8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 1/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 2/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 3/33
2. Cự c trị toàn cục (Giá tr ị lớ n nhất –Giá tr ị nhỏ nhất):
( )0 0 0, x y là điểm cự c tiể u toàn cục của f trên D nếu
( )0 0 0, x y là điểm thấ p nhất của f trên D, ngh ĩ a là :
( ) ( ) ( )0 0, , , , f x y f x y M x y D≥ ∀ ∈
( )0 0 0, x y là điểm cự c đại toàn cục của f trên D nếu
( )0 0 0, x y là điểm cao nhất của f trên D, ngh ĩ a là :
( ) ( ) ( )0 0, , , , f x y f x y M x y D≤ ∀ ∈
Ví dụ: Xét hàm số ( ) ( ), sin sin sin f x y x y x y= + − + .
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 4/33
2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại ( )0 0 0, x y và
f đạt cực tr ị địa phươ ng tại ( )0 0 0, x y thì
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
, 0
(*), 0
f f M x y
x x
f f M x y
y y
∂ ∂⎧= =⎪ ∂ ∂⎪
⎨∂ ∂⎪ = =∂ ∂⎪⎩
Các điểm ( )0 0 0, x y thỏa hệ phươ ng trình (*) đượ c gọi là điểmdừng của f.
Ví dụ:
³ 3 ² -15 -12 f x xy x y= +
2 41 f x y= + + ; ( )2 21 2 x y− −
3 2 2
2 2 3 1 f x xy y xz z y= + + − + + −
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 5/33
3. Điều kiện đủ :
1. Dạng toàn phươ ng:
Biểu thức 2 2
1 2yxax b xy b cy+ + + đượ c gọi là một dạng toàn
phươ ng của x,y .
Biểu thức2 2 2
1 2 1 2 1 2yxax b xy b c xz c zx d yz d zy ey fz + + + + + + + +
đượ c gọi là một dạng toàn phươ ng của x,y,z
Định ngh ĩ a tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phươ ng n
biến là biểu thức có dạng ij
, 1
n
i j
i j
a h h=
= ∑
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 6/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 7/33
Dạng toàn phươ ng ij, 1
n
i ji j a h h=
=
∑ đượ c gọi là xác định âm nếu
( )ij i
, 11 0, 10 ,, ,
n
i j j
i j
k
k A a h h h k nh H == < − > ∀ =∀ ⇔∑
Dạng toàn phươ ng xác định âm hay xác định dươ ng đượ c gọilà xác định dấu.
Nếu f có các đạo hàm riêng cấ p 2 liên tục trong lân cận của0 thì vi phân cấ p 2 của f là một dạng toàn phươ ng theo
1,... ndx dx .
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 8/33
2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấ p 2 liên tục trong một
lân cận của 0khi đó
Nếu ( )2
2
0
, 1
n
i j
i j i i
f d f M dx dx
x x=
∂=
∂ ∂∑ là dạng toàn phươ ng xác định
dươ ng thì ( )0 0 0, x y là điểm cực tiểu địa phươ ng của f. Điều
này tươ ng đươ ng vớ i :
1
2
0
0
0n
H
H
H
>⎧⎪ >⎪⎨⎪
⎪ >⎩
Tất cả Hk đều dươ ng >>>>cực tiểu địa phươ ng
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 9/33
Nếu ( )
22
0, 1
n
i ji j i i
f
d f M dx dx x x=
∂=
∂ ∂∑ là dạng toàn phươ ng xác định
âm thì 0 là điểm cực đại địa phươ ng của f.
Điều này tươ ng đươ ng vớ i
( )
1
2
0
0 1 0
k
k
H
H H
<⎧⎪
> ⇔ − >⎨⎪⎩
Trườ ng hợ p hàm 2 biến:?????
Trườ ng hợ p hàm 3 biến: ?????
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 10/33
4. Các ví dụ:
1. ³ 3 ² -15 -12 f x xy x y= +
Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12
Điểm dừ ng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}
Ma tr ận Hess 6 66 6 x y H
x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tại (2,1)?
Tại (-2,-1)?……..
Giá tr ị hàm số là {-28,-26,26,28}
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 11/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 12/33
2. 2 41 f x y= + +
Điểm dừng M0(0,0) . Ma tr ận Hesse:2 0
0 12y²
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Tại M0 thì 2 ??0 ?? H = ⇒
M(0,0)
Cực tiểu toàn cục
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 13/33
3. 3 2 22 2 3 1 f x xy y xz z y= + + − + + − ,
Điểm dừng: ( )1 1, 2,1/ 2M − , 2
1 5 1, ,
2 4 4M
− −⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ma tr ận Hess :
6x 1 -2
1 2 0
-2 0 4
H
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 14/33
4. ( )2 21 2 x y− − Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma tr ận Hess
21
2 0, 2 0;
0 48 0 H H H
⎛ ⎞= = >⎜ ⎟ = −
−<
⎝ ?????
Tính vi phân cấ p 2:
2 2 2
(1,0) 2 4d f dx dy= − 2
2
0
03
dx dy
dx dy d
d f
f
⎡ = ⇒⎢
= >⇒⎣
<(điểm yên ngựa)
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 15/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 16/33
II. Cự c trị có điều kiện:
1. Mở đầu: Một công ty có nguồn vốn đầu tư là 100 triệu và
phải tham gia 3 dự án vớ i phân bổ đầu tư lần lượ t là 1 2 3, , K K K . D ĩ
nhiên 1 2 3 100 K K K + + = .
Tìm tỷ lệ phân bổ vốn đầu tư để lợ i nhuận ( )1 2 3, , K K K π thu đượ clà cao nhất?
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 17/33
Định ngh ĩ a: Cực tr ị của hàm ( )1 2, ,.., n x x x vớ i ràng buộc
( )1 2, ,... n x x x bϕ =
đượ c gọi là cực tr ị có điều kiện ( )1 2, ,... n x x x bϕ = của f.
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 18/33
2. Phươ ng pháp: Xét hàm Lagrange
( ) ( ) ( )1 2 1 1, , ,.. ,.., ,...n n n L x x x f x x b x xλ λ ϕ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Ta có:
λ đượ c gọi là nhân tử Lagrange.
Nếu ( )0 0
0 10 , ,.., n x xλ là cực đại (cực tiểu ) của L thì
( )* 0 01,..,o n x x là cực đại (cực tiểu ) của f vớ i điều kiện
( )1 2, ,... n x x x bϕ =
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 19/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 20/33
1 1 1 1
1
1 0
n
n
n
n n n
x x x x
x x x x x
x x
L L
H L L
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
−
−
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Tính các nhân tử Hesse biên.
1 1
1
1
11
0
k
k k
k
k k
x
x
x x x x
k
x x
x x
x x
L L
H L L
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
−
−
− −
=
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 21/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 22/33
Các ví dụ:
VD1: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), 6 4 3 f x y x y= − − vớ iđiều kiện 2 2 1 x y+ =
Hàm Lagrange: ( ) ( )2 2, , 6 4 3 1 L x y x y x yλ λ = − − + − −
Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ =(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ =-
(5/2)]}
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 23/33
Ma tr ận Hesse biên :
2 0 2
0 2 2
2 2 0
x
H y
x y
λ
λ − −⎛ ⎞
⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Tính ( )2 2
2 8 H x yλ = +
Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ =(5/2)]…..????
Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ =-(5/2)]…..???
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 24/33
VD2: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), , f x y z x y z = + + vớ i điều
kiện 1 1 1 1 x y z
+ + =
Hàm Lagrange: ( )1 1 1
, , 1 L x y z x y z x y z λ
⎛ ⎞
= + + + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
Điểm dừng
[x=-1,y=1,z=1,λ =-1], [x=1,y=-1,z=1,λ =-1],[x=1,y=1,z=-1,λ =-1], [x=3,y=3,z=3,λ =-9]
Ma tr ận Hesse:
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 25/33
VD3: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), 400 0.01 f x y x y= + vớ iđiều kiện 1/ 2 1/ 2 10 x y =
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 26/33
III. Cự c trị toàn cục:
1. Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho : n f D ⊂ → là hàm số xác
định trên D là một tậ p lồi. Ta nói
f là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , , , 0;1 f M N f M f N M N Dλ λ λ λ λ + − < + − ∀ ∈ ∀ ∈
f là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu
( )( ) ( ) ( ) ( ) )1 1 , , , 0;1 f M N f M f N M N Dλ λ λ λ λ + − > + − ∀ ∈ ∀ ∈
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 27/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 28/33
Định lý:
Nếu ( )2 0,d f M M D> ∀ ∈ thì f lồi ngặt toàn cục trên D.
Nếu ( )2 0,d f M M D< ∀ ∈ thì f lõm ngặt toàn cục trên D.
Trườ ng hợ p hàm 1 biến:
a. ( )// 0, f x x D> ∈ ⇒ f lồi ngặt toàn cục
b.. ( )// 0, f x x D< ∈ ⇒ f lõm ngặt toàn cục
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 29/33
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 30/33
2. Điều kiện đạt cự c trị toàn cục:
Nếu 0 là điểm dừng của f (ngh ĩ a là ( )0 0df M = ) . Khi đó:
Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D
tại 0
Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên
D tại 0
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 31/33
3. Tóm tắt:
Hàm một biến Hàm nhiều biến
Đk cấ p 1: ( )/
0 0 f x = ( )0 00 ( ) 0, 1,..,i xdf M f M i n= ⇔ = =
Điều kiện cấ p 2:
Xét đạo hàm cấ p hai:
( )// 0, f x x D> ∈f đạt cực tiểu toàn
cục tại 0 x
( )// 0, f x x D< ∈
f đạt cực đại toàn
cục tại 0 x
Điểu kiện cấ p 2: Xét ma tr ận Hesse tổngquát (tại điểm M bất k ỳ trong D)
0, 1,...,k k n> ∀ = ⇒f đạt cực tiểutoàn cục tại 0
( 1) 0, 1,...,k
k k n− > ∀ = ⇒f đạt cực
đại toàn cục tại 0
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 32/33
Trườ ng hợ p cự c trị
có điều kiện: Xét hàm Lagrange
Tìm điểm
dừng( )0 0
0 10 , ,.., n x xλ
Xét ma tr ận Hesse
biên tại điểm( )1, ,.., n x xλ bất
k ỳ
0, 2,...,k k n< ∀ = ⇒ ( )* 0 0
1,..,o n x x
là cực tr ị toàn cục của f vớ i đk
( )1 2, ,... n x x x bϕ =
( )1 0, 2,...,
k
k k n− > ∀ = ⇒
( )* 0 0
1,..,o n x x là cực tr ị toàn cục của f
vớ i đk ( )1 2, ,... n x x x bϕ =
VD: VD
8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien
http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 33/33
( )
( ) ( )
2 4 3;
4
f x x x
f x x x
= + −
= −
( )
( )
2 2
1/3 1/3
, 7 5 3;
, 3 0.002
f x y x y xy x y
f x y x y x y
= − − − + + −
= − −
IV. Một số ứ ng dụng trong kinh tế (xem sách)