UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CURSO: Modelos Lineales
TEMA: Modelos de Rango Incompleto
PROFESOR: Luis Huamanchumo de la Cuba
INTEGRANTES:
Nombre: Simon Miranda Richard Max
Cรณdigo: 20072149E
Nombre: Galdo Siccha Daniel
Cรณdigo: 20101354G
INDICE:
1. teoremas introductorios (pรกg. 3)
1.1. Teorema 1 (pรกg. 3)
1.2. Teorema 2 (pรกg. 3)
1.3. Teorema 3 (pรกg. 4)
2. Propiedad 2 de la matriz de Helmert (pรกg. 5)
2.1. Prueba de ๐ท๐๐ท๐โฒ =
๐ฑ๐๐โ (pรกg. 6)
2.2. Prueba de ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐ (pรกg. 6)
2.3. Prueba de ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐๐๐ฑ(๐งโ๐). (pรกg. 6)
2.4. Prueba de ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐ฐ๐โ๐. (pรกg. 7)
2.5. Prueba de ๐ท๐๐ท๐โฒ = (๐ฐ๐ โ
๐ฑ๐
๐). (pรกg. 9)
3. Lemma de Bath (pรกg. 10)
4. Teorema de la diapositiva 14 (pรกg. 11)
5. La tabla ANVA del modelo de dos factores con interaccion y efectos
aleatorios (pรกg. 12)
5.1. Formas cuadrรกticas (pรกg. 13)
5.2. Cuadrados medios (pรกg. 18)
5.3. Distribuciรณn de las fuentes de variaciรณn utilizando matriz de
Helmert. (pรกg. 21)
1. Teoremas introductorios
1.1. Teorema 1
Dada A una matriz mxm con valores caracterรญsticos ฮฑ1, ฮฑ2. . , ฮฑm y dado B una matriz nxn con
valores caracterรญsticos ฮฒ1, ฮฒ2. . , ฮฒn . Los valores caracterรญsticos de ๐ โ ๐ (o ๐ โ ๐ ) son los mn
valores caracterรญsticos ฮฑiฮฒj para i = 1,โฆ.., m y j = 1,โฆ., n.
Prueba.- )
Si A es una matriz mxm con valores caracterรญsticos ๐๐, ๐๐. . , ๐๐ฆ y B una matriz nxn con
valores caracterรญsticos ๐๐, ๐๐. . , ๐๐ง . Entonces podemos definir las matrices no singulares S y T
de tal manera que:
๐โ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐
๐โ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐
Donde L y M son matrices triangulares superiores cuyos elementos de las diagonales son los
valores caracterรญsticos de A y B, respectivamente. Por lo tanto,
(๐โ๐ โ ๐โ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) = ๐ โ ๐
Dado que ๐โ๐ โ ๐โ๐ es la inversa de de ๐ โ ๐, por propiedad de producto Kronecker,
entonces se deduce que ๐ โ ๐ y (๐โ๐ โ ๐โ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) tienen el mismo conjunto de
valores caracterรญsticos, por tanto ๐ โ ๐ y ๐ โ ๐ tienen el mismo conjunto de valores
caracterรญsticos. Pero ๐ โ ๐ es una matriz triangular superior, debido al hecho de que L y M
son matrices triangular superior; sus valores caracterรญsticos son por lo tanto, sus elementos de
la diagonal ฮฑi โ ฮฒj . Esto concluye la prueba.
1.2. Teorema2
Dado A una matriz mxn de rango r y B una matriz pxq de rango s, ๐ โ ๐ tiene rango rs.
Prueba.- )
Si A una matriz mxn de rango r y B una matriz pxq de rango s, entonces podemos
descomponer las matrices convenientemente (usando factorizaciรณn QR):
๐ = ๐๐ โ ๐๐ y ๐ = ๐๐ โ ๐๐ usando Factorizacion QR
Donde ๐๐ y ๐๐ son matrices ortogonales de orden mxn y pxq respectivamente, ๐๐ y ๐๐ son
matrices triangular superior.
Entonces podemos afirmar que, ๐ซ๐๐ง๐ค(๐ โ ๐) = ๐ซ๐๐ฆ๐ค(๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)
๐ซ๐๐ง๐ค(๐ โ ๐) = ๐ซ๐๐ฆ๐ค((๐๐ โ ๐๐)(๐๐ โ ๐๐)
๐ซ๐๐ง๐ค(๐ โ ๐) = ๐ซ๐๐ฆ๐ค(๐๐ โ ๐๐)
Dado que ๐๐ y ๐๐ ambas son matrices triangular superior, entonces ๐๐ โ ๐๐ es triangular
superior con bloques triangular superior. Sea ramk(๐๐) = ๐ซ๐ y ramk(๐๐) = ๐ซ๐. Cada fila
de los bloques de tamaรฑo ๐๐ tiene ๐ซ๐ flias no nulas. Hay ๐ซ๐ filas no nulas de dichos bloques.
Usando esto y la estructura de la matriz triangular superior de ๐๐ โ ๐๐, se concluye que
๐ซ๐๐ฆ๐ค(๐๐ โ ๐๐) = ๐ซ๐ โ ๐ซ๐ = ๐ซ๐๐ง๐ค(๐๐) โ ๐ซ๐๐ง๐ค(๐๐) = ๐ซ๐๐ง๐ค(๐) โ ๐ซ๐๐ง๐ค(๐) , por tanto esto
concluye la prueba.
1.3. Teorema 3
Dado A una matriz simรฉtrica e idempotente mxm de rango r y B una matriz simรฉtrica e
idempotente nxn de rango s. Entonces ๐โจ๐ es una matriz simรฉtrica e idempotente de rango
rs.
Prueba.- )
Si A es una matriz simรฉtrica e idempotente de rango r, entonces por definiciรณn podemos
deducir lo siguiente:
๐ซ๐๐ง๐ค(๐) = ๐๐ซ๐๐ณ๐(๐) = ๐ซ
De igual forma para B, ๐ซ๐๐ง๐ค(๐) = ๐๐ซ๐๐ณ๐(๐) = ๐ฌ
Ademรกs se sabe que: ๐ซ๐๐ง๐ค(๐ โ ๐) = ๐ซ๐๐ง๐ค(๐) โ ๐ซ๐๐ง๐ค(๐) = ๐ซ โ ๐ฌ
(๐ โ ๐)โฒ = ๐โฒ โ ๐โฒ
๐โฒ โ ๐โฒ = ๐ โ ๐, es simรฉtrica
(๐ โ ๐)๐ = ๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐ = ๐ โ ๐, Es idempotente
Por tanto se concluye que ๐ โ ๐ es una matriz idempotente y simรฉtrica de rango rs, esto
concluye la prueba.
2. Propiedad 2 de la matriz de helmert
MATRIZ DE HELMERT n-dimensional
๐๐๐ฅ๐ =
[ 1
โ๐โ 1
โ2โ 1
โ6โ โฆ 1
โ๐(๐ โ 1)โ
1โ๐
โ โ1โ2
โ 1โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
1โ๐
โ 0 โ2โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
1โ๐
โ 0 0 โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ1
โ๐โ 0 0 โฆ โโ(๐ โ 1)/๐
]
Se particiona la matriz de helmert ๐๐๐ฅ๐ en n columnas siendo ๐ = (๐1 ๐2 ๐3 โฏ ๐๐),
donde ๐๐ son las columnas de la matriz ๐๐๐ฅ๐ para cada i=1,โฆ, n.
๐1 = (1 โ12 + 12 + โฏ+ 12โ ) (1 1 1 โฏ 1)โฒ = (1 โ๐โ )1๐
๐2 = (1 โ12 + (โ1)2โ ) (1 โ1 0 โฏ 0)โฒ
๐3 = (1 โ12 + 12 + (โ2)2โ ) (1 1 โ2 0 โฏ 0)โฒ
โ
๐๐ = (1 โ12 + 12 + โฏ+ (โ(๐ โ 1))2โ ) (1 1 โฏ 1 โ(๐ โ 1))โฒ
La matriz de helmert es una matriz ortogonal nxn por ello presenta las siguientes propiedades:
1. ๐๐โ = ๐โ๐ = ๐ผ๐
2. Las columnas de la matriz verifican lo siguiente:
๐๐โฒ๐๐ = 1, para todo i=1,2,โฆ,n
๐๐โฒ๐๐ = 0, para todo i โ j
Particiรณn de la matriz de helmert
Se particiona la matriz de helmert en ๐๐๐ฅ๐ = [๐1โฎ๐๐]
๐1 =
[ 1
โ๐โ
1โ๐
โ
1โ๐
โ
1โ๐
โ
โฎ1
โ๐โ ]
๐๐ =
[
1โ2
โ 1โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
โ1โ2
โ 1โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
0 โ2โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
0 0 โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฆ โโ(๐ โ 1)/๐]
Propiedades de la matriz helmert:
2.1. ๐ท๐๐ท๐โฒ =
๐ฑ๐๐โ
Prueba:
๐1๐1โฒ = (
1๐
โ๐) (
1๐
โ๐)โฒ
=1๐
โ๐
1๐
โ๐
โฒ
โด ๐1๐1โฒ =
๐ฝ๐๐
2.2. ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐
Prueba:
๐1โฒ๐1 = (
1๐
โ๐)โฒ
(1๐
โ๐) =
1๐
โ๐
โฒ 1๐
โ๐
โด ๐1โฒ๐1 = 1
2.3. ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐๐๐ฑ(๐งโ๐)
Prueba:
๐1โฒ๐๐ = (
1
โ๐
1
โ๐
1
โ๐โฏ
1
โ๐)
[
1โ2
โ 1โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
โ1โ2
โ 1โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
0 โ2โ6
โ โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
0 0 โฆ 1โ๐(๐ โ 1)โ
โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฆ โโ(๐ โ 1)/๐]
๐ท๐โฒ ๐ท๐ = (
๐
โ๐๐โ
๐
โ๐๐
๐
โ๐๐+
๐
โ๐๐โ
๐
โ๐๐โฏ (
๐
โ๐(๐ โ ๐)+
๐
โ๐(๐ โ ๐)+ โฏ+
๐ โ ๐
โ๐(๐ โ ๐))
๐
โ๐)
๐ท๐โฒ ๐ท๐ = (๐ ๐ ๐ โฏ ๐)๐๐(๐โ๐)
โด ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐๐๐(๐โ๐)
Otra forma seria mediante las propiedades que tiene por ser ๐ท๐๐๐ ortogonal
Tenemos la matriz helmert particionada ๐ = (๐1 ๐2 ๐3 โฏ ๐๐), donde:
๐1 = ๐1
๐๐ = (๐2 ๐3 ๐4 โฏ ๐๐)
Ahora tenemos
๐1โฒ๐๐ = ๐1
โฒ (๐2 ๐3 ๐4 โฏ ๐๐)
๐1โฒ๐๐ = (๐1
โฒ๐2 ๐1โฒ๐3 ๐1
โฒ๐4 โฏ ๐1โฒ๐๐)
Como ๐๐โฒ๐๐ = 0, para todo i โ j
๐1โฒ๐๐ = (0 0 0 โฏ 0) = ๐๐๐ฑ(๐งโ๐)
2.4. ๐ท๐โฒ ๐ท๐ = ๐ฐ๐โ๐
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
[
1
โ2
โ1
โ20 0 โฆ 0
1
โ6
1
โ6
โ2
โ60 โฆ 0
1
โ12
1
โ12
1
โ12
โ3
โ12โฆ 0
โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)โฆ โโ
(๐ โ 1)
๐ ]
[
1
โ2
1
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
โ1
โ2
1
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
0โ2
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
0 0โ3
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
0 0 0 โฆ โโ(๐ โ 1)
๐ ]
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
[
1
2+
1
2
1
โ12โ
1
โ12
1
โ24โ
1
โ24โฆ 0
1
โ12โ
1
โ12
1
6+
1
6+
4
6
1
โ72+
1
โ72โ
2
โ72โฆ 0
1
โ24โ
1
โ24
1
โ72+
1
โ72โ
2
โ72
1
12+
1
12+
1
12+
9
12โฆ 0
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
0 0 0 โฆ1
๐(๐ โ 1)+
1
๐(๐ โ 1)+ โฏ+
(๐ โ 1)
๐ ]
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
[ 1 0 0 โฆ 00 1 0 โฆ 00 0 1 โฆ 0โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 โฆ 1]
= ๐ฐ๐โ๐
Otra forma seria mediante las propiedades que tiene por ser ๐ท๐๐๐ ortogonal
Tenemos la matriz helmert particionada ๐ = (๐1 ๐2 ๐3 โฏ ๐๐), donde:
๐1 = ๐1
๐๐ = (๐2 ๐3 ๐4 โฏ ๐๐)
Ahora tenemos
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
(
๐2โฒ
๐3โฒ
๐4โฒโฎ
๐๐โฒ)
(๐2 ๐3 ๐4 โฏ ๐๐)
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
(
๐2โฒ๐2 ๐2โฒ๐3 ๐2โฒ๐4 โฏ ๐2โฒ๐๐
๐3โฒ๐2 ๐3โฒ๐3 ๐3โฒ๐4 โฏ ๐3โฒ๐๐
๐4โฒ๐2 ๐4โฒ๐3 ๐4โฒ๐4 โฏ ๐4โฒ๐๐
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ๐๐โฒ๐๐ ๐๐โฒ๐3 ๐๐โฒ๐4 โฏ ๐๐โฒ๐๐)
Como las columnas de la matriz verifican lo siguiente:
๐๐โฒ๐๐ = 1, para todo i=1,2,โฆ,n
๐๐โฒ๐๐ = 0, para todo i โ j
Tenemos
๐ท๐โฒ ๐ท๐ =
(
1 0 0 โฏ 00 1 0 โฏ 00 0 1 โฏ 0โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 โฏ 1)
= ๐ฐ๐โ๐
2.5. ๐ท๐๐ท๐โฒ = (๐ฐ๐ โ
๐ฑ๐
๐)
Prueba
๐ท๐๐ท๐โฒ =
[
1
โ2
1
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
โ1
โ2
1
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
0โ2
โ6
1
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
0 0โ3
โ12โฆ
1
โ๐(๐ โ 1)
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
0 0 0 โฆ โโ(๐ โ 1)
๐ ]
[
1
โ2
โ1
โ20 0 โฆ 0
1
โ6
1
โ6
โ2
โ60 โฆ 0
1
โ12
1
โ12
1
โ12
โ3
โ12โฆ 0
โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)
1
โ๐(๐ โ 1)โฆ โโ
(๐ โ 1)
๐ ]
๐ท๐๐ท๐โฒ =
[ 1 โ
1
๐โ1 + 1 โ
1
๐โ1 + 1 โ
1
๐โฆ โ1 + 1 โ
1
๐
โ1 + 1 โ1
๐1 โ
1
๐โ1 + 1 โ
1
๐โฆ โ1 + 1 โ
1
๐
โ1 + 1 โ1
๐โ1 + 1 โ
1
๐1 โ
1
๐โฆ โ1 + 1 โ
1
๐โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
โ1 + 1 โ1
๐โ1 + 1 โ
1
๐โ1 + 1 โ
1
๐โฆ 1 โ
1
๐ ]
๐ท๐๐ท๐โฒ =
[ 1 โ
1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐
โ1
๐1 โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐
โ1
๐โ
1
๐1 โ
1
๐โฆ โ
1
๐โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
โ1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ 1 โ
1
๐]
๐ท๐๐ท๐โฒ =
[ 1 0 0 โฆ 00 1 0 โฆ 00 0 1 โฆ 0โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 0 โฆ 1]
โ
[ โ
1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐
โ1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐
โ1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
โ1
๐โ
1
๐โ
1
๐โฆ โ
1
๐]
โด ๐ท๐๐ท๐โฒ = (๐ฐ๐ โ
๐ฑ๐
๐)
3. Lema de BHAT (1962)
Sea k y n enteros fijos positivos tal que ๐ โค ๐ค โค ๐ง. Suponga que ๐๐ง = โ๐๐ข, donde cada ๐๐ข es
una matriz simรฉtrica nxn de rango ๐ง๐ข con โ๐ง๐ข = ๐ง. Si la variable aleatoria ๐ฒ๐ง๐ฑ๐ se distribuye
como ๐(๐,โ) y la suma de cuadrados ๐๐ข๐ = ๐ฒโฒ๐๐ข๐ฒ para toda ๐ข = ๐,โฆ . , ๐ค, entonces:
a) ๐๐ข๐ ~ ๐๐ข๐ฑ๐ง๐ข
๐ (๐๐ข =๐โฒ๐๐ข๐
๐๐๐ข ) ; y
b) { ๐๐ข๐, ๐ข = ๐,โฆ . , ๐ค} son mutuamente independientes.
Si y solo si โ = โ ๐๐ข๐ค๐ข=๐ ๐๐ข donde ๐๐ข > ๐ .
Prueba.- )
Si asumimos que la forma cuadrรกtica ๐๐ข๐ satisface (a) y (b) dado por el Lema. Y definimos los
siguientes teoremas, que nos servirรกn para el desarrollo de la prueba:
Teorema (1)
Sea el vector aleatorio ๐ฒ๐ง๐ฑ๐ โผ ๐๐ง(๐, โ), donde โ es una matriz definida positiva nxn de rango
n. Entonces ๐ฒโฒ๐๐ฒ ~ ๐ฑ๐ฉ๐(๐ =
๐โฒ๐๐
๐ ) si y solo si alguna de las condiciones es satisfecha: (1) ๐โ (o
โ๐) es una matriz idempotente de rango p o (2) ๐โ๐ = ๐ y A tiene rango p.
Teorema (2)
Sea A y B matrices constantes de orden nxn. Ademรกs sea el vector aleatorio ๐ฒ๐ง๐ฑ๐ โผ ๐๐ง(๐, โ),
Las formas cuadrรกticas ๐ฒโฒ๐๐ฒ y ๐ฒโฒ๐๐ฒ son independientes si y solo si ๐โ๐ = ๐ (o ๐โ๐ = ๐).
Teorema (3)
Sea ๐๐, โฆ . , ๐๐ฆ matrices simรฉtricas nxn, donde ๐๐๐ง๐ค(๐) = ๐ง๐ฌ para ๐ฌ = ๐,โฆ . ,๐ฆ y โ ๐๐ข๐ฆ๐ข=๐ =
๐๐ง . Si โ ๐ง๐ฌ๐ฆ๐ข=๐ = ๐ง, entonces (i) ๐๐ซ๐๐ฌ = ๐๐ง๐ฑ๐ง para ๐ซ โ ๐ฌ, ๐ซ, ๐ฌ = ๐,โฆ . ,๐ฆ (ii) ๐๐ฌ = ๐๐ฌ
๐ para
๐ฌ = ๐,โฆ . ,๐ฆ,
Entonces por el teorema (1) y (2), (i) las matrices (๐/๐๐ข) ๐๐ขโ son idempotentes para ๐ข =
๐,โฆ . , ๐ค y (ii) ๐๐ขโ๐๐ฃ = ๐๐ง๐ฑ๐ง para ๐ข โ ๐ฃ, ๐ข, ๐ฃ = ๐, โฆ . , ๐ค
Sin embargo por el teorema (3), ๐๐ข = ๐๐ข๐ y ๐๐ข๐๐ฃ = ๐๐ง๐ฑ๐ง para ๐ข โ ๐ฃ, ๐ข, ๐ฃ = ๐,โฆ . , ๐ค, Pero (i) y
(ii) implica que โ (๐/๐๐ข)๐ค๐ข=๐ ๐๐ขโ es idempotente de rango n y esta es igual a ๐๐ง .
Por ello, โ = (โ (๐/๐๐ข)๐ค๐ข=๐ ๐๐ขโ) โ๐ = โ ๐๐ข
๐ค๐ข=๐ ๐๐ข , Contrariamente, asumimos โ = โ ๐๐ข
๐ค๐ข=๐ ๐๐ข .
Pero ๐๐ข = ๐๐ข๐ y ๐๐ข๐๐ฃ = ๐๐ง๐ฑ๐ง asรญ que (i) y (ii) estรกn sustentados. Por lo tanto, por los teoremas
definidos anteriormente, (a) y (b) estรกn sustentados. Esto concluye la prueba.
4. Teorema diapositiva 14
Dado y un vector nx1 de observaciones de un experimento factorial balanceado con vector de
medias ๐ = ๐(๐ฒ) y una matriz nxn, โ = ๐๐จ๐ฏ(๐ฒ). El cuadrado medio asociado con ๐ฒโฒ๐๐ฒ es:
E(๐ฒโฒ๐๐ฒ
๐๐ซ(๐)) = (๐๐ซ(๐โ) + ๐ฎโฒ๐๐ฎ)/๐๐ซ(๐)
Donde ๐๐ซ(๐) es igual a los grados de libertad asociados a ๐ฒโฒ๐๐ฒ
Prueba.- )
Se sabe que, (๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ) es un escalar, entonces:
(๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ) = ๐๐ซ((๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ)) = ๐๐ซ((๐ฒ โ ๐ฎ)๐(๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ Haciendo un artificio,
๐(๐ฒโฒ๐๐ฒ
๐๐ซ(๐)) = (๐/๐๐ซ(๐))[๐((๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ) + ๐ โ ๐ฒโฒ๐๐ฎ โ ๐ฎโฒ๐๐ฎ)]
= (๐/๐๐ซ(๐))[๐((๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ)) + ๐ โ ๐(๐ฒโฒ๐ฎ๐) โ ๐(๐ฎโฒ๐๐ฎ)]
= ๐(๐๐ซ((๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ๐(๐ฒ โ ๐ฎ))) + ๐ฎโฒ๐๐ฎ
= (๐/๐๐ซ(๐))[๐๐ซ(๐๐((๐ฒ โ ๐ฎ)(๐ฒ โ ๐ฎ)โฒ)) + ๐ฎโฒ๐๐ฎ]
= (๐๐ซ(๐โ ) + ๐ฎโฒ๐๐ฎ)/๐๐ซ(๐)
Por tanto esto concluye la prueba.
5. La tabla ANVA del modelo de dos factores con interaccion y efectos aleatorios
MODELO DE DOS FACTORES CON ITERACIรN Y EFECTOS ALEATORIOS
๐น๐ข๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐บ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ข๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐ 1 โโ ๐โขโข
2๐ก
๐=1
๐
๐=1
๐โฒ๐ด1๐
๐น๐๐๐ก๐๐ ๐ ๐ โ 1 โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
๐โฒ๐ด2๐
๐น๐๐๐ก๐๐ ๐ ๐ก โ 1 โโ(๐โข๐ โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
๐โฒ๐ด3๐
๐ผ๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ (๐ โ 1)(๐ก โ 1) โโ(๐๐๐ โ ๐๐โข โ ๐โข๐ + ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
๐โฒ๐ด4๐
๐๐๐ก๐๐ ๐ ๐ก โโ๐๐๐2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
๐โฒ๐ด5๐
๐๐๐ = ๐ถ + ๐๐ + ๐ท๐ + (๐๐ท)๐๐ + ๐บ๐๐
Donde: ๐ผ: Efecto medio general ๐๐: ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐(0, ๐2
๐) ๐ฝ๐: ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐(0, ๐2
๐ฝ)
(๐๐ฝ)๐๐: ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐(0, ๐2๐๐ฝ)
๐๐๐๐: ๐ธ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐(0, ๐2)
Al vectorizar las observaciones de la matriz de datos obtenemos el siguiente vector tr x 1:
๐๐ ๐ก ๐ฅ 1 =
[ ๐ฆ
11
๐ฆ12
โฎ
๐ฆ1๐ก
โฏ โฏ
๐ฆ21
๐ฆ22
โฎ
๐ฆ2๐ก
โฏ โฏ
โฎ
โฎ
โฎ
โฏ โฏ
๐ฆ๐ 1
๐ฆ๐ 2
โฎ
๐ฆ๐ ๐ก ]
๐ ๐ก ๐ฅ 1
i= 1,2,โฆ,s j= 1,2,โฆ,t
De modo que:
๐~๐๐ ๐ก(๐, ฮฃ)
Dรณnde:
๐ = ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
ฮฃ = ๐2๐ (๐ผ๐ก โ ๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก)
5.1. Formas cuadrรกticas
Estudio de los componentes:
a. Estudio del componente ๐โขโข
๐โขโข =1
๐ ๐ก(1 1 1 โฏ 1)1 ๐ฅ ๐ ๐ก
[ ๐ฆ
11
๐ฆ12
โฎ
๐ฆ1๐ก
โฏ โฏ
โฎ
โฎ
โฎ
โฏ โฏ
๐ฆ๐ 1
๐ฆ๐ 2
โฎ
๐ฆ๐ ๐ก ]
๐ ๐ก ๐ฅ 1
๐โขโข =1
๐ ๐ก 1โฒ๐ ๐ก ๐ฅ 1 ๐๐ก๐ ๐ฅ 1 =
1
๐ ๐ก(1๐ โจ1๐ก)
โฒ ๐
b. Estudio del componente ๐๐โข
๐๐โข =1
๐
[ (1 โฏ 1)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก โฆ (0 โฏ 0)1๐ฅ ๐ก
(0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (1 โฏ 1)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก โฆ (0 โฏ 0)1๐ฅ ๐ก
(0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (1 โฏ 1)1๐ฅ๐ก โฆ (0 โฏ 0)1๐ฅ ๐ก
โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ
(0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก (0 โฏ 0)1๐ฅ๐ก โฆ (1 โฏ 1)1๐ฅ ๐ก ]
๐ก ๐ฅ ๐ ๐ก
[ ๐ฆ11
๐ฆ12
โฎ๐ฆ1๐ก
โฏโฏ๐ฆ21
๐ฆ22
โฎ๐ฆ2๐ก
โฏโฏโฎโฎโฎ
โฏโฏ๐ฆ๐ 1
๐ฆ๐ 2
โฎ๐ฆ๐ ๐ก ]
๐ ๐ก ๐ฅ 1
๐๐โข =1
๐ก(๐ผ๐ โจ1โฒ
๐ก) ๐๐ ๐ก ๐ฅ 1 =
[ ๐1โข
๐2โข
๐3โข
๐4โข
โฎ๐๐ โข]
c. Estudio del componente ๐โข๐
๐โข๐ =1
๐ [ (
1 0 โฆ 00 1 โฆ 0โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฆ 1
)
๐ก ๐ฅ ๐ก
(
1 0 โฆ 00 1 โฆ 0โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฆ 1
)
๐ก ๐ฅ ๐ก
โฆ (
1 0 โฆ 00 1 โฆ 0โฎ โฎ โฑ โฎ0 0 โฆ 1
)
๐ก ๐ฅ ๐ก
]
๐ก ๐ฅ ๐ ๐ก
[ ๐ฆ11
๐ฆ12
โฎ๐ฆ1๐ก
โฏ โฏ๐ฆ21
๐ฆ22
โฎ๐ฆ2๐ก
โฏ โฏโฎโฎโฎ
โฏ โฏ๐ฆ๐ 1
๐ฆ๐ 2
โฎ๐ฆ๐ ๐ก ]
๐ ๐ก ๐ฅ 1
๐โข๐ =1
๐ (1โฒ๐ โจ๐ผ๐ก) ๐๐ ๐ก ๐ฅ 1 =
[ ๐โข1
๐โข2
๐โข3
๐โข4
โฎ๐โข5]
d. Estudio del componente ๐๐๐2
๐๐๐2 = [๐ฆ11 ๐ฆ12 โฏ ๐ฆ1๐ก โ โฏ โฏ โฏ โ ๐ฆ๐ 1 ๐ฆ๐ 2 โฏ ๐ฆ๐ ๐ก]1 ๐ฅ ๐ ๐ก
[ ๐ฆ11
๐ฆ12
โฎ๐ฆ1๐ก
โฏโฏ๐ฆ21
๐ฆ22
โฎ๐ฆ2๐ก
โฏโฏโฎโฎโฎ
โฏโฏ๐ฆ๐ 1
๐ฆ๐ 2
โฎ๐ฆ๐ ๐ก ]
๐ ๐ก ๐ฅ 1
๐๐๐2 = ๐โฒ๐
Suma de cuadrados
5.1.1. Evaluaciรณn de la suma de cuadrados de la media, โ โ ๐โขโข
๐๐๐=๐
๐๐=๐ = ๐โฒ๐จ๐๐
โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
= ๐ ๐ก ๐โขโข
2= ๐ ๐ก ๐
โฒ
โขโข ๐โขโข
โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
= ๐ ๐ก [๐โฒ1
๐ ๐ก(1๐ โจ1๐ก)
1
๐ ๐ก(1๐ โจ1๐ก)
โฒ ๐]
โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
=1
๐ ๐ก [๐โฒ(1๐ โจ1๐ก) (1
โฒ๐ โจ1โฒ
๐ก) ๐] =1
๐ ๐ก [๐โฒ (1๐ 1
โฒ๐ โจ1๐ก 1
โฒ๐ก)๐]
โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
=1
๐ ๐ก [๐โฒ(๐ฝ๐ โจ ๐ฝ๐ก ) ๐] = ๐โฒ(
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก )๐
โด โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
= ๐โฒ(๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก )๐ = ๐โฒ๐ด1๐
5.1.2. Evaluaciรณn de la suma de cuadrados del FACTOR S, โ โ (๐๐โข โ ๐โขโข)๐๐
๐=๐ = ๐โฒ๐ด2๐๐๐=๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โ โ(๐๐โข
2+ ๐โขโข
2โ 2 ๐๐โข ๐โขโข)
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โโ๐๐โข
2๐ก
๐=1
๐
๐=1
+ โโ ๐โขโข
2๐ก
๐=1
๐
๐=1
โ 2โ โ ๐๐โข ๐โขโข
๐ก
๐=1
๐
๐=1
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โ ๐ก ๐๐โข
2๐
๐=1
+ โ๐ก ๐โขโข
2๐
๐=1
โ 2โ๐ก ๐๐โข ๐โขโข
๐
๐=1
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ก โ ๐๐โข
2๐
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ก๐โขโข โ ๐๐โข
๐
๐=1
= ๐ก โ๐๐โข
2๐
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก๐โขโข
1
๐ โ ๐๐โข
๐
๐=1
๐ธ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โข ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ ๐: 1
๐ โ ๐๐โข
๐
๐=1
= ๐โขโข
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ก โ ๐๐โข
2๐
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก๐โขโข ๐โขโข = ๐ก โ ๐๐โข
2๐
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก ๐โขโข
2
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ก โ ๐๐โข
2๐
๐=1
โ ๐ ๐ก๐โขโข
2= ๐ก
1
๐ก๐โฒ (๐ผ๐ โจ1โฒ
๐ก)โฒ 1
๐ก(๐ผ๐ โจ1โฒ
๐ก)๐ โ ๐โฒ(๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
=1
๐ก ๐โฒ(๐ผโฒ๐ โจ1๐ก) (๐ผ๐ โจ1โฒ
๐ก)๐ โ ๐โฒ(๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
=1
๐ก ๐โฒ(๐ผ๐ โจ1๐ก 1
โฒ๐ก)๐ โ ๐โฒ (
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ (๐ผ๐ โจ ๐ฝ๐ก๐ก) ๐ โ ๐โฒ (
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐ = ๐โฒ [(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก] ๐
โด โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ [(๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก] ๐
5.1.3. Evaluaciรณn de la suma de cuadrados del FACTOR T, โ โ (๐โข๐ โ ๐โขโข)๐๐
๐=๐๐๐=๐ = ๐โฒ๐จ๐๐
โโ(๐โข๐ โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โ โ(๐โข๐
2+ ๐โขโข
2โ 2 ๐โข๐ ๐โขโข)
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
๐
๐=1
+ โ โ๐โขโข
2๐ก
๐=1
๐
๐=1
โ 2โ โ ๐โข๐ ๐โขโข
๐ก
๐=1
๐
๐=1
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= โ ๐ ๐โข๐
2๐ก
๐=1
+ โ๐ก ๐โขโข
2๐ก
๐=1
โ 2โ ๐ ๐โข๐ ๐โขโข
๐ก
๐=1
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐โขโข โ ๐โข๐
๐ก
๐=1
= ๐ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก๐โขโข
1
๐กโ ๐โข๐
๐ก
๐=1
๐ธ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โข ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ ๐: 1
๐กโ ๐โข๐
๐ก
๐=1
= ๐โขโข
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก๐โขโข ๐โขโข = ๐ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
+ ๐ ๐ก๐โขโข
2โ 2๐ ๐ก ๐โขโข
2
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐ โ๐โข๐
2๐ก
๐=1
โ ๐ ๐ก๐โขโข
2= ๐
1
๐ ๐โฒ(1๐ โจ๐ผ๐ก)
1
๐ (1โฒ๐ โจ๐ผ๐ก)๐ โ ๐โฒ (
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
=1
๐ ๐โฒ(1๐ โจ๐ผ๐ก)(1โฒ๐ โจ๐ผ๐ก)๐ โ ๐โฒ (
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
=1
๐ ๐โฒ(1๐ 1โฒ๐ โจ๐ผ๐ก)๐ โ ๐โฒ (
๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ (๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ผ๐ก)๐ โ ๐โฒ (๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) ๐ = ๐โฒ [
๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)] ๐
โด โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ [๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)] ๐
5.1.4. Evaluaciรณn de la suma de cuadrados del total, โ โ ๐๐๐๐๐
๐=๐๐๐=๐ = ๐โฒ๐จ๐๐
โโ ๐๐๐2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ๐ = ๐โฒ๐ผ๐ ๐ก ๐ฅ ๐ ๐ก ๐ = ๐โฒ(๐ผ๐ โจ๐ผ๐ก)๐
โด โโ๐๐๐2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ(๐ผ๐ โจ๐ผ๐ก)๐
5.1.5. Evaluaciรณn de la INTERACCION ST, โ โ (๐๐๐ โ ๐๐โข โ ๐โข๐ + ๐โขโข)๐๐
๐=๐๐๐=๐ = ๐โฒ๐จ๐๐
La suma de particiones es igual al total: ๐ด5 = ๐ด1 + ๐ด2 + ๐ด3 + ๐ด4
Entonces:
(๐ผ๐ โจ๐ผ๐ก) = (๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) + [(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก] + [
๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)] + ๐ด4
๐ด4 = (๐ผ๐ โจ๐ผ๐ก) โ (๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก ) โ [(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก] โ [
๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)]
๐ด4 = (๐ผ๐ โจ๐ผ๐ก) โ (๐ผ๐ โจ ๐ฝ๐ก๐ก) โ [
๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)] = [๐ผ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)] โ [
๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)]
โด ๐ด4 = [(๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)]
Por tanto la suma de cuadrados de la interacciรณn es:
โโ(๐๐๐ โ ๐๐โข โ ๐โข๐ + ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ[(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก
)]๐
5.2. CUADRADOS MEDIOS
5.3.1. Cuadrado medio de la media โ โ ๐โขโข
๐๐๐=๐
๐๐=๐ = ๐โฒ๐ด1๐
โโ ๐โขโข
2๐
๐=1
๐ก
๐=1
= ๐โฒ(๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก )๐ = ๐โฒ๐ด1๐
๐ฌ(๐โฒ๐ด1๐) = ๐ธ [๐โฒ(๐ฝ๐ ๐
โจ ๐ฝ๐ก๐ก )๐]
๐ฌ(๐โฒ๐ด1๐) =๐๐[๐ด1ฮฃ] + ๐๐ด1๐
๐๐(๐ด1)=
=
๐๐ [(๐ฝ๐ ๐ โจ
๐ฝ๐ก๐ก ) (๐2
๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก))] + ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)โฒ (
๐ฝ๐ ๐ โจ
๐ฝ๐ก๐ก )๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
๐๐ (๐ฝ๐ ๐ โจ
๐ฝ๐ก๐ก )
=
๐2๐ ๐๐ (
๐ฝ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ๐๐ ( ๐ฝ๐ โ ๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ ( ๐ฝ๐ ๐ โจ
๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐ผ (๐ โจ๐ก )๐ผ
๐๐ (๐ฝ๐ ๐ )๐๐ (
๐ฝ๐ก๐ก )
=
๐2๐ ๐๐ (
๐ฝ๐ ๐ )๐๐(๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ๐๐( ๐ฝ๐ )๐๐ ( ๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ ( ๐ฝ๐ ๐ )๐๐ (
๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐ผ2๐ ๐ก
1
Por lo tanto el cuadrado medio de la MEDIA es:
๐ฌ(๐โฒ๐ด1๐) = ๐2๐ ๐ก + ๐2
๐ก ๐ + ๐2๐ ๐ก + ๐ผ2๐ ๐ก
5.3.2. Cuadrado medio del FACTOR S, โ โ (๐๐โข โ ๐โขโข)๐๐
๐=๐ = ๐โฒ๐ด2๐๐๐=๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
= ๐โฒ [(๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก]๐ = ๐โฒ๐ด2๐
๐ฌ(๐โฒ๐ด2๐) = ๐ธ (๐โฒ[(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก
]๐)
๐ฌ(๐โฒ๐ด2๐) =๐๐[๐ด2ฮฃ] + ๐๐ด2๐
๐๐(๐ด2)=
=
๐๐ [((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก ) (๐2
๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก))] + ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)โฒ ((๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก )๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
๐๐ ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก )
=
๐2๐ ๐๐ ((๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ ) โ ๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ๐๐ (0 โ ๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐ผ (0โจ๐ก )๐ผ
๐๐ (๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )๐๐ (
๐ฝ๐ก๐ก )
=
๐2๐ ๐๐ (๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )๐๐(๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ (๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )๐๐ (
๐ฝ๐ก๐ก )
(๐ โ 1)
๐ฌ(๐โฒ๐ด2๐) =๐2
๐ (๐ โ 1) ๐ก + ๐2๐ ๐ก (๐ โ 1)
(๐ โ 1)= ๐2
๐ ๐ก + ๐2๐ ๐ก
Por lo tanto el cuadrado medio del FACTOR โSโ es:
โด ๐ฌ(๐โฒ๐ด2๐) = ๐2๐ ๐ก + ๐2
๐ ๐ก
5.3.3. Cuadrado medio del FACTOR T, โ โ (๐โข๐ โ ๐โขโข)2๐ก
๐=1๐ ๐=1 = ๐โฒ๐ด3๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ [๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)] ๐ = ๐โฒ๐ด3๐
๐ฌ(๐โฒ๐ด3๐) = ๐ธ (๐โฒ[๐ฝ๐ ๐
โจ(๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก)]๐)
๐ฌ(๐โฒ๐ด3๐) =๐๐[๐ด3ฮฃ] + ๐๐ด3๐
๐๐(๐ด3)=
=
๐๐ [(๐ฝ๐ ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก ))(๐2
๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก))] + ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)โฒ (
๐ฝ๐ ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก ))๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
๐๐ (๐ฝ๐ ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก ))
=
๐2๐ ๐๐ (
๐ฝ๐ ๐ โ 0) + ๐2
๐ก ๐๐ (๐ฝ๐ โ (๐ผ๐ก โ๐ฝ๐ก๐ก )) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ (๐ฝ๐ ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก )) + ๐ผ (๐ โจ0 )๐ผ
๐๐ (๐ฝ๐ ๐ )๐๐ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก )
=
๐2๐ก ๐๐(๐ฝ๐ )๐๐ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก ) + ๐2
๐ ๐ก ๐๐ (๐ฝ๐ ๐ ) ๐๐ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก )
(๐ก โ 1)
๐ฌ(๐โฒ๐ด3๐) =๐2
๐ก ๐ (๐ก โ 1) + ๐2๐ ๐ก (๐ก โ 1)
(๐ก โ 1)= ๐2
๐ก ๐ + ๐2๐ ๐ก
Por lo tanto el cuadrado medio del FACTOR โTโ es:
โด ๐ฌ(๐โฒ๐ด3๐) = ๐2๐ก ๐ + ๐2
๐ ๐ก
5.3.4. Cuadrado medio de la INTERACCION ST, โ โ (๐๐๐ โ ๐๐โข โ ๐โข๐ + ๐โขโข)2๐ก
๐=1๐ ๐=1 = ๐โฒ๐ด4๐
โโ(๐๐โข โ ๐โขโข)2
๐ก
๐=1
๐
๐=1
= ๐โฒ [(๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)] ๐ = ๐โฒ๐ด4๐
๐ฌ(๐โฒ๐ด4๐) = ๐ธ (๐โฒ[(๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก
)]๐)
๐ฌ(๐โฒ๐ด4๐) =๐๐[๐ด4ฮฃ] + ๐๐ด4๐
๐๐(๐ด4)=
=1
๐๐ ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก))
{๐๐ [((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)) (๐2
๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก))] + ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
โฒ ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)) ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)}
=1
๐๐ (๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ ) ๐๐ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก) {๐2
๐ ๐๐ ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ ) โ 0) + ๐2
๐ก ๐๐ (0 โ (๐ผ๐ก โ ๐ฝ๐ก๐ก))
+ ๐2๐ ๐ก ๐๐ ((๐ผ๐ โ
๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก)) + ๐ผ ((๐ โ ๐ )โจ(๐ก โ ๐ก))๐ผ }
=1
(๐ โ 1)(๐ก โ 1) {๐2
๐ ๐ก ๐๐ (๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ ) ๐๐ (๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก) + 0}
๐ฌ(๐โฒ๐ด4๐) =1
(๐ โ 1)(๐ก โ 1) {๐2
๐ ๐ก (๐ โ 1)(๐ก โ 1)}
Por lo tanto el cuadrado medio de la INTERACCION โSTโ es:
โด ๐ฌ(๐โฒ๐ด4๐) = ๐2๐ ๐ก
5.3. DISTRIBUCIรN DE LAS FUENTES DE VARIACION UTILIZANDO MATRIZ DE HELMERT
5.3.1. Prueba de la particiรณn A2.
Sea:
๐ = ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ
1๐ก
โ๐ก)
โฒ
๐ = (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)โฒ
๐
Calculamos la distribuciรณn de X:
Media:
ฮ(๐) = (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)โฒ
ฮ(๐) = (๐โฒ๐ โจ1โฒ๐ก
โ๐ก) ๐ผ(1๐ โจ1๐ก)
ฮ(๐) = ๐ผ (๐โฒ๐ 1๐ โจ1โฒ๐ก1๐ก
โ๐ก) = ๐ผ (0 โจ
1โฒ๐ก1๐ก
โ๐ก)
โด ฮ(๐) = 0
Varianza:
๐๐๐(๐) = (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)โฒ
(๐2๐ (๐ผ๐ก โ ๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก)) (๐๐ โจ
1๐ก
โ๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐๐ โจ
1๐ก
โ๐ก)โฒ
(๐ผ๐ก โ ๐ฝ๐ก) (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก) + ๐2
๐ก (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)โฒ
( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก (๐๐ โจ
1๐ก
โ๐ก)โฒ
( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก) (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐ผ๐ก ๐๐ โ
1โฒ๐ก ๐ฝ๐ก 1๐ก
๐ก) + ๐2
๐ก (๐โฒ๐ ๐ฝ๐ ๐๐ โ1โฒ๐ก ๐ผ๐ก 1๐ก
๐ก) + ๐2
๐ ๐ก (๐โฒ๐ ๐ผ๐ ๐๐ โ1โฒ๐ก ๐ผ๐ก1๐ก
๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐๐ โ
1โฒ๐ก1๐ก1โฒ๐ก1๐ก
๐ก) + ๐2
๐ก (๐โฒ๐ 1๐ 1โฒ๐ ๐๐ โ1โฒ๐ก1๐ก1โฒ๐ก 1๐ก
๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก (๐โฒ๐ ๐๐ โ
1โฒ๐ก 1๐ก
๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐๐ โ ๐ก) + ๐2
๐ก(0 โ ๐ก) + ๐2๐ ๐ก (๐โฒ๐ ๐๐ โ 1)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ ( ๐ผ๐ โ1 โ ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก (๐ผ๐ โ1 โ ๐ก) = ๐ก๐2๐ ๐ผ๐ โ1 + ๐2
๐ ๐ก ๐ผ๐ โ1
๐๐๐(๐) = (๐ก๐2๐ + ๐2
๐ ๐ก) ๐ผ๐ โ1
Distribuciรณn de X:
๐ = (๐๐ โจ1๐ก
โ๐ก)โฒ
๐ ~ ๐(0, (๐ก๐2๐ + ๐2
๐ ๐ก) ๐ผ๐ โ1)
Sea
๐ =๐
โ๐ก๐2๐ + ๐2
๐ ๐ก
~ ๐(0 , ๐ผ๐ โ1)
๐โฒ๐ ~ ๐(๐ โ1)
5.3.2. Prueba de la particiรณn A3.
Sea:
๐ = (1๐
โ๐ โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก))
โฒ
๐ = (1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
โฒ
๐
Media:
ฮ(๐) = (1โฒ๐
โ๐ โจ๐โฒ๐ก)ฮ(๐) = (
1โฒ๐
โ๐ โจ๐โฒ๐ก) ๐ผ(1๐ โจ1๐ก)
ฮ(๐) = ๐ผ (1โฒ๐ 1๐
โ๐ โจ ๐โฒ๐ก1๐ก) = ๐ผ (
1โฒ๐ 1๐
โ๐ โจ 0)
โด ฮ(๐) = 0
Varianza:
๐๐๐(๐) = (1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
โฒ
(๐2๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2
๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก)) (
1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (
1โฒ๐
โ๐ โจ๐โฒ๐ก) (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) (
1๐
โ๐ โจ๐๐ก) + ๐2
๐ก (1โฒ๐
โ๐ โจ๐โฒ๐ก)( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) (
1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก (
1โฒ๐
โ๐ โจ๐โฒ๐ก) ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก) (
1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (
1โฒ๐ ๐ผ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ฝ๐ก ๐๐ก) + ๐2
๐ก ( 1โฒ๐ ๐ฝ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ผ๐ก ๐๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก (
1โฒ๐ ๐ผ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ผ๐ก ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (
1โฒ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ
๐ก 1๐ก 1โฒ๐ก ๐๐ก) + ๐2
๐ก (1โฒ๐ 1๐ 1
โฒ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ๐ก๐๐ก) + ๐2
๐ ๐ก (1โฒ๐ 1๐
๐ โ ๐โฒ
๐ก ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (1 โ 0) + ๐2
๐ก(๐ โ ๐ผ๐กโ1) + ๐2๐ ๐ก (1 โ ๐ผ๐กโ1)
๐๐๐(๐) = 0 + ๐2๐ก(๐ โ ๐ผ๐กโ1) + ๐2
๐ ๐ก (1 โ ๐ผ๐กโ1) = ๐ ๐2๐ก ๐ผ๐กโ1 + ๐2
๐ ๐ก ๐ผ๐กโ1
๐๐๐(๐) = (๐ ๐2๐ก + ๐2
๐ ๐ก) ๐ผ๐กโ1
Distribuciรณn de X:
๐ = (1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
โฒ
๐ ~ ๐(0, (๐ ๐2๐ก + ๐2
๐ ๐ก) ๐ผ๐กโ1)
Sea
๐ =๐
โ๐ ๐2๐ก + ๐2
๐ ๐ก
~ ๐(0 , ๐ผ๐กโ1)
๐โฒ๐ ~ ๐(๐ โ1)
5.3.3. Prueba de la particiรณn A4.
Sea:
๐ = ((๐ผ๐ โ๐ฝ๐ ๐ )โจ(๐ผ๐ก โ
๐ฝ๐ก๐ก))๐ = (๐๐ โจ๐๐ก)
โฒ๐
Media:
ฮ(๐) = (๐โฒ๐ โจ๐โฒ๐ก) ฮ(๐) = (๐โฒ๐ โจ๐โฒ๐ก) ๐ผ (1๐ โจ1๐ก)
ฮ(๐) = ๐ผ(๐โฒ๐ 1๐ โจ ๐โฒ๐ก1๐ก) = ๐ผ(0 โจ 0)
โด ฮ(๐) = 0
Varianza:
๐๐๐(๐) = (๐๐ โจ๐๐ก)โฒ(๐2
๐ (๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก) + ๐2๐ก ( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก) + ๐2
๐ ๐ก ( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก))(๐๐ โจ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ โจ๐โฒ๐ก)(๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ก)(๐๐ โจ๐๐ก) + ๐2
๐ก(๐โฒ๐ โจ๐โฒ๐ก)( ๐ฝ๐ โ ๐ผ๐ก)(๐๐ โจ๐๐ก)
+ ๐2๐ ๐ก(๐โฒ๐ โจ๐โฒ๐ก)( ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ก)(๐๐ โจ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐ผ๐ ๐๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ฝ๐ก ๐๐ก) + ๐2
๐ก(๐โฒ๐ ๐ฝ๐ ๐๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ผ๐ก ๐๐ก) + ๐2๐ ๐ก (๐โฒ๐ ๐ผ๐ ๐๐ โ ๐โฒ๐ก ๐ผ๐ก ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐๐ โ ๐โฒ
๐ก 1๐ก 1โฒ๐ก ๐๐ก) + ๐2
๐ก(๐โฒ๐ 1๐ 1โฒ๐ ๐๐ โ ๐โฒ๐ก๐๐ก) + ๐2
๐ ๐ก (๐โฒ๐ ๐๐ โ ๐โฒ๐ก ๐๐ก)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ (๐โฒ๐ ๐๐ โ 0) + ๐2
๐ก(0 โ ๐โฒ๐ก๐๐ก) + ๐2๐ ๐ก (๐ผ๐ โ1 โ ๐ผ๐กโ1)
๐๐๐(๐) = 0 + 0 + ๐2๐ ๐ก (๐ผ๐ โ1 โ ๐ผ๐กโ1) = ๐2
๐ ๐ก ๐ผ(๐ โ1)(๐กโ1)
๐๐๐(๐) = ๐2๐ ๐ก ๐ผ(๐ โ1)(๐กโ1)
Distribuciรณn de X:
๐ = (1๐
โ๐ โจ๐๐ก)
โฒ
๐ ~ ๐(0, ๐2๐ ๐ก ๐ผ(๐ โ1)(๐กโ1))
Sea
๐ =๐
โ๐2๐ ๐ก
~ ๐(0 , ๐ผ(๐ โ1)(๐กโ1))
๐โฒ๐ ~ ๐((๐ โ1)(๐กโ1))