Integrales definidas: trabajo practico N°1 – Matematica Aplicada - 2011

Calcular las siguientes integrales directas

1. ∫ x2dx=¿¿ 2. ∫ x3dx=¿¿ 3. ∫ 1

x2dx=¿¿

4. ∫ 3√x dx 5. ∫ (3 x+5 )dx=¿¿ 6. ∫ 23√ xdx=¿¿

7. ∫ 3

√ ydy=¿¿ 8. ∫6 t 2 3√t dt=¿¿ 9. ∫ (3u5−2u )du=¿¿

10.

∫ (5 x4−8 x3+9x2−2x+7 )dx=¿¿ 11. ∫√x (x+ 1x )dx=¿¿12. ∫ 5 t

2+7

t43

dt=¿¿

13.

∫3 x4dx=¿ 14. ∫ 52 x4dx=¿ 15. ∫ 3

t 5dx=¿¿

16. ∫5u

32 dx=¿¿

17. ∫10 3√X2dx=¿ 18. ∫ y3 (2 y2−3 )dy=¿¿

19.

∫ X4 (5−X2 )dX=¿¿ 20. ∫ (2+3x2−8 X3 )dx=¿¿ 21. ∫√x (x+1)dy=¿¿

22.

∫ (8x 4+4 x3−6 x2−4 x+5 )dx=¿¿ 23. ∫(√ x− 1

√x )dy=¿¿24. ∫( 2

x3+ 3x2

+5)dx=¿¿

25. ∫(3− 1

x4+ 1x2

)dx=¿¿ 26. ∫ x2+4 x−4√ x

dx=¿¿27. ∫ y4+2 y2−1

√ ydy=¿¿

28. ∫( 3√ x¿ +1

3√ x)dx=¿¿ 29. ∫ 27 t

3−13√ t

dt=¿¿30. ∫(2x−x)d x=¿¿

31. ∫ 32 √x3dx=¿¿ 32. ∫ (3x+cosx )dx=¿¿ 33.

Identidades trigonométricas necesarias para los cálculos

Sen x csc x =1 Cos x sec x = 1 Tan x cot x = 1

sen2 x+cos2 x=1 cot2 x+1=csc2 x tan2 x+1=sec2 x

Tan x = sen xcosx

Cot x = cos xsen x

1. ∫¿¿ 2. ∫ 2cot x−3 sen2 x

sen xdx=¿

3. ∫(3 sent−2cost)dx=¿ 4. ∫ (5cosx−4 senx )dx=¿

5. ∫¿¿ 6. ∫¿¿

7. ∫( tan2 x¿+cot2 x+4)dx=¿¿ 8. ∫(3csc2 t−5 sect tant)dt=¿

9. ∫ sen x

cos2 xdx=¿ 10. ∫(3cot2θ−3 tan2θ)dθ=¿

11. ∫ cos x

sen2 xdx=¿ 12. ∫ 3 tan θ−4 cos

2θcosθ

dθ=¿

Problemas:1) Encontrar la antiderivada de la ecuación : dy

dx=2x , sabiendo que la primitiva tiene como punto a P(2;6).2) En cualquier punto (x; y) de una curva particular la tangente tiene una pendiente igual a 4x -5. Si la curva contiene al punto (3; 7), obtenga su ecuación.3) La función costo marginal C´ está determinada por una compañía como: C’(x) = 4x−1

2 +1; donde C(x) dólares es el costo total de producción de x unidades cuando se producen no más de 25 unidades. Si el costo de producción de 4 unidades es de $50, e: a) la función costo total b) el costo de producción de 10 unidades.4) El punto (3,2) esta en una curva, y en cualquier punto (x, Y) de la curva de la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x – 3. Determine una ecuación de la curva.5) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) de una curva es 3√ x. Si el punto (9,4) esta en la curva, obtenga una ecuación de la misma.6) La función costo marginal esta definida por : C’(x) = 3 x2+8x+4 y el costo general es de $6. Determine la función de costo total correspondiente.7) El volumen de agua de una tanque es V cm3 cuando la profundidad del agua es de h mt. Si la tasa de variación de V con respecto a h es π (4h2 +12h +9), determine el volumen de agua en el tanque cuando la profundidad es de 3m.8) Un coleccionista de arte compró por $1.000 un cuadro de un artista cuya obra aumenta de valor con frecuencia respecto al tiempo y de acuerdo a la fórmula dVdt

=5 t23+10 t+50 donde V dólares es el valor previsto de un cuadro cuando t años

después de su compra. Si esta fórmula fuese válida para los siguientes 6 años. ¿cuál sería el valor previsto del cuadro 4 años después?

Integración por sustitución: Trabajo practico N°2 – Matemática Aplicada - 2011

1. ∫((1+x )¿¿2)92 xdx=¿¿¿ 2. ∫√3 x+4 dx=¿

3. ∫ x2(5+2 x3)8dx=¿ 4. ∫ x cos x2dx=¿

5. ∫ 4 x2

(1−8 x3)4dx=¿

6. ∫ x2√1+x dx=¿

7. ∫ sen √x√x

dx=¿8. ∫ sen x √1−cosx dx=¿

9. ∫ tan x sec2 x dx=¿ 10. ∫❑dx=¿

11. ∫❑dx=¿ 12. ∫❑dx=¿

13. ∫❑dx=¿ 14. ∫❑dx=¿

15. ∫❑dx=¿ 16. ∫❑dx=¿

∫❑dx=¿ ∫❑dx=¿

1) Problemas:

a) Una herida está sanando de una manera que t días a partir del lunes el área de la herida ha disminuido a una tasa de -3(t+2)−2cm2 por día. Si el martes el área de la herida fue de 2cm2 . ¿cuál era el área de la herida el lunes?¿cual será el área prevista de la herida el viernes si continúa sanando a esa tasa?

b) Una función costo marginal para un artículo en particular está dada por C´(x) = 3(5 x+4¿¿−12 . si

el costo general es de $10, determine la función costo total.c) Si q couloumbs es la carga eléctrica recibida por un condensador de corriente eléctrica de i

amperes a los t segundos, entonces i=dqdt

. Si i=5 sen60 t y q=0 cuando t=12π, determine la mayor

carga positiva del condensador.d) Realice el ejercicio anterior considerando ahora i=4cos120 t y q=0cuando t=0.e) El costo de cierta pieza de maquinaria es de $700, y su valor disminuye con el tiempo de acuerdo

con la fórmula dvdt

=−500 (t+1 )−2, donde V dólares es su valor t años después de la compra.¿ cuál será

su valor 3 años después de su compra?f)El volumen de agua de una tanque es V m3 cuando la profundidad del agua es de h mt. Si la tasa de

variación de V con respecto a h está dada por dVdh

=π (2h+3)2, calcule el volumen del agua del tanque

cuando su profundidad es 3m.g) Para los primeros 10 días de diciembre una célula vegetal creció de forma que t días después del 1 de diciembre el volumen de la célula estuvo creciendo a una tasa de (12−t )−2 μ3(micras cúbicas) por

día. Si el 3 de diciembre el volumen de la célula fue de 3μ3,¿Cuál fue el volumen el 8 de diciembre?

h) El volumen de una globo crece de acuerdo a la fórmula dVdh

=√ t+1+ 23t , donde V cm cúbicos es

el volumen del globo a los t seg. Si V = 33 cuando t = 3, determine una fórmula de V en términos de t, y el volumen del globo a los 8 seg.

Integración por Partes: Trabajo practico N°3 – Matemática Aplicada - 2011

1)

Tabla de integrales:

1) ∫ dx=x+c

2) a∫ f (x)dx=¿¿ a ∫ f ( x )dx=¿¿

3) ∫ [ f ( x )+g (x)]dx=¿¿ ∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dx=¿¿

4) ∫ [af ( x )+b g (x)]dx=¿¿a ∫ f ( x )dx+b∫ g ( x )dx=¿¿

5) ∫ xndx=¿ xn+1

n+1+c¿

6) ∫ 1x dx=ln│ x│+c

7) ∫ ax dx=¿ ax

ln a+c ¿

8) ∫cos xdx=senx+c

9) ∫ senx dx=−cosx+c

10) ∫ sec2 x dx=¿ tanx+c¿

11) ∫ csc2 x dx=¿−cotgx+c¿

12) ∫ sec x tanx dx=¿ secx+c ¿

13) ∫ cscx cot x dx=¿−cscx+c¿

14) Integración por sustitución: ∫ f ( x ) . f ´ ( x )dx=∫u .du

V ∫ f [ g ( x )]⏟u

. g ´ ( x )dx⏟du

=∫ f (u) . du

15) Integración por partes:

∫ u⏟u (x)

. dv⏟v' ( x )dx

= u⏟u( x)

. v⏟∫ v' ( x )dx

−∫ v⏟∫v ' (x )dx

. du⏟u' ( x )dx

16) Regla de Barrow:

∫a

b

f ( x )dx=F ( x )=F (b )−F (a)

17) Cálculo de áreas:

∫a

b

f ( x )dx=A

¿18) Integración por fracciones parciales:

∫ 1x dx=ln│ x│+c y ∫ 1

1+x2dx=arctan x+c