
131
2 Lafamiliamalgasta29cubetasdeagua,loquedauntotalde580litros.¿decuántoslitrosescadacubetadeagua?
a) utilicelaletraxcomoincógnitayplanteeunaecuaciónquelepermitacalcularelnúmerodelitrosquelecabenaunacubeta.
asegúresequelaecuaciónrepresentalosdatosdelproblemaydequelosdosmiembrosdelaecuaciónsonequivalentes.
resuelvalaecuación.
verifiquequeelresultadoescorrecto.
b)¿cómolohizo?c) ¿cuáleselresultado?comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.
paramultiplicarunafracciónporunnúmeroentero,seescribeelnúmeroenterocomofracciónysemultiplicanumeradorpornumeradorydenominadorpordenominador:
2
7 35 =
2
7 3
5
1 =
10
7
sesigueelmismoprocedimientocuandoseusanincógnitas:
( 2
7 )( x )= ( 2
7 )( x
1 )
= 2x
7
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
132
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observecómoLilianaresuelve
unasituaciónsimilar.
Para saber cuánta agua gasta cada miembro de la
familia puedo plantear la siguiente ecuación:
5 d = 700
donde d representa la cantidad de litros de agua
que gasta un miembro, por lo que al multiplicarlo
por 5 me tiene que dar 700, que es la cantidad
total de litros de agua que gastan para bañarse.
Resolverla es sencillo. Solo tengo que despejar d, es
decir, dejar sola a d en un miembro de la ecuación.
unafamiliade5miembrosgastadiariamente700litrosdeaguaparabañarse.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
133
Para verificar, sustituyo el valor de d en la ecuación
y realizo las operaciones:
5d = 700
5(140) = 700
700 = 700
Se conservó la igualdad, lo que indica que el
resultado es correcto.
¡Cada miembro gasta 140 litros
de agua para bañarse!
5d = 700
Como 5 está multiplicando a d, tengo que dividir
entre 5 los dos miembros de la ecuación:
5d5
= 7005
d = 140
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
134
Resolvamos otros problemas
3 al “barrer” la calle con lamanguera segastan105 litrosdeagua, ¿a cuántas cubetasde
20litrosequivale?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita.
c)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.
d)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.
e)resuelvalaecuación.
F)escribaelresultadoyverifiquequeescorrecto.
4 Lealainformaciónquesepresentaenelrecuadrodela
derechayrealiceloqueselepide.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
135
Para verificar, sustituyo
el valor de x en la
ecuación y realizo las
operaciones:
x3
= 22
663
= 22
22 = 22
La igualdad indica que el
resultado es correcto.
a) planteeunaecuacióndondelaincógnitasealacantidaddegramosdepolloquese
requierenparaconsumireltotaldeproteínasdiariasrecomendadas.
b)resuélvala.
c)escribaelresultadoyverifiquequeescorrecto.
observecómoJoséJuanresuelveunasituaciónparecida.
La comida en ese lugar cuesta $22.00, una tercera parte de lo que cuesta en el
restaurante. ¿Cuánto cuesta una comida en el restaurante?
Una vez planteada la ecuación x3
= 22 , tengo que despejar la incógnita. Como 3 está
dividiendo, entonces tengo que multiplicar por 3.
Quiere decir que cierta
cantidad entre 3 es igual a
22. Es decir, x3
= 22
¡La comida en el
restaurante cuesta
$66.00!
x3
= 22
(3)( x3 ) = (22)(3)
x = (22)(3) x = 66
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
136
todonúmerodiferentedecerodivididoentresímismoesigualauno,así: 4
4 = 1porloque 4x
4 =1x
todonúmerodiferentedeceromultiplicadoporunoesigualasímismo:
1x=x
•
•
5 al usar un sistema ahorrador de agua en el sanitario, una familia de5 integrantes gasta
180litros,lamitaddeloquegastaencondicionesnormales.¿cuántogastaencondiciones
normales?
a) ¿cuáleslaincógnitaenelproblema?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita.
c)estudiecómoestánrelacionadoslosdatosyplanteeunaecuaciónquerepresenteel
problema.
d)asegúresedequeescorrecta.
e)resuélvala.
F)escribalarespuestaalproblemayverifiquequeseacorrecta.
6 elperímetrodeunpatiocuadradoesde32m,¿cuántomidesulado?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)escribalafórmulaparacalcularelperímetrodelcuadrado.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
137
c) ¿quédatosconoceycuállefaltaporconocer?
d)¿cómomodificaríalafórmulaparaencontrarlamedidabuscada?
e)realicelasoperaciones.
F) verifiquesusrespuestas.
7 elproblemade la contaminación seríamenosgrave si se reciclaranalgunosproductos, es
decir,silaspiezasdeciertosproductosquesedesechansereutilizaranparalaelaboraciónde
nuevosproductos.
tansólo,conlosteléfonoscelularesdesechadosenunañopodríarescatarse50 toneladasde
plomo,loquerepresentaunaveintisieteavaparte( 1
27)deloquepodríarecuperarsedecobre.
¿cuántastoneladasdecobrepodríanrecuperarse?
a) planteelaecuaciónquelepermitaresolverelproblema.
b)resuélvala.
c) ¿cuántastoneladasdecobreserecuperaríanalañoalreutilizarlosteléfonoscelulares
quesedesechan?
d)verifiquequesurespuestaseacorrecta.
consulteelmóduloPor un mejor ambienteparaconocerformasdeahorrarelaguayde
reciclaralgunosproductos.
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
138
8 un señor cobraeldobleque suhijoporhacerun trabajo.estemes entre losdosganaron
$4 500.00,¿cuántoganóelpapáycuántoelhijo?
a) planteelaecuaciónquelepermitaresolverelproblema.
b)resuélvala.
c) ¿cuántoganóelpapá? ¿cuántoelhijo?
d)verifiquequesusrespuestasseancorrectas.
9 resuelvalassiguientesecuaciones.
a) 3d=15
b)5x=125
c)6a1a=77
d)35b2 b=306
e) a
7 =4
F) m
9 =9
g)x
25 =38
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
139
pararesolverecuacionesdelaforma
ax=b
bastacondespejaraxlocualse
lograaldividirambosmiembros
delaecuaciónentrea.
ax= b
ax
a = b
a
x =b
a
ejemplo.
5x= 950
5x
5 = 950
5
x = 950
5
x = 190
•
•
pararesolverecuacionesdelaforma
x
a =
b
bastacondespejarxlocualselogra
almultiplicarambosmiembrosdela
ecuaciónpora.
x
a =
b
( x
a )a =
(b)a
x= (b)a
ejemplo.
x
16 =
9
( x
16)16 = (9)16
x= (9)(16)
x= 144
•
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
140
Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma
ax + b = c y xa
+ b = c.
Actividad 14Grandes construcciones
¿conocealgunasdelasconstruccionesquehayenlaciudaddeméxico?,¿quéconstrucciones
hayenellugarenqueustedvive?comenteconsuasesoroasesora.
debidoalasobrepoblaciónquehayeneldistritoFederalsehacenecesarialaedificaciónde
másconstrucciones.porejemplo,porlagrancantidaddeautomóvilesquecirculanenla
ciudadexisteunagrandemandadelugaresparaestacionamiento.
Fuente:periódicoEl Universal,domingo29demayode2005,p.c2,
comunidadyservicios.
1 sobrelaavenidaJulio
vernecasiesquinacon
reformaquierenhacer
unestacionamiento
subterráneo.La
propuestasemuestraa
continuación:
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
141
a) estudiecondetenimientoeldibujo.
¿cuáleslaincógnita? ¿quéesloquerepresenta?
b) ¿quédatosseconocen?
c) ¿cuáldeellosesinnecesarioparaconocerelvalordelaincógnita?
d)planteeunaecuaciónquelepermitaconocerelvalordelaincógnita.
e)resuélvalayverifiquequesuresultadoseacorrecto.
F) ¿cuáleselanchodecadahileradecajones?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
142
La incógnita es la medida del diámetro de los
semicírculos. En el dibujo está representada
por la letra d.
Conozco las medidas del ancho del puente y
de las partes que complementan los diámetros
de los semicírculos.
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanterioresestudieelrazonamientode
antonioyFilemón.
antonioyFilemónnecesitanconocereldiámetrodelossemicírculosquesostienenelpuente.
8,5 m
3,5 m
0,8 m
d d
0,8 m1,6 m
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
143
Tienes razón, el diámetro de
cada semicírculo es 2.65 metros.
¡Compruébalo!
¡Ahora! Para despejar d primero
hay que quitar el 3.2:
2d 1 3.2 2 3.2 = 8.5 23.2
2d = 5.3
Después el 2 :
2d
2 = 5.3
2
d = 2.65
La ecuación de la situación anterior es:
0.8 1 d 1 1.6 1 d 1 0.8 = 8.5
Simplificando:
2d 1 3.2 = 8.5
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
144
Resolvamos otros problemas
2 doñaadelitarecibióentotal$2 900.00por4 semanasdetrabajoyunacompensaciónde
$300.00.¿cuántoganasemanalmente?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita. planteeuna
ecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.
c)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.
d)resuelvalaecuaciónyverifiquequeescorrectoelresultado.
e) ¿cuáleselsueldosemanaldedoñaadelita?
3 en el año 2000 un importante empresario proyectó la construcción de un santuario en
guadalajara.paraelaño2004elproyectohabíaperdidoterrenoparalaconstrucciónpues
apenassuperabacon1.6hectáreaslamitaddeloplaneadoinicialmente,yasólocontabacon
9.6hectáreasparalaconstrucción.¿cuántashectáreasmedíainicialmenteelterrenoparael
santuario?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita. planteeunaecuaciónque
relacionelosdatosdelproblema.
c)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.
d)resuelvalaecuaciónyverifiquequeescorrectoelresultado.
e) ¿concuántashectáreassecontabaparaconstruirelsantuario?
F) ¿cuántashectáreasseperdieronparalaconstrucción?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
145
observecómoplanteayolandalasiguientesituación.
La cuarta parte de la caja de chocolates más 3 son 15 chocolates.
¿Cuántos trae la caja?
Se puede plantear la ecuación:
x
4 1 3 = 15
Primero quito el 3 restándolo en
ambos miembros de la ecuación:
x
4 1 3 = 15
x
4 1 3 2 3 = 15 23
x
4 = 12
¡Ahora! Para despejar a x, multiplico
por 4 ambos miembros de la
ecuación:
( x
4 )(4) = (12)(4)
x = 48
La caja trae 48 chocolates.
¡Compruébalo!
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
146
4 sobreperiféricohayunedificioconlasiguienteformaymedidas:
Lamacetaestáa4.1mporencimadelsuelo,yaunaquintapartedelaalturadeledificio
menos1.5m.¿cuáleslaalturadeledificio?
a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?
b)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.
c)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.
d)resuelvalaecuaciónyverifiquequeescorrectoelresultado.
e) ¿cuáleslaalturadeledificio?
5 Jimenaahorró$700.00,lefaltan$60.00paratener4veceslacantidaddedineroquetiene
rosita.¿cuántodinerotienerosita?
maceta
h
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
147
6 enunanunciocolocaron5 focos,quejuntosconsumen475wattsdeenergíaeléctrica.el
primeroesde100watts,elsegundode150wattsylosotros3consumenigualcantidadde
energíaeléctrica.¿cuántoswattsconsumecadaunodelosúltimos3focos?
7 LafórmulaparaconvertirgradoscentígradosaFahrenheites:
°F =9
5 °c 1 32
a) despeje°cparaencontrarlafórmulaparaconvertirgradosFahrenheitacentígrados.
LafórmulaparaconvertirgradosFahrenheitacentígradoses:
°c =5
9 (°F232)
b)compárelaconelresultadoqueustedobtuvo.c) ¿cometióalgúnerror? ¿cuál?
paraconvertir15 °ca°F:
F=9
5 °c132
°F=9
5 315132
=135
5 132
=27132
59°F
• paraconvertir120 °Fa°c
c=5
9 (°F232)
°c=5
9 3(120232)
=5
9 388
=440
9
48.8°c
•
-20
-10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
°C °F
Punto deebullición
Punto decongelación
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
148
8 maríatienequecocinarunpastela200 °c,perosuhornoestágraduadoengradosFahrenheit.
¿acuántosgradosdebedehornear?
9 Felipecomprócarnemolidadepollo.enlaetiquetadicequesedebecocinara165 °F,pero
él solo tieneun termómetroparamedir temperaturade lacarneengradoscentígrados. ¿a
cuántosgradoscentígradostienequecocinarlacarne?
pararesolverunaecuacióndela
forma x
a 1b =
c
pararesolverunaecuacióndela
forma ax 1 b = c
ax 1 b = c
ax 1 b 2 b = c 2 b
ax = c 2 b
ax
a =
c 2b
a
x =c 2b
a
ejemplo.
5x 1 10 = 280
5x 1 10 2 10 = 280 2 10
5x = 270
5x
5 =
270
5
x = 54
x
a 1 b = c
x
a 1 b 2 b = c 2 b
x
a = c 2 b
(x
a )(a) = (c 2 b) (a)
x = (c 2 b)(a)
ejemplo.
x
9 130= 84
x
9 130230= 8423
x
9 = 54
(x
9 )(9) = (54)(9)
x = 486
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
149
Para saber más
ensurevistadeLecturas,lea“¿vivirsinmatemáticas?¡imposible!”,ycontestelassiguientes
preguntas:
1. mireasualrededoryescribaelnombredetodosaquellosaparatosysituacionesque
requierendelasmatemáticasparasufuncionamiento.
2. ¿cuálhasidoelpapeldelacomputacióneneldesarrollodelasmatemáticas?
paraconocerotrassituacionesdondelasmatemáticasestánpresentes,resuelva“tráficoen
labrecha”ensuFolleto de juegos.despuésreflexioneenquéotrassituacionesseaplicanlas
matemáticas.
1
1 2 2
2
2
2
1
1 2 2
Autoevaluación Unidad 4
1 ¿cómoleharíaparamedir7litrosdelechesisólotieneunamedidade5yunade3 litrosy
elrecipientedondeestátodalaleche?
2 planteeunaecuaciónquerepresentelasiguientesituación:“Latercerapartedeunnúmero
másdosesiguala20”.
3 pánfilocompró$27.00depanypagóconunbilletede$200.00;lacajeralepidió$3.00
yledio$170.00decambió.¿Ledieronbiensucambio?
a) planteeunaecuaciónquerepresentelacantidaddedineroqueestádandopánfiloylo
quelacajeraleestáregresandomásloquefalta.
b)resuelvayverifiquesurespuesta.
c) ¿cuántodineroperdiópánfilo?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
150
4 analicelasiguientesituación.
a) planteeunaecuaciónquerepresentelasituaciónanterior.
b)resuélvalayverifiquesurespuesta.
c) ¿cuántovalex?
5 analicelasiguientesituación.
a) planteeunaecuaciónquerepresentelasituaciónanterior.
b)doñamarytieneunportadordefrascosdecondimentoscomoelanterior,perosele
quebróunfrasco.ellaquierecomprarlo,¿quédiámetrodebetenersufrascoparaque
quepaensuportador?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
151
17,5 cm
d
Orégano
õ
ö
Clavo õ
ö
Canela õ
ö
Sal õ
ö
165 cm
85 cm
x
6 unahojadetriplayestresvecesmáslargaqueanchaytieneunperímetrode9.6m.¿cuáles
sonsusmedidas?
a) Hagaundibujoquerepresentelasituaciónplanteada.
b)planteelaecuaciónyresuélvala.
c) ¿cuálessonlasmedidasdelahojadetriplay?
7 paraproducirunkilogramodecarnedepolloserequieren5 000litrosdeagua,unatercera
partedeloqueserequiereparaproducirunkilogramodecarnederes.¿cuántoslitrosdeagua
serequierenparaproducirunkilogramodecarnederes?
a) planteelaecuaciónyresuélvala.
b) ¿cuántoslitrosdeaguasenecesitanparaproducirunkilogramodecarnederes?
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
152
8 Losterrenosdedonandrésproducen1 500kgdetabaco,100kgmenosque3
4 partesde
loqueproducíanhacealgunosaños.¿cuántoskilogramosdetabacoproducíanantes?
a) ¿cuáleslaincógnita?
b)elijaunaletrapararepresentarla.
c)planteelaecuaciónyresuélvala.
d)¿cuántoskilogramosdetabacoproducíalatierrahacealgunosaños?
9 resuelvalassiguientesecuaciones.
a) 80 1 x = 135
b)189 2 y = 39
c)9c=345
d)8d 1d =63
e)6m23m =33
F) 27x 1 5 = 32
g)89x 2 5 = 21 152
H)x
4 1 3 = 14
i)m
6 224 = 422
J)n
25255 =890
Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado
153
UNIDAD 5UNIDAD 5 Relaciones en plano cartesiano
En esta unidad, usted:
• Resolverá problemas que involucran la relación entre dos variables.
• Graficará la relación entre dos variables.
• Resolverá problemas utilizando gráficas.
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
156
Propósito: Usted resolverá problemas que involucran la relación entre dos variables.
Actividad 15 Botella llena
¿Haoídohabardelinspectordebotellallena?,¿algunavezhacompradounrefresco
ocervezamediollenoomediovacío?comenteconsuasesoroasesora.
Laleydecomercioobligaalos
productoresaenvasarlacantidadde
productoqueofrecenenlaetiqueta.
elinspectordebotellallenaseencarga
deverificarquelabotellalleveel
contenidoindicado.
1 david es inspector de botella llena en una fábrica de cerveza. para saber rápidamente la
cantidaddecervezaquefaltaapartirdemedirlaquetienelabotella,élhizounatablacomo
lasiguiente:
dondexrepresentalacantidaddecervezaquecontienelabotellaenmililitrosyy lacantidad
quefaltaenmililitros.
a) ¿quécantidaddecervezadebellevarlabotella?
b) ¿siemprequecambiaelvalordexcambiaeldey?
c) ¿quévalordebetenerxparaqueyvalgacero?
d)¿quévalordebetener yparaquexvalgacero?
x 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315
y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
157
2 analicelasecuacionesquesegúndavidyanarepresentanlarelaciónentrexyy.
david ana
y = 325 2 x y 1 x = 325
a) discutaconsuscompañeros,¿quiéndelosdosestáenlocorrecto?
b)ubiquelosparesdevalores(x,y)quefaltanycompletelagráfica.
205
0
0
20
40
60
80
100
120
140
215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315
Contenido
Falt
ante
Botella llena
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
158
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analiceelrazonamientode
gustavoyuriel.
¡Vamos a ver!
Si cada caja de leche trae 12 litros, la
cantidad de litros que consumimos más
los que quedan debe ser igual a 12.
Lo cual lo podemos representar como
x 1 y = 12
Donde x representa la cantidad de
litros que tomamos en tanto que y, los
que quedan.
También puede ser
y = 12 2 x
Tienes razón, y podemos hacer una
tabla y gráfica como las siguientes:
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
159
cuandounaecuacióntienedosliteralesquerepresentannúmerosdesconocidosypuedeser
resueltaporvariosparesdenúmerosquecorrespondenalosvaloresdelasliterales,sedice
quedichasliteralessonvariables.
porejemplo,enlaecuación:
y = 2x
laxpuedetomarmuchísimosvalores,porejemplo,sixvale1,yvale2;perosixvale2,
yvale4;ysixvale50,yvale100.porloquexyysonvariables.
elvalordeyenlaecuacióndependedelvalorqueseleasigneax,porloquexesla
variableindependienteyylavariabledependiente.
•
•
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Litros consumidos
Litr
os
qu
e q
ued
an
cajadeLeche
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
160
()
Resolvamos otros problemas
3 unaempresaprivadaanuncióqueporcadapesoquelagentedoneparalaluchacontrael
cáncer,aportarádos.
a) elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportarálaempresa.
b) ¿dequédependedichacantidad?
c)elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportelagente.
d)escribaunaecuaciónqueexpreselarelaciónentrelasdosvariables.
e)completelatablaescribiendolasletrasqueeligiópararepresentarlasvariablesylos
valoresquefaltan.
F) elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelosdatosdelatabla.
()
Gente ( )
Empresa ( ) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
161
4 elcochedeagustíngasta1litrodegasolinaporcada12kilómetros.
a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddelitrosdegasolinaquegastaelcochey
laypararepresentarloskilómetrosquerecorre,escribalaecuaciónquerepresentala
relaciónentrelasdosvariables.
b)conbaseenlainformaciónanterior,completelasiguientetabla:
c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelacantidaddelitrosdegasolinay
loskilómetrosrecorridos.
5 Lostaxisdesitiocobran$5.00porcadakilómetrorecorridomás$8.00porservicio.¿cuánto
cobranporunviaje?
a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddekilómetrosdedistanciaenunviaje
ylaypararepresentarelpreciototaldelviaje,escribalaecuaciónquerepresentala
relaciónentrelasdosvariables.
y
x
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 12
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
162
b)conbaseenlainformaciónanterior,completelasiguientetabla:
c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentreloskilómetrosdedistanciayel
precioapagar.y
x
ustedpodráencontrardiferentesecuacionesquerelacionandosvariables,porejemplo:
P = 4l
dondePrepresentaelperímetrodeuncuadradoyllamedidadellado.
tambiénencontraráquegeneralmenteseutilizalaxpararepresentarlavariable
independienteylayparalavariabledependiente,porloqueenlagráficalosvaloresde
lavariableindependientecorrespondenalasabscisasoejehorizontalylosvaloresdela
variabledependientecorrespondenalasordenadasoejevertical.
•
•
variableindependiente:x
variabledependiente:y
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 13 18
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
163
¿Paga usted impuestos?, ¿hace usted declaración de impuestos? ¿Alguna vez ha
pedido una factura para comprobar gastos? ¿Ha oído hablar del IVA desglosado?
Comente con su asesor o asesora.
El Impuesto al Valor Agregado (IVA) es un 16% que pagamos de impuesto por casi todo lo que
consumimos: ropa, zapatos, artículos electrodomésticos, etcétera.
Cuando una persona trabaja en forma independiente puede comprobar gastos por medio de
una factura en la cual debe ir el IVA desglosado, es decir, en la factura deben aparecer el precio
del artículo sin IVA, el 16% sobre el precio del artículo y el precio total.
1 Fernando es cajero de una tienda donde venden artículos como los siguientes:
Propósito: Usted graficará la relación entre dos variables.
Actividad 16 ¡Factura!
Lp fotosmart
435
$1 960.00con IVA con IVA
con IVA
con IVA
con IVA
$3 599.00
$6 180.00 $19 299.00
$6 299.00
Syber-shot
TSD - C43
Lp fotosmart
R707
Proyector Lp
SB-21
Paquete Minilab
Impresora Cámara digital Papel fotográfico Memory Stick
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
164
Con mucha frecuencia Fernando tiene que hacer facturas con IVA desglosado.
Fernando sabe que para calcular el precio de un artículo sin IVA, sólo tiene que sustituir en la
ecuación siguiente, la x por el precio final del artículo:
y = x
1.16
A) Para llenar los datos de la factura, calcule el precio de la cámara de la factura sin IVA.
Calcule el 16% de IVA.
B) Para comprobar si es correcto, sume y compare con el total.
C) Para completar la tabla, encuentre el precio sin IVA de cada uno de los siguientes
artículos. Analice el ejemplo.
ArtículoPrecio final
x
Sustitución del precio final en la ecuación
y = x
1.16
Precio sin IVA
y
Lp fotosmart 435 $1 960.00 y = 1 960
1.16$1 689.65
Lp fotosmart R707
Syber-shot TSD–C43
Proyector Lp SB–21
Paquete Minilab
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
165
Para calcular el IVA de un artículo tienes
que multiplicar por 0.16 el precio, para
después sumar y encontrar el precio
final.
Por lo que finalmente pagas un 116%,
es decir, el 100% de lo que cuesta el
artículo más un 16% de impuesto.
Ahora, si la cámara cuesta $5 999.00
con IVA incluido, quiere decir que ello
es un 116%, que expresado en forma
decimal es 1.16.
Con una regla de tres y expresando los
porcentajes como decimales tenemos:
1.16
1 =
5 999
y
y = (5 999)(1)
1.16
y = 5 999
1.16
2 Fernando desea saber por qué la ecuación y = x
1.16 funciona para conocer el precio de
cualquier artículo.
A) Analice los argumentos que le dan 2 compañeros.
Adriana Gerardo
Vamos a representar el precio sin IVA
con y, y como el impuesto se calcula
multiplicando el precio por 0.16
entonces el impuesto de y es 0.16y.
Por lo que el precio final es la suma de
ambos:
x = y + 0.16y
Como el coeficiente de y es 1
x = 1.16y
donde x representa el precio final.
Ahora, si queremos conocer el precio
sin IVA, lo único que tenemos que hacer
es despejar y.
y = x
1.16
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
166
b) ¿soncorrectoslosdosargumentos?
c) ¿quiéndelosdosargumentaporquélafórmulapuedeaplicarseparacalcularel
preciosinivadecualquierartículo?
d)¿cadaprecioconivacorrespondeaunsolopreciosiniva? yviceversa,
¿cadapreciosinivacorrespondeaunsoloprecioconiva?
Resolvamos otros problemas
3 elimpuestosobrelarenta(isr)representaun10%delasgananciasnetasdeltrabajador.
detalformaquelacantidaddedineroqueunapersonarecibefinalmenteporsutrabajoestá
definidaporlaecuacióny = x – 0.10x
a) enlatablasiguienteasignevaloresdiferentesaxycalculelosvalorescorrespondientes
ayencadacaso.analicelosejemplosyprocurequelascantidadesvayanaumentando
conciertaregularidad.b)grafiquelosdatosdelatabla.
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
167
y
x
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observeelprocedimientode
elena.
¡Vamos a ver!
Me dijeron que para calcular mi salario puedo
usar la siguiente ecuación:
y = 8x + 1 500
Donde y representa el sueldo total quincenal y x la
cantidad de pares de zapatos que venda. Mi sueldo
base es de 1 500 pesos a la quincena.
Voy a hacer una tabla y su gráfica para tener idea de
cuánto puedo ganar a la quincena. Como mínimo voy
a suponer que vendo 15 pares a la quincena.
x y
2300 2 0702600 2 340
x 15 20 25 30 35 40 45 50 55
y 1 620 1 660 1 700 1 740 1 780 1 820 1 860 1 900 1 940
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
168
y
x
4 enlatablasiguiente,asignevaloresaxenlaecuacióny = 2x 1 25ycalculelosvalores
deycorrespondientes.
elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.
15
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
20 25 30 35 40 45 50 55
Número de pares de zapatos
Sueld
o c
on c
om
isió
n
sueldoquincenal
x
y
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
169
pararesolverunaecuacióncondosvariables,hayqueasignarvaloresalavariable
independienteycalcularlosvalorescorrespondientesdelavariabledependiente.por
ejemplo,enlaecuación:
y =x
2
sepuedeasignarvariosvaloresaxparacalcularlosdey,yconellosgraficar.
•
20
0
10
10
20
30
40
50
60
30 40 50 60 70 80 90 100 110
y
x
x 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
y 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
170
Para saber más
1. ¿algunavezsehanegadoaaprenderalgoqueaparentementenotieneunaaplicación
inmediata? ¿porqué?
ensuRevistaLecturas de matemáticas,leaelartículo“matemáticasaplicadas”,ycontestelas
siguientespreguntas:
2. ¿quéseentiendepormatemáticasaplicadas?
3. ¿porquéestandifícilhacerunadistinciónentrelasmatemáticaspurasylasaplicadas?
desarrollesuubicaciónespacialconunpasatiempodelFolletodejuegos llamado“el
zoológico”.
comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
171
Propósito: Usted resolverá problemas utilizando gráficas.
Actividad 17¿Cuál le conviene más?
¿usaustedcelular?,¿conocealguienquelouseconmuchafrecuencia?,¿tieneusted
ideadeloquepuedecostarmensualmentesuuso?comenteconsuasesoroasesora.
actualmenteunagranpartedela
poblaciónmexicanausateléfonocelular.
Lasdificultadesqueexistenparallevar
teléfonosatravésdecableshansido
superadasporlatelefoníacelular,lacual
generalmentecobraportiempoaire,es
decir,sóloporeltiempoenqueseestáen
contactoconotroteléfono.
1 robertodeseaadquirirunteléfonocelular.Leofrecierondosplanes.enmexceltienequepagar
unarentamensualde$180.00más$0.50porcadaminuto,yencelfonlecobran$3.50
el minuto de tiempo aire. ambas compañías cobran tiempo medido, si sólo hablas medio
minuto,tecobransólomediominuto,etcétera.
¿cuántosminutosnecesitahablarrobertocomomínimoparaqueleconvengamás
mexcel?
a) utilicelaletraypararepresentareltotaldepagomensualylaxpararepresentarel
númerodeminutosdetiempoaireyplanteeunaecuaciónquerepresenteelcosto
mensualdeunteléfonodemexcel.
b)representeelcostomensualdeunteléfonodecelfon.
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
172
c)analicelosejemplosycompletelatablasiguientedeacuerdoconlosdatosdeambas
compañías.
d)ubiquelosparesdenúmerosquefaltanycompletelasgráficasdeambosservicios
telefónicos.
e) ¿cuántosminutosnecesitausarelteléfonocomomínimoparaqueleconvengaa
robertocontratarconmexcel?
F) ¿enelusodecuántosminutospagalomismoenambascompañías?
g)sihablaaproximadamente40minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíale
convienecontratar?
H)amandarequierehablar90minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíaleconviene
contratar?
¿cuántoahorraríaconrespectoalaotracompañía?
i)Federicohablaalrededorde120minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíale
convienecontratar? aproximadamente,¿cuántoahorraríacon
respectoalaotracompañía?
Minutos 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Mexcel ($) 185 190 195
Celfon ($) 35 70 105
Peso
s
Número de minutos
comparacióndeprecios
0
100
200
300
400
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
173
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanterioresanaliceelrazonamientode
donLupercio.
¡Vamos a ver!
Donde trabajo me pagan a la semana $800.00 más
$5.00 por metro cuadrado de tabique que pego,
es decir, y = 800 1 5x
La nueva constructora me ofrece $200.00 a la semana
más $22.00 por cada metro cuadrado de tabique,
es decir, y = 200 1 22x
¿Cuántos metros cuadrados de tabique tengo que pegar como
mínimo a la semana para que me convenga cambiar de trabajo? Voy
a hacer una tabla y una gráfica para comparar.
Tabique (m2) [x] 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Empleo actual ($) [y] 800 850 900 950 1000 1 050 1 100 1150 1 200
Empleo nuevo ($) [y] 200 420 640 860 1080 1300 1520 1740 1960
0
0
500
1000
1500
2000
2500
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Peso
s
Número de minutos
comparacióndesueldo
Empleo actual
Empleo nuevo
x
y
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
174
¿Para hacer la gráfica del sueldo de tu empleo
actual, consideraste los puntos:
(10, 850), (20, 900), (30, 950) y así sucesivamente?
Sí, y si pegas casi el doble, es decir, 70 metros
cuadrados, ganarás $ 590.00 más en la nueva
constructora.
Resolvamos otros problemas
2 paragraficarlasecuaciones y 1 2x = 40yy 2 10x = 10,primerodespejelay,o
variabledependiente,deambasecuaciones.
a) analicelosejemplosycompletelastablas.
Así es, y para hacer la gráfica del sueldo del nuevo
empleo, consideré los puntos:
(10, 420), (20, 640) y así todos los demás.
Ahora podemos ver que las líneas se cruzan cuando
x vale 35.2941, lo que quiere decir que en ambas
constructoras pagan lo mismo al pegar 35.2941
metros cuadrados de tabique; pero si pego más de
dicha cantidad, me conviene más el empleo nuevo.
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
175
b)ubiquelospuntosquefaltanycompletelagráfica.
c)¿enquépuntosecruzanambaslíneas?
d)compruébelosustituyendodichosvaloresenlasecuaciones.
3 oliviavaarentaruncoche.enlaarrendadora“delujo”cobran$150.00más$35.00por
kilómetrorecorrido,yenla“comodidad”cobran$40.00porkilómetrorecorrido.¿conqué
arrendadoraleconvienecontratarsilosturistasqueguíaquierenhacerunpaseode20km?
a) escribalaecuaciónquerepresentaelprecioen“delujo”.
y = 40 2 2x
Valores de x Valores de y
0 40
1 38
10
20
30
y = 10 1 10x
Valores de x Valores de y
0 10
1 20
10
20
30
10010010010 202020 303030 404040 505050 606060 707070 80880 9090900
100
-100
200
300
400
y = 40 – 2x
y = 10 + 10x
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
176
b)escribalaecuaciónquerepresentaelprecioen“comodidad”.
c)completelosdatosdelasiguientetabla.
d)Hagaunagráficaquemuestrecómoserelacionanlosdatos.
e)¿concuálarrendadoraleconvienecontrataraolivia?
4 contestelassiguientespreguntas.
a) ¿quéventajasencuentraustedalescribirlasrelacionesdeunasituaciónoproblema
comoecuación?
b) ¿quéventajasencuentraustedalgraficardosecuacionesenlaresolucióndeun
problema?
Pre
cio
en p
eso
s
Kilómetros
rentadeautos
“Delujo”
“Comodidad”
0
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Kilómetros recorridos 20 40 60 80
“Delujo” ($) 850
“Comodidad” ($) 800
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
177
Lastablasylasgráficaspermitenencontrarregularidadesenlosdatosycompararcon
otrosdatos.
ejemplo.
siustedquieresabersileconvienemáscontratarsepor$2 300.00almesmás
$10.00decomisiónporcadaventaopor$1 500.00almesmás$30.00 de
comisiónporcadaventa,puedeplantearlassiguientesecuaciones:
y = 2 300 1 10x
y = 1 500 1 30x
Hayqueasignarvaloresaxysustituirlosenambasecuacionesparacalcularelvalordey.
sólohaciendomásde40ventasalmesleconvieneelsegundocontrato.ellodependedequétanfácilseavenderelproductoodequétanbuenvendedorsea.
•
Sueld
o m
ensu
al e
n p
eso
s
Número de ventas
y = 2300 + 10x
y = 1500 + 30x
0
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
Tipo de contrato
10 20 30 40 50 60 70 80 90
x 0 10 20 30 40 50
y = 2 300 1 10x 2 300 2 400 2 500 2 600 2 700 2 800
y = 1 500 1 30x 1 500 1 800 2 100 2 400 2 700 3 000
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
Autoevaluación Unidad 5
1 unaempresaprivadaanuncióqueporcadapesoquelagentedoneparalaluchacontrael
cáncer,aportarátres.
a) elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportarálaempresa.
b) ¿dequédependedichacantidad?
c)elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportelagente.
d)escribaunaecuaciónqueexpreselarelaciónentrelasdosvariables.
e)completelatablaescribiendolasletrasqueeligiópararepresentarlasvariablesylos
valoresquefaltan.
F) elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelosdatosdelatabla.
0
y
x
Gente ( ) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones
Empresa ( )
178
2 Lacamionetadelrepartidordelechegastaun1 litrodegasolinaporcada8 kilómetros.
a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddelitrosdegasolinaquegastala
camionetaylaypararepresentarloskilómetrosquerecorre,escribalaecuaciónque
representalarelaciónentrelasdosvariables.
b)conbaseenlainformaciónanterior,completelasiguientetabla:
c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelacantidaddelitrosdegasolinay
loskilómetrosrecorridos.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 8
179
0
y
x
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
3 enlatablasiguiente,asignevaloresaxenlaecuacióny = 12x – 7,ycalculelosvalores
de ycorrespondientes.
a) elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.
4 enlaempresadondetrabaja,robertotuvoqueelegirquelepaguensemanalmente$150.00
fijosmás$35.00porteléfonocelularvendido,osinsueldofijo,sólo$50.00 porteléfono
celular vendido. ¿cuál es la mínima cantidad de teléfonos que debe vender para que le
convengamáslasegundaopción?
a) escribalaecuaciónquerepresentalaprimeraopción.
b)escribalaecuaciónquerepresentalasegundaopción.
x
y
0
y
x
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
180
c)completelosdatosdelasiguientetabla.
d)Hagaunagráficaquemuestrecómoserelacionanlosdatos.
e) ¿enquécasosconvienemáslaprimeraopción?
¿ylasegunda?
5
0
200
400
600
800
1 000
1 200
10 15 20 25 30 35 40 45
Sueld
o s
em
anal
en p
eso
s
Teléfonos vendidos en una semana
sueldo
Primera opción
Segunda opción
Número de teléfonos vendidos 5 10 15 20
Primera opción $325 $850
Segunda opción $250 $1 000
Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano
181
182
UNIDAD 6UNIDAD 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
En esta unidad, usted:
• Resolverá problemas que involucran un sistema de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos de sustitución y de suma o resta.
183
• Aplicará métodos para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, suma o resta y graficación.
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
184
¿perteneceustedaalgunacooperativa?,¿quésabeustedacercadelascooperativasy
delasventajasqueofrecenasusintegrantes?comenteconsuasesoroasesora.
Lasdificultadesquelospequeñosproductoresoconsumidorestienenparacomercializarsus
productosoparacomprarmateriaprimalesobligaaasociarseencooperativas.Lasventajas
quelascooperativasofrecenasusasociadosvandesdelaposibilidaddecompraramenor
preciolamateriaprimahastavendersusproductosamejoresprecios.
1 gabrielaestesoreradelacooperativayoloxóchitl,quesóloelaboratapetesdedostamaños.el
preciodelostapeteschicosesde$250.00ydelosgrandesde$450.00.
alhacersurelacióndeventasdeldíadeayer,ledijeronqueentotalhabíanvendido12
piezasdetapetesdelosdostamañosyreunido$4 000.00.
¿cuántostapetesdecadatamañovendieron?
a) ¿cuálocuálessonlasincógnitasdelproblema?
b)elijaunaliteralpararepresentarelnúmerodetapeteschicosquesevendieronyotra
paraelnúmerodetapetesgrandes.
c)escribaunaecuaciónquerelacioneelnúmerodetapeteschicos,
elnúmerodetapetesgrandesyeltotaldetapetesvendidos.
Propósito: Usted resolverá problemas que involucran un sistema de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos de sustitución y de suma o resta.
Actividad 18 Yoloxóchitl
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
185
d)escribaunaecuaciónquerelacioneelpreciodelostapeteschicos,el
preciodelostapetesgrandesyelpreciototaldelostapetesvendidos.
e) intenteresolverlasecuacionesqueobtuvo;sinopuede,analicelasituaciónsiguientey
vuelvaaintentarlo.
Luisygabrielaresolvierondelasiguientemaneraunasituaciónparecidaunosdíasantesde
quesubieranelpreciodelostapetes.
Tengo dos ecuaciones, ambas surgen de la misma situación, por
lo que puedo resolverlas como un sistema.
El sistema de ecuaciones es:
x 1 y = 14
220x 1 400y = 4 520
Si se vendieron 14 tapetes en total por los que cobramos $4 520.00 y
el tapete chico cuesta $220.00 y el grande $400.00, ¿cuántos tapetes
grandes y cuántos chicos vendimos?
Si represento al número de tapetes
chicos con x y con y al número
de tapetes grandes, tengo que
x 1 y = 14.
También sé que el importe de los
tapetes chicos
vendidos es 220x y el de los grandes
es 400y.
Como la suma de ellos da 4 520,
tengo que 220x 1 400y = 4 520
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
186
(1) x 1 y = 14
(2) 220x 1 400y = 4520
despejoxenlaecuación(1): x = 14 2y
sustituyoelvalordexenlaecuación(2): 220(14 2y) 1 400y =4 520
realizolasoperaciones: 3080 2 220y 1 400y = 4 520 3 080 1 180y = 4 520 180y = 4 520 2 3 080 180y = 1 440
y = 1 440
180 y = 8
unavezconocidoelvalordeylosustituyoenlaecuación(1): x 1 8 = 14
despejox paraencontrarsuvalor: x = 14 2 8
realizolasoperaciones: x =6
Finalmentecompruebo: 6 1 8 = 14 220(6) 1400(8) = 4 520 4 520 = 4 520
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
187
Muy sencillo. ¡Fíjate!
8(4 1 5) = 8(4 1 5) =
8(9) = 72 8(4) 1 8(5) =
32 1 40 = 72
La multiplicación de un número por la suma de dos o varios sumandos es igual que
multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y después hacer la suma de
los productos. A esta propiedad numérica se le llama propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma y a la resta, porque también aplica para la resta.
Un ejemplo en una situación algebraica es el siguiente:
8(4x 1 5) =
8(4x) 1 8(5) = 32x 1 40
Yo pongo un ejemplo con resta:
6(10 2 4) = 6(10 2 4) =
6(6) = 36 6(10) 2 6(4) =
60 2 24 = 36
Y si fuera álgebra, sería:
5(10x 2 6) =
5(10x) 2 5(6) = 50x 2 30
Lo único que no entendí fue: ¿por qué al multiplicar 220(14 2 y),
primero multiplicas 220 por 14 y luego 220 por 2 y?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
188
elmétodo de sustituciónpararesolverunsistemade2ecuacionescon2incógnitas
deprimergradoseiniciadespejandounavariableyencontrandosuvalorentérminosdela
otra.enelejemploanteriorsedijoquex = 14 2y
posteriormente,sesustituyedichovalorenlasegundaecuaciónyseobtieneunaecuación
conunaincógnita,lacualseresuelveenlaformayaconocida.
unavezhalladoelvalordelaincógnitaenlasegundaecuaciónsesustituyeenlaprimera,
quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveenlaformayaconocida.
Finalmente,secomprueba,sustituyendoelvalorencontradoparacadaincógnitaenlas
dosecuacionesiniciales.
Resolvamos otros problemas
2 La entrada al circo cuesta $65.00 para adulto y $35.00 para niño. Hoy recaudaron
$18 995.00por439boletosvendidos.¿cuántosboletosparaadultovendieronycuántos
paraniño?
a) planteeunaecuaciónentérminosdelosboletosvendidos.
b)planteeunaecuaciónentérminosdeldinerorecaudado.
c)resuelvaelsistemadeecuaciones.
•
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
189
d)¿cuántasentradasparaadultosevendieron?
e) ¿cuántasentradasparaniñosevendieron?
3 unapartede$4 000.00fueinvertidaaun3%deinterésanualyelrestoaun4%.alfinalizar
elañotuvounrendimientode$155.00,¿quécantidaddedinerofueinvertidaal3%yqué
cantidadal4%?
4 entre dos hermanos recibieron $6 500.00. si el menor recibió $800.00 menos que el
mayor,¿cuántorecibiócadauno?
5 unacargadequesospesa51.6kg.sientotaltrae27quesosde1.6 kgy2.3kg,¿cuántos
quesosdecadapesotrae?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
190
analicelaformaenquerodrigoresuelveestetipodeecuaciones.
En la unidad residencial Bosques
del Oriente viven 229 personas,
que pertenecen a familias de 3 ó 5
integrantes. ¿Cuántas familias de
3 integrantes hay en la unidad y
cuántas de 5, si se sabe que ahí viven
65 familias?
Si represento con x al número de
familias de 3 integrantes y con y al
número de familias de 5 integrantes,
tengo que: x 1 y = 65
También sé que 229 es el número total
de personas que viven en la unidad,
por lo que al multiplicar el número
de integrantes de cada familia por el
número de familias de cada tipo tengo
la ecuación siguiente:
3x 1 5y = 229
Tengo dos ecuaciones que puedo
resolver por el método de suma o
resta.
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
191
(1) x 1 y = 65
(2) 3x 1 5y = 229
multiplicopor5laecuación(1):
5x 15y = 325
enestecaso,creoqueesmejorrestar.paraellovoyacolocarlasecuacionesdemaneraque
resultefácilrealizarlasoperacionesyrestoambosmiembrosdelaecuación(2)alaecuación
(1)quemultipliquépor5.
5x15y = 325
–3x15y = 229
2x10 = 96
resuelvolaecuaciónresultante:
2x= 96
x =96
2
x = 48
sustituyoenunadelasdosecuacionesinicialeselvalorencontradoylaresuelvopara
encontrarelvalordey:
48 1 y = 65
y = 17
comprueboenambasecuacioneslosvaloresencontradosyveoquesoncorrectos.
Locualsignificaqueenlaunidadviven48familiasde3integrantesy17de5integrantes.
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
192
6 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesusandoelmétododesustituciónoeldesuma
orestaqueseexplicaenlasiguientepágina.compruebesusresultados.
a) y = x 2 4 6x 2 7y = 21
b) x16y= 23 2x113y= 28
c) x 1 4y = 110 9x 1 2y = 140
d) 8m 1 n = 10 8m 1 7n = 22
e) y 2 3x = 34 x 2 8y = 27
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
193
Método de suma o resta para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con
2 incógnitas:
• Hay que sumar o restar los términos semejantes de ambas ecuaciones, de tal forma que
se elimine una incógnita:
3x 1 4y = 60 10x 1 4y = 44
13x 1 0 = 104
Se resuelve la ecuación obtenida:
13x = 104
x = 104
13
x = 8
Una vez conocido el valor de una incógnita se sustituye en cualquiera de las dos
ecuaciones iniciales y se resuelve la ecuación obtenida:
3(8) 1 4y = 60
24 1 4y = 60
4y = 60 2 24
4y = 36
y = 36
4
y = 9
Para comprobar se sustituyen los valores obtenidos en las ecuaciones iniciales:
3x 1 4y = 60 10x 2 4y = 44
3(8) 1 4(9) = 60 10(8) 2 4(9) = 44
24 1 36 = 60 80 2 36 = 44
60 = 60 44 = 44
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
194
encasodequeningunaincógnitatengaigualelvalorabsolutodesus2coeficientes,
puedemultiplicarsealgunadelasecuacionesporelnúmeroqueseanecesarioparaque
los2coeficientesdealgunadelasincógnitastenganelmismovalorabsoluto.
ejemplo:
(1) 3x 1 4y = 60
(2) 5x 2 2y = 22
sepuedemultiplicarlaecuación(2)por2yobtenerlosiguiente:
2(5x 2 2y) = 2(22)
10x 2 4y = 44
conloquequedaelsiguientesistemadeecuaciones:
3x 1 4y = 60
10x 2 4y = 44
•
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
195
¿quésabeusteddelas
microempresas?¿ensuestado
hayapoyoalapequeñaymedianaempresa?
comenteconsuasesoroasesora.
ennuestropaísgeneralmenteuna
microempresasólogeneraempleosparaunmáximode10personas.Lastiendasquesólo
generanempleoparalosmiembrosdeunafamiliasonmicroempresas.
1 en sus ratos libres Fernandoayudaa suhermanotoñoaatender la tienda. Fernando vio
quetoñocobró$136.00por5kgdefrijoly8sobresdegrenetinaparahacergelatinas,y
queenotromomentocobró$118.00por3kgdefrijoly10sobresdegrenetinaparahacer
gelatinas.¿cuáleselprecioporkilogramodefrijolycuálelde1sobredegrenetinaparahacer
gelatinas?
a) ¿quédatossondesconocidosenelproblema?
b) ¿cuálessonlosdatosqueseconocenenelproblema?
c)planteeunsistemadeecuacionesquerelacionelosdatosdelproblema.
Propósito: Usted aplicará métodos para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, suma o resta y graficación.
Actividad 19 La tienda familiar
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
196
d)grafiquelasdosecuacionesdelsistema.
e) ¿Laslíneasqueseformansonparalelasosecortanenunpunto?
sisecortan,¿cuáleselpuntodondesecortan?
F) resuelvaelsistemadeecuacionesporelmétododesumaoresta.
g)¿quérelaciónobservaentrelassolucionesqueencontróalresolverel
sistemadeecuacionesylospuntosdondesecortanlaslíneasquegraficó?
H)¿cuáleselpreciode1kilogramodefrijol?
¿cuáleselpreciode1sobredegrenetinaparahacergelatinas?
i) verifiquesusrespuestas.
0
y
x
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
197
analicelaformaenqueFernandaplanteaunsistemadeecuacionesyelmétododegraficación
queutilizapararesolverlo.
Por 7 veladoras y 8 kg de piloncillo, Toño cobró $74.00, y por 9
veladoras y 3 kilogramos de piloncillo cobró $66.00. ¿Cuánto tengo
que cobrar por 1 veladora y cuánto por 1 kilogramo de piloncillo?
Ahora, despejo la y en ambas ecuaciones:
y = 74 27x
8 y = 66 29x
3
Al asignar valores a x y sustituirlos en cada una de las ecuaciones,
obtengo los datos siguientes:
Si represento con x al precio
de una veladora y con y al
precio de un kilogramo de
piloncillo, entonces en la
primera venta tengo que:
7x 1 8y = 74
La segunda venta la
represento como:
9x 1 3y = 66
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
198
Como las líneas se cortan en el
punto (6, 4), quiere decir que
x = 6 y y = 4
Entonces el precio de una veladora
es de $6.00 y el kilogramo de
piloncillo cuesta $4.00
0
5
-5
10
15
20
2222222 4444 6666 8888
Veladoras y piloncillosy
x
y = 74 27x8
x y
1 8.37
5 4.37
10 0.5
y = 66 29x3
x y
1 19
5 7
10 –8
y = 66 29x3
y = 74 27x8
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
199
Resolvamos otros problemas
2 doñaFelipaespropietariadeuna tiendaqueatiende juntoconsushijos.en lacentralde
abastosuhijoledijoqueyasólotenían20paquetesderollosdepapelparabaño,peroqueno
recordabacuántoserande18rollosycuántosde24,sólosabíaqueentotalquedaban384
rollos.¿cuántospaquetesde18rolloshabíaenlatienda?,¿cuántospaquetesde24?
a) ¿quédatossondesconocidosenelproblema?
b) ¿cuálessonlosdatosqueseconocenenelproblema?
c)planteeunsistemadeecuacionesquerelacionelosdatosdelproblema.
d)resuelvaelsistema,usandoelmétodoquemásselefacilite.
e)verifiquesusrespuestas.
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
200
3 donmiguelesganadero.vendió80vacasy160borregosen$139 200.00auncomprador.
alosmismospreciosporcabezavendióaotrocomprador50vacasy185borregos,porloque
recibió$114 200.00.¿cuáleselpreciodecadavacaydecadaborrego?
a) ¿quédatossondesconocidosenelproblema?
b) ¿cuálessonlosdatosqueseconocenenelproblema?
c)planteeunsistemadeecuacionesquerelacionelosdatosdelproblema.
d)resuelvaelsistema,usandoelmétodoquemásselefacilite.
e)verifiquesusrespuestas.
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
201
4 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesconelmétodoqueconsideremásadecuado.
verifiquesusresultados.
a) 13m 2 4z = 26
7m 1 8z = 78
b) 9a 1 7b = 17
7a 1 6b = 16
c) 25x 1 25y = 2105
4x 2 8y = 48
d) 2x 1 23y = 584
22x 2 5y = 2152
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
202
5 resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesgraficando:
9m 1 3z = 33
27m 1 9z = 99
a) ¿Laslíneassecruzanosesobreponen?
b)multipliquelaprimeraecuacióndelsistemapor3.
c) ¿cómosonlaecuaciónresultanteylasegundaecuacióndelsistema?
6 resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesgraficando:
4x 1 7y = 68
8x 1 14y = 78
a) ¿Hayunpuntodondelaslíneassecruzan?
b) ¿cómosonlaslíneas?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
203
Haysistemasquepuedentenermuchassoluciones,comoeselcasodelejercicio5donde
porserambasecuacionesequivalentes,esdecir,representanlomismo,todoslospuntos
(x,y)deunalíneapertenecentambiénalaotra.
Haysistemasquenotienensolución,ylaslíneasquecorrespondenalasecuacionesson
paralelas,porlotanto,nosecruzan.
pararesolverunsistemade2ecuacionesdeprimergradocon2 incógnitasmediante
elmétodo de graficación,hayquegraficarlasdosecuacionesylocalizarlas
coordenadasdelpuntodondesecruzan.
ejemplo:
25x 2 13y = 47
12x 1 2y = 72
aldespejaryenambasecuaciones:
y = 47 225x
213 y = 72 212x
2
seasignanvaloresaxparacalcularlosdeyenambasecuaciones:
•
•
•
y = 45 225x
213
x y
1 1.69
5 6
10 15.61
y = 72 212x
2
x y
1 30
5 6
10 –24
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
204
comolaslíneassecruzanenelpunto(5,6),lasolucióndelsistemaes:
x = 5
y = 6
paracomprobarsesustituyenlosvaloresobtenidosenlasecuacionesiniciales:
25x 2 13y = 47 12x 1 2y = 72
25(5) 2 13(6) = 47 12(5) 1 2(6) = 72
47 = 47 72 = 72
0
10
-10
-20
-30
20
30
40
222222222 44444444 66666666 88888888 1010101010 121212121212 1414141414
y
x
y = 45 225x
213
y = 72 212x
2
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
205
Para saber más
resuelva“Lasjoyas”ensuFolleto de juegos,despuéscontestelaspreguntassiguientes.
1. ¿quésucedecuandounacantidadseduplicaunayotravez?
2. ¿cuálacertijoseledificultómás?
3. ¿quéconocimientosmatemáticosaplicópararesolverlosacertijos?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
206206
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Autoevaluación Unidad 6
1 La entrada al parque de juegos cuesta $35.00 para adulto y $15.00 para niño. Hoy
recaudaron$4 480.00por224boletosvendidos.¿cuántosboletosparaadultovendierony
cuántosparaniño?
a) planteeunaecuaciónentérminosdelosboletosvendidos.
b)planteeunaecuaciónentérminosdeldinerorecaudado.
c)resuelvaelsistemadeecuaciones.
d)¿cuántasentradasparaadultosevendieron?
e) ¿cuántasentradasparaniñosevendieron?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
207207
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
2 un camión transporta 40 animales. si Leonardo contó 132 patas, ¿cuántos guajolotes y
cuántoschivostrae?
a) elijaunaletrapararepresentarelnúmerodeguajolotes.
b)elijaunaletrapararepresentarelnúmerodechivos.
c)escribaunaecuaciónquerepresentequelasumadeguajolotesmáschivosesiguala
40.
d)representeelnúmerodepatasdeguajolotes.
e)representeelnúmerodepatasdechivos.
F) escribaunaecuaciónquerepresentequelasumadepatasdeguajolotesmáslasuma
depatasdechivosesiguala132.
g)resuelvaelsistemadeecuaciones.
H)¿cuántosguajolotestraeelcamión?
i) ¿ycuántoschivos?
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
208208
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
3 enunabodegahay800cuadernos.¿cuántoscuadernosde100hojasycuántosde50haysi
entotalhay77 500hojas?
4 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesconelmétodoqueconsideremásadecuado.
verifiquesusresultados.
a) 12m 1 8z = 20
3m 1 4z = 28
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
209209
Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
b) 3a 2 4b = 3
8a 1 6b = 58
c) 27x 1 9y = 13
26x 2 3y = 221
d) 2x 1 3y = 9
23x 2 5y = 214
UNIDAD 7 UNIDAD 7 En esta unidad, usted:
• Modelará monomios y polinomios con figuras geométricas.
• Sumará y restará monomios y polinomios.
• Multiplicará monomios y un polinomio por un monomio.
Monomios y polinomios
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
212
Propósito: Usted modelará monomios y polinomios con figuras geométricas.
Actividad 20Cuando el río corre
¿viveustedcercadeunestanquearroyo
orío?,¿legustametersealagua?,¿puede
hacerloentodaslasépocasdelañosinningún
peligro?comenteconsuasesoroasesora.
Laprofundidadylacorrientedelosríoscambian
deacuerdoconlaslluvias.generalmente,los
habitantesdeloslugarescercanosacorrientesde
aguaconocenlasépocassegurasylaspeligrosas.
1 gerardo vive cerca de un río y le gusta llevar un registro de la profundidad de los ríos en
diferentesépocasdelaño.élno tieneequipoadecuadoparamedir,por loque lohacecon
ramasdeárbolyconlosinformesoficialesquellegan.
eldomingomidióconunavaraquemidevariosmetrosyquegerardoregistracomoa:
ellunesgerardovioqueelríohabíadescendidounpocoehizounamarcaenlavara,a
laquellamób.
a
a
b
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
213
a) ¿cómodeberegistrarlamedidadelaprofundidaddelríodellunes?
b)Lanochedelluneslloviómuyfuerteporloqueanunciaronqueelríohabía
crecidoaldoble.¿cómodeberegistrarlamedidadelaprofundidaddelrío?
c) ¿podríaescribirlodealgunaotramanera?
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observeelprocedimientode
cayetano.
Yo medí el largo de la puerta con mi
mano y vi que medía 15 cuartas de mi
mano menos lo largo de este clavo.
Ahora, si hay 3 puertas juntas,
miden en total 3(15x 2p).
Si represento la medida de la cuarta de mi
mano con x y con p el largo del clavo, puedo
representar el largo de la puerta como:
15x 2 p
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
214
Resolvamos otros problemas
2 Leonardo va a enmarcar con aluminio algunos espejos que tienen las siguientes formas y
medidas.
m m
m n
n
2n
m
2n
3n
n
n
3n
m + n p
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
215
a) ¿cuántomidecadaladodelprimerespejo?
b) ¿cuántomidesuperímetro?
c)escribaenlalíneacorrespondienteacadadibujolacantidaddealuminioquenecesita
paracadauno.
d)¿cuántoaluminionecesitaLeonardoentotal?
Recuerde:
Literal.usamosletraspararepresentarnúmerosdesconocidosoquevarían,loscualespuedenserpositivosonegativos.
ejemplos.
xpuedevaler19ó23.
eldobledexseescribe2xysutriple3x,mientrasquelamitaddexseescribex
2.
Coeficiente y exponente.enelproducto8x2elnúmero8eselcoeficientedex,xeslaliteralyestáelevadaalexponente2.
8x2
cuandoelcoeficientees1,noseescribe.
ejemplo.
1xy = xy
deigualmanera,cuandoelexponentees1,noseescribe.
ejemplo.
9mn
avecesesnecesarioescribirsumascomo:3xy15x27a29bc2
alossumandosselesllamatérminosdelasuma.Lasumaanteriortiene4términos.
•
•
•
Coeficiente
Exponente
Literal
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
216
3 Leonardocalculóeláreadelosespejosyobtuvolosiguiente:
a) escribaenlalíneacorrespondienteelperímetrodecadafigura.
b) ¿aquéexponenteestánelevadaslasliteralesconqueserepresentalamedidadelos
perímetros?
c) ¿aquéexponenteestánelevadaslasliteralesconqueserepresentalamedidadelas
áreas?
d)¿cuáleselvolumendelsiguientecubo?
e) ¿cuántomideeláreadeunadelascarasdelcuboanterior?
x
x
x
a = 2x2 y
y
a = y2
zx + y
x
x2 + xy
2a =
n
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
217
unaexpresiónalgebraicacompuestaporunsolotérminosellamamonomio.
ejemplos.
a; 24a3; 3ab2c3; 15xy2; 2x5; 7bc
4
unaexpresiónalgebraicacompuestapordosomástérminossellamapolinomio.
ejemplos:
a 1 57a3; 4a3 2 8 abc2 1 5xy2; x5 2 7x
4 1 y22 9xy2
aunaexpresiónalgebraicacompuestapordostérminostambiénseledenomina
binomio.
ejemplos.
a 1 57a3; 4a3 2 5xy2; x5 1 y2; m 1 n3
Términos semejantes. cuandodostérminostienenlasmismasliteralesconlos
mismosexponentessedicequesonsemejantes:
ejemplos.
a y 24a
3xy2 y 15xy2
x5 y 56x5
Reducción o suma de términos semejantes.unpolinomiopuedereducirseal
sumarorestarlostérminossemejantesqueloforman.
ejemplos.
29x 1 21x 1 2y 2 y = 112x 1 y
2n 1 5mn2 14n = 6n 1 5mn2
26xy2 1 2x3y 1 2xy2 2 x = 24xy2 1 2x3y 2x
•
•
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
218
¿consideraalostrabajosmanualescomounarte
osimplementecomounaactividadmás?,¿conoce
alguienqueborde,tejayelaborecarpetas?comenteconsu
asesoroasesora.
eltrabajomanualquemuchasmujeresrealizanennuestro
país,comoelbordado,eldeshiladoyeltejidoqueenmuchas
ocasioneslleganaserverdaderasobrasdearte,espoco
apreciadoy,generalmente,pobrementeremunerado.
1 gelitay susamigaselaborancarpetasde formaspococomunes. ¿quécantidaddeencaje
requierenparaadornarlaorilla?
Propósito: Usted sumará y restará monomios y polinomios.
Actividad 21Carpetas
a) ¿cuántosladosdelafigura1midena? ¿cuántos2a?
b) ¿cuántomideelperímetrodelafigura1?
a
a
a
2a
a2
2a
Figura 1 Figura 2
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
219
El perímetro de la figura 3 es: 2a 1 2b 1 c,
pues tiene 2 lados que miden a, 2 que
miden b y 1 que mide c.
De la figura 4 es: 2c 1 4d
c) ¿cuántosladosdelafigura2midena? ¿cuántosa
2 ?
d)¿cuántomideelperímetrodelafigura2?
e) ¿quécantidaddeencajeesnecesariaparaadornarambascarpetas?
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observeelprocedimientode
gelita.
Para sumar el perímetro de ambas figuras, me fijo
en los términos semejantes, en este caso son c y 2c,
que al sumarlos dan 3c. Al no haber más términos
semejantes, el polinomio que expresa el perímetro de
ambas figuras es:
2a 1 2b 1 3c 1 4d
ac
d
b
c
Figura 3 Figura 4
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
220
Resolvamos otros problemas
2 expliqueporqué:
a) 45xyyxysontérminossemejantes.
b)8bcy8abnosontérminossemejantes.
c)26m2n y 10mn2nosontérminossemejantes.
d)8a2bc y 2ca2bsontérminossemejantes.
3 relacioneconunalínealostérminosquesonsemejantes.
212b2 3xy2
98nm3 8b2
7x 2ca3
3y5 8ab2
13a3c nm3
8xy2 24x
23ab2 26y5
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
221
aveceslospolinomiosestándentrodeunparéntesis,dichoparéntesispuedeestarantecedido
porunsignodemásodemenos(1o2).
Eliminación de paréntesis
sielsignoqueleantecedeespositivo,sequitaelparéntesissincambiarelsignodelos
sumandosdelpolinomioencerradodentrodelparéntesis.
ejemplo.
(2n 1 4n) 1 (45mn 2 7mn2 1 8n)
2n 1 4n 1 45mn 2 7mn2 1 8n
reduciendoosimplificandotérminossemejantes:
14n 1 45mn 2 7mn2
sielsignoqueleantecedeesnegativo,secambiaelsignoalossumandosdelpolinomio
encerradodentrodelparéntesisysequitaelparéntesis.
ejemplo.
(2n 1 4n) 2 (45mn 2 7mn2 1 8n)
2n 1 4n 2 45mn 1 7mn2 2 8n
reduciendoosimplificandotérminossemejantes:
22n 2 45mn 1 7mn2
cuandounparéntesisllevasignopositivoyestáaliniciodelpolinomio,generalmenteno
seescribeelsigno,perosiesnegativo,síseescribe:
ejemplo.
2(2n 1 4n) 2 (45mn 2 7mn2 1 8n)
22n 2 4n 2 45mn 1 7mn2 2 8n
reduciendoosimplificandotérminossemejantes:
214n 2 45mn 1 7mn2
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
222
cuandohayvariosparéntesismetidosunosdentrodeotros,seeliminanpasoapaso,
iniciandoconlosinteriores.
ejemplo.
2(2n 1 4n)2[2(9mn115n)1 (45mn 2 7mn2 1 8n)]
2(2n 1 4n)2[29mn215n1 45mn 2 7mn2 1 8n]
22n 2 4n 19mn115n2 45mn 1 7mn2 2 8n
reduciendoosimplificandotérminossemejantes:
n236mn17mn2
4 sumelosperímetrosdelassiguientesfiguras.
•
a) perímetrodelrectángulo.
b)perímetrodeltriángulo.
c)sumadeambosperímetros.
n
pm
n
m
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
223
5 reduzcalossiguientespolinomios.
a) 7n 2 2n 1 4n 2 3m =
b)2y2 1 2x3 2 9y2 2 x =
c)5y2 1 3y 1 y2 2 2y =
d)4ab2 2 7x3y 1 9ab2 1x =
e)3x2y 1 8x3y 2 4x2y =
F) 9p2 1 x3y 1 2y2 2 x =
6 sumeorestelossiguientespolinomios.
a) (4n 2 5m)1(3n 2 5m)=
b)(9b2 1 6x3 2 8y2)2 (6b2 2 9x31x)=
c)2(6ab2 2 9x3y)1 (15ab2 1x)=
d)(8xy2 2 7x3y )2 (9xy2 1x)=
e)(9m3n 2 5m)1(3m 25m3n1n)=
F) (8k 1 5l)2(3k 25l) =
g)(10b2 1 7x3 2 5x)2 (6b2 2 9x31x)=
H)2(7xy2 2 9x3y)2(3xy2 1 4x)=
i) (23mn3 2 7xy)2 (2mn3 19x)=
J) (28yn2 2 8m)2(4m 26yn2 14n)=
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
224
parasumarpolinomios,selocalizanlostérminosquesonsemejantesyserealizala
sumadesuscoeficientes.
ejemplos.
(2n 2 9mn2) 1 (4n 2 5mn2) = 6n 2 14mn2
(9x2y 1 8xy 2 4y) 1 (8x2y 2 2xy 2 x) = 17x2y 1 6xy 2 4y 2x
pararestarpolinomios,secambiaelsignoatodoslostérminosqueformanel
sustraendoydespuéssesuma.
ejemplos.
(3a3 26ab) 2 (7a3 28ab) = (3a3 26ab) 1 (27a3 18ab)
= 24a3 12ab
(5mn 19x2y 17y) 2 (18x2y 13mn 2x) = (5mn 1 9x2y 1 7y) 1 (28x2y 23mn 1x)
= 2mn 1x2y 17y 1 x)
puedesermásfácilsiacomodalospolinomiosenfilasdeacuerdoconlostérminos
semejantes.
ejemplo.
5mn 1 9x2y 1 7y
2
13mn 1 8x2y 2 x
porserresta,secambiaelsignodelostérminosdelsustraendo:
5mn 1 9x2y 1 7y
1
23mn 2 8x2y 1 x
2mn 1x2y 17y 1 x
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
225
Propósito: Usted multiplicará monomios y un polinomio por un monomio.
Actividad 22Repartición de tierra
¿Lazonadondeustedviveesunvalleohaymontesymontañas?,¿losterrenosestán
trazadosenformasregularesoirregulares?comenteconsuasesoroasesora.
Haypartesdelatierraqueestánmuyaccidentadas,porloquelosterrenosquefraccionanen
ellasonmuyirregulares.
1 bonifaciotrabajadelimitandoterrenosyayudaalospropietariosacalcularlasdimensionesde
losmismos.élnecesitacalculareláreadelterrenoahoraquesupropietariohavendidouna
esquinadelmismo.
a) ¿cuáleseláreadelpedazodeterrenoquevendió?
b) ¿cómolacalculó?
c) ¿cuáleraeláreadelterrenoantesdevenderelpedazo?
d)¿cómolacalculó?e)despuésdehabervendidounpedazodeterreno,¿cuántomidecadaladodelterreno?
m
n
n
m
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
226
2 parapodercalculareláreadelterrenoquequeda,bonifaciolodividióenpartes.
a) ¿cuálessonlasdimensionesdelrectángulo1?
b)calculesuárea.
c) ¿cuálessonlasdimensionesdelrectángulo2?
d)calculesuárea.
e) ¿cuáleseláreadelterrenoquenovendió?
F) ¿podríacalculareláreadeotramanera?
¿cuál?
g)calcúlelaycomparesusrespuestas.
m
n
n 1
2
m
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
227
situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicelosprocedimientos
quedanbonifacioeisabel.
enunterrenodelacomunidadvanahacerdiversasconstruccionesyvanadejarunaáreapara
eljardín.
Yo calculé el área total del terreno:
(m) (2m) = 2m2
También calculé el área del jardín:
ab
Luego reste el área del jardín al área total:
2m2 2ab
¡Obtuve lo mismo!
Simplificando términos semejantes
se tiene que el área del terreno
para la construcción es:
2m2 2 ab
Para calcular el área de la parte para la construcción,
puedo dividir el terreno en rectángulos. Así obtengo
que el área del rectángulo 1 mide:
(2m 2 a)(m)
Lo que significa que mide:
2m2 2 am
El área del rectángulo 2 es:
(m 2 b)(a).
Por lo que mide
am 2 ab
Sumando el área de los dos rectángulos
tenemos que:
2m2 2 am 1 am 2 ab
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
228
paramultiplicarunmonomioporotromonomio,hayquemultiplicarloscoeficientes
deambosydespuéslasliterales.
ejemplos.
(2m) (8m)=16m2
(3x) (6y)=18xy
(5m2) (4ab)=20m2ab
comopuedeustedver,almultiplicarlamismaliteralsesumansusexponentes.
ejemplos.
(m) (m)=m2
(5m) (8m)=40m2
(2x2y3) (4x2y2)=8x4y5
Resolvamos otros problemas
3 multipliquelossiguientesmonomios.
a) (2a) (4a)=
b)(5m) (9a)=
c)(3m2) (4m)=
d)(20x2)(xy)=
e)(8b) (3a2b)=
F) (5m) (9a)=
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
229
4 alterrenodedoñaLupitalecortaronunpedazo.elcortepasaexactamenteporlamitaddedos
desuslados.
a) comopuedeobservar,elladodelterrenoqueteníadoñaLupitamedíac,¿dequé
manerasepuederepresentarlamedidadelárea?
observeeldibujodelterrenogirado.Fijesuatencióneneltriánguloqueseforma,ytrate
deestablecercuántomidelabaseycuántolaaltura.(recuerdequepasaporlamitadde
losladosdelcuadrado.)
b) ¿estádeacuerdoenquelamedidadelabasedeltriánguloesc2
?,¿yquelamedidade
sualturaesc2
? ¿porqué?
c
c
c
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
230
5 realice las siguientesmultiplicaciones.antes leael recuadrodeabajodondese indicaotra
formaderesolverlas.
a) (2a 1 4a2) (5m 2 9a)=
b) (3m2 1 4n) (20x
2 1 xy) =
c) (23 a2b 1 8 b) (29a 25) =
paramultiplicarunpolinomioporunmonomio,semultiplicaelmonomioporcada
términodelpolinomio.
ejemplo.
8x 1 2xy 2 y
3 5x
40x2 1 10x
2y 2 5xy
paramultiplicarunpolinomioporotropolinomio,semultiplicacadatérminodeun
polinomioporcadatérminodelotropolinomio.despuéssesimplifica.
ejemplo.
7x 1 4m
3 25x 1 3m
21xm 112m2
235 x2 2 20xm
235x2
1 xm 112m2
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
231
Para saber más
ensuRevistaLecturas de matemáticaslea“distanciasinaccesibles”,ycontestelassiguientes
preguntas.
1. ¿conquéfrecuenciarealizaustedmediciones?¿quémide?
2. mencionetressituacionesenlasqueesnecesariohacermedicionesindirectas.
3. ¿quétipodeconocimientosmatemáticosseaplicanparahacermedicionesindirectas?
resuelvael“crucigramamatemático”ensuFolleto de juegos,despuésrespondalassiguientes
preguntas.
1. ¿Leparecióinteresanteelcrucigrama?
2. ¿aprendióalgonuevoalresolverlo? ¿qué?
Autoevaluación Unidad 7
1 ¿cuáleselperímetrodelassiguientesfiguras?
2 relacioneconunalínealosmonomiosquesonsemejantes.
26c2 nm
2
nm3 x
7x 12nm3
4nm2 9c
2
f
q
q2q
h d
h
q
r r
b
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
232
3 reduzcalossiguientespolinomios.
a) 7m5 1 8x
3 2 6m5 2 x =
b)9k2 1 3k 1 k
2 2 2k =
c)24an2 2 7n
2y 1 9an
2 1x =
d)25x2y 1 7x
3y 1 3x
2y =
e)10r2 1 r2
p 1 3y22 x =
4 multipliquelossiguientesmonomios.
a) (9b) (8b)=
b) (7n) (7n)=
c) (8p2) (5p) =
d)(24x2) (xy)=
e) (8x) (6x2y)=
5 realicelassiguientesmultiplicaciones.puedereescribirlasdeotramanera,siesnecesario.
a) (6a 1 5a2) (6n 2 n)=
b) (9m2 1 12n) (3m
2 1 n) =
c)(9x 2 2x2y) (7x 2 3xy) =
Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios
233
234
UNIDAD 8 UNIDAD 8 En esta unidad, usted:
• Resolverá problemas con potencias cuadradas.
• Conocerá el teorema de Pitágoras y lo aplicará en la resolución de problemas.
Teorema de Pitágoras
235
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
236
¿Haoídohablardelíndicedemasacorporal(imc)?¿sabíaqueelimcleindicasi
tieneproblemasdesobrepesoodeobesidad?¿sabecómocalcularlo?comenteconsu
asesoroasesora.
Laobesidadesunproblemadesaludpúblicaquevaenaumento.porelloesimportantecuidar
lacantidadycalidaddelosalimentosqueconsumimos.elíndicedemasacorporalsecalcula
apartirdelatallaenmetrosydelpesodelapersonaenkilogramos.
1 verónicaleyólasiguienteinformaciónenelperiódico:
Propósito: Usted resolverá problemas con potencias cuadradas.
Actividad 23Evalúe su masa corporal
Salud ✽ Comer bien ayuda a perder peso Por Silvia Ojanguren
Gaceta Semanal
Por principio de cuentas, la gente tiene que evaluar
si es parte de la estadística de sobrepeso y obesi-
dad, para lo cual debe conocer su IMC, es decir, el
Indice de Masa Corporal, que se obtiene así: el
peso en kilogramos entre (dividir) el cuadrado de la
estatura en metros.
Vamos a calcular nuestro IMC, el cual nos dice si
nuestro peso pone en riesgo nuestra salud y en
peligro nuestra vanidad.
Como evaluar la masa corporalNormal: IMC de 18.6 a 24.9
Sobre peso: IMC de 25.0 a 26.9
Obesidad I: IMC de 27.0 a 29.0
Obesidad II: IMC de 30.0 a 34.9
Obesidad III: IMC de 35.0 a 40.0
*Estos índices son para mujeres que
miden 1.50m o más y hombres
que miden 1.60m o más
?
Fuente:periódicoEl Universal,lunes13dejuniode2005.p.g4.
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
237
conbaseenlainformaciónanterior,realiceloqueselesolicita.
a) utilicelaletraMpararepresentarelimc,lappararepresentarelpesoylat para
representarlaestaturayescribalaecuaciónparacalcularelimc.
b)verónicapesa67 kgymide1.52 m,¿cuálessuimc?
c) ¿verónicatieneproblemasdesobrepesoodeobesidad?
2 Juanitatieneunimcde24.74ymide1.57 m,¿cuántopesa?
a) escribalaecuaciónparacalcularelimc,despuésdespejelap(peso).
b)sustituyalasmedidasdeJuanitaenlaecuaciónycalculesupeso.
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
238
3 ramóntieneunimcde24.38ypesa68kg,¿cuálessuestatura?
a) escribalaecuacióndondedespejóp(peso)ydespejelat2(estaturaalcuadrado).
b)sustituyalasmedidasderamónycalculet2
c) ¿quédatoobtiene?
d)¿quéfaltahacerparaconocerlaestaturaderamón?
e)conlatecla desucalculadora,calculelaestaturaderamón.
recuerdeque:
(l)(l) = l2
porlotanto,
l2 = l
deigualmanera:
(l)(l)(l)= l3
porlotanto,3
l3 = l
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
239
Para calcular la medida del lado de
un prisma cuadrangular a partir de la
fórmula del volumen y de conocer el
volumen y la altura del mismo, se despeja
de la ecuación la literal que representa la
medida buscada.
V = Abh
Por ser un prisma cuadrangular, el área
de la base es l2:
V = l2h
Para despejar, sólo divido ambos miembros
de la ecuación entre h:
l2 =
Vh
Entonces:
l2 =
238812
l2 = 199
Para conocer el valor de l, hay que sacar raíz
cuadrada en ambos lados de la ecuación:
l2 = 199
l = 14.1067
porloqueelladodelabasedelprismacuadrangularmide14.1067cm.
situvodificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicelaformaenquearaceli
procedeanteunasituaciónsimilar.
12 cm
l
V = 2388 cm3
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
240
analicecómosecalculalaraízcuadradadelnúmero678.
seseparanlascifrasdedosendos,empezandoporladerecha.
sebuscaunnúmeroquemultiplicadoporsímismoseaigualocasiigual,peromenor,queelnúmeroformadoporlacifradelaizquierda(6)yseescribesobrelalíneadeladerecha.
elnúmeroencontrado(2)semultiplicaporsímismoyelresultadoserestadel6.
dentrodelaraíz,sebajaelsegundopardecifras.enelexterior,seduplicaelnúmerodelaprimeralíneayelresultadoseescribeenunasegundalínea,abajo.
sebuscaunacifra(6)queseagregaalosnúmerosdelaprimeraysegundalíneas.Lamultiplicacióndedichacifraporelnúmerodelalíneadeabajo(46)debeserigualocasiigual,peromenorque278.seescribeelresultadodelamultiplicaciónyserestaa278.
elresultadofinales26yquedan2.
secompruebamultiplicando26porsímismoysumando2:
(26)(26)= 676
67612= 678
•
6,78
6,78 2
6,78 2 2 4 2
6,78 2 2 4 4 2 78
6,78 26 2 4 46 2 7822 76 2
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
241
Resolvamos otros problemas
4 eláreadeunkioscocircularesde200.96 m2,¿cuántomidesuradio?
a) recuerdequelafórmulaparacalculareláreadelcírculoesA=pr2.despejer2dela
fórmula.
b)sustituyalosvaloresyencuentreelvalorder2.considereapcomo3.14.
c) ¿quéfaltaparaconocerelvalorder?
d)realícelo.¿cuántomideelradio?
5 vanaponerunaseriedefocosalrededordeunkioscocircularquemide271.57m2.¿cuáles
lamedidamínimaquedebetenerlaserieparaquealmenosledéunavueltacompleta?
a) recuerdequelafórmulaparacalculareláreadelcírculoesA=pr2.despejer2dela
fórmula.
b)sustituyalosvaloresyencuentreelvalorder2.considereapcomo3.14.
c) ¿quéfaltaparaconocerelvalorder?
d)realícelo.¿cuántomideelradio?
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
242
e) ¿cuáleslamedidadeldiámetrodelcírculo?
recuerdequelafórmulaparacalcularelperímetrodeuncírculoes
P = pd
F) ¿cuáleslamedidamínimaquedebetenerlaserie?
6 calculeelvalordelaincógnitadelassiguientesecuaciones.
a) l2 1 9 = 1 333.96
b)m2 2 10 = 28.44
c)100p2 = 334.08
d)m
2
3 = 26.4
Lasecuacionespuedenteneralgunaliteralelevadaaunapotencia.
ejemplo.
x2 1 3 = 28
paraconocerelvalordex,primerohayquedespejarladelaecuaciónyrealizarlas
operacionesindicadas:
x2 = 28 2 3
x2 = 25
Finalmente,enestecaso,hayquesacarraízcuadradaaambosmiembrosdela
ecuación:
x2 = 25
x = 5
•
•
•
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
243
Propósito: Usted conocerá el teorema de Pitágoras y lo aplicará en la resolución de problemas.
Actividad 24 Grandes puentes
¿En la localidad que usted vive hay puentes? Además de los puentes peatonales (para
la gente), ¿qué otro tipo de puentes conoce usted? Comente con su asesor o asesora.
En varios estados del país se han construido puentes vehiculares (para vehículos) que cruzan
ríos, montañas o avenidas grandes.
1 Un puente del Estado de México está sostenido por grandes cables sujetos a un pilar, como se
muestra en la siguiente figura:
A) Mida con un transportador el ángulo que forman el puente y el pilar, ¿cuánto mide?
B) ¿Qué figura forma el cable AB con el puente y la altura del pilar?
¿El AC? ¿Y el AD?
Puente
Favor de hacer bien el dibujo.
Este es solo para dar una idea de
cómo se requiere.
La líneas de acotación son muy
importantes para la resolución
10m
4m
8m
12m
B
A
C D
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
244
untriángulorectánguloesaquelquetiene
unángulorecto(90°).elladoopuestoal
ángulorectoesllamadohipotenusa,los
dosladosqueformanelángulorectoson
llamadoscatetos.
conreferenciaadichotriángulo,secumple
elteoremadepitágoras:
“enuntriángulorectángulo,elárea
delcuadradoconstruidosobreellado
opuestoalángulorectoesigualala
sumadelasáreasdeloscuadrados
construidossobrelosladosqueforman
elángulorecto.”
algebraicamentepuedeexpresarse
como:
c2 = a
2 1 b2
•
•
c) ¿cuáleslamedidadecadaunodeloscablesquesostienenelpuente?
AB
AC
AD
estudieelteoremadepitágoras,conélpuederesolverproblemascomoelanterior.
Hipotenusa
Cateto
Cateto
90°
a
a2
b2
c2
bc
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
245
Cada viga debe medir
4.47 m, las dos juntas
8.94 m.
sinopudoresolverelproblemaanterior,analicelaformaenqueLetyresuelveun
problemasimilarapartirdeaplicarelteoremadepitágoras.
El teorema de Pitágoras es:
c2 = a2 1 b2
Al sustituir los datos queda
c2 = 22 1 42
c2 = 4 1 16 c2 = 20
Para conocer el valor de c hay que sacar raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación:
c2 = 20
c = 4.47
Para calcular la medida de las vigas que necesito para sostener el techo de la casa de asistencia,
puedo aplicar el teorema de Pitágoras.
Sé que el ancho de la casa es de 8 metros y la parte central va a medir 2 metros por encima de los lados.
También sé que el teorema de Pitágoras sólo se aplica a triángulos rectángulos; si divido en dos el triángulo formado por el techo, me quedan dos
triángulos rectángulos. Puedo calcular por partes.
2m
4m
8 m
2 m
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
246
Resolvamos otros problemas
2 Letyypaty,juntoconotrascompañeras,planeanhacerunaáreadejuegoparasushijos.La
estructuraparalaescaleradeunaresbaladillallevadospiezasdelasiguienteforma:
Laalturadebeser2.5 mylabasedebemedir1.3 m.¿quécantidaddetuboserequiere
paracadaunadelasestructuras?
a) ¿cómopuedecalcularlacantidaddetuboqueserequiere?
b) ¿quémedidafaltaparapodercalcularla?
c) ¿puedeaplicarelteoremadepitágorasparacalcularlamedidaque
desconoce? ¿porqué?
d)¿cuáleslamedidadelladodesconocido?
e) ¿quécantidaddetuboserequiereparacadaunadelasestructuras?
¿paralasdos?
3 elrecíprocodelteoremadepitágorasdiceque:
“enuntriángulo,cuandoeláreadelcuadradoconstruidosobreelladomayoresigualala
sumadelasáreasdeloscuadradosconstruidossobrelosotrosdosladosdelmismotriángulo,
entonceseltriánguloesrectángulo.”
90°
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
247
pruebequelossiguientestriángulossonrectángulos.analiceelejemplo.
siestriángulorectángulo,debecumplirelteoremadepitágoras.enestecaso,lahipotenusa
mide5yloscatetos3y4.
52 = 32 1 42
25 = 9 1 16
25 = 25
Como se cumple la igualdad, entonces es un
triángulo rectángulo.
a)
b)
3
4
5
7.071
55
8
10
12.8062
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
248
sienuntriángulorectángulollamamoscalahipotenusayaybacadaunodeloscatetos,entonces:
a) como: c2 =a2 1 b
2
entonces: c =a2 1 b2
b) como: c2 =a2 1 b
2
aldespejara: a2 =c2 2 b
2
c) como: c2 =a2 1 b
2
aldespejarb: b2 =c2 2 a
2
4 en un muro de contención de forma rectangular metieron estructuras metálicas como
refuerzo.ellargodecadaestructuraesde10mylaalturadelmuroesde6m,¿cuántomide
elanchodelmuro?
a) conbaseenlainformación,intenteverodibujeeltriánguloquerelacionalosdatos.
b) ¿cómoeselánguloopuestoalladomáslargodedichotriángulo?
¿puedeaplicarelteoremadepitágoras?
c)sitienequehaceralgúndespeje,hágalo.
aspectosquesederivandelteoremadepitágoras.•
6m
10m
a
a2
b2
c2
bc
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
249
Para saber más
ensuRevistaLecturas de matemáticaslea“Lapruebaenmatemáticas”,ycontestelas
siguientespreguntas.
1. ¿porquéestanimportanteeltrabajodepitágoras?
2. ¿quéesloquehacediferentesalascienciasexperimentalesdeltrabajomatemático?
3. expliqueenquéradicalaimportanciadelademostraciónquehacesimonenlaresolución
delproblemadeltablerodeajedrezylasfichasdedominó.
realiceel“rompecabezas” ensuFolleto de juegos,despuéscontestelassiguientespreguntas.
Autoevaluación Unidad 8
1 eláreadeuncarruselcircularesde50.24 m2,¿cuántomidesuradio?considereapcomo
3.14.
2 van a poner una serie de focos en un carrusel circular que mide78.5 m2 de área. ¿cuál
eslamedidamínimaquedebetenerlaserieparaquealmenosledéunavueltacompleta?
considereapcomo3.14.
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
250
3 Calcule el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones.
A) l2 1 9 = 34
B) m2 2 10 = 141.29
C) 10 p2 = 1 210
D) m
2
3 = 176.3333
4 Un puente está sostenido por cables sujetos a un pilar, como se muestra en la siguiente figura:
3 m
6 m
9 m
A
15 m
B C D
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
251
a) midaconuntransportadorelánguloqueformanelpuenteyelpilar,¿cuántomide?
b) ¿quéfiguraformaelcableABconelpuenteylaalturadelpilar?
¿elAC? ¿yelAD?
c) ¿cuáleslamedidadecadaunodeloscablesquesostienenlaantena?
AB
AC
AD
5 unapuertarectangularllevadossolerasatravesadasparatenermayorsoporte.ellargodecada
soleraesde3.91 mylaalturadelapuertaesde3m,¿cuántomideelanchodelapuerta?
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
252
6 aplicando el teorema de pitágoras, diga si las siguientes medidas pertenecen a triángulos
rectángulos.
a) 5, 6 y 7.810249
b)9, 10, 13.4536
c)8, 13, 15.2643
Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras
253
AutoevaluaciónAutoevaluación
2207 autoevaluacion.indd 254 12/4/07 16:04:52
255
del módulodel módulo
2207 autoevaluacion.indd 255 12/4/07 16:04:54
Operaciones avanzadas Autoevaluación
256
Resuelva los siguientes problemas.
1 analicelasiguienteinformación:
ellibromásantiguoqueseconservaesdelaño 868,puesantesdedichafechaseusabael
papiroy3 000 añosantesdenuestraeraseusabantablillasdebarro.Fuehasta1456que
seimprimióelprimerlibro,graciasagutenberg,quienenelsiglo XVinventólaimprenta.
conbaseenlainformaciónanteriorrealicelosiguiente:
a) Lalíneaanteriorseconocecomolíneadeltiempo,debidoaqueenellasepuedenregistrar
acontecimientosimportantesyvercómoocurrieroneneltiempo.escribaenellaunaTen
laépocaqueseusarontablillasdebarro.
b)marqueconunaLcuandoseimprimióelprimerlibro.
c) ¿cuántosañoshaydediferenciaentreelusodelastablillasyelprimerlibroimpreso?
d)conunaAmarqueelmomentocuandosehizoellibromásantiguoqueaúnse
conserva.
2 escribalossímbolos>(mayorque),<(menorque)o5(igual),segúnseaelcaso.
213.9 10.4 7.08 7.7
28.8 27.3 29.01 25.9
20.18 11.6 9.56 29.65
5.9 5.90 4.07 4.0700
500-500-1500-2500-3500 1500-3000 0 1000-1000-2000 2000
2207 autoevaluacion.indd 256 12/4/07 16:04:55
Operaciones avanzadas Autoevaluación
257
3 consucalculadora,resuelvalassiguientesoperaciones.
(1445) 1 (1787) 5 (1986) 1 (2183) 5
(2895) 1 (1346) 5 (2789) 1 (2548) 5
(2784) 2 (1873) 5 (2956) 2 (1679) 5
(21 827) 2 (21 235) 5 (1956) 2 (2987) 5
(1983) 3 (1657) 5 (2852) 3 (2285) 5
(2834) 3 (1126) 5 (1956) 3 (2854) 5
(1673) 4 (1178) 5 (26 598) 4 (227) 5
(2894) 4 (1342) 5 (1895) 4 (2347) 5
4 ubiquelossiguientespuntosenelplanocartesiano.
a) (5, 6)
b) (8, 24)
c) (23, 7)
d) (6, 25)
e) (4, 215)
F) (27, 8)
g) (29, 29)
H) (0, 0)
i) (212, 0)
J) (2, 2)
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
258
5 unbarcoseencontrabaenelpunto(0,0)yavanzó7kilómetrosaladerechay9kilómetros
haciaelNorte.¿enquépuntoseencuentra?
6 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias:
a) (6) (6) (6) 5
b)9 · 9 · 9 · 9 · 9 5
c)(23) (23) (23) (23) (23) (23) 5
d)(215) (215) (215) (215) 5
e)(10) (10) (10) (10) (10) (10) 5
F) (2100) (2100) (2100) (2100) (2100) 5
7 escribalassiguientespotenciascomomultiplicaciones,usandopuntosoparéntesis.calcule
losresultados.
a) 87 5
b) 56 5
c) 74 5
d) 93 5
e) 78 5
8 ¿esigual87que78? ¿porqué?
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
259
9 realicelassiguientesoperaciones:
a)9 1 3 1 (38 3 5) ÷ 15 2 32 5
b)(215)2 1 73 – 5(33 1 35) 5
10 escribaconnúmerosdecimaleslamedidadelmetroenrelaciónconelecuador,teniendo
encuentaqueelmetroes1310–7vecesladistanciadelpoloalecuador.
11 ¿cómo le haría para medir8 kilos de masa en una balanza, si sólo tiene una pesa de
10 kilosyotrade2 kilos?
12 planteeunaecuaciónquerepresente lasiguientesituación:“La cuarta parte de un
número menos 12 es igual 88”.
13 ernestinacobró$138.00deunpardezapatosyledieron1billetede$500.00.elcliente
leofreció$38.00yellaaceptó,¿cuántodebedardecambio?
a) planteeunaecuaciónquerepresentelacantidaddedineroqueestárecibiendoernestina
yloquedebedardecambio.
b)resuelvalaecuaciónyverifiquesurespuesta.
2207 autoevaluacion.indd 259 12/4/07 16:04:56
Operaciones avanzadas Autoevaluación
260
14 analicelasiguientesituaciónycontestelaspreguntasqueselehacen.
a) ¿cuántomideeldiámetrodelcírculomayor?
b) ¿quérepresentadeneldibujo?
c)planteeunaecuaciónquerepresentelarelaciónentrelosdatosypermitacalcularel
valorde d.
d)¿cuántomided?
15 un terreno rectangular es5 vecesmás largoqueancho y tieneunperímetrode60 m.
¿cuálessonsusmedidas?
a) Hagaundibujodeunrectánguloquesea5vecesmáslargoqueancho.
b)planteelaecuaciónyresuélvala.
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
261
c) ¿cuálessonlasmedidasdelterreno?
16 Lamilpadegenaroproduce8 toneladasdemaíz,3 toneladasmenosquelamitadde
loqueproducíahace10 años.¿cuántastoneladasdemaízproducíahace10 años?
a) ¿cuáleslaincógnita?
b)elijaunaletrapararepresentarla.
c)planteelaecuaciónyresuélvala.
d)¿cuántastoneladasdemaízproducíalamilpahace10años?
17 resuelvalassiguientesecuaciones.
a) 65 1 x 5 456
b)234 2 y 5 123
c)98c 5 196
d)45d 1 d 5 414
e)9m 2 3m 5 6 468
F) 45x 1 3 5 408
g)298x 2 67 5 22 970
H)x
41 16 5 27
i)l
34 2 12 5 268
J)n
24 2 45 5 2456
2207 autoevaluacion.indd 261 12/4/07 16:04:56
Operaciones avanzadas Autoevaluación
262
18 analicelosdatosdelasiguientetabla.
x 0 1 2 3 4
y 10 13 16 19 22
a) cadaxaumenta1,¿cuántoaumentay?
b) ¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentalarelacióndelatabla?
c)construyalagráficaensucuaderno.
19 enel aeropuerto los taxis cobran$65.00 por serviciomás$35.00 por cadakilómetro
recorrido.¿cuántocobranporunviaje?
a) utilicelaxpararepresentarlacantidaddekilómetrosdedistanciaenunviajeylay
pararepresentarelpreciototaldelviaje;escribalaecuaciónquerepresentalarelación
entrelasdosvariables.
b)conbaseenlainformaciónanteriorcompletelasiguientetabla.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 100 135
20 en la tabla siguiente asigne valores a x en la ecuación y 5 6x 1 45 y calcule los
valoresdeycorrespondientes.
x
y
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
263
a) elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.
21 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesusandoelmétododesustitución.compruebe
susresultados.
a) y 5 x 2 1
6x – 7y 5 1
b) x 1 5y 5 238
2x 1 13y 5 100
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
264
22 resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesgraficando:
10m 1 4z 5 122
6m 1 8z 5 118
23 ¿cuántosmetrosdetuboserequiereparahacerunapiezacomolasiguiente?
4 m
3 m
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
265
24 sumelossiguientespolinomios.
a) (5n 1 8m) 1 (2n 2 2m) 5
b) (12b2 2 10x3 2 8y2) 1 (3b2 1 x3 2 6x)5
c) (ab2 1 11x3y) 1 (9ab2 2 3x) 5
d)(2xy2 1 5x3y) 1 (5xy2 1 x) 5
e) (3m3n 1 5m) 1 (6m 1 7m3n 2 n) 5
25 restelospolinomiossiguientes.
a) (7y 1 3x) 2 (2y 2 4x) 5
b) (12b2 1 2x3 2 6x) 2 (2b2 2 3x3 1 8x)5
c) (5xy2 2 12x2y) 2 (9xy2 1 2x) 5
d)(61mn3 2 12xy) 2 (24mn3 1 x) 5
e) (26yz2 2 8p) 2 (4m 2 8yz2 1 6m) 5
26 ¿cuáleselperímetrodelassiguientesfiguras?
____________________ ____________________
a y
y
x
y
x
d
c
b
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
266
27 reduzcalossiguientespolinomios.
a) 9n5 1 9x3 2 6n5 2 x3 5
b)8h2 1 5h 1 4h2 2 x 5
c)28cb2 2 7cb2 1 9cb2 1 c 5
28 multipliquelossiguientesmonomios.
a) (5c) (3c) 5
b) (x) (9y) 5
c) (4h2) (2h) 5
d)(3x2) (x2y) 5
e) (5x) (7xy2) 5
29 realicelassiguientesmultiplicaciones.puedereescribirlasdeotramanerasiesnecesario.
a) (7b 1 8a2) (6b 2 8a2) 5
b) (2b2 1 3c) (6b2 1 2c) 5
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Operaciones avanzadas Autoevaluación
267
30 ¿quécantidaddecableserequiereparasostenerunpostede15 mdealtura,sisequiere
queelcableformeunángulode55°conelpiso?
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Respuestas delRespuestas del
2207 autoevaluacion.indd 268 12/4/07 16:05:00
269
módulomódulo
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Operaciones avanzadas
270
Respuestas
comparesusrespuestas.
UNIDAD 1 Actividad 1
1.
a) cuernavacalamásaltaychihuahualamásbaja.
b)sanLuispotosí.
c)distritoFederalycuernavaca.
d)quehacemuchofrío.
e)22 °C
2.
a) 13 °C b) 218 °C
c) 240 °C d) 21 °C
e) 12 °C F) 136 °C
3.
bajocero.porquetienesignonegativo.
4.
pordebajo.
5.
100, 140, 19, 16, 7, 3, 2, 0, 21, 22, 28, 216
6.
1100 °Cy0 °C.elceronoesnegativonipositivo.
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Operaciones avanzadas Respuestas
271
7.
a) Lacantidaddedineroqueunapersonagastaaldíaysucomparaciónconloque
supuestamentedebíaserlanorma.estainformaciónvieneagrupadadeacuerdoconla
cantidaddedineroquegastan.
b)elgrupo10.el3.
e)210.2, 28.7, 26.5, 26.4, 24.0, 22.0.elsigno2representaquelaspersonasno
contaronconlacantidaddedineroqueproponelanormayporlotantogastanmenosde
losupuesto.
F) enlacolumnadegastoalimentario…,representanlascantidadesrealesquegasta
unapersonaaldíaenalimentos;enlacolumnadedéficitosuperávit…,representala
cantidaddedineroquegastaunapersonaaldíaenalimentos,ademásdelosupuesto.
g)$2.00
8.
$7.20
a) elsignonegativo.2$7.20
9.
210.2, 28.7, 27.8, 26.5, 26.4, 25.5, 24.0, 22.9, 22.0, 1.6, 4.0, 5.7, 11.9
a)
b)el24yel14.
- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-10-11-120
- 10,2 - 8,7 - 7,8 - 6,5 - 5,5 -4,0 -2,9 -2,0 1,6 4,0 5,7 11,9- 6,4
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Operaciones avanzadas
272
Respuestas
10.
Nada.
11.
26.4 < 11.9 24.0 < 22.0 28.7 < 1.6
210.2 < 26.5 27.8 < 5.7 22.9 > 25.5
28.7 5 28.7 1.6 > 26.4 26.5 < 25.7
4.0 > 24.0 11.9 5 11.9 24.0 5 24.0
11.9 > 28.7 25.5 < 22.0 210.2 < 5.7
Actividad 2
1.
a) cerometros
b)5 000 m
c)19.5 °C
d)19.5 °C
e)2 °C.bajando
2.
a) 1 $14.00
b)2 $2.00.porquebajóelpreciodelcarretedehilo.
c)$ 20.00
d)porquenohubocambio.
e)$ 25.00
F) subir.porqueengeneralsubierontodoslosmateriales.
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Operaciones avanzadas Respuestas
273
3.
a) (19) 1 (25) 5 14 b) (112) 1 (8) 5 120
c) (23) 1 (19) 5 16 d) (216) 1 (235) 5 251
e) (142) 1 (218) 5 124 F) (254) 1 (289) 5 2143
g)(191) 1 (215) 5 176 H) (274) 1 (348) 5 1274
i) (2743) 1 (166) 5 2677
4.
a) sueldoyayudaparavivienda.
b)$2 175.35
c)por3.
d)2$438.15
e)$1 737.20
5.
33 °C
6.
a)
b)2572, 2300, 2273, 1300, 11601, 11777, 11845
500-500-1500 15000 1000 2000-1000
Pitágoras, 572 a.e.
Euclides, 300 a.e. Pappus, 300 n.e. Fermat, 1601 n.e.
Cantor, 1845 n.e.
Gauss, 1777 n.e.
Eratóstenes, 273 a.e.
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Operaciones avanzadas
274
Respuestas
c)Larespuestaesvariadadeacuerdoalmomentoqueustedcontesteellibro.siesen
nuestraera,(n. e.)deberestarlafechadenacimientoalañoactual;perosiesantesde
nuestraera(a. e.),debesumar.
7.
a) 6, 6
d)12, 12
e)sí.
8.
a) (119) 2 (28) 5 27 b) (217) 2 (18) 5 225
c) (239) 2 (19) 5 248 d) (261) 2 (235) 5 226
e) (142) 2 (218) 5 60 F) (250) 2 (289) 5 139
g)(196) 2 (125) 5 1 71 H) (247) 2 (34) 5 281
i) (2743) 2 (166) 5 2809
Actividad 31.
a) antesdelcero.
b)despuésdelcero.porqueocurriráenelfuturo.
c)23 y 18
d)
e)1$100.00 y 2$100.00
- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80
2207 autoevaluacion.indd 274 12/4/07 16:05:04
Operaciones avanzadas Respuestas
275
F) (100)3(6) 5
g)(2100)3(6) 5
H)100 3 (26) 5
i) (2100) 3(26) 5
2.
a) $20.90
b)$14.40
c)2$6.50
d)2$39.00
e)2$40.80
F) 5integrantes
g)6integrantes
H)2$8.70al4
i) 1$35.70
J) 7integrantes
3.
a) 1(positivo)
b)2(negativo)
4.
a) (19)3(18) 5 72 b) (15) 3 (28) 5 240
c) (29)3(11) 5 299 d) (210)3(130) 5 2300
e) (115) 3 (14) 5 160 F) (17)3(210) 5 270
g)(16)3(212) 5 272 H) (134) 3 (24) 5 2136
i) (214)3(6) 5 284 J) (260)3(130) 5 2180
K) (241) 3 (25) 5 1205 L) (120)3(221) 5 2420
2207 autoevaluacion.indd 275 12/4/07 16:05:05
Operaciones avanzadas
276
Respuestas
m)(145) ÷ (25) 5 2 9 N)(260) ÷ (13) 5 220
o)(160) ÷ (212) 5 25 p)(1100) ÷ (125) 5 14
q)(1200) ÷ (225) 5 28 r)(290) ÷ (230) 5 13
s) (2300) ÷ (215) 5 120 t)(270) ÷ (135) 5 22
u)(1120) ÷ (260) 5 22 v) (1525) ÷ (25) 5 2105
W)(2180) ÷ (23) 5 1 60 X)(2160) ÷ (220) 5 18
5.
a) 2$150.10
b)2$3 900.00
c)1$2 694.90
Autoevaluación Unidad 1
1.
a) $15.40
b)
c)11.9 > 26.5 27.8 < 15.7
26.5 < 26.4 27.2 < 25.5
20.8 < 11.6 25.5 < 15.7
d)2$9.50
e)elrural
F) elrural
g)2$14.50
H)5integrantes
- 1 +1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80
2207 autoevaluacion.indd 276 12/4/07 16:05:05
Operaciones avanzadas Respuestas
277
2.
(1234)1(1897)5 1 131 (1456)1(2983) 5 2527
(2895)1(13 456)52 561 (2789)1(28 346)5 29 135
(1784) – (1578)5 206 (2984) –(1456) 5 21 440
(2324) –(21 235)5911 (1429) –(2342) 5 771
(1379)3(1832)5 315 328 (2956)3(2123) 5 117 588
(2735)3(1196)5 2144 060 (1919)3(2548) 5 2503 612
(1894)÷(1222)5 4.027 (2934) ÷ (224) 5 38.916
(2467)÷(1106)5 24.405 (11 025)÷(2125) 5 28.2
UNIDAD 2 Actividad 4
1.
a) porqueesdondesecruzanelmeridianoprincipalconelecuador.
b)porqueestá75°aladerechadelmeridianoprincipaly20°abajodelecuador.
c)porqueestá135°alaizquierdadelmeridianoprincipaly10°arribadelecuador.
d)porqueestá30°alaizquierdadelmeridianoprincipaly40°abajodelecuador.
e)
Punto Longitud Latitud
B 60° 0° D 90° 40° F –45° 20° J 90° 80°
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Operaciones avanzadas
278
Respuestas
F)Longitud Latitud Punto
45° 240° M 2150° 30° K 245° 70° L 0° 60° C 260° 250° I
g)
2.
a) (4, 8)
b) (7, 0)
c) (6, 28)
d)(25, 6)
e) (24, 28)
F) (23, 2)
y
0 x
Meridiano de Greenwich
Ecuador
20º
-20º
30º 60º 90º 120º 150º -60º -90º -120º -150º
-40º
40º
60º
80º
-30º -3-33-3333-3-3
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Operaciones avanzadas Respuestas
279
3.
4.
a) cuarto
b)tercero
d)enninguno,seencuentrasobreelejey.
Actividad 5
1.
a) Lacantidadsevaquintuplicandoencadaescalón.
b) 1, 5y25
c)125y625
d)1 953 125.calculandoelvalorde59.
e)2 441 406
F) No
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3 4 5 6 7 8 9 10-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-3-4-5-6-7-8-9-10
G
M
H
N
K
LI
J
2207 autoevaluacion.indd 279 12/4/07 16:05:06
Operaciones avanzadas
280
Respuestas
g)esunfraude,porqueusteddadineroynohaygarantíadequeseloregresen.por
ejemplo,enelcasodelproblemaanterior,doneusebioteníaquedar$1 000.00,más
$5 000.00delaspersonasqueélinvitarason$6 000yaélleprometieron
$5 000.00sólosiingresaban5personasmás.
2.
a)
c)severinopagó$184.00más,porqueeneloctavodíapagó$128.00yenelnoveno,
$256.00.esdecir,$28.00y$156.00más,respectivamente.
3.
a) 33 5 27
b) 94 5 6 561
Núm. de días “La barata” “El comercio”
1 $100 $1
2 $100 $2
3 $100 $4
4 $100 $8
5 $100 $16
6 $100 $32
7 $100 $64
8 $100 $128
9 $100 $256
10 $100 $512
Total $1 000 $1 023
2207 autoevaluacion.indd 280 12/4/07 16:05:07
Operaciones avanzadas Respuestas
281
c) (26)3 5 2216
d) (28)6 5 262 144
e) 107 5 10 000 000
F) 210 5 1 024
4.
a) 9 · 9 · 9 · 9 5 6 561
b)4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 5 262 144
c)3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 5 19 683
d)9 · 9 · 9 5 729
e)8 · 8 · 8 · 8 · 8 5 32 768
F) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 5 390 625
5.
59 049
7.
120 minutoso2 horas
8.
a) A 5(l) (l)
b)64 cm2
c)81 m2
9.
a) V 5 a3
b)216 cm3
c)8 m3
2207 autoevaluacion.indd 281 12/4/07 16:05:07
Operaciones avanzadas
282
Respuestas
10.
a) 1y4,respectivamente
b)262 144
Actividad 6
1.
a) 1 438.03
b)1 711.55
d)No.enquenomultiplicaronprimero.
e)1 797.5375
F) 2 139.4375
2.
a) queprimerohayquerealizarlasoperacionesqueestándentrodeél.
b)2 458.82kilocalorías
c)2 030.78porquehayunparéntesisqueindicaqueprimerosumo829.78alresultado
demultiplicar8.7 x 60yluegomultiplicarpor1.82
3.
a) 14 114
b) Julio.porqueesquienaplicalajerarquíadelasoperaciones.
c)1cond
2conc
3cona
4conb
2207 autoevaluacion.indd 282 12/4/07 16:05:07
Operaciones avanzadas Respuestas
283
4.
a) 33140 1 333320 1 33210 1 336310 5
ó33140 1 32320 1 33210 1 336310 5 1 410
1 410litrosdeaguaaldía.
c)93140 – 9390 1 23200 1 53210 1 932320 1 5343101 4
33310 5 4 200
2 580litrosdeaguaaldía.
5.
18.444
178
1 204
10 225
Actividad 7
1.
a) Losquetienenunapotenciade10negativa.porqueelexponentetieneunsignode
menos.
b)7.5310–6.porquelapotencianegativaesmayor.
c)Losquetienenpotenciapositiva.Notienensigno,loquesignificaqueespositiva.
d)1.83109.porquelapotenciatieneelexponentemayor.
2207 autoevaluacion.indd 283 12/4/07 16:05:07
Operaciones avanzadas
284
Respuestas
2.
a)
3.
2 pastillas
4.
a) 600 000 000
b)85 000 000
c)5 620 000
d)9 790 000 000
e)0.007
F) 0.000089
g) 0.00000059
Medidas de las células
Tipo de organismo microscópico Notación científica Medida en notación decimal
1 3 1027 cm 0.000 000 1 cm
1 3 1025 cm 0.000 01 cm
2 3 1025 cm 0.000 02 cm
1 3 1026 cm 0.000 001 cm
Fuentedefotos:http://www.botanica.cnba.uba.ar/pakete/dibulgeneral/
2207 autoevaluacion.indd 284 12/4/07 16:05:08
Operaciones avanzadas Respuestas
285
Autoevaluación Unidad 2
1.
2.
(8, 6)
3.
(9, 0)
4.
(24, 2)
5.
a) 44 5 256
b)55 5 3 125
x-1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12
y
A
H
G
I
D
C
BJ
E
F
2
2207 autoevaluacion.indd 285 12/4/07 16:05:08
286
Respuestas
C) 263 o (26)3 5 2216
D) 2114 o (211)4 5 14 641
E) 126 5 2 985 984
F) 2205 o (220)5 5 23 200 000
6.
A) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 5 256
D) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 5 4 096
E) (6) (6) (6) (6) 5 1 296
F) (8) (8) (8) 5 512
G) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) 5 6 561
7. No y no
8.
A) 21.837
B) 13 787
9.
0.0000000000000000000000000009 g
10.
6 3 1024
11.
0.000181
Operaciones avanzadas Respuestas
287
UNIDAD 3 Actividad 81.
eneldeenmedio
a) con5árbolesyunadistanciadsucedelosiguiente:
enunextremo:
porloqueladistanciatotalacaminarsiseponeeltinacoenunextremosería:
d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1
d 1 d 1 d 5 20d
siseponeenmedio:
d
d
2207 autoevaluacion.indd 287 12/4/07 16:05:09
Operaciones avanzadas
288
Respuestas
porloque,sisecolocaeltinacoenmediosería:
2(d 1 d 1d 1 d 1 d 1 d) 5 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d
1 d 5 12d
comopuedever,sisecolocaenunextremo,consolo5árbolesdonchuyestaría
caminando20vecesladistanciaentreunárbolyotro,mientrasquesisecolocaen
medio,sóloestaríacaminando12vecesdichadistancia.porlotanto,leconvienemás
colocarloenmedio.
b)enmediodel18 y19.
2.
a)
b)
c)P 5 2l 1 2a.tambiénpuedeescribirsecomoP 5 2 (a 1 l)
3.
a) l 1 l 1 ló3l.
b) l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 a 1 a;tambiéncomo:6l 1 2a;ocomo:2b 1 2a
4.
55b
5.
p 5 250d,dondepeselimporteydeselvalordeundólarenelmomento.
l
a
2207 autoevaluacion.indd 288 12/4/07 16:05:10
Operaciones avanzadas Respuestas
289
6.
m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m u 8m
7.
Lamedidadelaalturadeochoescalones.
a) u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u
8.
a) l 1 l 1 ló3l
b)m 1 mó2m
c) l 1 l 1 l 1 m 1 mó3l1 2m
9.
a)5b b)6d
c)8l d)4b
e)5h F)l 13b
g)3b 1 l H)8m 1 3b
10.
20l
a) 20 m
b)40 m
c)6 m
11.
9f
a)$27.00
b)$45.00
2207 autoevaluacion.indd 289 12/4/07 16:05:10
Operaciones avanzadas
290
Respuestas
12.
a) 3l 1 b 1 h
b)51 m
13.
a)72 b)45
c)310 d)48
e)20 F)164
g)128 H)70
14
a) 3 478.02
b)2 506.32
Actividad 9
1.
a) 6y18años
b)2021
c)No.sumandode6 en6.
d)sí
e)sí
F) esigualentodos.sí,porqueelresiduoeselmismo.
g)siemprees2.
H)sí
i) 6x 1 2
2207 autoevaluacion.indd 290 12/4/07 16:05:10
Operaciones avanzadas Respuestas
291
2.
a) 2n
b)200
3.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...
4.
a) 5n 1 1
b)5(9) 11 5 46
c)251
5.
a) 31,37
b)136,131,126
c)29,37
d)44,49
6.
a) sí
b)1
c)4
d)9
e)16
F) 25
g)36.multiplicandoporsímismoelnúmerodeunidadesquetieneporlado.
H) l2
2207 autoevaluacion.indd 291 12/4/07 16:05:10
Operaciones avanzadas
292
Respuestas
i)
J) porqueloselementosdelasucesióncorrespondenalcuadradodelnúmerodeposiciónen
lasucesión.
7.
a) 1, 3, 6, 10, 15
b)
c)55
d)Loselementoscorrespondientesenlassucesionestienenelmismonúmerodepuntosode
aros.
Número de posición en la sucesión Sucesión Es igual a También se puede
representar como
1 1 1 3 1 12
2 4 2 32 22
3 9 3 33 32
4 16 4 34 42
5 25 5 35 52
6 36 6 36 62
7 49 7 37 72
8 64 8 38 82
9 81 9 3 9 92
n n 3 n n2
6
2207 autoevaluacion.indd 292 12/4/07 16:05:11
Operaciones avanzadas Respuestas
293
e)2, 6, 12, 20
F) sí.multiplicandoelnúmerodepuntodeunlado(base)porelnúmerodepuntosdelotro
lado(altura).
g)sí.
H)sí.multiplicandoelnúmerodepuntodeunlado(base)porelnúmerodepuntosdelotro
lado(altura).
i) sí.porquesirepresentamoselnúmerodepuntosdeunladoconlaletran,entonces
podemosrepresentarelnúmerodepuntosdelotroladoconlaexpresiónn11,queal
multiplicarsequedacomo(n) (n11) o (n11) (n).
J) dividirentre2.
K)n(n11)
2
8.
a) 448y576,respectivamente.
b) 339.2
c)c 5 6.4 p
d)c 5 6.4 (68) 5 435.2
F)
Peso
Calo
rías
Calorías quemadas por 30 minutos de caminata
0
200
400
600
800
20 40 60 80 100p
c
2207 autoevaluacion.indd 293 12/4/07 16:05:11
Operaciones avanzadas
294
Respuestas
9.
a)88, 96, 104, 112
b) l 5 4t 1 60
10.
a) 25
b)5
c)
d)s 5 5v 1250
11.
a) y aumenta7porcada1queaumentax.
b)y 5 7x 1 45
c)
Número de piezas vendidas (v) 5 10 50 100 200
Sueldo semanal (s) 275 300 500 750 1 250
(x) 0 5 7 9 11
(y) 45 80 94 108 122
01 2 4 6 8 10 113 5 7 9
y
x
20
40
60
80
100
120
140
y = 7x + 45
2207 autoevaluacion.indd 294 12/4/07 16:05:12
Operaciones avanzadas Respuestas
295
Actividad 10
1.
dependedelosresultadosquehayaobtenidoensuexperimento.
2.
ustedpudohaberelegidoletrasdiferentesalasaquípropuestaspararepresentarlas
expresionesalgebraicas,sólorevisequelasrelacionesentreellasseancorrectas.
Un número más 15. y 1 15
Un número menos 20. a 220
El doble de un número. 2x
El triple de un número. 3x
El cuádruple de un número. 4x
La suma de dos números. x 1 y
El doble de un número más 12. 2x 1 2
El triple de un número menos 4. 3m 24
La mitad de un número. x
2
La mitad de un número menos 7. x
227
Dos terceras partes de un número. 2x
3
Un número dividido entre otro. x
y
El producto de dos números. xy
El producto de dos números más 5. xy 1 5
La mitad del producto de dos números.xy
2
5 menos un número. 5 2 b
2 000 menos un número. 2 000 2 b
6 más un número. 6 1 b
Un número más la mitad del mismo. b 1 b
2
Ocho veces un número. 8b
Un número al cuadrado. y2
Un número al cubo. m3
Un número elevado al exponente 8. y8
2207 autoevaluacion.indd 295 12/4/07 16:05:12
Operaciones avanzadas
296
Respuestas
3. 200 31; 100 3 2; 50 3 4; 40 3 5; 25 3 8; 20 3 10
a)
b)
c)a 5
4.
dependedelexperimentoqueustedrealice.
d)sí
e)P 5 3.14 d
5.
dependedelexperimentoqueustedrealice.
6.
a) No.secuadriplica.
200l
Largo (l) metros 200 100 50 40 20
Ancho (a) metros cuadrados 1 2 4 5 10
Largo (l) centímetros 1 2 3 4 5 6 7 8
Área (A) centímetros cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64
2207 autoevaluacion.indd 296 12/4/07 16:05:12
Operaciones avanzadas Respuestas
297
1 cm
1 cm
3 cm
3 cm
b)
c)No.semultiplicapor9.
d)semultiplicapor16ypor25,respectivamente.
e)A 5l2
F)
g)sí.
H)$936.00
i) 32ó9veces.
7.
a) semultiplicapor8.
b)
Lado (l) 5 10 15 20 25 30 35
Área (A) 25 100 225 400 625 900 1 225
25(2)(2) 25(3)(3) 25(4)(4) 25(5)(5) 25(6)(6) 25(7)(7)
Arista (l) 1 2 3 4 5 6 7 8
Volumen (V) 1 8 27 64 125 216 343 512
1 2
2207 autoevaluacion.indd 297 12/4/07 16:05:13
Operaciones avanzadas
298
Respuestas
Autoevaluación Unidad 3
1.
2.
a)
x
b)x
c)4x
3.
a) Laqueustedelija.aquípondremosx.
b)elanchomidexyellargomide4x.
c)10x
4.
a) 4x b) 3x
c)9l d) 6b
b
2
x x x x
x
2207 autoevaluacion.indd 298 12/4/07 16:05:13
Operaciones avanzadas Respuestas
299
5.
a) 108 b) 150 c) 65
d)4 e) 191 F) 690
g)110 H) 120
6.
a) 500
b)5n
c)separeceenquevacambiandode5en5yenquecadaelementodeestasucesiónse
puedeencontrarsumando1acadaelementodelasucesiónanterior.
d)5n 11
7.
5, 9, 13, 17, 21, 25, 29...
8.
a) 24, 29
b)15, 21
c)116, 113
d)11, 22
9.
a) 52, 56, 60y64,respectivamente
b) l 5 2t 1 40
10.
a) $ 300.00
b)$ 300.00
2207 autoevaluacion.indd 299 12/4/07 16:05:13
Operaciones avanzadas
300
Respuestas
c)
d)y 5 150x 1 800
11. 240 31; 120 3 2; 80 3 3; 60 3 4; 48 3 5; 40 3 6; 30 3 8; 24 3 10;
20 3 12; 16 3 15
a)
b)Largo (l) 240 120 80 60 40 30 24 20
Ancho (a) 1 2 3 4 6 8 10 12
c)a 5 240
l
UNIDAD 4 Actividad 11
1.
ponerlapesade2kgjuntoconelfierroylade5kgdelotrolado:2 1 3 5 5
2.
3botesde20litrosparaunodeellosytodoloquerestaparaelotro:
3 (20) 5 2 (20) 1 3 (5) 1 5
Número de sillas (x) 2 4 6 8 10
Precio total (y)mesa con sillas $1 100 $1 400 $1 700 $2 000 $2 300
2207 autoevaluacion.indd 300 12/4/07 16:05:14
Operaciones avanzadas Respuestas
301
3. Llenaelrecipientede 5 litros,vacía3litrosalrecipientede3 litrosylequedan2litrosenelde5 litros.desocupaelrecipientede3litrosyponelos2litrosquelequedabanenelde5 litros.vuelveallenarelrecipientede5litrosyvacía1litroparacompletarlos3litrosenelrecipientede3 litros,asílequedan4 litrosenelrecipientede5 litros.estoes:4 5 5 2 3 2 2 1 5 2 1
4. 880
5. a) p 5 4l
b)24 m
6. ponejuntoslosdosrelojes;encuantoterminaelde3minutoslovuelveaponer,yempiezaacontarcuandoterminaelde3minutosporsegundavez:11 2 3 2 3 5 5
7. a) 8 1 5 5 9 1 4 b) 45 2 5 5 9 1 31c)9w 1 6w 5 4w 1 11w d) 96a 2 17a 5 60a 119a
Actividad 12
1. a) ¿cuántotienequeregresardecambio?b)Laletraqueustedhayaelegido.
c)200 1 3
d)178 1 m.(Laletraquehayaelegido)
e)200 1 3 5 178 1 m
F) 203 5 178 1 m
2207 autoevaluacion.indd 301 12/4/07 16:05:14
Operaciones avanzadas
302
Respuestas
g)178y178
H)203 2 178 5 178 2 178 1 m
25 5 m ó m 5 25
i) $25.00
J)200 1 28 5 178 1 m
228 5 178 1 m
K)$50.00
2.
a) Lacantidaddelíquidoquefaltaalenvase.
b)Laletraqueustedhayaelegido.
c)1.32 1x(Laletraqueustedhayaelegido)
d)1.32 1x5 1.5
e)despejarlayhacerlaoperaciónindicada.
F) 0.18 litros
3.
a) cuántosgradossepasóelhorno.
b)Laletraqueustedelija
c)250 2 y.a180.
d)250 2 y 5 180.
y 570 °C
4.
a)18 años
b)x1 7 5 18
c)x5 11
5. $50.00
a) x1 167 5 217ó217 2x5 167
b)x5 50
2207 autoevaluacion.indd 302 12/4/07 16:05:14
Operaciones avanzadas Respuestas
303
6.
a) unaformadeplantearlaecuaciónes:500 1 36 5x1 286 ustedpudohaberlaplanteadounpocodiferente.verifiquesurazonamientoyelresultado
queobtuvo.b)x5 250
c)$300.00
d)unaformadeplantearlaecuaciónes:500 1 86 5x1286 ustedpudohaberlaplanteadounpocodiferente.verifiquesurazonamientoyelresultado
queobtuvo.e)x5 300
7.
a) a 5 22
b)b 5 28
c)m 5 262
d)c 5 14
Actividad 13
1.
a) 5p 5 580
5p 5 580
p 5 580
5 p 5 116 5 (116) 5 580 580 5 580
b)116 litros
2207 autoevaluacion.indd 303 12/4/07 16:05:14
Operaciones avanzadas
304
Respuestas
2.
a) 29x5 580
29x5 580
x5 58029
x5 20
29 (20) 5 580
580 5 580
c)20 litros
3.
a) elnúmerodecubetasde20 litrosquesegastanal“barrer”lacalleconlamanguera.b)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslam.c) 20m 5 105
e) 20m 5 105
m 5 10520
m 5 10520
m 5 5.25
F) 5. 25 cubetas.2035.25 5 105;105 5 105,esdecir,5.25 cubetas deagua
equivalena105 litros.
4.
a)r
25 140
b) r
25 140
2(r
2 ) 5 (140) (2)
r 5 280
2207 autoevaluacion.indd 304 12/4/07 16:05:15
Operaciones avanzadas Respuestas
305
c)280 gramosdepollo.
2802
5 140
140 5 140
5.
a) elnúmerodelitrosquegastaunafamiliade5 miembrosenelsanitario,sinsistema
ahorradordeagua.
b)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslax.
c) x
25 180
e) x
25 180
2(x
2) 5 (180) (2)
x5 360
F) encondicionesnormales,unafamiliade5 miembrosgasta360 litrosdeagua
diariamenteenelsanitario.
3602
5 180
180 5 180
6. 8 m
a) Lamedidadelladodelpatio.
b)P 5 4l
c)seconoceelperímetroyfaltaconocerlamedidadelladodelcuadrado.
d)l 5 P
4
e) l 5 324
l 5 8
2207 autoevaluacion.indd 305 12/4/07 16:05:15
Operaciones avanzadas
306
Respuestas
F) 8 5 324
8 5 8
7.
a) P
27 5 50
b) P
27 5 50
p 5 (50) (27)
p 5 1 350
c)1 350 toneladasdecobre.
d) 1350
27 5 50
50 5 50
8.
a) 2d 1 d 5 4 500
3d 5 4 500
b)3d 5 4 500
d 5 4 500
3
d 5 1500
c)$3 000.00 elpapáy$1 500.00elhijo.
d) 3 (1 500) 5 4 500
4 500 5 4 500
9.
a) d 5 5
b)x5 25
2207 autoevaluacion.indd 306 12/4/07 16:05:15
Operaciones avanzadas Respuestas
307
c)a 5 11
d)b 5 9
e)a 5 28
F) m 5 81
g)x5 950
Actividad 14
1.
a) xrepresentaelanchodeunahileradecajonesparacolocarloscoches.
b)Laalturadelestacionamiento,elanchototalymedidadeladistanciaqueseparalasdos
hilerasdecajones.
c)Laalturadelestacionamiento.
d) 2x 1 3.3 5 13.76
e) 2x 1 3.3 5 13.76
2x 5 13.76 – 3.3
2x 5 10.46
x5 10.46
2 x5 5.23
2(5.23) 1 3.35 13.76
10.46 1 3.35 13.76
13.765 13.76
F) 5.23 metros
2.
a) elsueldosemanal
2207 autoevaluacion.indd 307 12/4/07 16:05:15
Operaciones avanzadas
308
Respuestas
b)Laletraqueustedeligió.aquíusaremoslay.ecuación:
4y 1 300 5 2 900
d) 4y 1 300 5 2 900
4y 5 2 900 2 300
4y 5 2 600
y 5 2600
4
y 5 650
4(650) 1 3005 2 900
2600 1 3005 2 900
2 9005 2 900
e)$650.00
3.
a) Lacantidaddehectáreasqueteníainicialmente.b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremoslay.ecuación:
y
2 1 1.6 5 9.6
d)y
2 1 1.6 5 9.6
y
2 5 9.6 21.6
y
2 5 8
y 5 (8) (2)
y 5 16
162
1 1.65 9.6
8 1 1.65 9.6
9.65 9.6
2207 autoevaluacion.indd 308 12/4/07 16:05:15
Operaciones avanzadas Respuestas
309
e)16 hectáreasF) 6.4 hectáreas
4.
a) Laalturadeledificio.
b) h
5 2 1.5 5 4.1
d)h
5 2 1.5 5 4.1
h
5 5 4.1 1 1.5
h
5 5 5.6
h 5 (5.6) (5)
h 5 28
paraverificar:
285
2 1.5 5 4.1
5.6 2 1.5 5 4.1
4.1 5 4.1
e)28 mdealtura.
5.
4x 2 60 5 700
x 5 190
rositatiene$190.00
2207 autoevaluacion.indd 309 12/4/07 16:05:16
Operaciones avanzadas
310
Respuestas
6.
3w 1 100 1150 5 475
w 5 75
cadafococonsume75 watts.
7.
a) °F 5 95
°C 1 32
°F – 32 5 95
°C
5 (°F – 32) 5 9 °C
5 (°F – 32) 5 °C
9
b)siustedllegóalasiguientefórmula:
59 (°F – 32) 5 °C
tambiénescorrecta,puesrepresentanlomismo.
8.
392 °F
9.
73. 8 °C
2207 autoevaluacion.indd 310 12/4/07 16:05:16
Operaciones avanzadas Respuestas
311
Autoevaluación Unidad 4
1.
tomo5 litros;echo3litrosalrecipientede3 litros.esos3 litroslosechoenelrecipientede
todalaleche.echolos2litrosdelrecipientede5litrosenelrecipientede3 litros ymido5
litros,conlosquecompletolos7 litros.
2. x
3 1 2 5 20
ustedpudohaberelegidootraletra.
3.
No
a) 200 1 3 5 27 1 170 1 x
b) 200 1 3 5 27 1 170 1 x
203 5 197 1 x
203 – 197 5 x
6 5 x
200 1 3 5 27 1 170 1 6
203 5 203
c)$6.00
4.
a) x1 85 5 165
b) x1 85 5 165
x5 165 – 85
x5 80
80 1 85 5 165
165 5 165
2207 autoevaluacion.indd 311 12/4/07 16:05:16
Operaciones avanzadas
312
Respuestas
c)80 cm
5.
a) 5d 5 17.5
b)3.5 cm
6.
a)
b) 8d 5 9.6
d 5 9.68
d 5 1.2
8 (1.2) 5 9.6
9.6 5 9.6
c)1.2 mpor3.6 m
7.
a) y
3 5 5 000
y 5 5 000 (3)
y 5 15 000
15 0003
5 5 000
5 000 5 5 000
b)15 000 litrosdeagua.
d
d
d d
2207 autoevaluacion.indd 312 12/4/07 16:05:17
Operaciones avanzadas Respuestas
313
8. a) Loskilogramosdetabacoqueproducíanantes.b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremoslax.
c) 34
x– 100 5 1 500
34
x5 1 500 1 100
34
x5 1 600
3x 5 (1 600) 4
3x 5 (6 400)
x5 6 400
3
x5 2 133.33
d)2 133 kilogramosdetabaco.
9.
a) x5 55
b)y 5 150
c)c 5 38.33
d)d 5 7
e)m 5 11
F) x5 1
g)x5 212.89
H) x5 44
i) m 5 2 676J) n 5 24 725
2207 autoevaluacion.indd 313 12/4/07 16:05:17
Operaciones avanzadas
314
Respuestas
UNIDAD 5 Actividad 15
1.
a) 325 ml
b)sí
c)325
d)325
2.
a) Lasdosecuacionessoncorrectasporquealdespejaryenlaecuacióny 1x5 325
quedalaecuacióny 5 325 2 x.
b)
3.
a) Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslam.
b)delacantidaddedineroqueaportelagente.
205
0
0
20
40
60
80
100
120
140
215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315
Contenido
Falta
nte
Botella llena
2207 autoevaluacion.indd 314 12/4/07 16:05:17
Operaciones avanzadas Respuestas
315
c)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslan.
d)m 5 2 n
e)
F)
4.
a) y 5 12x
b)
Gente (n)12
millón 1 millón 112
millones 2 millones 2
12
millones 3 millones
Empresa (m) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones
0
1
2
3
4
5
6
(m)
(n)1 2 3
Millones de pesos que da la gente
Luchacontraelcáncer
Mill
ones
de
peso
s qu
e ap
orta
rá
la e
mpr
esa
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132
2207 autoevaluacion.indd 315 12/4/07 16:05:18
Operaciones avanzadas
316
Respuestas
c)
5.
a) y 5 5x 1 8
b)
c)
0
50
100
150
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Litros
Kilómetros por litro de gasolinaKi
lóm
etro
s
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68 73 78 83
0
20
40
60
80
100
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Kilómetros
precioporviajeentaxi
Prec
io
2207 autoevaluacion.indd 316 12/4/07 16:05:18
Operaciones avanzadas Respuestas
317
Actividad 16
1.
A) $4 850.00
IVA: $776.00
B) Es correcto porque $5 599.00 es igual a $5 599.00
C)
Las cantidades han sido redondeadas.
ArtículoPrecio final
x
Sustitución del precio final en la ecuación
y = x
1.16
Precio sin IVA
y
Lp fotosmart 435 $1 960.00 y = 1 960
1.16$1 689.65
Lp fotosmart R707 $6 180.00 y = 6 180
1.16$5 327.59
Syber-shot TSD–C43 $3 599.00 y = 3 599
1.16$3 102.59
Proyector Lp SB–21 $19 299.00 y = 19 299
1.16$16 637.07
Paquete Minilab $6 299.00 y = 6 299
1.16$5 430.17
Operaciones avanzadas
318
Respuestas
2.
b)sí.
c)gerardo.
d)sí.
3.
Losdatosdelatablaydelagráficapuedenvariardeacuerdoacomoustedloshayaelegido
pero,másomenos,debenquedarasí.
a)
x y
2 300 2 0702 600 2 3402 900 2 6103 200 2 8803 500 3 1503 800 3 4204100 3 6904 400 3 9604 700 4 2305 000 4 500
2207 autoevaluacion.indd 318 12/4/07 16:05:19
Operaciones avanzadas Respuestas
319
b)
4.
a)
ustedpudohaberasignadootrosvaloresaxyobtenerotrosvaloresdey,perosiusted
prolongaestagráficaolaqueustedhizo,podráverqueeslamisma.
2300 2600 2900 3200 3500 3800 4100 4400 4700 5000
0
500
1000
1500
2000
2500
2070
2340
2610
2880
3150
3420
3690
3960
4230
4500
3000
3500
4000
4500
5000
Sueldo
Suel
do n
eto
y
x
x –2 2 6 10 14 18 22
y 21 29 37 45 53 61 69
0
40
60
80
y
x2-2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
y = 2x + 25
20
2207 autoevaluacion.indd 319 12/4/07 16:05:20
Operaciones avanzadas
320
Respuestas
Actividad 171.
a) y 5 180 1 0.50x
b)y 5 3.50x
c)
d)
e)61 minutos
F) 60 minutos
g)celfon
H)mexcel,$90.00
i) mexcel,$180.00
Minutos 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Mexcel ($) 185 190 195 200 205 210 215 220 225
Celfon ($) 35 70 105 140 175 210 245 280 315
10
0
100
200
300
400
20 30 40 50 60 70 80 90
Peso
s
Número de minutos
comparacióndeprecios
2207 autoevaluacion.indd 320 12/4/07 16:05:20
Operaciones avanzadas Respuestas
321
2.
y 5 40 2 2x y y 5 10 1 10x
a)
b)
c) (2.5; 35)
y = 40 2 2x
Valores de x Valores de y
0 40
1 38
10 20
20 0
30 –20
y = 10 1 10x
Valores de x Valores de y
0 10
1 20
10 110
20 210
30 310
100100101010 200200202020 3030303030 404404404040 500500505050 606606606060 700700707070 800800808080 909090900
100
-100
200
300
400
y = 40 – 2x
y = 10 + 10x
2207 autoevaluacion.indd 321 12/4/07 16:05:21
Operaciones avanzadas
322
Respuestas
d)y 5 40 2 2x y 5 10 1 10x
y 5 40 – 2 (2.5) y 5 10 1 10 (2.5)
y 5 40 – 5 y 5 10 1 25
y 5 35 y 5 35
3.
a) y 5 150 1 35x
b) y 5 40x
c)
d)
e)“comodidad”
Kilómetros recorridos 20 40 60 80
“Delujo” ($) 850 1 550 2 250 2 950
“Comodidad” ($) 800 1 600 2 400 3 200
0
1000
2000
3000
4000
5000
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Prec
io e
n pe
sos
Kilómetros
rentadeautos
“Delujo”
“Comodidad”
2207 autoevaluacion.indd 322 12/4/07 16:05:21
Operaciones avanzadas Respuestas
323
4
sonrespuestasdeopinión.
Autoevaluación Unidad 5
1.
a) Laqueustedelija.aquíusaremosm.
b)delacantidaddedineroquedonelagente.
c)Laqueustedelija.aquíusaremosp.
d)m 5 3p
e)
F)
2.
a) y 5 8x
Gente (p) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones
Empresa (m) 3 millones 6 millones 9 millones 12 millones 15 millones 18 millones
0
5
10
15
20
1 2 3 4 5 6
Donaciones para niños con cáncer (millones de pesos)
Empr
esar
ios
Gente
y
x
2207 autoevaluacion.indd 323 12/4/07 16:05:21
Operaciones avanzadas
324
Respuestas
b)
c)
3.
a) elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88
0
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rendimientodelacamioneta
Kilo
met
ros
Litros de gasolina
y
x
y = 12x – 7
0000
2020020
0-20- 020020020-2020
400-40- 0400400404040
4040040040
6060060060
8080080080
11111111111-1111111 2222222222-22222 333333333 444444444
y
x
2207 autoevaluacion.indd 324 12/4/07 16:05:22
Operaciones avanzadas Respuestas
325
4.
con11 teléfonosquevendayaestáganadomás.
a) y 5 35x 1 150
b)y 5 50x
c)
d)
e)sólosivendemenosde9 teléfonos,leconvienelaprimeraopción.sivende11omás,
leconvienelasegunda.
Número de teléfonos vendidos 5 10 15 20
Primera opción $325 $500 $675 $850
Segunda opción $250 $500 $750 $1 000
5
0
200
400
600
800
1 000
1 200
10 15 20 25
Suel
do s
eman
al e
n pe
sos
Teléfonos vendidos en una semana
sueldo
Primera opción
Segunda opción
2207 autoevaluacion.indd 325 12/4/07 16:05:23
Operaciones avanzadas
326
Respuestas
UNIDAD 6 Actividad 181.
5grandesy7 chicos.
a) elnúmerodetapeteschicosyelnúmerodetapetesgrandesquesevendieron.
b)Lasqueustedelija,aquíelegimosmyn.
c)m 1 n 5 12
d)250m 1 450n 5 4 000
2.
a) a 1 n 5 439
b)65a 1 35n 5 18 995
c)a 5 439 2 n
65 (439 2 n) 1 35n 5 18 995
28 535 2 65n 1 35n 5 18 995
230n 5 18 995 2 28 535
230n 5 29 540
n 5 29 540230
n 5 318
a 1 318 5 439
a 5 439 2 318
a 5 121d)121e)318
3.
$500.00al3%deinterésanualy$3 500al4%.paraplantearelsistemadeecuaciones
queresuelveelproblemaesnecesariorecordarqueparacalcularel3%ó4%deuna
2207 autoevaluacion.indd 326 12/4/07 16:05:23
Operaciones avanzadas Respuestas
327
cantidad,estasemultiplicapor0.03opor0.04,respectivamente.porloqueelsistemade
ecuacionesqueresuelveelproblemaeselsiguiente:
x 1 y 5 4 000
0.03x 1 0.04y 5 155
porelmétododesustituciónsepuederesolverdelasiguientemanera:
x 1 y 5 4 000
x 5 4 000 2 y
0.03( 4000 – y) 1 0.04y 5 155
porlapropiedaddistributivadelamultiplicaciónconrespectoalasuma:
120 – 0.03y 1 0.04y 5 155
120 2 0.01y 5 155
0.01y 5 155 – 120
0.01y 5 35
y 5 350.01
y 5 3 500
sustituciónenlaprimeraecuación:
x 1 y 5 4 000
x 1 3 500 5 4 000
x 5 4 000 – 3 500
x 5 500
verificaciónderespuestas:
3 500 1 500 5 4 000 3 500 (0.04) 1 500 (0.03) 5 155
4000 5 4 000 140 1 15 5 155
155 5 155
2207 autoevaluacion.indd 327 12/4/07 16:05:23
Operaciones avanzadas
328
Respuestas
4.
elmenorrecibió$2 850.00yelmayor$3 650.00
5.
15 quesosde1.6y12de2.3 kg
6.
a) x 5 7
y 5 3
b)x 5 9
y 5 22
c)x 5 10
y 5 25
d) m 5 1
n 5 2
e)x 5 213
y 5 25
Actividad 19
1.
a) elpreciode1kilogramodefrijolyelpreciode1sobredegrenetinaparahacergelatinas.
b)elpreciode5 kgdefrijoly8sobresdegrenetinayelpreciode3 kgdefrijoly10 sobres
degrenetina.
c) 5x 1 8y 5 136
3x 1 10y 5 118
2207 autoevaluacion.indd 328 12/4/07 16:05:23
Operaciones avanzadas Respuestas
329
d)
e)secortanenunpunto.enelpunto(16, 7).
x 5 16yy 5 7
F) 5x 1 8y 5 136
3x 1 10y 5 118
semultiplicanambasecuaciones,unapor3ylaotrapor5:
15x 1 24y 5 408
15x 1 50y 5 590
seresta,enestecaso,secambióelordendelasecuacionesparafacilitarresultados:
15x 1 50y 5 590
15x 1 24y 5 408
0 26y 5 182
sedespejaydelaecuaciónresultante:
y 518226
y 5 7
0
5
10
15
20
25
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y
x
y = (136 – 5x)
8
y = (118 – 3x)
10
2207 autoevaluacion.indd 329 12/4/07 16:05:24
Operaciones avanzadas
330
Respuestas
sesustituyeelvalordeyenunadelasdosecuacionesinicialesysecalculaelvalordex:
5x 1 8y 5 136
5x 1 8 (7) 5 136
5x 1 56 5 136
5x 5 136 – 56
5x 5 80
x 5 805
x 5 16
secompruebaelresultadosustituyendoambosvaloresenlasdosecuacionesiniciales:
5 (16) 1 8 (7) 5 136 3 (16) 1 10 (7) 5 118
80 1 56 5 136 48 1 70 5 118
136 5 136 118 5 118
g)Lasolucióndelsistemacorrespondealpuntodondesecortanlasrectas.
H)$16.00elkilogramodefrijoly$7.00unsobredegrenetinaparahacergelatinas.
2.
16 paquetesde18 rollosy4paquetesde24 rollos.
a) Lacantidaddepaquetesde18 rollosdepapelylacantidaddepaquetesde24.
b)eltotaldepaquetesyeltotalderollosquehayenlospaquetes,asícomolacantidadque
contienenlosdostiposdepaquetes.
c) 18x 1 24y 5 384
x 1 y 5 20
d) x 5 16
y 5 4
3.
$1 100.00unavacay$320.00cadaborrego.
a) elpreciodecadavacayelpreciodecadaborrego.
2207 autoevaluacion.indd 330 12/4/07 16:05:24
Operaciones avanzadas Respuestas
331
b)Lacantidaddedineroquerecibióporlaventade80 vacasy160 borregosyporlaventa
de50 vacasyde185 borregos.
c) 80x 1 160y 5 139 200 50x 1 185y 5 114 200
d) x 5 1 100
y 5 320
4.
a) m 5 2
z 5 8
b) a 5 22
b 5 5
c) x 5 6
y 5 23
d)x 5 16
y 5 24
5.
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m = (33 – 3z) 9
m = (99 – 9z) 27
z
m
2207 autoevaluacion.indd 331 12/4/07 16:05:25
Operaciones avanzadas
332
Respuestas
a) sesobreponen.
b)27m 1 9z 5 99
c)sonlamismaecuación.
6.
a) No.
b)sonparalelas.
Autoevaluación Unidad 6
1.
a) a 1 n 5 224
b)35a 1 15n 5 4 480
c)n 5 168
a 5 56
0
2
-2
4
6
8
10
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = (68 – 4x) 7
y = (78 – 8x) 14
2207 autoevaluacion.indd 332 12/4/07 16:05:25
Operaciones avanzadas Respuestas
333
d)56
e)168
2.
a) Laqueustedhayaelegido.aquíusaremosx.
b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremosy.
c) x1 y 5 40
d) 2x
e) 4y
F) 2x 1 4y 5 132
g)x5 14
y 5 26
H) 14 guajolotes.
i) 26 chivos.
3.
750 cuadernosde100 hojasy50 cuadernosde50 hojas.
4.
a) m 5 26
z 5 11.5
b) a 5 5
b 5 3
c) x 5 2
y 5 3
d) x 5 3
y 5 1
2207 autoevaluacion.indd 333 12/4/07 16:05:25
Operaciones avanzadas
334
Respuestas
UNIDAD 7 Actividad 20
1.
a) a 2 b
b)2 (a 2 b)
c)sí,2a 2 2b.
2.
a) dosladosmidenmydosladosmiden2m.
b)6m
c)m m
m n
n
2n
m
2n
3n
n
n
3n
m+n p
6m 4n
16n 6m
18n 4n 1 m 1 p
2207 autoevaluacion.indd 334 12/4/07 16:05:27
Operaciones avanzadas Respuestas
335
d)13m 1 42n 1 p
3.
a)
b)alexponente1
c)alexponente2
d)n3
e)n2
Actividad 21
1.
a) 8 lados midenay4 ladosmiden2a.
b)16a
x
x
x
A = 2x2 y
y
A = y2
zx + y
x
A = x2+ xy
2
6x 4y
2x 1 y 1 z
2207 autoevaluacion.indd 335 12/4/07 16:05:28
Operaciones avanzadas
336
Respuestas
c)4 lados midenay8 ladosmidena
2 .
d)8a
e)24a
2.
a) porqueambostienenxycomoliterales.
b)porque,aunqueambostienea bcomoliteral,enunoestámultiplicadoporayenotro
por c.
c)porque,aunqueambostienenamyncomoliterales,enunoelcuadradoestáenlamy
enotro,enlan.
d)porquelamultiplicaciónesconmutativa,yasícomo(8) (2) 5 (2) (8),también
a2bc 5 ca2b
3.
212b2 3xy2
98nm3 8b2
7x 2ca3
3y5 8ab2
13a3c nm3
8xy2 24x
23ab2 26y5
4.
a) 2m 1 2n
b)p 1 m 1 n
c)p 1 3m 1 3n
2207 autoevaluacion.indd 336 12/4/07 16:05:28
Operaciones avanzadas Respuestas
337
5.
a) 9n 2 3m
b)27y2 1 2x3 2 x
c)6y2 1 y
d)13ab2 2 7x3y 1 x
e)2x2y 1 8x3y
F) 9p2 1 x3y 1 2y2 2 x
6.
a) 7n – 10m
b)3b2 1 15x3 2 8y2 2 x
c)9ab2 1 9x3y 1 x
d)2xy2 2 7x3y 2 x
e)4m3n 2 2m 1 n
F) 5k 1 10l
g)4b2 1 16x3 2 6x
H)210xy2 1 9x3y 2 4x
i) 21mn3 2 7xy 29x
J) 34yn2 2 12m 2 4n
Actividad 22
1.
a) m2
b)multiplicandoladoporlado:(m) (m)
c)n2
d)multiplicandoladoporlado:(n) (n)
e)dosladosmidennydos(n 2 m)
2207 autoevaluacion.indd 337 12/4/07 16:05:28
Operaciones avanzadas
338
Respuestas
2.
a) ny(n 2 m)
b)n2 2 nm
c) (n 2 m) y m
d)nm 2 m2
e)n2 2 nm 1 nm 2 m2 5 n2 2 m2
F) sí.multiplicandolamedidadelosladosmenoslamedidadelosladosdelcuadradoque
lequitaron.
g)n2 2 m2 5 n2 2 m2
3.
a) 8 a2
b)45ma
c)12m3
d)20x3y
e)24a2b2
F) 45ma
4.
a) c2
b)sí,porqueelcortepasaporlamitadde2desuslados.
5.
a) 20a2m 1 10am – 36a3 – 18a2
b)3m2xy 1 4nxy 1 80x2n 1 60x2m2
c)27a3b 1 15a2b – 72ab – 40b
2207 autoevaluacion.indd 338 12/4/07 16:05:28
Operaciones avanzadas Respuestas
339
Autoevaluación Unidad 71.
2.
26c2 nm2
nm3 x
7x 12nm3
4nm2 9c2
f
q
q
t
2q
d
h
h
q
r r g
b
6f 12q 1 2t 2h 1 d
4r 1 2q 8b4g
2207 autoevaluacion.indd 339 12/4/07 16:05:30
Operaciones avanzadas
340
Respuestas
3.
a) m5 1 8x3 2 x
b)10k2 1 k
c)5an2 2 7n2y 1 x
d)22x2y 1 7x3y
e)10r2 1 r2p 1 3y2 2 x
4.
a) 72b2
b)49n2
c)40p3
d)24x3y
e)48x3y
5.
a) 30an 1 25a2n
b)27m4 1 45m2n 1 12n2
c) 63x2 2 27 x2y 1 6x3y2 2 14x3y
UNIDAD 8 Actividad 23
1.
a) M 5P
t2
b)28.99
c)deobesidad,enprimernivel.
2207 autoevaluacion.indd 340 12/4/07 16:05:30
Operaciones avanzadas Respuestas
341
2.
a) p 5 Mt2
b)p 5 24.74 (1.57)2
p 5 24.74 (2.4649)
p 5 60.98
aproximadamente61 kilogramos.
3.
a) t2 5 P
M
b) t2 568
24.38
t2 5 2.789
c)Laestaturaderamónalcuadrado.d)sacarraízcuadrada.e)mideaproximadamente1.67 metros.
4.
a) r2 5Ap
b)r2 5200.96
3.14
r2 5 64
c)sacarraízcuadrada.d)8 metros
5.
a) r2 5Ap
b)r2 5271.57
3.14
r2 5 86.48
2207 autoevaluacion.indd 341 12/4/07 16:05:30
Operaciones avanzadas
342
Respuestas
c)sacarraízcuadrada.
d)mide9.299 m,locualsepuederedondeara9.3 m.
e)18.6 metros
F) 58.404 metros
6.
a) l 5 36.4
b)m 5 6.2
c)p 5 1.827
d)m 5 8.899
Actividad 241.
a) 90°
b)triángulorectángulo,triángulorectángulo,triángulorectángulo.
AB: 10.77 metros,aproximadamente.
AC: 12.8 metros,aproximadamente.
AD: 15.62 metros,aproximadamente.
2.
a) calculandolamedidadelladoopuestoalángulorectoysumandolamedidadelostres
lados.despuésmultiplicarpor2porqueson2 piezas.
b)Lamedidadelladoopuestoalángulorecto.
c)sí,porqueeltriánguloesrectángulo.
d)2.8178,redondeandoaenteros3 metros.
e)6.8 metros. 13.6 metros.
2207 autoevaluacion.indd 342 12/4/07 16:05:31
Operaciones avanzadas Respuestas
343
3.
a) 7.0712 5 52 1 52.esuntriángulorectángulo.
b)12.80622 5 82 1 102.esuntriángulorectángulo.
4.
8 metros
a)
b)recto.sí.
c) a2 5 102 – 62
a 5 100 – 36
a 5 64
a 5 8
Autoevaluación Unidad 8
1
4 m2
2.
31.4 m,aproximadamente
10 m6 m
2207 autoevaluacion.indd 343 12/4/07 16:05:31
Operaciones avanzadas
344
Respuestas
3.
a) l 5 5
b)m 5 12.3
c)p 5 11
d)m 5 23
4.
a) 90°
b)triángulorectángulo.triángulorectángulo.triángulorectángulo
c)AB: 15.297,aproximadamente
AC: 16.155,aproximadamente
AD: 17. 492,aproximadamente
5.
2.5076 m,aproximadamente
6.
a) (7.810249)2 5 52 1 62
60.99998 5 25 1 36
60.99998 5 61
redondeando60.99998a61,podemosdecirquesetratadeuntriángulorectángulo.
b) (13.4536)2 5 102 1 92
180.999 5 100 1 81
redondeando180.999a181,podemosdecirquesetratadetriángulorectángulo.
c) (15.2643)2 5 82 1 132
232.998 5 64 1 169
2207 autoevaluacion.indd 344 12/4/07 16:05:31
Operaciones avanzadas Respuestas
345
232.998 5 233
redondeando232.998a233,podemosdecirquesetratadetriángulorectángulo.
Respuestas a la Autoevaluación del módulo
1.
c)4 456 años
2.
a) 213.9 < 10.4 7.08 < 7.7
28.8 < 27.3 29.01 < 25.9
20.18 < 11.6 9.56 > 29.65
5.9 5 5.90 4.07 5 4.0700
3.
(1445) 1 (1787) 5 1 232 (1986) 1 (2183) 5 803
(2895) 1 (1346) 5 2549 (2789) 1 (2548) 5 21 337
(2784) – (1873) 5 21 657 (2956) – (1679) 5 21 635
(21827) – (21235) 5 2592 (1956) – (2987) 5 1 943
(1983) 3 (1657) 5 645 831 (2852) 3(2285) 5 242 820
(2834) 3 (1126) 5 2105 084 (1956) 3 (2854) 5 2816 424
(1673) ÷ (1178) 5 3.78 (26598) ÷ (227) 5 244.37
(2894) ÷ (1342) 5 22.614 (1895) ÷ (2347) 5 22.579
500-500-1500-2500-3500 1500-3000 0 1000-1000-2000 2000
T LA
2207 autoevaluacion.indd 345 12/4/07 16:05:32
Operaciones avanzadas
346
Respuestas
4.
5.
(7, 9)
6.
a) 63 5 216
b)95 5 59 049
c) (23)6 5 729
d)(215)4 5 50 625
e) (10)6 5 1 000 000
F) (2100)5 5 10 000 000 000
y
x-1 1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
A
J
F
I H
G
E
C
BD
2207 autoevaluacion.indd 346 12/4/07 16:05:32
Operaciones avanzadas Respuestas
347
7.
a) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) 5 2 097 152
b) (5) (5) (5) (5) (5) (5) 5 15 625
c) (7) (7) (7) (7) 5 2 401
d)(9) (9) (9) 5 729
e) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) 5 5 764 801
8.
No.87es2 097 152y78es5 764 801.
9.
a) 15.66666
b)228
10.
0.0000001
11.
pongolapesade10kilogramosdeunladoylade2kilogramosdelotroladojuntoconlo
quevoyapesar.
12. 2 12 5 88
13.
$400.00
x
4
2207 autoevaluacion.indd 347 12/4/07 16:05:32
Operaciones avanzadas
348
Respuestas
a) 138 1 x 5 500 1 38
b)x 5 400
138 1 400 5 500 1 38
538 5 538
14.
a) A
b)eldiámetrodeuncírculomenor.
c)A 5 3d
d)d 5 A
3
15.
a) a a a a a
a
b)2a 1 2 (5a) 5 60
a 5 5
c)elterrenomide5metrosdeanchoy25 metros delargo.
16.
a) Lacantidaddetoneladasdemaízqueelterrenoproducíahacediezaños.
b)aquíusaremosy
c)8 5 y
2 2 3
y 5 22
2207 autoevaluacion.indd 348 12/4/07 16:05:33
Operaciones avanzadas Respuestas
349
d)22 toneladas
17.
a) x 5 391
b)y 5 111
c)c 5 2
d)d 5 9
e)m 5 1 078
F) x 5 9
g)x 5 29.7416
H) x 5 44
i) l 5 21904
J) n 5 1644
18.
a) 3
b)y 5 3x 110
c)
0
10
20
30
40
50
1 2 43
y = 3x+10y
x
2207 autoevaluacion.indd 349 12/4/07 16:05:33
Operaciones avanzadas
350
Respuestas
19.
a) y 5 35x 1 65
b)
20
unaposiblerespuestaes:
a)
21.
a) y 5x2 1(ecuación1)
6x 2 7y 51(ecuación2)
enestecaso,esrecomendablesustituirenlaecuación2elvalordeydelaecuación1.
6x 2 7(x 2 1) 5 1
6x 27x1 7 5 1
2x 1 7 5 1
2x 5 1 – 7
2x 5 26semultiplicanambosmiembrospor21.
x5 6
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 100 135 170 205 240 275 310 345 380 415 450 485 520 555 590
x 2 4 6 8 10 12 14
y 57 69 81 93 105 117 129
0
50
100
150
2 4 8 126 10 14
y = 6x + 45
y
x
2207 autoevaluacion.indd 350 12/4/07 16:05:33
Operaciones avanzadas Respuestas
351
ahorasesustituyeenlaecuación1 elvalorencontradodex.
y 5x2 1
y 5 6 2 1
y 5 5
entonces:
y 5 5
x 5 6
b)x1 5y 5 238(ecuación1)
2x 1 13y 5100(ecuación2)
enestecaso,sepuededespejarxenlaecuación1.
x 5 238 – 5y
sustituirxenlaecuación2.
2(238 2 5y) 1 13y 5 100
276 2 10y 1 13y 5 100
276 1 3y 5 100
3y 5 100 176
3y 5 100 176
3y 5 176
3y
3 5
1763
y 5 58.666
ahorasesustituyeenlaecuación1 elvalorencontradodey.
x 1 5y 5 238
x 1 5 (58.666) 5 238
x1 293.33 5 238
x5 238 – 293.33
x5 2331.33
2207 autoevaluacion.indd 351 12/4/07 16:05:34
Operaciones avanzadas
352
Respuestas
entonces:
y 5 58.66
x 5 2331.33
22.
m 5 9
z 5 8
23.
12 m
24.
a) 7n 1 6m
b)15b2 2 9x3 2 8y2 2 6x
c)10ab2 1 11x3y 2 3x
d)7xy2 1 5x3y 1 x
e)10 m3n 1 11m 2 n
0
5
10
15
20
25
30
2 4 8 106
z
m
10m + 4z = 122
6m + 8z = 118
2207 autoevaluacion.indd 352 12/4/07 16:05:34
Operaciones avanzadas Respuestas
353
25.
a) 5y 1 7x
b)10b2 1 5x3 2 14x
c)24xy2 2 12x2y 2 2x
d)37mn3 2 12xy 2 x
e)34yz2 2 8p 2 10m
26.
27.
a) 3n5 1 8x3
b)12h2 1 5h 2 x
c)26cb2 1 c
28.
a) 15c2
b)9yx
c) 8h3
d)3x4y
e)35x2y2
a y
y y
x
y
x
d
c
b
a 1 b 1 c 1 d 2x 1 4y
2207 autoevaluacion.indd 353 12/4/07 16:05:35
Operaciones avanzadas
354
RespuestasOperaciones avanzadas Respuestas
29.
a) 42b2 2 8a2b 2 64a4
b)12b4 1 22cb2 1 6c2
30.
18.3116 m,aproximadamente.
354
2207 autoevaluacion.indd 354 12/4/07 16:05:35
Operaciones avanzadas Notas
Notas
355
Operaciones avanzadas Notas
Notas
Operaciones avanzadas Notas
Notas
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Con frecuencia se oye decir que el álgebra no tiene aplicaciones en la vida diaria; que es árida y difícil. Por eso, en este libro, se intenta demostrar que este conocimiento matemático tiene amplias aplica-ciones en la cotidianidad, pero que no se aplica porque no se conoce. ¿Antes de aprender a multiplicar y dividir usted empleaba estas ope-raciones?Es claro que no se puede aplicar el conocimiento que no se tiene, por ello le invitamos a que destine un tiempo determinado y regular al estudio de este módulo, pues más que ser difícil, el álgebra, al igual que cualquier otro tipo de conocimiento, exige estudio y disciplina.
Educación para la Vida y el Trabajo • CienciasEducación para la Vida y el Trabajo • Matemáticas
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