Curso de Matemática PropedeúticaAño académico 2008
MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés 15-ene-2008
1 1 1 = 62 2 2 = 63 3 3 = 64 4 4 = 65 5 5 = 66 6 6 = 67 7 7 = 68 8 8 = 69 9 9 = 6
(1 + 1 + 1) ! = 62 + 2 +2 = 63 x 3 - 3 = 6√4 + √4 + √4 =
65 ≠ 5 + 5 = 66 + 6 - 6 = 6-7 ÷ 7 + 7 = 63√8 + 3√8 + 3√8 = 6√9 x √9 - √9 = 6
Lógica matemática.
La lógica matemática sirve de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido.
Proposición Una proposición es una oración que
es verdadera o falsa, pero no es verdadera y falsa a la vez.
Simbólicamente: p: 2 + 2 = 4 q: El cinco es un número primo r: Estelí es la capital de Nicaragua s: √4 + 5 = 9
Proposición Lo que no es una proposición.
1. Qué hora es?2. Lee esto con atención.3. x + 1 = 24. x + y = z
Proposición La negación de una proposición es
otra proposición, llamada la negación de p.
Simbólicamente: ¬p ~pEjemplo: p: 12 + 33 = 39 ¬p: 12 + 33 ≠ 39
Proposición Tabla de verdad para la negación de una
proposición.
p ¬pv ff v
p ¬p1 00 1
Son dos o más proposiciones simples unidas por medio de operador lógico.
: operador de la conjunción (léase
“y”) : operador de disyunción incluyente
(“o”)
Proposiciones compuestas
: operador condicional (“si…entonces…”)
: operador bicondicional (“p si y sólo q ”)
: operador de disyunción excluyente (“o”)
La Conjunción Sean p y q proposiciones. La proposición
p ^ q, es la proposición que es
verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p q p^qv v vv f ff v ff f f
La Disyunción inclusiva Sean p y q proposiciones. La proposición
p v q, es la proposición que solo es falsa
cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p q p v qv v vv f vf v vf f f
La Disyunción excluyente Sean p y q
proposiciones. La proposición
p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q son falsas.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p q p qv v fv f vf v vf f f
La Implicación Sean p y q
proposiciones. La proposición
p q, es la proposición que solo es falsa cuando p es verdadero y q es falso.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p q p qv v vv f ff v vf f v
La Doble implicación Sean p y q
proposiciones. La proposición
p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q tienen el mismo valor de verdad.
fórmula 2n
n= número de proposiciones.
p q p qv v vv f ff v ff f v
Resumen
Verificación de Aprendizajes
ninguna (e) ninguna (e)
Prueba Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las
siguientes frases: Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es
reflexiva, simétrica y transitiva.p: R es relación de equivalenciar: R es reflexivas: R es simétricat: R es transitivap r s t
Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche.p: la humedad es altaq: lloverá esta tarder: lloverá esta nochep q r
Prueba El cáncer no se cura al menos se
determine su causa y se encuentre un nuevo fármaco.
p: el cáncer se curaq: se encuentra su causar: se encuentra un nuevo fármacop q r
Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña.
p: se requiere valorq: se requiere preparaciónr: escalar la montañar q p
Prueba Si es un hombre que hace una
campaña dura, probablemente será elegido.
p: hace campaña duraq: será elegido
( p q ) ( p q )
Prueba
Prueba
Prueba
)( )(
)()(
pqpqppqqp
pqqppqqp
DEMOSTRAR QUE ES UNA CONTRADICCIÓN
conjunción de Def. f
negación la deley f f asociativaley )()(
imp. la de iaequivalenc )()(DeMorganley )()(
)()(
qqpppqqppqqp
pqqp
Prueba
)( )(
)()(
pqpqppqqp
pqqppqqp
)()(p
)()(p )()(p)()(p
)()(p : dado tanto,lopor bab)(a que Partimos
qpqqpqqpqqpq
qpq
DEMOSTRAR QUE
negaciónley v
negación doble Def.Por f DeMorgan deley )()(
nimplicació equiv.por )()(imp. doble la denegación por )()(
)()( que b)(a que Sabemos
qpqpqpqpqpqp
qpqpDadoba
Inferencia lógica Doble negación: de una premisa p puede
concluirse su doble negación y viceversa.
Simplificación: De una conjunción puede concluirse cualquiera de las proposiciones que la componen.
pp
pp
pqp
qqp
Inferencia lógica Adición: De una proposición p, tomada como
premisa, puede concluirse la disyunción de la misma con cualquier otra proposición.
Modus Ponendo Ponens(MPP): De una fórmula condicional y la afirmación de su antecedente como premisas, puede concluirse la afirmación del consecuente.
qpp
qp
qp
Inferencia lógica Modus Tolendo Tollens(MTT): De una fórmula
condicional y la negación de su consecuente como premisas, puede concluirse la negación del antecendente.
Modus Tolendo Ponens(MTP):De una disyunción y la negación de uno de sus miembros como premisas, puede concluirse la afirmación la afirmación del otro miembro.
p
qp
q
qpqp
Inferencia lógica Distributiva: La conjunción de una proposición y
una fórmula disyuntiva puede transformarse en la disyunción de dos conjunciones.
Distributiva: La disyunción de una proposición y una fórmula conjuntiva puede transformarse en la conjunción dos conjunciones disyunciones.
)()( )(rpqp
rqp
)()()(rpqp
rqp
Inferencia lógica D´Morgan: Una conjunción puede transformarse
en una disyunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.
D´Morgan: Una disyunción puede transformarse en una conjunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.
)( qp
qp
)( qpqp
Resolver
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
1) p v q 2) p v r3) q r
4 ) De 1 y 3 resulta p (MTP)5) De 2 y 4 resulta r (MTP)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
1) p v r v q 2) r3) q p
4 ) r v (p v q) expresando (1) por ley asociativa5) De 4 y 2 resulta (p v q) (MTP)6) De 5 y 3 resulta p (MTP)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
1) p 2) q v p 3) q f
4 ) De 2 y 1 resulta q (MTP) De De 4 y 3 resulta f (ley negación)
A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
1) ( p q ) r2) r s3) q s p
4 ) De 3 resulta s (por Simplificación)5 ) De 2 y 4 resulta r (por MTT)6) De 1 y 5 resulta (p q) (MTT)7) De 6 resulta p v q Ley DeMorgan8) De 7 resulta p (Simplificación disyunción)
Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.
Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario:
¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q:
Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el
lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q: p → q : p ↔ q :
Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas.
Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario:
¬p ^ q : Pablo no es extraño y le gusta leer libros de matemática.
p ^ q : Pablo es extraño y le gusta leer libros de matemática.
¬(p ^ q): No es cierto que Pablo es estraño y le guste leer libros de
p v ¬ q: Pablo es extraño o no le gusta leer libros de matemáticas.
¬p v ¬ q: Pablo no es extraño o no le gusta leer libros de matemática
p → q : Si Pablo es extraño entonces le gusta leer libros de mat.
p ↔ q : Pablo es extraño si y solo si le gusta leer libros de mat.
Ejemplos Sean: r: La humanidad contamina el medio ambiente. s: La humanidad sobrevivirá. Si r es verdadera y s es falsa. Determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
(r٨s) v¬s :¬r v ¬s : r ٨ ¬s : ¬r v s : r → s : r ↔ s :
Ejemplo Determine el valor de verdad de ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]
p q (p٨q) ¬(p٨q) (pvq)
(pvq)٨q ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]
Equivalencias lógicasp ٨ V ≡ p p v F ≡ p
Leyes de identidad
p v V ≡ Vp ٨ F ≡ F
Leyes de denominación
p v p ≡ pp ٨ p ≡ p
Leyes idempotencias
p v q ≡ q v pp ٨ q ≡ q ٨ p
Leyes conmutativas
¬(¬p) ≡ p Ley de la doble negación
Equivalencias lógicas(p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r)
Leyes asociativas
p v (q ٨ r) ≡( p v q)٨(p v r) p ٨ (q v r) ≡( p ٨ q)v(p ٨ r)
Leyes distributivas
¬(p v q) ≡ ¬p ٨ ¬ q ¬(p ٨ q) ≡ ¬p v ¬ q
Leyes de De Morgan
p v (p ٨ q) ≡ pp ٨ (p v q) ≡ p
Leyes de absorción
(p v ¬p) ≡ V (p ٨ ¬p) ≡ F
Ley de negación
Equivalencias lógicasp → q ≡ ¬p v qp → q ≡ ¬q → pp v q ≡ ¬p → qp ٨ q ≡ ¬(p →¬q)¬(p →q) ≡ p ٨ ¬q(p → q)٨ (p → r) ≡ (p → (q ٨ r)(p → r)٨ (q → r) ≡ (p v q) → r(p → q) v (p → r) ≡ p → (q v r)(p → r) v (q → r) ≡ (p ٨ q) → r
Equivalencias lógicasp ↔ q ≡ (p → q)٨ (q → p) p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬qp ↔ q ≡ (p ٨ q) v (¬p ٨ ¬q)¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q
Ejemplo 1Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración:¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad
Ejemplo 1Justifica que las proposiciones ¬(p v (¬p ٨ q)) y ¬p ٨ ¬q son lógicamente equivalentes.
Demostración:¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad
Ejemplo 2Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración:(p ٨ q) → (p v q) ≡ ¬(p ٨ q) v (pvq) por equiv. ≡ (¬p v ¬q)v(pvq) DeMorgan ≡ (¬p v p) v (q v ¬q) Conm yAsoc. ≡ V v V Leyes de negación ≡ V regla disyunción
Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores
P(x) : función proposicionalEjemplo:P(x) : (x+1) ≥ xNotación: léase, para todo x P(x),
para cada x P(x), o para cualquier x P(x).Q(x): x ≤ 4
)(xxP
Predicados y Cuantificadores
Todo A es B su negación es Algún A no es
B. Ningún A es B su negación es Algún A es
B.
Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores
Predicados y Cuantificadores