Curso:
El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de primer
grado de primaria
GUÍA DEL PARTICIPANTE
El curso El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de primaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública
Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio
Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Dr. José Narro Robles Rector
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional
Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias
Coordinación General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Coordinación Académica
Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera
Ing. Alma Lucia Hernández Pérez
Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes
Autores
M. en D. Sara Alejandra Pando Figueroa
Revisión
Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes
Diseño de Portada
LDG Ricardo Muciño Mendoza
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente. D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite
EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LOS ALUMNOS DE
PRIMER GRADO DE PRIMARIA
GUÍA DEL PARTICIPANTE Introducción Las reformas educativas plasmadas en la RIEB, en particular en lo que se refiere a
la enseñanza de las matemáticas en la Educación Básica, involucra a los docentes
como actores fundamentales en el proceso de reflexión en torno a las técnicas y
estrategias didácticas y pedagógicas vinculadas a las matemáticas, al desarrollo del
pensamiento lógico, al desarrollo del pensamiento concreto, del pensamiento
abstracto y a la adquisición de ciertas habilidades y competencias esenciales para
que el pensamiento matemático pueda florecer en nuestros niños.
Sesión 1
INTRODUCCIÓN
En esta primera sesión se busca destacar que el aprendizaje de las matemáticas en
primaria debe enfatizar, entre otros aspectos, el desarrollo del pensamiento lógico y
formal.
Se propone analizar, como un ejemplo, un problema matemático que se centra en el
desarrollo del pensamiento lógico y que será trabajado por los docentes en equipos
de tres integrantes. Cada docente se enfrentará al diseño y planteamiento de
estrategias a través de la construcción e identificación de patrones. Dichas
actividades serán comentadas y reflexionadas en los equipos de trabajo organizados
previamente. La reflexión que se busca promover, estará orientada a discutir las
ventajas y desventajas del tipo de estrategias que utilicen los maestros para plantear
y resolver el problema, considerando la relación que existe entre las formas de
representar, analizar y comprender ideas matemáticas que se relacionan con el
contenido matemático a enseñar.
Es importante que los profesores de nivel primaria tengan presente que los
estudiantes de los primeros grados están en la etapa de pensamiento concreto,
manipulan material que les ayuda a estimular sus habilidades motrices y cognitivas y
regularmente responden de manera positiva al reto de aprender identificando formas
y patrones sencillos logrando describir cosas sobre lo que observan.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
son las matemáticas, de lo que se enseña en el aula y de lo que se debe
enseñar, considerando mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir
de la propuesta que se presenta en la RIEB.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se de la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas.
• Analizar problemas matemáticos desde la perspectiva didáctica.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
MATERIALES
• Un par de hojas blancas, lápiz, pluma.
• Siete monedas de distintas denominaciones para cada docente participante
al curso que simularán los discos.
Actividad 1“ENCONTRANDO FIGURAS”
Observe el siguiente diseño geométrico y de forma individual conteste las
preguntas.
Preguntas:
a) ¿Qué figuras geométricas encuentra en el diseño?
b) Haga una lista de todas ellas.
c) ¿Cuántas figuras hay de cada tipo?
d) ¿Qué datos tiene para resolver el problema?
e) ¿Qué tipo de estrategias utilizó para resolver el problema? Explique cada una
detalladamente.
f) ¿Qué aprendizajes matemáticos se trabajan con esta actividad?
g) ¿De qué forma lo usaría con sus estudiantes?
h) ¿Cómo sugiere trabajar esta actividad haciendo uso de un geoplano circular?
i) Compare resultados y discuta con sus colegas cómo llegó a la solución, para
ello se organizarán equipos de trabajo de tres integrantes.
Actividad 2 “La vieja historia del niño Gauss”
Lea el siguiente texto y trabaje el resto de la actividad en equipos de
tres integrantes.
Johann Karl Friedrich Gauss fue uno de los más grandes matemáticos de la historia.
Su precocidad en relación con las matemáticas se pone de manifiesto en las
siguientes anécdotas:
Antes de cumplir 3 años se encontraba con su padre que estaba preparando la
nómina de los obreros que de él dependían. El joven Gauss que seguía con gran
atención los cálculos del padre le dijo al terminar: "Padre has hecho mal la cuenta, el
resultado debe ser ... ". El padre al repasar los cálculos comprobó con sorpresa que
el hijo tenía razón. La historia es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta que
nadie le había enseñado a leer.
Un día en la escuela cuando tenía 10 años el maestro propuso como ejercicio sumar
los primeros 100 números naturales. Hay un método sencillo para hacerlo que el
maestro conocía pero sus alumnos no. Era costumbre que el primero en acabar el
ejercicio debía dejar su pizarra sobre la mesa del maestro, el siguiente alumno
encima de la del primero y así sucesivamente.
Nada más terminar el maestro el enunciado del ejercicio Gauss puso su pizarra
sobre la mesa del maestro. Cuando al cabo de una hora acabaron sus compañeros,
el maestro comprobó sorprendido como el resultado que aparecía en la pizarra de
Gauss era el correcto.
A Gauss, ya mayor, le gustaba contar como el resultado de su pizarra era el único
correcto.
El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de
aritmética y se lo regaló a Gauss quien rápidamente lo devoró.
Preguntas: a) ¿Qué resultados se obtienen al sumar los primeros números naturales?
1, 1+2, 1+2 +3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+5+6, 1+2+3+4+5+6+7, …
b) ¿Sabe cuál fue la respuesta del niño Gauss al profesor?
c) ¿Puede inferir alguna regla o patrón de comportamiento de la serie numérica que
se obtiene de los datos obtenidos en el inciso a)?
d) ¿Cuál sería la suma de los primeros cincuenta números naturales?
e) ¿Podría expresar matemáticamente, cómo encontrar la suma de los primeros n
números naturales?
f) La serie numérica que se obtiene de sumar los primeros “n números naturales”,
recibe el nombre de Números Triangulares, su representación geométrica consiste en
formar triángulos colocando un punto por cada número de la serie.
1 3 6 10 15 g) ¿Qué nueva serie numérica se obtiene si se suman dos Números Triangulares
consecutivos? Escriba en una tabla la suma de los diez primeros.
h) Realice la representación geométrica de la serie obtenida en el inciso anterior.
i) ¿Qué relación hay entre los números triangulares y los números cuadrados?
Complete la tabla.
Números triangulares
consecutivos
Suma
Actividad 3 Lea el siguiente problema de manera individual, busque una estrategia resolverlo
y complete la tabla con los resultados obtenidos.
El problema de las Torres de Hanoi
Se desea mover los discos de la torre A, a la torre B o a la torre C en el menor
número posible de movimientos siguiendo estas reglas.
1. Mover un solo disco a la vez
2. En cada movimiento, colocar siempre un disco de diámetro menor sobre
otro de diámetro mayor sin importar si son o no consecutivos.
3. En la base de la torre debe quedar el disco de mayor diámetro y en orden
decreciente, el disco de menor diámetro quedará en la punta de la torre. Es
decir, al cambiar todos los discos a otra torre, deberán quedar colocados
del mayor al menor.
4. No es válido dejar discos fuera de alguna torre.
Completa la siguiente tabla:
Número de discos Número mínimo de
movimientos
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
n +1
Preguntas:
a) ¿Por qué puede asegurar que los datos que anotó en la tabla son correctos?
b) ¿Qué tipo de estrategia usó para resolver el problema?
c) ¿Qué movimiento debe hacer para conseguir que todos los discos terminen en
la torre C?
d) Explique si encontró un patrón específico o una serie de pasos que le
permitieron resolver el problema.
e) Si se tiene una cantidad “n” de discos, ¿cuántos movimientos se requieren para
cambiar la torre de lugar siguiendo las reglas?
f) ¿Qué tipo de conjeturas puede hacer al respecto?
g) Argumentar la validez de su conjetura.
h) Intercambie opiniones y experiencias con sus colegas.
Sesión 2
INTRODUCCIÓN
En la segunda sesión, se hará énfasis en otra faceta de las matemáticas que
adquiere importancia en el ámbito educativo a cualquier nivel, en particular a nivel
básico. La parte histórica de las matemáticas es un referente que ayuda a
comprender los temas vistos en clase dado que proporciona un contexto que explica
cómo a partir de ciertas condiciones y situaciones se da el conocimiento matemático
en algunas regiones del mundo en distintas épocas. En particular, hablando de los
sistemas de numeración, es importante tener presente que un sistema de numeración
es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos para
darle determinado valor.
A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado distintos sistemas de numeración,
por ejemplo entre los más antiguos están el romano, el egipcio, el maya, el babilonio.
Si se piensa en algo más actual, tenemos el indo arábigo o los sistemas de
numeración con una base dada, por ejemplo, el sistema binario, el hexadecimal, el
octal, el decimal, etcétera.
Cada sistema de numeración tiene sus propias reglas, en un sistema posicional, se
utilizan pocos símbolos y según la posición en la que éstos se encuentren, adquieren
un valor único, tal es el caso del sistema decimal que se abordará con más detalle en
la siguiente sesión. Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional,
por ejemplo los números romanos que se representan usando letras mayúsculas,
siendo las más utilizadas en el aprendizaje para niños de primaria:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000
Podemos observar que si escribimos el número 15 en romano, XV es 10 más 5 pero
si cambiamos los símbolos VX, no obtenemos ningún nuevo número. Además este
sistema es del tipo aditivo, es sencillo de interpretar, sólo se necesitan sumar los
valores de los símbolos utilizados. 324 = CCCXXIV y observamos que 324 = CCC +
XX + IV pero se requiere una gran cantidad de símbolos para representar números
mayores.
El sistema decimal, al ser posicional, es más económico, con sólo diez símbolos se
puede continuar la serie numérica indefinidamente, pero, es menos transparente. El
número 324, está formado por 300+ 20+ 4.
En esta sesión se trabajarán actividades donde los docentes formarán equipos de
tres integrantes y reflexionarán sobre la importancia de conocer dicho tema para
trabajarlo apropiadamente con los pequeños de primaria. Dichas actividades serán
comentadas en los equipos de trabajo organizados previamente.
OBJETIVOS
• Comentar sobre la importancia de trabajar temas vinculando en la medida de
lo posible la parte histórica de la matemática con los temas que se exponen en
el aula.
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza de la historia en el aula.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se de la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con diversos sistemas de numeración.
• Analizar problemas matemáticos desde la perspectiva histórica.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
MATERIALES
• Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el
programa adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.
• Objetos pequeños que puedan simular los símbolos de cada sistema de
numeración.
Actividad 1 “Historia sobre los sistemas de numeración”
Se proporcionará a cada docente la lectura breve referente al tema, misma que
será comentada por los docentes en equipos de tres integrantes al haber
transcurrido el tiempo asignado para leerla individualmente.
La historia de los sistemas de numeración
Desde el principio de los tiempos ha existido la necesidad de contar, cuando los
hombres sentían esa necesidad recurrían inevitablemente a los dedos o a pequeños
guijarros, pero esto no abarcaba un gran número por lo que cuando se llegaban a
cifras altas normalmente se hacía una marca específica y se seguían contando
unidades a partir de ahí. Esta marca o número es la base. Así es como surge el
concepto de base.
El concepto de base. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número
al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de
representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución,
cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los
representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades
hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra
marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede
ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de
segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así
sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es la decimal según todas
las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna
excepción notable como son: la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como
bases y la numeración maya que usaba la base 20 y la base 5 aunque con alguna
irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en
unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos
haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y
muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un
sistema eficaz que permita el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de
ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal
cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en
general, efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo
procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos
iniciados. De hecho, cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de
numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las
más insólitas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí
mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las
operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;
de ahí el nombre de indo arábigo. Del origen indio del sistema hay pruebas
documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa
(Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200.
El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un
sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por
grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Posteriormente, se verá el video de la historia del número 1, misma que será
comentada al finalizar. Tiene una duración total de 60 minutos aproximadamente.
La historia del 1en 7 videos:
Parte 1
http://www.youtube.com/watch?v=FCAzdjaHkR4
Parte 2
http://www.youtube.com/watch?v=d65nTrsDxmg&feature=related
Parte 3
http://www.youtube.com/watch?v=Mpb3uxFS8zU&feature=related
Parte 4
http://www.youtube.com/watch?v=Mpb3uxFS8zU&feature=related
Parte 5
http://www.youtube.com/watch?v=649BN_QG8lA&feature=related
Parte 6
http://www.youtube.com/watch?v=18KRbi0ktNw&feature=related
Parte 7
http://www.youtube.com/watch?v=AgtrTGlf5DE&feature=related
Actividad 2
Se analizarán diversos sistemas de numeración.
a) Se le pedirá a cada docente que escriba los siguientes números usando las tablas de
los sistemas de numeración que se han dado, de tal manera que se pueda comparar el
mismo número en diferentes sistemas de numeración. Será de gran ayuda tener la versión
impresa de http://www.educaciencias.gov.ar/archivos/seguirapr/egb2/laminas/mate1.pdf
para ser comentada como parte de esta actividad.
decimal maya egipcio romano babilónico 28
693 1062 2709 3545 3902 7284
SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIA
SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICA
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
b) Una vez completada la tabla de manera individual, los docentes se organizarán en
equipos de 4 integrantes, cada uno tendrá que trabajar con un sistema de
numeración tratando de argumentar al resto del equipo, por qué el sistema que le ha
tocado es mejor que otro. Es importante descubrir y ponderar todas las
características matemáticas de cada uno, analizar si es un sistema posicional o no,
cómo se representará la suma y la resta usando los símbolos de cada sistema,
etcétera.
c) Para finalizar esta sesión, se hará una ronda por equipos. Un representante de
cada uno, determinará en base a la experiencia docente de cada colega de su
equipo, cuál es la importancia de trabajar la historia de los sistemas de numeración
con los niños, qué tipo de estrategias utilizan, las ventajas y desventajas de las que
se han percatado y cuáles son las propuestas para mejorar el aprendizaje de este
tema.
Sesión 3
INTRODUCCIÓN
En esta, la tercera sesión, daremos continuidad al tema de los sistemas de
numeración. El sistema de numeración usado habitualmente en casi todo el mundo
es el sistema decimal. Sin embargo hay ciertas áreas de la ciencia, como por ejemplo
la informática, en donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de
trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas
vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y
el vigesimal.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades
se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez
símbolos diferentes llamados cifras, dígitos o guarismos: cero (0); uno (1); dos (2);
tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de
símbolos es de origen hindú y árabe, de ahí que se le conozcan también como
números indo arábigos. Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está
en los diez dedos que tenemos los seres humanos en las manos, los cuales siempre
nos han servido de base para contar.
Como ya se dijo anteriormente, el sistema decimal es un sistema de numeración
posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número.
Así, podemos expresar que
369 = 300 + 60 + 9 = 3(100) + 6(10) + 9(1)
Usando otra notación sabemos que
369 = 3(102) + 6(101) + 9(100), donde 100 = 1, 101 = 10, 102 = 10 x 10 = 100.
El docente, a través de problemas y actividades que plantea en clase a sus alumnos,
tendrá que analizar y reflexionar sobre el contenido matemático que el estudiante
reafirma, conoce, aprende e interpreta al trabajar con diferentes sistemas de
numeración, base 2, base 4, base 8, base 10, base 20, base 60, etcétera.
OBJETIVOS
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema, es recomendable que el docente tenga un mayor nivel e conocimiento
matemático del tema que va a enseñar, siendo también esencial que domine el
tema a enseñar.
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del tema en el aula, fortalezas y debilidades
detectadas en su práctica docente.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se de la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con sistemas de numeración de distinta base, en especial
base 2, base 4 y base 10.
MATERIALES
• Fichas de colores, rojas, azules, verdes, blancas, amarillas para trabajar en
equipos de tres integrantes.
• Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el programa
adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.
• Un par de hojas blancas para cada participante, lápiz, pluma.
Actividad 1
Observar el video corto donde se explica de manera breve y clara el Sistema de
Numeración Decimal
http://www.youtube.com/watch?v=c7f8AlwNEX4
El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado por 10
símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los relacionan: cada unidad está
formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena está formada por 10
unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de mil por 10 centenas; etc.
La característica principal del Sistema de Numeración Decimal, es la de ser
posicional, es decir cada cifra ocupa una lugar determinado.
Ejemplo: en el número 4876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7 el de
las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si cambiamos el
orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6487 será distinto que 4876.
Preguntas:
a) En base a la experiencia docente y lo visto en el video, determinar los
conocimientos previos que debe tener el niño para comprender este tema, explicar
qué conocimientos matemáticos se encuentran involucrados con el tema de sistema
de numeración decimal. Enlistar.
b) Organizarse por equipos de tres integrantes para comentar los temas de la lista.
Proponer y discutir qué habilidades y destrezas matemáticas se desarrollan con cada
tema de la lista.
c) Reflexionar sobre las actitudes de los alumnos al estudiar el tema en clase, así
como también sobre los aciertos y errores de aprendizaje. Concluir en cada equipo,
qué tipo de acciones se pueden implementar en el aula para lograr que el aprendizaje
de los niños sea significativo y se vea reflejado en su desarrollo intelectual, físico y
emocional.
Actividad 2
Discutir en equipos de tres integrantes las siguientes preguntas, comentar y
argumentar en forma colegiada, posteriormente compartir las respuestas obtenidas.
1.- ¿Aprender a contar es sencillo sin usar el sistema decimal?
2.- ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre un sistema arbitrario utilizado y el
sistema decimal?
3.- ¿Qué importancia adquiere el valor posicional del sistema decimal escrito?
4.- ¿El sistema de numeración, es un tema que representa un problema didáctico?
5.- Emitir puntos de vista de manera individual y por equipos acerca de las siguientes
afirmaciones y preguntas:
o El sistema de numeración es un producto cultural, objeto de uso social
cotidiano, que se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los
libros, las listas de precios, los calendarios, las reglas, las direcciones,
etcétera.
o Los niños elaboran criterios propios para producir representaciones
numéricas y la construcción de la notación convencional que hacen no
sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante
en esa construcción.
o ¿Aprender el concepto de decena ayuda realmente a comprender los
números o es más bien el conocimiento de los números y de su
escritura lo que ayuda a comprender el concepto de decena y de
gruesa?
6.- Hacer una discusión entre colegas del mismo equipo con base en las siguientes
afirmaciones y preguntas:
o ¿Qué diferencia hay entre las propiedades de los números y las
propiedades de la notación numérica?
o En muchas de las actividades que se proponen en libros de texto
"...paradójicamente, para que los niños comprendan la noción de
sistema posicional”, se plantea de forma tal que hace desaparecer la
importancia de la posición de una cifra en un número dado, lo cual
repercute seriamente en la calidad de la enseñanza de la matemática.
o ¿Será o no, la noción de agrupamiento, el origen de la comprensión del
funcionamiento de los sistemas de numeración posicionales?
7.- En relación con las preguntas anteriores, escuchar los puntos de vista de los
demás equipos respecto a proponer algunas actividades para el aprendizaje de la
numeración decimal.
8.- Analizar el fichero y el libro de texto de matemáticas, primer grado, para reconocer
el tipo de actividades que se proponen acerca de la numeración. Posteriormente, se
recomienda elegir una actividad para estudiar sus características. Se analiza
inicialmente tal como se propone y, después, lo que pasaría al variar distintos
aspectos, por ejemplo si se aumenta el tamaño de las cantidades.
9.- Para concluir este bloque, se sugiere observar en la escuela primaria o en otros
ámbitos los conocimientos que tienen los niños de cinco a seis años acerca de los
números, cómo los emplean de manera oral, la forma en como los representan y los
contextos en que los utilizan. Comentar las observaciones, la relación que encuentra
con el método que utiliza para impartir su clase y el tipo de actividades que podría
proponer a esos niños para que avancen en sus conocimientos sobre el sistema de
numeración.
Sesión 4
INTRODUCCIÓN
En la cuarta sesión, se enfatizará la importancia de trabajar con material concreto
cuando se ha de enseñar un contenido abstracto a nivel básico, en nuestro caso, el
concepto de número. Dicho concepto no es algo sencillo de definir ya que la
matemática trabaja más con ideas, símbolos y representaciones abstractas que con
cosas concretas y tangibles. Sin embargo, al número le asociamos las ideas de
cantidad y de símbolo, mismas que se trabajan con los pequeños al relacionarlos con
los objetos. Comúnmente se piensa que contar es muy fácil pero en realidad no lo es,
una cosa es repetir los números sin sentido y otra tomar conciencia de que se le está
asignando cierta cantidad a una colección de elementos de la misma clase. Más aún,
conceptos como sumar, multiplicar y restar, representan uno de los primeros retos
para el niño de primaria, sin embargo, el manipular objetos hace que la asimilación
del aprendizaje sea más natural y por lo tanto con mayor significado para el niño.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del uso de material concreto en el aula.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema, en este caso se presenta otro algoritmo para multiplicar que puede
convertirse en otra estrategia de enseñanza-aprendizaje tanto para del
docente como para el alumno.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas, de forma tal que se sientan motivados a mejorar su
modelo didáctico para beneficio de la calidad del aprendizaje de la matemática
a nivel básico orientado a lo que indica la RIEB.
MATERIALES
• Al menos cinco hojas blancas, lápiz, pluma para cada docente que asista al
curso.
• Regla graduada, colores, compás.
Actividad 1 “El origen de los números”
¿Alguna vez se ha preguntado por qué los números se escriben de la forma actual?
La notación numérica usada para el sistema indo arábigo en la actualidad procede de
sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas
ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales:
• El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las
culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal
junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido
también desarrollada en América por la cultura maya.) • La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo
guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de
la cantidad numérica. Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo
IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780
- 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal
posicional. • En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos
árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los
principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo
de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las
cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.
• La grafía de los numerales tomados del sistema de numeración indo-arábigo
experimentó ciertos cambios desde su adopción en Europa en el siglo XII
hasta su expresión actual.
Nuestros números modernos proceden de los utilizados por los hindúes, luego
popularizados y extendidos por los árabes. La forma de los números tiene un
sentido matemático. Cada número se dibuja con un número de ángulos igual al
número representado. El cero, al no tener ningún ángulo, es circular.
a) Se le pedirá a los maestros que encuentren todos los ángulos de cada cifra y
que los dibujen en una hoja blanca previamente proporcionada por quien imparta
del curso.
b) Transcurridos unos cinco minutos, los docentes compararán sus resultados por
parejas. Se les pedirá reflexionen sobre la importancia de involucrar la aritmética
con la geometría.
Es una teoría muy antigua. Es difícil demostrar qué es real, quizá sea sólo un invento
para hacerlo coincidir con la realidad. Pero es una teoría bella y conviene pensar que
es cierta, que todo tiene algún sentido matemático.
Actividad 2 “La serie de números de Fibonacci”
a) Se les solicitará a los docentes que lean el siguiente texto que contiene la historia
de otro notable matemático. Una vez terminada la lectura tendrán que reconstruir la
serie numérica de Fibonacci a partir de la suma de los últimos dos números de la
serie, iniciando esta con dos unos.
La serie de números de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una sucesión de cifras que ha dado lugar a no pocas
teorías, demostrándose que esta sucesión está presente en la naturaleza de forma
estable, ya sea en la organización de los panales de las abejas, o incluso en la
descendencia de los zánganos.
Leonardo Fibonacci, también llamado Leonardo Pisano, fue un calculista que nació y
murió en la ciudad de Pisa, en Italia, del 1175 a 1240. Dedicó su vida a recopilar
todas las enseñanzas que recogió en sus numerosos viajes al mundo árabe, de
quienes difundió sus principios de cálculo en el mundo occidental.
A esta presentación agregó una explicación de procedimientos algebraicos y
aplicaciones a numerosos problemas.
Leonardo nació en Pisa, era hijo de Bonaccio, de ahí su nombre Fibonacci, que
significa "hijo de Bonaccio". De su padre aprendió todo lo referente a los números, ya
que era director de una aduana en Argelia. Bonaccio, necesitaba que su hijo supiese
de números, por lo que obligó a su hijo a estudiar aritmética posicional hindú.
El aporte de Fibonacci a la matemática es muy grande, pero sin duda por lo que más
se le conoce es por crear la sucesión de números que lleva su nombre. Los
conocidos como Números Fibonacci, fueron un intento de describir el crecimiento de
una población teniendo en cuenta que cada individuo tendría dos hijos a lo largo de
su vida.
Esta sucesión seguía una fórmula sencilla: Fn = Fn-1 + Fn-2 A raíz de esta fórmula, la
sucesión que el matemático italiano estableció fue la siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, etcétera, donde cada elemento es la suma de los dos anteriores.
Pero sin duda, lo más interesante de esta fórmula matemática, es que aparece en
una gran cantidad de los elementos de la naturaleza. Los números de Fibonacci son
utilizados en los estudios sobre el azar, en clasificación de datos e incluso en los
mecanismos para recuperar información en las computadoras, así como en los
famosos fractales, objeto semi-geométrico cuya estructura básica se repite a
diferentes escalas, como por ejemplo un copo de nieve o una nube.
Una de las aplicaciones más conocidas de esta serie es la que rige la estructura de
los caparazones espirales de muchos caracoles, así como ciertas proporciones de la
anatomía humana, animal y vegetal. Además, también se ha hallado la misma
estructura en manifestaciones de artes plásticas, la arquitectura y la poesía, por
ejemplo en la obra de Virgilio, la Eneida.
Dentro de las ciencias naturales, encontramos esta misma estructura en la
disposición de las semillas de los girasoles, ubicadas en la gran parte central en
forma de espiral con funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro
en el antihorario. Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci, por
ejemplo en la colocación de las celdas de una colmena, en las que sólo hay una ruta
posible para ir a la siguiente celda, dos hacia la siguiente y así sucesivamente según
la serie. Además, los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos
que siguen estrictamente la misma distribución, no tienen padre, por lo que sólo hay
una madre, dos abuelos... y así siguiendo la serie propuesta por el matemático. Esta
fórmula, la encontramos en la distribución de las falanges de la propia mano del ser
humano.
En la disciplina de la física, también se ve reflejada esta sucesión. Si se colocan dos
láminas planas de vidrio en contacto y se proyectan rayos de luz sobre ellas que las
atraviesen, algunos, dependiendo del ángulo de incidencia, las atravesarán sin
reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo
una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles;
el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones,
cinco...
Este número ha dado mucho que hablar y ha servido de inspiración también para
varias obras literarias y no menos películas. Por ejemplo en la famosa novela de Dan
Brown, "El código Da Vinci" aparece una versión desordenada de los primeros ocho
números de Fibonacci que funcionan como una pista dejada por el conservador del
museo del Louvre, Jacques Saunière. Esta misma sucesión la podemos encontrar en
el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, en la que los patrones de la
batería de la canción Lateralus siguen el mismo patrón de la sucesión de Fibonacci
del número 13 (el número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
b) Se les solicitará a los docentes que realicen estas actividades propuestas
1.- En todo colmenar hay un tipo especial de abejas llamadas "reina". Hay otro tipo,
también hembras, que se llaman "trabajadoras" que a diferencia de las reinas no
producen huevos. Hay abejas "machos" que no trabajan y que son engendrados por
los huevos no fertilizados de las reinas, por lo tanto tienen madre pero no padre.
Todas las hembras son engendradas por la unión de la reina con un macho, de
manera que las hembras tienen padre y madre.
De acuerdo al relato anterior, le pedimos que:
a) Construya el diagrama de árbol genealógico de una abeja macho, colocando al
macho en la base del diagrama.
b) ¿Cuántos padres tiene?
c) ¿Cuántos abuelos?
d) ¿Cuántos bisabuelos? ¿y tatarabuelos? ¿y choznos?
e) Escriba una sucesión con los valores obtenidos de las respuestas anteriores.
¿Observa alguna particularidad?
f) Construya ahora el árbol genealógico de una abeja hembra, y responda las mismas
preguntas anteriores ¿hay alguna similitud? Argumente sus respuestas.
g) Construye tu propio árbol genealógico. ¿Se mantienen las mismas relaciones
anteriores? ¿Por qué?
h) Escribe el término general de cada una de las sucesiones obtenidas.
Las dos primeras sucesiones, se conocen con el nombre de SUCESIONES DE
FIBONACCI.
2.- Construya dos cuadrados de lado 1, que tengan un lado en común. Sobre ellos,
construya uno de lado 2; a continuación otro que tenga por lado la suma de este
último con el anterior. Podemos continuar agregando cuadrados de tal forma que
cada uno tenga por lado la suma de los lados de los dos últimos cuadrados dibujados
(agregue por lo menos cuatro más).
b) Este conjunto de rectángulos los llamaremos rectángulos de Fibonacci. ¿Por qué?
c) Construya una espiral sobre los cuadrados, dibujando 1/4 de la circunferencia
inscrita en cada cuadrado.
d) Si bien matemáticamente no es una espiral, es una muy buena aproximación de la
espiral que aparece en la naturaleza. Busque no menos de tres ejemplos que
presenten esta espiral. Argumente sus respuestas.
3.- En esta actividad vamos a conocer algunas particularidades de los números de
Fibonacci. Para ello le pedimos que:
a) Escriba por lo menos los treinta primeros términos de la sucesión de Fibonacci.
b) ¿Cuáles son pares?, ¿Qué lugar ocupan en la sucesión?, ¿Qué significa que un
número ocupe el segundo, tercero, cuarto o enésimo lugar en una sucesión?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 3?, ¿Qué lugar ocupan en la sucesión?
d) Realice el mismo análisis con los múltiplos de 5, 8 y 13 ¿Por qué se eligieron estos
números?
e) Si descubre alguna regularidad, exprésela en palabras.
f) Como resumen de lo obtenido, complete el siguiente cuadro agregando más filas y
columnas:
Lugar que ocupan 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Términos de la sucesión 1 1 2 3 5 8 13 21 34
¿Múltiplo de 2? no no sí no no sí no no sí
¿Múltiplo de 3? no no no sí no no no sí no
Ya sabemos que cada término de la sucesión de Fibonacci es divisor de infinitos
números de la sucesión. Pero, ¿Qué sucede con los números que no son términos de
la sucesión de Fibonacci?, ¿Hay múltiplos de 4?, ¿y de 6?, ¿y de 7? Observa hasta
los múltiplos de 10. ¿Podrá obtener alguna conclusión?
La realidad es que hay infinitos números de la sucesión de Fibonacci que son
múltiplos de cada número entero elegido. ¿No le parece sorprendente?
Actividad 3 “Otro algoritmo para la multiplicación”
A continuación, se presenta un artículo de Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Galo Ruiz
Soto en el que nos enseñan una alternativa distinta a la tradicional para realizar
multiplicaciones. Se pide que dada docente lo lea cuidadosamente de manera
individual y que al terminar la lectura, comente el artículo con dos más de sus colegas
formando un equipo de tres integrantes. Se le recuerda que para tener mayor
interacción con todos los participantes de este curso, los equipos de trabajo vayan
cambiando constantemente.
Otro algoritmo para la multiplicación Concepción Ruiz Ruiz-Funes
Galo Ruiz Soto
En la vida cotidiana es común encontrarse con problemas que tienen que ver con la
multiplicación y esta misma situación se presenta dentro de la matemática todos los
días. Sin embargo, estos problemas no necesariamente son demasiado difíciles de
resolver, más aún, desde los primeros años de la primaria conocemos un algoritmo
para multiplicar cualesquiera dos números.
Recordemos que multiplicar quiere decir "encontrar a partir de dos números, un
tercero que contenga uno de estos números tantas veces como unidades haya en el
otro"(1). Esta definición fue formulada en el siglo XV y se publicó en un libro llamado
la Aritmética de Treviso.
Un algoritmo es un procedimiento matemático compuesto por una serie de pasos que
deben seguirse siempre en un orden previamente establecido. Existen algoritmos de
muy diversos tipos: los hay para resolver operaciones aritméticas o para hacer
cálculos matemáticos más complicados. Nosotros, desde la primaria, aprendemos
algoritmos para sumar, restar, multiplicar, dividir, sacar raíz cuadrada, etcétera.
El hombre ha creado a lo largo de la historia un sinfín de algoritmos, en particular en
Europa durante los siglos XV y XVI varios matemáticos se dieron a la tarea de
construir una herramienta matemática que fuera sencilla y útil para que los
mercaderes y comerciantes de la época pudieran usarla en sus transacciones. Así
surgieron varios libros llamados Aritméticas que servían para que la gente aprendiera
en ellos las operaciones aritméticas básicas. Uno de los más importantes fue la
Aritmética escrita por el matemático italiano Luca Pacioli en el siglo XV.
En ella aparecieron por primera vez dos algoritmos fundamentales, el de la
multiplicación y el de la división; este último ha llegado casi intacto hasta nuestros
días y es el que utilizamos actualmente para dividir. El método que propuso Pacioli
para multiplicar se conoce como el método de la celosía puesto que el arreglo que
propone es muy similar a una celosía.
Nuestra intención aquí es mostrar cómo se usa ese método para que los estudiantes
de primaria lo conozcan y lo comparen con el método que ellos usan. Nos
proponemos también mostrar que los métodos matemáticos no son únicos y que es
importante incluir en la enseñanza de la matemática, desde niveles muy básicos, la
historia que da vida a los conceptos y a la herramienta que los estudiantes aprenden
en el aula.
Método de la celosía Aunque este método también funciona para números decimales, lo explicaremos
únicamente para números enteros.
Apliquemos el algoritmo para multiplicar 358 por 27.
1) Hacemos una cuadrícula de 3 columnas por 2 renglones puesto que el primer
número tiene tres dígitos y el segundo dos.
2) Trazamos en cada casilla las diagonales en la dirección que va de la esquina
superior derecha a la esquina inferior izquierda.
3) Colocamos los números que vamos a multiplicar encima y a un lado de la
cuadrícula tal y como se muestra en la figura.
4) Multiplicamos dígito por dígito y acomodamos los resultados en la casilla
correspondiente, de manera que las decenas queden en la parte superior de la
diagonal y las unidades en la parte inferior. El orden en el que se multipliquen los
dígitos es irrelevante lo importante es llenar todas las casillas.
En nuestro ejemplo tenemos:
3 x 2 = 6 0 decenas y 6 unidades
5 x 2 = 10 1 decena y 0 unidades
8 x 2 = 16 1 decena y 6 unidades
3 x 7 = 21 2 decenas y 1 unidad
5 x 7 = 35 3 decenas y 5 unidades
8 x 7 = 56 5 decenas y 6 unidades
5) Ahora sumamos los números que quedaron en cada una de las diagonales, en
caso de que el resultado de alguna diagonal tenga decenas, se escriben las unidades
y aquéllas se pasan a la siguiente diagonal. Es indispensable que este procedimiento
se haga de derecha a izquierda. Los resultados se colocaran debajo de las
respectivas diagonales.
• Primera diagonal: sólo hay un número, el 6, escribimos 6 debajo de ella.
• Segunda diagonal: 6 + 5 + 5 = 16, escribimos 6 debajo de la diagonal y
llevamos 1 a la siguiente.
• Tercera diagonal: 1 + 1 + 0 + 3 + 1 = 6, escribimos 6 debajo de la diagonal.
• Cuarta diagonal: 1+ 6 + 2 = 9, escribimos 9 debajo de la diagonal.
• Quinta diagonal: sólo hay un número, el 0, escribimos 0 debajo de ella.
6) El resultado de la multiplicación se lee de izquierda a derecha siguiendo la flecha
que se muestra en la figura. En este caso, el resultado es 9,666.
Resultado: 9,666
Otro ejemplo:
Resultado: 272, 327, 123
Actividad
Proponemos que los maestros y estudiantes de primaria realicen varias
multiplicaciones utilizando tanto el método de la celosía como el método que
conocen. Se sugiere que comparen el grado de dificultad de ambos algoritmos y que
discutan sobre ello.
968 x 475 = 39 x 1'263 =
58, 647 x 926 =
Ahora que ya conoce el método de la celosía para realizar multiplicaciones, converse
con los colegas de grupo que ha formado previamente para trabajar esta actividad.
Se les pedirá contesten las siguientes cuestiones de acuerdo a su experiencia
docente y lo comentado en el artículo anterior.
Preguntas:
a) ¿Qué ventajas adquiere trabajar el método de la celosía con respecto al método
que usamos habitualmente?
b) El uso del método de la celosía implica conocimiento previo por parte del
estudiante, saber correctamente las tablas de multiplicar, sin embargo promueve un
cambio de actitud al recibir de forma dinámica y divertida el conocimiento. Exprese su
opinión si está o no de acuerdo con lo que menciona este párrafo, argumente sus
respuestas y escuche las de sus colegas.
Sesión 5
INTRODUCCIÓN
Conocer la operación de resta va más allá de saber resolver cuentas de resta.
Significa reconocer las situaciones en las que la operación es útil, saber escoger
atinadamente el procedimiento más sencillo para resolver una resta, dependiendo de
las cantidades involucradas, poder dar resultados aproximados y saber aplicar ciertas
propiedades de la resta para facilitar los cálculos.
El propósito de esta quinta sesión es analizar estos aspectos, y al mismo tiempo
favorecer la reflexión sobre las condiciones didácticas que pueden propiciar un
aprendizaje significativo de esta operación. Frente a esto surge una primera
pregunta: ¿qué es saber matemáticas? Si por saber matemáticas entendemos sólo
conocer el lenguaje convencional y los algoritmos, es decir, los procedimientos
usuales para resolver las operaciones, estamos seguros que los alumnos de hoy en
día lo comprenden e incluso lo utilizan dentro de las aulas. Pero ¿qué pasa dentro de
la enseñanza escolar, si los alumnos demuestran problemas al intentar “saber
matemáticas”? Atendiendo a los objetivos señalados como prioritarios en la
enseñanza escolar, definimos “saber matemáticas” como tener la capacidad de usar
flexiblemente herramientas matemáticas para resolver los problemas que se nos
presentan en nuestra vida.
En esta quinta sesión, también daremos continuidad a la anterior donde de algún
modo se abordó el concepto de la suma y el de la multiplicación con la sucesión de
Fibonacci. Ahora trabajaremos precisamente con las operaciones inversas, es decir,
la resta y la división.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del tema en el aula.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con el sistema decimal.
MATERIALES
• Al menos tres hojas blancas para cada docente participante, lápiz, goma,
pluma.
• Tres recipientes pequeños, pueden ser vasos desechables transparentes,
fichas de colores, (tres colores diferentes).
• Una cinta métrica por cada dos participantes.
Actividad 1 a) Se le pedirá a cada profesor participante que lea y analice la siguiente información
y los problemas que involucran resta, posteriormente realizará de manera colegiada
la discusión y conclusión de una serie de preguntas al respecto.
Existen diversas maneras de resolver una resta. El procedimiento que se escoge
depende de varios factores: el tamaño y tipo de los números, la estructura del
problema que se enfrenta, así como la necesidad o no de dar una respuesta exacta y,
por supuesto, los conocimientos de la persona que resuelve los problemas. Pueden
ser construidos poco a poco por los niños, a partir de sus conocimientos sobre los
principios de base y posición del sistema decimal de numeración.
a) El contexto del problema que involucra el uso de la resta:
Un problema resulta más fácil de comprender para los niños si se redacta con
elementos cotidianos y concretos. Un problema es más comprensible si se vincula
con experiencias cercanas o propias.
b) El tamaño de los números empleados para realizar la resta:
Es más fácil resolver problemas con números de un solo dígito que con cantidades
mayores de diez. Esto se observa, cuando los niños emplean sus dedos para contar.
Mientras que con números mayores el niño se ve forzado a buscar otras estrategias y
recursos de conteo,
c) El orden en que se presentan los datos en el problema:
Lo que permite generar una mayor diversidad de problemas, es la cantidad de datos
con la que se cuenta, es justo la necesaria, sobra o falta. Dependiendo de la pregunta
que se haga, la respuesta puede contestarse con un número o con palabras; puede
implicar leer todo el problema y al final encontrar los datos o viceversa.
d) La forma como se plantea el problema:
La presencia de apoyos visibles o palpables facilita el proceso de representación
mental de las relaciones semánticas involucradas en los diferentes problemas, y por
lo tanto, su comprensión.
b) En esta parte, el docente analizará algunos aspectos de la construcción de
procedimientos para restar y posteriormente se hará el análisis colegiado.
RESTANDO CON MATERIAL CONCRETO
La realización de restas utilizando material concreto que represente a los distintos
agrupamientos permite comprender, e incluso construir poco a poco, el procedimiento
usual para restar. La realización de este procedimiento requiere saber desagregar en
la base en la cual se está trabajando. Los niños deben hacerlo en base 10.
RESTANDO CON LA SERIE NUMÉRICA
Las personas en general, y en particular los niños, se apoyan con mucha frecuencia
en la serie numérica para realizar restas.
Los primeros procedimientos que los niños pequeños desarrollan para resolver
problemas de resta se apoyan en el conteo, a partir de su conocimiento de la serie
numérica.
¿MÁS O MENOS CUÁNTO?
Tan importante es saber cómo encontrar el resultado exacto de un problema como
darse una idea aproximada del mismo. La estimación es una herramienta que
favorece la puesta en juego de estrategias de cálculo.
LOS RANGOS NÚMERICOS Y SUS PROCEDIMIENTOS
Los procedimientos que los niños utilizan para restar dependen, del rango numérico y
de los conocimientos que tienen. A continuación se da una lista de procedimientos
posibles y de los rangos numéricos.
Rangos numéricos de minuendos y sustraendos.
Procedimientos Del 0 al 10
Conteo directo, de uno en uno o de 10 en 10, de los elementos de la colección que
resulta (material concreto o dibujos).
Procedimientos Del 0 al 100
Conteo de uno en uno, de 10 en 10 ó de 100 en 100 a partir del sustraendo hasta
llegar al minuendo (apoyo en la serie numérica).
Números mayores que 100
Conteo regresivo de uno en uno o de 10 en 10 a partir del minuendo (apoyo en la
serie numérica). Quitar unidades y decenas por separado, con apoyo en material o en
dibujos (con o sin transformaciones).
Uso de algoritmo convencional.
Aunque el procedimiento en el que “se pide prestado y se paga” es más rápido de
ejecutar, descansa en un principio difícil de comprender para los niños.
Los procedimientos que usamos hoy en día para resolver operaciones se han
desarrollado a lo largo de muchos cientos de años debido a la necesidad de hacer
cuentas con números grandes de manera rápida: son procedimientos que contienen
muchas abreviaturas y por eso, cuando ya se dominan, son rápidos de aplicar pero
difíciles de comprender.
En la actualidad, la presencia de las calculadoras permite que el dominio de esos
procedimientos sea cada vez más importante. Gracias a ello, ahora se puede dar
más importancia en la escuela a la comprensión y al desarrollo de la creatividad de
los alumnos en la resolución de problemas y en la construcción de los procedimientos
para resolver operaciones.
Para que los alumnos logren comprender y usar las operaciones en la resolución de
problemas, es necesario invertir ese orden: Los niños deben resolver problemas
desde el principio y, poco a poco, mejorar la manera de hacer las operaciones para
resolver los problemas con más facilidad.
Hay varias maneras de propiciar que los procedimientos de los niños mejoren:
a) Resolver problemas con frecuencia, para favorecer que los alumnos abrevien sus
procedimientos.
b) A partir de cierto momento, aumentar el tamaño de los números para propiciar que
los alumnos abandonen los procedimientos que son muy largos.
c) Difundir entre el grupo los procedimientos que ellos mismos van creando.
d) Sugerirles y enseñarles formas de abreviar sus procedimientos y, al final,
enseñarles los procedimientos usuales como una manera más de resolver las
operaciones.
c) A continuación se presentan cuatro problemas con la finalidad de que sean
revisados, analizados y valorados desde el punto de vista didáctico considerando los
criterios y observaciones de los incisos anteriores. Se reunirán los docentes por
equipos de tres integrantes y se obtendrán conclusiones.
1) Mario tenía $285 ahorrados, pero compró un regalo de $150. ¿Cuánto dinero le
queda a Mario de su ahorro inicial?
Esta disminución produce cambio o transformación en el conjunto inicial.
2) Pablo y Javier tienen, los dos juntos, 152 años de edad. De esa edad, 83 años son
de Pablo y el resto de Javier. ¿Cuántos años tiene Javier?
En este problema está implicada un relación entre un conjunto total (el de la edad de
Pablo y Javier juntos) y los subconjuntos (el de los años de Pablo y los años de
Javier separados). Aquí ninguno de los dos conjuntos se modifica. Aquí tampoco hay
transformación de los conjuntos, sino simplemente una relación comparativa.
3) Alejandro tiene 57 años. Mara tiene 40 menos que Alejandro. ¿Cuántos años tiene
Mara?
4) El grupo de 6° “A” tiene $877 pesos ahorrados para la graduación. El grupo de 6°
“B” tiene $532 pesos. ¿Cuánto dinero debe ahorrar el grupo de 6° “B” para tener lo
mismo que 6° “A”?
En este caso, para igualar ambos conjuntos, es necesario quitar pesos del conjunto
de los del grupo de 6° “A”, hasta que queden en correspondencia cuantitativa con los
de 6° “B”
Actividad 2 Dividir jugando A continuación se dará un ejemplo de cómo utilizar material concreto para que el
estudiante aprenda a dividir, para ello es necesario utilizar vasos plásticos y objetos
pequeños como fichas de colores o canicas para dividir cantidades con divisor de una
cifra. En cuanto a los materiales, se requieren 10 vasos de plástico, canicas, piedras,
granos o fichas de colores, tres o cuatro tapas para representar cantidades. El
procedimiento a seguir será representar, paso a paso, el algoritmo de la división por
medio de material concreto, respetando y aplicando la ley de cambio de base del
sistema de numeración decimal. Recordemos que en la división se desagrupa al igual
que en la resta.
Si se quiere dividir 117 entre 9, primero se representa el número 117 con las fichas
de colores, granos de frijol de distintos colores.
Luego se colocan tantos vasos como lo indica el divisor, en este caso nueve vasos.
Al repartir se empieza con las centenas, se dice: 1 decena para 9 no alcanza,
entonces debemos cambiarla por 10 decenas (cambiar un frijol rojo por 10 frijoles
negros y se colocan en la posición de las decenas, se obtiene así 11 frijoles negros).
Ahora sí alcanza, entonces se reparte 1 frijol negro en cada vaso.
Sobran 2 frijoles negros.
Se aplica nuevamente la ley de cambio, esta vez, los 2 frijoles negros se cambian por
20 frijoles blancos (20 unidades) y 7 que habían da un total de 27 frijoles blancos.
Se reparten los frijoles blancos y alcanza para colocar 3 en cada vaso y no sobra
nada.
En cada vaso está representado el cociente, en este caso 13 y como no sobró nada,
el residuo es cero.
Se le solicita reflexione sobre esta forma en la que se presenta aprender a dividir
jugando, asimismo se pide que responda individualmente las siguientes cuestiones
sobre el tema.
a) ¿Qué elementos se hacen evidentes?
b) ¿Jugando de esta forma, un niño puede entender de manera clara el significado de
dividir?
c) ¿Qué relación hay entre el aprendizaje basado en una experiencia concreta y otro
que se realiza por mera repetición sin sentido? Explique.
d) ¿Qué tipo de estrategia sigue usted para que el niño en verdad comprenda el
significado de dividir? Argumente su respuesta.
e) ¿Qué propone para lograr que un niño adquiera los conocimientos necesarios para
ser consciente del significado y del proceso de dividir?
Actividad 3 ¿El aprender a dividir, es un problema didáctico?
Se sabe que un problema didáctico es un ejercicio de raciocinio que se puede
resolver utilizando las matemáticas y la lógica. Un problema planteado tiene tres
elementos básicos: los datos necesarios para resolverlo (que son siempre explícitos),
el método o relación entre los datos (que el estudiante debe averiguar o descubrir) y
el resultado buscado (que se desprende mediante ciertas reglas de razonamiento y
supuestos a partir de los datos aplicado el método).
Los problemas didácticos, generalmente matemáticos, se utilizan en todos los niveles
educativos de matemáticas para enseñar a los alumnos a asociar situaciones del
mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas, es decir, a pensar con
lógica.
La resolución de un problema matemático implica seguir tres pasos básicos comunes
a todos los problemas:
1. Comprender lo que se está preguntando.
2. Abstraer el problema, encontrar una expresión matemática que represente el
problema y resolverlo.
3. Entender lo que quiere decir el resultado al que se ha llegado.
Normalmente los problemas matemáticos son más difíciles de resolver que los
ejercicios de matemáticas habituales incluso aunque el estudiante conozca las
herramientas matemáticas necesarias para resolver el problema. Por ejemplo,
muchos alumnos de primaria no tendrán problemas para calcular 5 - 3, pero no
sabrían resolver el problema "Álvaro tiene cinco manzanas y le da tres a Benito.
¿Cuántas manzanas le quedan?", en parte debido al lenguaje utilizado en los
problemas matemáticos y en parte porque el alumno tiene dificultades para visualizar
el problema. Aún son más difíciles los problemas en que el alumno tiene que decidir
si un determinado texto tiene información suficiente para resolver el problema o no.
Muchos alumnos no consideran la posibilidad de que el problema tenga truco. Este
problema, por ejemplo, confundiría a muchos alumnos de primaria:
"Un pastor tiene 125 ovejas y 5 perros. ¿Cuántos años tiene el pastor?"
Es muy probable que intenten calcular una respuesta, a pesar de que el resultado
parezca imposible o no exista.
Actividad 4 Pero, ¿qué significa dividir a/b?
A un principiante, hay que hacerle entender primero el algoritmo de la división en el
caso más simple, a = qb + r, con 0 ≤ r < b, suponer que a y b son enteros positivos y
al mismo tiempo suponer que b < a.
Hacer que él mismo llegue a los conceptos básicos de "cociente" y "residuo",
explicándolo con peras y manzanas, por ejemplo:
Juan quiere dividir 11 manzanas entre 3 niños ¿cuántas debe dar a cada uno? El
alumno, fácilmente dirá que le tocan 3 a cada uno, pero sobran 2. Usted debe tomar
en cuenta esa respuesta y simplemente decirle cómo se llaman las cosas: Su "3" es
el cociente y su "2" es el residuo. Preguntarle si es posible que el residuo sea 3 o
más cuando se trata de dividir entre 3. El niño rápidamente contestará que "no"
porque si así fuera, el cociente podría ser mayor, etc. A través de varios ejemplos
bien diseñados, hacerle entender la noción intuitiva de dividir y los pasos que se
siguen para hacer la división de a/b. Cuando el niño lo haya entendido con peras y
manzanas, es decir, a partir de algo concreto, será posible trabajar ahora con
números más grandes. El algoritmo de la división es el mismo en todos los casos.
Conteste lo siguiente y coméntelo con sus colegas de equipo.
a) Le parce adecuado el modelo didáctico antes descrito para favorecer el
aprendizaje significativo de los estudiantes a nivel básico.
b) Mencione qué cambiaría, quitaría o propondría implementar para conseguir un
modelo didáctico que promueva el aprendizaje de la división.
Actividad 5 Retomando el tema de la serie de Fibonacci, ahora cada docente deberá leer el
siguiente texto. Posteriormente responderá algunas preguntas, mismas que
comentará con los compañeros de equipo.
La serie de Fibonacci y la división Áurea
La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada
elemento restante es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta
sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por
Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como
Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación,
matemáticas y teoría de juegos.
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de
Fibonacci había sido descubierta por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes
de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos
que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos
(teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los
números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de
conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno
desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su
naturaleza parir otro par solo en un mes, y en el segundo mes los nacidos son
capaces de parir también”.
Leonardo halló la respuesta mediante una tabla que le daba los resultados por cada
mes, y juntando sus números, formó su Serie, que va:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 y así hasta el infinito.
Se preguntarán, como me pregunté yo, ¿Y qué tiene de especial eso?
Pues aunque Leonardo no se percató, tiempo después otros matemáticos analizaron
su serie, y descubrieron que cada término de la serie es la suma de los dos
precedentes:
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 y así... y así... y así. Pero lo verdaderamente
interesante de la serie de Fibonacci es que la división de sus términos se aproxima al
número de oro, dividiendo cada cifra de la serie entre la cifra que le antecede,
obviamente conforme la serie avanza, la aproximación es mayor:
• 8/5=1.60
• 13/8=1.625
• 21/13=1.61538
• 34/21=1.61904
• 55/34=1.61764
• 89/55=1.61818
• 144/89=1.61797
• 233/144=1.61805
• 377/233=1.61802
• 610/377=1.61803
El número de oro se encuentra en toda la Serie de Fibonacci, y la Serie de Fibonacci
se encuentra en la naturaleza, el universo y el mismo cuerpo humano:
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la Serie de Fibonacci: El
tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego,
cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El
Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2,
incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la
semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los
brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la
sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un
árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el
macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos
abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de
la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho
tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión
de Fibonacci.
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado
es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si
después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF
también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose
una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de
una espiral logarítmica. La espiral logarítmica, por ejemplo, es una curva que ha
cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y
naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio
vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en
progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J.
Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera
grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento
armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de
moluscos), aquellas en las que, la forma siempre se mantiene invariante. El ejemplo
más visualmente representativo es la concha del nautilus.
En una espiral logarítmica, la distancia entre las espiras aumenta constante y
armónicamente hacia afuera, siguiendo la Serie de Fibonacci; y la espiral basada en
la sección áurea está también presente en la doble hélice del ADN; base de la vida
orgánica. La espiral de la molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21
angstroms de ancho para cada ciclo de la doble hélice, 34 y 21 son números de la
Serie de Fibonacci, y su razón es 34/21=1.6180:
Esta configuración espiral está también presente en muchas galaxias, las llamadas,
precisamente, galaxias espirales:
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en
1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por
Éduard Lucas, quien además es el responsable de haberla denominado de esta
manera.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert
Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos
fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi cuanto más se acerque n a infinito; es más:
el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos
tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente
en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Bela Bartok u
Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras
de frases musicales.
La sucesión de Fibonacci, el número áureo y la sección áurea en la naturaleza
Para que las hojas o las ramas de una planta, colocadas en hélice ascendente sobre
la rama o el tronco, tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre
ellas, éstas deben crecer separadas según un ángulo constante igual a 360º (1 – φ) ≈
137º 30′ 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…” Para el cálculo se
considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones
horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación
del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto
garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto
empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. La
letra griega φ representa a la sección áurea como descrita anteriormente.
En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las
inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las
piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci en la cultura popular
• En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una
versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21,
1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo
del Louvre, Jacques Saunière.
• En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la
batería (Danny Carey) de la canción Lateralus siguen la Sucesión de Fibonacci
del número 13 (número de pistas del disco):
1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,…
• En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de
Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como
que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597
avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir
la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de
abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla de un hombre que fue
abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
• En el filme de Darren Aronofsky Pi: el orden del caos el judío Rabbi Cohen
presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max
Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en
conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
• Matemáticamente, tenemos que, se dice que dos números positivos a y b
están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos
segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando tenemos:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las
dos soluciones de la ecuación son:
La solución positiva es el valor del número áureo.
Formando equipos por parejas, un docente medirá al otro y viceversa, anotarán y
compararán los datos obtenidos.
a) La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
b) La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los
dedos.
c) La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
d) La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange,
o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera.
e) La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
f) ¿Qué puede concluir al respecto?
g) Explique con sus propias palabras cómo encontrar el valor del número áureo.
Sesión 6
INTRODUCCIÓN
En esta, la sexta sesión del curso de actualización docente para maestros de
educación básica en México, nos encontraremos con otra faceta que adquiere
fundamental importancia en nuestra vida, precisamente la geometría.
El Tangram se puede usar para trabajar con los niños comprendidos entre el primero
y el cuarto año de educación básica preferentemente en la reproducción de las
sombras como las que se mostrarán posteriormente. A partir de quinto año de
educación básica se puede utilizar en la reproducción de figuras geométricas,
además de las sombras en las cuales se pueden hacer cálculos y comparaciones de
perímetros y áreas. Este tipo de actividades desarrolla en el niño las habilidades de
ubicación espacial, motricidad fina, comparación de tamaño, forma, desarrolla la
imaginación y creatividad al construir gran cantidad de siluetas con sólo siete piezas.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del tema en el aula.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con el sistema decimal.
MATERIALES
• Un par de hojas blancas tamaño carta para cada docente participante al curso.
• Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el programa
adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.
Actividad 1
Se le pedirá a los docentes que lean cuidadosamente la siguiente información para
que al término de su lectura, formen equipos de tres integrantes (se sugiere que en
cada sesión los equipos de trabajo sean distintos para cada participante al curso,
según la cantidad de asistentes al curso, serán numerados del 1 al 15 por ejemplo, si
se forman quince equipos de tres integrantes cada uno).
Artículo sobre una investigación que propone un modelo didáctico en Cuba para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos
Se presenta el resultado de una investigación que se concreta en un modelo
didáctico en Cuba para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos
que favorezca el desarrollo del pensamiento geométrico en los escolares del segundo
ciclo de la escuela primaria.
A tal fin la investigación aporta un modelo didáctico que favorece el desarrollo del
pensamiento geométrico basado en las relaciones dialécticas y didácticas existentes
entre la determinación de los niveles de pensamiento geométrico, su correspondencia
con las habilidades geométricas (visuales, lógicas, para dibujar, para modelar y
verbal); los conceptos y procedimientos generalizadores y las alternativas didácticas.
Además de esto recoge recomendaciones metodológicas variadas que estructuran la
aplicación del modelo en cuatro etapas: orientación, diagnóstico, concepción
curricular y concreción metodológica.
La validez y fiabilidad del resultado obtenido se comprobó mediante la aplicación de
diferentes métodos investigativos que ofrecieron evidencias positivas de la
aplicabilidad de este modelo didáctico en la estimulación del Pensamiento
Geométrico en los escolares del II ciclo de la escuela primaria.
INTRODUCCIÓN
Perfeccionar la Educación es una batalla constante a la que están llamados todos los
educadores. Lograr que todos los niños y niñas reciban una adecuada educación en
correspondencia con sus niveles de desarrollo y trabajar por alcanzar mejores
resultados cada día; saber qué hacer para lograrlo, no solo desde el punto de vista
teórico, sino en la práctica, debe ser una meta permanente de todos.
En la VIII Conferencia Iberoamericana de Educación, la Declaración de Sintra,
plantea "la Educación es el ámbito donde se concreta la transformación de la
información en conocimiento y, por ello, debe ocupar un primer plano en las
prioridades políticas de los países iberoamericanos"(60, 18).
En Cuba, a partir del curso 1975-1976 se puso en marcha el plan de
perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación cuyo objetivo fue la búsqueda
de solución de los problemas originados por el crecimiento y desarrollo impetuoso de
la enseñanza y la educación en su etapa de tránsito hasta el curso 1980–1981. En el
decenio siguiente 1981–1990, creadas las bases, se elevaría sustancialmente la
calidad de la educación mediante la Investigación Ramal de la Educación que
permitió, utilizando una vía científica, aportar elementos que contribuyó a consolidar
los logros alcanzados y eliminar las deficiencias.
Hoy el Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación
(LLECE), al cual se incorpora Cuba en 1995, la constitución del Sistema de
Evaluación de la Calidad de la Educación (SECE), y los estudios de tendencias
constituyen instrumentos valiosos para medir la calidad del aprendizaje de nuestros
escolares y la eficiencia de nuestro sistema educativo.
La escuela primaria tiene como fin y objetivo general: contribuir a la formación integral
de la personalidad escolar, fomentando desde los primeros grados la interiorización
de conocimientos y orientaciones valorativas que reflejen gradualmente en sus
sentimientos, formas de pensar y comportamiento acorde con el sistema de valores e
ideales de la Revolución Cubana, con énfasis en la formación de un niño patriota,
revolucionario, antiimperialista, solidario y laborioso.
El Modelo Proyectivo de escuela primaria, derivado de este empeño, incluye entre
sus componentes, exigencias psicopedagógicas de un aprendizaje desarrollador que
constituyen para el maestro premisas para organizar y dirigir el proceso de
enseñanza aprendizaje e incluye, entre otras:
• La organización y dirección del proceso de enseñanza aprendizaje desde
posiciones reflexivas del alumno que estimulen el desarrollo de su
pensamiento y su independencia cognoscitiva.
• La estimulación de la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos
lógicos del pensamiento y el alcance del nivel teórico, en la medida en que se
produce la apropiación de los procedimientos y se eleva la capacidad para
resolver problemas.
Dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de la escuela primaria, la Matemática
escolar ha de realizarse de modo que los alumnos se apropien de los conocimientos
esenciales y desarrollen las habilidades que les permitan aplicar de forma
independiente sus conocimientos para resolver los problemas del entorno social, e
incluye dos grandes bloques de contenidos: los aritméticos y los geométricos.
El proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos matemáticos en la escuela
primaria, a pesar del reconocido papel que juega en la preparación para la vida en
nuestra sociedad socialista de niñas y niños, en nuestro territorio, y con bastante
similitud en otras provincias, tiene insuficiencias.
Estas se han detectado en el proceso investigativo con la aplicación de instrumentos,
los resultados de las pruebas al concluir la enseñanza primaria, las regularidades de
los entrenamientos metodológicos conjuntos (EMC), en las visitas especializadas y
de control del MINED y de la dirección provincial de Educación.
Entre las insuficiencias se señalan: el orden en la estructura de los números; la
estimación y conversión en el trabajo con magnitudes; el significado práctico de las
operaciones y orden operacional y el reconocimiento de propiedades de figuras y
cuerpos geométricos y en argumentar utilizando relaciones geométricas: paralelismo,
perpendicularidad, igualdad de figuras geométricas.
Además, constituyen elementos a considerar, los monitoreos sistemáticos sobre la
calidad de la Educación (LLECE y SECE), aplicados a la provincia desde 1996, los
que reflejan que a pesar de los avances obtenidos en este sentido, se mantienen dos
componentes, a juicio de la autora, muy relacionados, que son: los contenidos
geométricos y las magnitudes.
Una profundización acerca de las causas que generan estas insuficiencias en el
aprendizaje de los contenidos geométricos en los escolares primarios a través de la
observación de 107 clases, entrevistas a maestros y funcionarios con años de
experiencias en la escuela primaria permitió precisar como una de las causas: la
insuficiente preparación de los maestros primarios para dirigir el proceso de
enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos.
Los maestros encuestados en la provincia, expresan que:
• No se consideran preparados eficientemente en los contenidos geométricos
que deben abordar.
• El análisis metodológico de las temáticas relacionadas con los contenidos
geométricos no es él más completo, debido a la carencia de conocimientos
didácticos para estos contenidos.
• La concepción de trabajo con estos contenidos no está pensada para su
contribución al pensamiento lógico abstracto en los escolares, ya que se
trabaja de manera aislada en la mayoría de los casos.
• La asesoría metodológica por las diferentes estructuras a este contenido ha
sido limitada, ya que se ha priorizado el componente aritmético.
• La poca vinculación entre estos contenidos y los contenidos aritméticos o con
los de otras asignaturas no posibilita una sistematización de los mismos.
• La falta de recursos materiales para la enseñanza de estos contenidos es
generalizada.
Acerca de la metodología que utilizan para lograr en sus alumnos un aprendizaje
desarrollador de los contenidos geométricos señalan que mayormente utilizan lo
propuesto en las orientaciones metodológicas y como medios fundamentalmente el
libro de texto, en ocasiones láminas y algunas veces juegos didácticos y argumentan
que para ello la bibliografía de carácter metodológico de que disponen es pobre para
orientarlos y sugerir modos de actuación en ese sentido.
En las clases observadas a los maestros de la muestra, se pudo detectar que no se
explotan los conocimientos precedentes asimilados por los alumnos para potenciar
un aprendizaje que desarrolle los nuevos conceptos y procedimientos. Los medios de
enseñanza que se emplean, en la mayoría de los casos no son efectivos para lograr
un aprendizaje, en el que la información que recibe el alumno se transforme en
conocimiento.
En esta problemática en el campo de la formación del profesional para la escuela
primaria se han realizado en el país tesis doctórales dirigidas a la concepción
curricular y de postgrado, y a la elaboración de libros de textos (Rizo 87, Cruz B 00,
Camejo 99).
Sin embargo, tanto el maestro en ejercicio como en el que está en formación
necesitan de recursos metodológicos que les permitan concebir el proceso de
enseñanza aprendizaje de manera científica. La existencia de modelos didácticos
para los contenidos geométricos promovió la reflexión de su utilización en la didáctica
cubana.
Los modelos didácticos en la enseñanza aprendizaje de la Geometría son muy
usados a partir de la década del 80. El modelo de los niveles de razonamiento de Van
Hiele (1957), ha promovido tendencias en la enseñanza de los contenidos
geométricos como la de ubicación espacial de Saiz (1997), la del aprendizaje acerca
del espacio de Bishop (1997), la de las manipulaciones geométricas de Brenes
(1997) y la de los materiales concretos de Castro (1997), concebidas no sólo para la
enseñanza primaria, sino para otros niveles.
El modelo y las tendencias, están dirigidos a favorecer habilidades geométricas
específicas, no a concebir las habilidades geométricas de: vista, representación e
imaginación espacial como un proceso en el que intervienen además otras
importantes habilidades reconocidas en los objetivos del curso de Geometría (desde
preescolar hasta duodécimo grado) como son las de: argumentar, fundamentar y
demostrar; por lo que la contribución de estos al pensamiento geométrico en el
escolar primario es limitada.
Tan controvertida como su historia, la enseñanza de la Matemática ha tenido una
diversidad de tendencias que en los últimos 50 años se han manifestado y que hoy
se reconocen.
Es indudable que la adhesión a los diferentes paradigmas influyó en algunas de ellas,
y otras surgieron dentro de la Matemática y se extrapolaron.
Una breve caracterización atendiendo al predominio de las corrientes mundiales en la
enseñanza de la Matemática en general y de la Geometría en particular, a partir de la
segunda mitad del pasado siglo y hasta llegar a las tendencias actuales, pudiera
resumirse de la forma siguiente:
Década del 50 al 60:
Enseñanza programada de Skinner.
• Enseñanza heurística de Puig Adam y Polya.
• Niveles de razonamiento de P.Van Hiele.
Década del 60 al 70:
• Enseñanza dinámica de Gatlegno.
• Matemática Moderna Diudonné, Choquet, Lichnerowiez, Beth.
• Psicología Genética de J. Piaget.
Década del 70 al 80:
• Matemática de la realidad (escuela española)
• Mathematics count, Cockcroft Gales (Inglaterra)
• Matemática para todos, ICMI 5.
• Problem solving de A. Schoenfeld (USA)
• Enseñanza por diagnóstico.
• Didáctica de la Matemática (escuela francesa)
Década del 90:
• Ingeniería didáctica, G. Brousseou, Vergnoud, Chevallard.(Francia)
• Didáctica de la matemática, Luis Rico,..(España)
• Matemática Educativa, R. Cantoral,... (México) (132, 2)
En Cuba, la inserción de estas corrientes en la enseñanza de la Matemática y en
particular de la enseñanza de la Geometría ha tenido sus particularidades; pues
como se señaló con anterioridad, la Dra. Dulce María Escalona da su "Concepción de
la Geometría", la que está vigente hasta la década del 50.
A partir de la década del 80, comienza una etapa superior en cuanto a concepción
metodológica de los programas, se producen descargas de contenidos en los
programas y se elaboran Orientaciones Metodológicas (Dr. Davidson, Dr.
Campistrous y Dra. Rizo)
En la Década del 90 hay un compromiso mayor desde el punto de vista de las
investigaciones pedagógicas relacionadas con la enseñanza de la Matemática, se
incrementan las investigaciones y su impacto en la enseñanza, la introducción de los
resultados y la búsqueda de alternativas didácticas.
La formación Matemática en Cuba se desarrolla en cuatro direcciones:
• Matemática para todos. En correspondencia con los postulados más actuales
en Cuba de la difusión masiva de la cultura.
• Matemática para matemáticos. Para los futuros científicos e ingenieros del
país, que en última instancia son el segmento de la sociedad que se tiene en
cuenta para medir el desarrollo científico técnico a nivel mundial de una
nación.
• Matemática para los no matemáticos. Para todos aquellos que necesiten una
formación en sus estudios de la Matemática como herramienta para resolver
los problemas propios de sus ciencias.
• Matemática para profesores de Matemática. Para la formación del profesional
encargado de dirigir el proceso de enseñanza aprendizaje de esta disciplina
escolar en la enseñanza general.
En cuanto a las investigaciones pedagógicas relacionadas con la enseñanza de la
Matemática las problemáticas sobre las cuales se investiga, después de un análisis
de los diferentes eventos y reuniones nacionales, están relacionadas con: la didáctica
de contenidos específicos; la didáctica de la Matemática de manera general; la
estructura del conocimiento matemático (invariantes), fundamentalmente por el MES;
la formación de valores a través de la Matemática, con énfasis en la resolución de
problemas; así como, en la elaboración de software y en general, en informática
educativa.
Paralelo a las diferentes concepciones que se asumen en los países y a la propia
evolución en la enseñanza de la Matemática, en los diferentes Congresos
Internacionales de Instrucción Matemática (ICMI), se han planteado transformaciones
que generaron cambios en la concepción de esta ciencia. Miguel de Guzmán en el IX
Congreso, dejó tres aristas sobre las cuales reflexionar, a saber:
• Papel de la Matemática en la cultura y en la sociedad.
• Impacto de la Matemática en la tecnología.
• Contrarrestar las imágenes incorrectas de la Matemática en el gran público.
(107, 5)
Los retos que se tienen para la enseñanza de la Matemática en este tercer milenio y
toda la experiencia acumulada en esta enseñanza, a partir de las tesis de I. Lakatos,
A. Schoenfeld y el fracaso de las Matemáticas Modernas han permitido considerar
que las tendencias actuales de la Matemática, y aplicables a la Geometría, son las
siguientes: (107, 6)
• La solución de problemas como núcleo del aprendizaje matemático.
Como la Matemática es una ciencia donde predomina el método por encima del
contenido, lo priorizado es, por tanto, el desarrollo de los procesos del pensamiento
propio de la actividad matemática y no el puro aprendizaje del contenido.
Lo más importante es instruir a los alumnos con "herramientas" heurísticas que le
permitan la solución y el planteamiento de problemas en sentido general, que no se
convierten en ideas inmóviles, inertes, obsoletas; sino que permitan realizar con ello
un entrenamiento efectivo de los procesos del pensamiento.
Con esta tendencia la solución de problemas constituye el centro de la enseñanza de
la Matemática, por tanto, constituye un fin en sí mismo.
• Presencia de la moderna tecnología en la enseñanza de la Matemática.
La educación ha demostrado ser susceptible a los avances tecnológicos. Aunque
algunos no lo comprendan, la comunicación inteligente y la sabia interacción con la
nueva tecnología es más que un anhelo, una necesidad impostergable que deben
analizar los estudiantes a través de esta asignatura.
Súmase a estos criterios el hecho de que si bien el desarrollo de la Matemática como
ciencia influyó en el desarrollo de la tecnología, hoy también el desarrollo tecnológico
influye en el desarrollo de la ciencia Matemática.
La escuela cubana para dar respuesta a esta necesidad asume el Programa Nacional
de Computación como un programa priorizado de la Revolución. La incorporación de
la tecnología desde el Círculo Infantil, en nuestro país, es el reto para hacer un
trabajo racional y sensato, para su incorporación a las clases en todos los niveles y
tipos de enseñanza.
• Fuerte trabajo con el empleo de recursos diversos para conseguir la
motivación.
Alcanzar una adecuada disposición de los estudiantes para el estudio favorece
indiscutiblemente las condiciones de aprendizaje.
El rechazo que ha provocado en los estudiantes la Matemática ahora se ha revelado
con más énfasis y, por supuesto, ha aumentado la preocupación de quienes enseñan
esta asignatura, por lo que se ha procedido a la búsqueda de nuevos recursos para la
motivación desde un "ángulo más abierto", acudiendo no solo a elementos culturales,
económicos, históricos, sociales; sino también, a la posición que tuvieron los sabios
cuando aportaron los diferentes conceptos, teoremas y teorías matemáticas, lo que
propicia el experimentar con ello el placer también de descubrir. Con ello no solo se
debe conseguir la aptitud matemática; sino también, la actitud matemática que incide,
en el aumento de la primera y viceversa.
• El carácter lúdico en la actividad matemática y el trabajo en grupos.
Esta tendencia ha tenido una aceptación muy positiva en la época contemporánea
entre jóvenes y adultos; por lo que con más razón debemos considerar el juego y la
actividad lúdica en general en la edad infantil.
A pesar de que el estudio ocupa un lugar importante en la vida del escolar desde los
primeros grados, de ninguna manera puede ser desestimada la pasión y la entrega
que sienten los niños por el juego.
La actividad lúdica es por excelencia una actividad libre, creativa, que desarrolla la
flexibilidad del pensamiento, la invención, la elaboración, el ensayo y la elección de
estrategias, y en este sentido se identifica con la actividad matemática.
El juego está muy relacionado con el trabajo en grupo, con el trabajo cooperativo,
donde se comparten armónicamente el ingenio personal y el colectivo.
En él se crea un orden con las reglas que para su desarrollo se hace respetar, al
mismo tiempo consigue desarrollar relaciones afectivas, especialmente entre los
participantes.
El juego tiene también una importancia axiológica que en la actualidad no podemos
dejar de considerar.
• La presencia cada vez mayor de métodos activos.
La pedagogía contemporánea se ha ido nutriendo de métodos más activos y
productivos, los que obviamente la enseñanza de la Matemática no puede ignorar.
Actualmente se aprecia con fuerza, en la enseñanza de la Matemática, el hecho de
situar al estudiante no como objeto del aprendizaje, sino como sujeto de su propio
aprendizaje, pues se parte del principio de que todas cualidades se desarrollan en la
actividad (Davídov, Skatkin, Talízina,...). No es posible que el estudiante se ponga en
contacto con los métodos de la ciencia sin utilizarlos.
Estas tendencias se han particularizado para la enseñanza de la Geometría y
difundido en varios países.
En la Educación Primaria hay tendencias específicas consideradas modelos
didácticos en algunas literaturas, para la enseñanza de los contenidos geométricos,
que de manera resumida se pueden expresar de la siguiente manera:
• Utilización del Modelo de Van Hiele (Jaime y Gutiérrez, 1991): Consiste en
medir los niveles de razonamiento geométrico en los escolares, con el objetivo
de lograr un aprendizaje comprensivo de la Geometría desde los primeros
grados.
• La ubicación espacial (Saiz, 1997): Consiste en mostrar situaciones de
utilización del vocabulario espacial, situaciones donde es necesario realizar
alguna acción a partir de las informaciones espaciales provistas por el docente
o el autor del libro.
• Aprendizaje acerca del espacio (Bishop 1997): Consiste en mostrar que las
ideas geométricas espaciales que se les enseñan en la escuela no son ajenas
a lo que aprende en la casa o en el mundo real que los rodea.
• Las manipulaciones geométricas (Brenes, 1997): Consiste en mostrar que la
utilización de figuras geométricas ayuda a desarrollar la percepción espacial
en los estudiantes, lo que les permite una mejor comprensión del mundo que
los rodea y de las Ciencias Exactas y Naturales.
• Utilización de materiales concretos (Castro, 1997): Consiste en el uso de
objetos geométricos construidos por los maestros con el objetivo de desarrollar
destreza y comprensión en la construcción de conceptos básicos elementales
de la Geometría.
Actualmente son muy usados los programas profesionales de computación para los
contenidos geométricos en los diferentes niveles, que en su esencia está la
contribución de estos contenidos al desarrollo del pensamiento geométrico en los
alumnos. Su empleo es muy discutido y es punto de análisis en reuniones y talleres,
entre ellos se pueden citar:
• The Geometer's–Sketehpad: Permite hacer construcciones dinámicas tanto
para la Geometría Plana como para la Analítica (Argueta, 1997).
• El CABRI–GEOMETRE: Permite manipular los objetos geométricos que en él
son construidos, favorece la exploración y el descubrimiento de diversos
hechos geométricos (Díaz, 1997).
• El Autocad: Programa profesional que permite al usuario crear objetos
geométricos, manipularlos e interpretarlos.
• Sistema Inteligente con Tecnología Multimedia Óptima–Geometría: Es una
aplicación destinada al apoyo de la docencia en algunos temas de Geometría
y se trasmiten al estudiante conocimientos y entrenándolos en la solución de
problemas; posee una estructura formada por un conjunto de módulos
relacionados entre sí, estos son: tutor, experto, modelo del estudiante, visor de
hipermedia, generador de problemas y solucionador (O´Farril, 2000).
Lo primero que debe hacer un maestro que enseñe Geometría es saber cómo se
produce la evolución del pensamiento geométrico de los alumnos, y por otra parte,
cómo puede un profesor dirigir a sus alumnos para que mejoren la calidad de su
aprendizaje.
DESARROLLO PREMISAS QUE SUSTENTAN EL MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LOS CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS.
La palabra modelo proviene del latín modelus, significa medida, magnitud, y está
relacionado con la palabra modus (copia, imagen).
Por modelo se entiende (García,1992), un sistema figurativo que reproduce la
realidad bajo una forma esquemática, haciéndola de este modo más comprensible.
Es una sistematización de ideas, una estructura conceptual que facilita la
comprensión de la naturaleza de ciertos fenómenos y permite interpretar el
comportamiento de ciertos sucesos que se investigan.
El modelo científico posee una función heurística porque sugiere nuevas hipótesis,
problemas y experimentos que orientan nuevas investigaciones, permiten la
expresión de un complejo hipotético en conexiones teóricas (López–Barajas, 1988).
Los modelos se emplean extensamente en los experimentos, su investigación
permite obtener nuevos datos sobre el objeto. Estos son una forma de abstracción
científica en la que las relaciones esenciales del objeto están destacados en nexos y
relaciones gráficas perceptuales (Davýdov, 1979).
El Modelo didáctico, para la autora, es una abstracción del proceso de enseñanza
aprendizaje, en el cual se precisan relaciones y nexos presentes para un determinado
objeto de dicho proceso.
Para el trabajo de tesis el modelo didáctico de P. Van Hiele, al que se ha hecho
referencia como una de las tendencias para la enseñanza de los contenidos
geométricos en la escuela primaria, ha constituido el punto de partida.
El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, como se reconoce
mundialmente, está centrado en las insuficiencias que observaban todos los años los
esposos holandeses Pierre y Dina Van Hiele en sus clases de Geometría en la
secundaria básica. Constituyó tesis doctoral en 1957; sin embargo, es en 1976 que,
en Estados Unidos, Izaak Wirzup reconoce su interés por el modelo y desde
entonces este ha sido tan difundido que "en la actualidad, casi todas las
investigaciones sobre geometría, incluidas las de diseño curricular, lo tienen en
cuenta" (104, 27).
El modelo de Van Hiele incluye dos aspectos:
• Descriptivo: intenta explicar cómo razonan los estudiantes y plantea cinco
"niveles de razonamiento".
• Prescriptivo: da pautas a seguir en la organización de la enseñanza para lograr
el progreso en la forma de razonar de los estudiantes y plantea cinco "fases de
aprendizaje".
En la literatura consultada sobre el modelo, la numeración y la clasificación de los
niveles varían y hay que notar que en el original de Van Hiele, los niveles comienzan
por el nivel básico 0 hasta el nivel 4.
"The model consists of five levels of understanding. The levels labeled "visualization",
"analysis", "informal deduction", "formal deduction", and "rigor" describe
characteristics of the thinking process" (180, 420).
Para A. Jaime (1990) estos niveles lo expresa como de: reconocimiento, análisis,
clasificación y deducción formal; Fuys y Usiski (1988) lo analizan como identificación,
definición, clasificación y prueba y, Galindo (1996) los considera como de
reconocimiento, análisis, ordenamiento, deducción y rigor.
Independientemente de la terminología estos niveles son reconocidos y se plantean
como:
Nivel 1. Visualización: El estudiante aprende algo de vocabulario y reconoce una
figura como un todo.
Nivel 2. Análisis: El alumno analiza las propiedades de las figuras.
Nivel 3. Deducción informal: El estudiante ordena lógicamente figuras y comprende la
interrelación entre figuras y la importancia de la definición exacta.
Nivel 4. Deducción formal: El estudiante comprende el significado de la deducción y
el papel de los términos indefinidos, postulados, teoremas y demostraciones.
Nivel 5. Rigor: El estudiante comprende la importancia de la precisión cuando trata
con las bases y las interrelaciones estructurales.
Las fases declaradas en el modelo de Van Hiele son las siguientes:
• Información: su finalidad es la obtención de información recíproca profesor
alumno (precisa lo que saben los alumnos y los alumnos conocen el objetivo
del nivel para el concepto que van a estudiar).
• Orientación dirigida: el profesor dirige a los alumnos para que estos vayan
descubriendo lo que va a constituir la esencia del nivel. El alumno construye
los elementos fundamentales del nivel.
• Explicitación: su objetivo es que el alumno sea consciente de las
características y propiedades aprendidas anteriormente.
• Orientación libre: orientada a consolidar los aspectos básicos del nivel.
• Integración: tiene como objetivo establecer y completar la red de relaciones
objeto de ese nivel para el concepto que se trabaja.
Un análisis crítico del modelo permite considerar tres elementos, por las
concepciones psicopedagógicas a las que se adscribe la autora y el nivel en que se
aplica, que son limitantes:
• El establecimiento de los niveles de razonamiento geométrico por los que pasa
la comprensión geométrica, queda muy amplio, pues la ubicación de los
alumnos en cada nivel se dificulta, por cuanto la comprensión geométrica no
se da necesariamente en un grado. La precisión de las habilidades en cada
nivel queda muy abierta a lo que el alumno construye.
• La abstracción del modelo está basada en estudiantes de secundaria básica,
os que poseen características psicológicas y sociales diferentes del niño
cubano del nivel primario.
• La base epistemológica sobre la que se erige el modelo es el constructivismo,
por cuanto considera que es el alumno quien construye todo su conocimiento;
sin embargo si bien se considera que el uso racional de esta corriente no es
nociva para la enseñanza de la Matemática, su absolutización no es positiva.
La autora considera además que, en su aplicación internacional el modelo es
fragmentado al empleo casi absoluto de los niveles de razonamiento y no a sus
fases, y se tiene el criterio de que el propio conocimiento de otras teorías de
aprendizaje con énfasis en los trabajos de la escuela histórico cultural, en muchos
países iberoamericanos ha debilitado la parte prescriptiva.
Estructura y análisis del modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y
procedimientos geométricos del II ciclo de la escuela primaria.
El modelo didáctico propuesto tiene una estructura sistémica, considerándose como
núcleo el pensamiento geométrico y como elementos que lo integran: la
determinación de los niveles de pensamiento geométrico, los conceptos y
procedimientos generalizadores y las alternativas didácticas.
Deben estar presentes los tres en una relación que sigue la siguiente lógica, primero:
sobre la base de un diagnóstico (determinación de los niveles de razonamiento
geométrico), segundo: con la concepción científica del proceso de enseñanza
aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos (conceptos y procedimientos
generalizadores) y tercero: con el empleo de alternativas didácticas (juegos, preguntas
abiertas, ejercicios de nuevo tipo, actividades para conceptos, medios de enseñanza y
software educativos) contribuir a favorecer el pensamiento geométrico.
El primer elemento precisa con quién voy a trabajar, al diagnosticar los niveles de
pensamiento geométrico que posee cada alumno; el segundo con qué, el proceso de
enseñanza aprendizaje de las figuras geométricas, cuerpos geométricos y de los
movimientos; y el tercero el cómo, a proponer alternativas didácticas para abordar las
figuras y cuerpos geométricos; así como los movimientos.
De ellos hay que señalar que el tercer elemento puede cambiar su naturaleza, pero
no puede eliminarse de la estructura.
En un análisis de estos tres elementos se puede plantear que la determinación de las
formas de pensamiento a través de un diagnóstico de los niveles de razonamiento en que
se encuentran, con toda su estructura, es un elemento clave para la precisión de la
diversidad en los estudiantes; es decir, al determinar las potencialidades de cada
estudiante (entiéndase esta como una forma de diagnóstico detallado o fino del
conocimiento; tanto en habilidades, capacidades como en formas de pensar, en la
dimensión académica para la asignatura Matemática), se precisa de un conocimiento que
le permitirá al maestro planificar el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos
geométricos con mayor cientificidad sobre la base de las condiciones reales de cada
estudiante de su grupo. Esto redundará en un proceso personalizado de la enseñanza que
conjuntamente con el empleo de técnicas grupales permitirá la socialización.
La precisión de los conceptos y procedimientos generalizadores constituye otro
elemento que le va a ofrecer al maestro una guía para el análisis de las posibilidades
que brinda el actual currículo de geometría para la escuela primaria.
La esencia de este aspecto está en que los maestros reconozcan los tres conceptos
generadores de procedimientos en los contenidos geométricos de la escuela primaria
y pueda hacer, en función de las posibilidades reales de sus estudiantes, las
adecuaciones curriculares correspondientes siguiendo de cerca el objetivo central de
las temáticas abordadas.
Y por último, el modelo prevé el empleo de alternativas didácticas, acorde a las
particularidades individuales, sin perder de vista los objetivos, pero que responden a
las exigencias de la escuela contemporánea. Se han previsto seis grupos de
alternativas que son aplicables a todos los grados de escuela primaria, que no son
excluyentes y que en esencia asumen las nuevas tendencias y prioridades del
sistema educativo cubano.
A modo de resumen, el modelo didáctico abarca:
• La precisión de los niveles de pensamiento geométrico de los escolares del
grupo de trabajo, haciendo énfasis en el comportamiento por niveles para
planificar la atención a las diferencias individuales, desde el alumno que se
encuentra en un primer nivel hasta el posible alumno talento.
• La organización de la dosificación del contenido a impartir en el grado, que
tiene como conceptos generalizadores los de: figura geométrica, cuerpo
geométrico y movimiento, para potenciar la asimilación de estos conceptos y
los procedimientos que se generan en cada grado.
• La selección de los grupos de alternativas didácticas, las que tienen como
premisa los objetivos a lograr y el diagnóstico de los niveles y presupone la
puesta en práctica de la creatividad de cada docente, tanto para combinarlas
como para enriquecerlas.
Integración de las Etapas y el Modelo Didáctico
CONSIDERACIONES FINALES.
Los presupuestos teóricos del modelo de Van Hiele contienen, con aproximación a la
práctica escolar cubana, las condiciones generales sobre las cuales debe
desarrollarse el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos en
la escuela primaria; sin embargo, los niveles de razonamiento geométricos que
propone, no posibilitan un trabajo diferenciado y desarrollador con los niños y las
niñas holguineros.
Un modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos
geométricos del II ciclo de la escuela primaria sustentado en la escuela histórico
cultural, que declare nuestras tradiciones pedagógicas y las condiciones biológicas y
sociales de nuestros niños, constituye una variante para la concepción científica del
proceso de enseñanza aprendizaje de esos contenidos por parte de los maestros.
La concepción de un modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y
procedimientos geométricos sobre la base de los niveles de manipulación,
reconocimiento y elaboración, su correspondencia con las habilidades geométricas
(visuales, lógicas, para dibujar, para modelar, verbal), la determinación de los
conceptos y procedimientos generalizadores: figura geométrica, cuerpo geométrico y
movimiento, y el empleo de alternativas didácticas (juegos didácticos, medios de
enseñanza, preguntas abiertas, software educativo, ejercicios de nuevo tipo y
actividades para conceptos), permite al maestro dirigir el proceso pedagógico sobre
la base de un diagnóstico real del estudiante para potenciar el logro de su
pensamiento geométrico y el lógico abstracto en general.
Una vez leída esta investigación de lo que se ha llevado a cabo en Cuba, se le pedirá
a los docentes que por equipos de tres integrantes rescaten del texto aquello que les
parezca pertinente implementar o no en el contexto de nuestro país, argumentando
en cada caso si es posible o no, considerando la RIEB.
Conteste y comente con sus compañeros docentes estas cuestiones.
a) ¿Por qué es importante trabajar el desarrollo de la ubicación espacial en
preescolar y en los primeros años de la escuela primaria?
b) ¿Cuáles son las principales dificultades que se observan en las escuelas para
fortalecer las relaciones espaciales?
c) ¿En que beneficia a los niños pequeños aprender la ubicación espacial y
lateralidad?
d) A partir de lo que menciona el artículo anterior, ¿Qué modelo didáctico propone
utilizar o ha utilizado para trabajar aspectos geométricos con los niños pequeños?
e) Haga una lista de las habilidades matemáticas que promueve el desarrollo
geométrico en los niños al trabajar temas como la ubicación espacial y los sistemas
de referencia.
Actividad 2
a) Lea atentamente el siguiente texto, posteriormente escriba una breve reflexión
acerca de lo que menciona, haciendo hincapié en el modelo didáctico que usted
emplea para enseñar geometría.
b) Comparta su reflexión con los maestros que forman parte de su grupo de trabaja,
organícelo con un máximo de tres integrantes por equipo.
c) Diseñe al menos tres actividades de manera conjunta con su equipo de trabajo
donde mencione objetivo de enseñanza, aprendizajes esperados por el niño, modelo
didáctico utilizado, enuncie qué va a realizar el niño con un lenguaje dirigido al
mismo, muestre la solución del problema.
El espacio y las formas geométricas
En la actualidad la geometría es la gran “ausente” en las aulas escolares. ¿Por qué
afirmamos esto? No se tiene en claro para qué enseñarla. Se repiten año con año
los mismos contenidos sin saber a que conducen. Han quedado fuera contenidos
como construcciones, definiciones, tratados, terminología, etc. La idea de que todo
conocimiento matemático debe vincularse con la vida cotidiana fue poco a poco
“desplazando” a la geometría sin importar que desde la antigüedad esta área de la
matemática pretendiera resolver problemas de orden práctico como el territorio de un
terreno luego de las inundaciones del río Nilo, fijar límites de terrenos, construcción
de viviendas, etc.
Esta idea de geometría en uso no es la misma que tiene el geómetra. No es la
misma que tiene Euclides, el siglo III a.c. Con Euclides aparece un espacio que se
razona, se deduce, se representa. Deja de ser real para convertirse en un espacio
imaginado. La geometría pasa a ser un modelo reflexivo. Tanto del espacio físico
como del espacio geométrico. El espacio físico, es el que nos contiene y contiene los
objetos concretos. Lo conocemos por medio de la percepción y los distintos sentidos.
El espacio geométrico es el que está conformado por conjuntos de puntos y sus
propiedades. Es la modelización del espacio físico. Lo conocemos a través de la
representación.
¿Qué es una Figura? Un objeto ideal. Las figuras geométricas no existen. Lo que
nosotros “vemos” son representaciones de ideas concebidas en ese espacio
imaginado.
¿Qué es un dibujo? La representación del objeto ideal. Puede hacerse con trazos
en el pizarrón, cuaderno, en una computadora, etc. No debemos confundir el objeto
ideal con su representación.
¿Cómo construye un niño la idea de espacio? “Los niños ingresan al jardín con conocimientos diferentes acerca del espacio según
las experiencias en las que han podido participar.”, “Los niños utilizan sus
conocimientos en la resolución de nuevos problemas espaciales. Estos nuevos
problemas les permiten incrementar los aprendizajes realizados hasta el momento
ampliando los sistemas de referencia involucrados.” No es suficiente “vivir” un
espacio para lograr dominarlo. Es necesario apoyarse en ciertas
conceptualizaciones, en ciertas representaciones, para resolver los distintos
problemas que se presenten. Si bien es cierto que el sujeto construye sus
conocimientos espaciales desde que nace. También es cierto que es necesaria la
acción de la pedagogía para que estos conocimientos se estructuren
adecuadamente.
En los últimos años, el trabajo realizado teniendo en cuenta situaciones
problemáticas, el estudio de series numéricas, las funciones del mismo, los distintos
contextos en los cuales se trabajan los números, entre otras cosas, han
transformado el enfoque en la enseñanza de la aritmética.
Pero no ha ocurrido lo mismo con la enseñanza de la geometría y especialmente con
la enseñanza del espacio.
Y es en este último donde persisten las confusiones. ¿Cómo cuáles? - Confundir el
conocimiento espontáneo con una enseñanza sistemática. - Considerar como tema a
enseñar “La construcción del espacio”. - Creer que los niños, para aprender en la
escuela, deben atravesar ciertas etapas que van desde lo concreto a lo gráfico y
desde lo gráfico a lo abstracto. Esto produjo la organización de etapas en la
enseñanza: primero la vivencia, luego la representación y por último la abstracción.
Es necesario hacer una distinción entre el espacio real y los aspectos matemáticos
que están vinculados. El simple hecho de desplazarse, arrojar objetos o jugar con
una pelota, no permite, a los niños, realizar conceptualizaciones de conceptos
matemáticos. No hay actividad matemática en el desplazamiento físico. Una cosa es
el uso del espacio real (desplazarse, recorrer, moverse) y otro los aspectos
matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones.
Psicología y nociones espaciales
Distintos psicólogos han tratado de explicar el desarrollo de los conocimientos
espaciales. La abundancia de situaciones y la diversidad de los modos de
tratamiento dejaron al descubierto la imposibilidad que tiene la psicología para
clasificar las situaciones de manera de considerar simultáneamente, la diversidad de
conocimientos de los alumnos y la pluralidad potencial de los modos de tratamiento
de los objetos por un mismo sujeto.
Brousseau y Gálvez, son los que toman a su cargo la articulación entre el dominio de
la psicología y el de la didáctica y proponen tener en cuenta el “tamaño del espacio”.
Las acciones de los sujetos en el espacio dependen del “tamaño” de éste. Alsina,
Burgues y Fortuny distinguen cuatro tamaños del espacio donde se realizan las
acciones geométricas. El microespacio es el que corresponde a la manipulación de
los pequeños objetos. Próximo al sujeto. . El mesoespacio, es el espacio de los
desplazamientos del sujeto, en un dominio controlados por la vista. Los objetos que
están fijos funcionan como puntos de referencia perceptibles sólo desde ciertas
perspectivas El sujeto está en el interior del espacio.
El macroespacio, espacio de las grandes dimensiones entre los cuales se destaca el
espacio urbano, el rural y el marítimo Los objetos están fijos, funcionan como puntos
de referencia, pero sólo una parte está bajo el control de la vista. El sujeto está en el
interior del espacio.
El cosmoespacio, poner en juego los problemas de referencia y orientación. Su
ámbito de estudio corresponde a los fenómenos ecológicos, geográficos,
topográficos y astronómicos.
Las distintas geometrías que se trabajan en el nivel inicial y en primaria.
Geometría topológica. También llamada la geometría de la lámina de hule. En este
enfoque las figuras son sometidas a transformaciones que pierden sus propiedades
métricas y proyectivas.
Geometría proyectiva. Se definen transformaciones que deforman los elementos
conservando la alineación de los puntos. Es la geometría de las sombras.
Geometría euclidiana: estudia las propiedades y problemáticas de las figuras de
naturaleza ideal. Se refiere a las transformaciones que sólo cambian la posición de
los objetos y por lo tanto conservan el tamaño, las distancias y las direcciones, es
decir los aspectos relacionados con la medida. Se mantienen los ángulos, la
relaciones de incidencia, longitud, etc.
Figuras geométricas
Los cuerpos geométricos son entes geométricos, es decir no tienen existencia real.
Cuando hablamos del espacio geométrico, hablamos de un espacio puntual, no de
un espacio físico. Ninguna figura geométrica tiene existencia real, lo que hacemos al
dibujar un cuadrado, un triángulo, etcétera, son representaciones de dichas figuras.
Veamos algunas definiciones importantes.
Figura: todo conjunto de puntos. Cuerpo, también llamado sólido; figura
tridimensional, posee alto, largo y espesor, (ancho, largo y alto), pueden diferir los
términos para nombrar sus distintas dimensiones, pero su característica es la
tridimensionalidad.
Reflexionando sobre nuestra práctica docente
En los últimos años se ha hecho hincapié en la necesidad de la indagación de
saberes previos para la construcción de conocimientos. Es probable que usted tenga
este aspecto lo suficientemente claro en la elaboración de las clases. Pero, creemos
que es importante hacer alguna referencia al tema, pues algunos consideran que los
niños, no pueden tener ideas previas sobre contenidos matemáticos o bien creen
que, tienen ideas previas relacionadas con los números y no respecto a las figuras.
Sabemos que los niños tienen ideas previas con respecto a las figuras geométricas,
saben que algunas “tienen puntas” otras tienen lados “derechos”, observan que una
pelota rueda.
¿Qué hace el docente frente a estas ideas previas?, ¿Qué tiempo y espacio dedica
cada docente en recuperarlas?, y si lo hace, ¿para qué las emplea? Los niños tienen
ideas perceptivas de las figuras, pero, ¿por qué terminan el ciclo de la escuela
primaria sin haberla enriquecido?
Es cierto que la enseñanza de la Matemática básica no ha sabido capitalizar
demasiado la riqueza del conocimiento informal y esto ha hecho que se enseñe
desconectada de la realidad y en forma mecanicista y repetitiva. Piense cómo ha
recibido Usted los conocimientos matemáticos durante su etapa de escolaridad. Los
niños hacen dibujos en los que representan su entorno, su familia, su casa, etc.,
juegan con objetos de diferente forma.
Si queremos dar a los niños una oportunidad de poder construir sus conocimientos
debemos escucharlos y entender cómo piensan. Los adultos, también tenemos ideas
previas, y se aprende a partir de ellas. Por lo tanto podemos enseñar a partir de
ideas previas y enriquecer nuestro trabajo docente con los más pequeños, los niños.
Las figuras y los dibujos
Mencionamos que la figura es un objeto ideal y el dibujo es la representación de ese
objeto. Los dibujos deben ser empleados para reconocer las figuras, identificar sus
características y establecer relaciones entre sus elementos. Es común que, frente a
la necesidad de solucionar algún problema recurramos al dibujo para clarificar dicha
situación. Muchas veces los docentes cometemos muchos errores al emplear los
dibujos.
• Los rectángulos tienen siempre lados desiguales.
• Los triángulos siempre están “apoyados” sobre uno de sus lados.
• Si se presenta un triángulo rectángulo se “apoya” sobre uno de sus
catetos, de manera que la hipotenusa siempre tendrá una posición
diagonal.
• Los cuerpos siempre se “apoyan” sobre las caras llamadas bases.
De esta forma, los niños creen que las figuras cambian al desplazarse, que la
característica del rectángulo está en relación con los lados, tienen dificultades para
reconocer figuras ubicadas en distintas posiciones, convirtiéndose en verdaderos
obstáculos para el aprendizaje.
Actividad 3
HISTORIA DEL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace
tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de
sagacidad" haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere.
La misma palabra "tangram" es un invento occidental: Se supone que fue creada por
un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang, una
palabra cantonesa que significa "chino", con el sufijo inglés gram (-grama) que
significa "escrito" o "gráfico".
Los primeros libros sobre el tangram aparecieron en Europa a principios del siglo XIX
y presentaban tanto figuras como soluciones. Se trataba de unos cuantos cientos de
imágenes en su mayor parte figurativas como animales, casas y flores... junto a una
escasa representación de formas abstractas.
A lo largo del siglo XIX aparecieron diversos libros de tangram chinos, que fueron
copiados por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que había
adquirido el juego. A partir de 1818 se publicaron libros de tangram en EE. UU.,
Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia. En la introducción al libro publicado en
Italia se hacía notar que el tangram se jugaba "en todas partes con verdadera
pasión". En efecto, aunque una antigua enciclopedia china lo describía como "un
juego de mujeres y niños", el tangram se había convertido en una diversión universal.
El tangram es un cuadrado formado por siete piezas, llamado también juego de los
siete elementos o tabla de la sabiduría, este juego es muy antiguo, consiste en formar
siluetas de figuras utilizando las siete piezas sin encimarlas, consta de cinco
triángulos no todos de mismo tamaño, un cuadrado y un romboide, con los cuales se
pueden hacer figuras geométricas, siluetas de personas, de animales, de objetos, de
flores con la única condición de que todas las figuras estén colocadas en un mismo
plano.
Las reglas son muy sencillas: siempre hay que utilizar las siete piezas, sin dejar
ninguna por colocar y todas tienen que estar en contacto, aunque sólo sea por una
esquina.
Algunas siluetas para jugar con el tangram
Cada docente participante podrá construir su propio tangram, puede ser de gran
utilidad ver el video que aparece en:
http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI
En el cuadrado ABCD se traza la diagonal AC y al dividirse en 4 partes iguales se
obtienen los puntos I, H y J. Se determinan los puntos medios E y F de los
segmentos AB y BC y el segmento EF se divide por la mitad en el punto G.
Finalmente se trazan los segmentos IG, DG y FJ y se obtienen los 7 polígonos que
forman el tangram chino.
Realice lo que se le solicita a continuación:
a) Indique los nombres de los polígonos que forman el cuadrado ABCD.
b) Si el lado del cuadrado ABCD mide 10 cm por lado, determina: el perímetro y el
área de cada figura.
c) Determina qué fracción y qué porcentaje del cuadrado ABCD corresponde a cada
figura.
d) ¿Qué piezas del tangram se pueden recubrir utilizando los dos triángulos
pequeños? Dibújelas.
e) ¿Con qué piezas del tangram se pueden recubrir los triángulos grandes?
f) En el siguiente ejemplo resuelto encontramos la respuesta a esta paradoja: La
figura de la derecha, a la que aparentemente le "falta alguna pieza", realmente es un
poco más grande y tiene las piezas que la componen dispuestas en otra posición.
g) Proponga una actividad con las piezas del tangram de tal manera que quede
completa y clara la actividad del inciso anterior.
h) ¿Qué tipo de habilidades matemáticas se desarrollan al construir diversas siluetas
de animales, personas y cosas con el tangram?
i) Trabaje con otro colega y por parejas compruebe con las piezas del tangram el
teorema de Pitágoras. [Nota: se van a necesitar las piezas de dos juegos de
tangrams, por ello se solicita trabajar por parejas].
j) ¿Qué estrategias de aprendizaje se hicieron evidentes al responder los incisos
anteriores?
k) Proponga otra actividad de manera que se trabajen temas matemáticos como los
que se presentan a continuación:
Problemas de geometría combinatoria
1.- ¿Cuántos cuadrados diferentes se pueden construir con las piezas del tangram?
2.- ¿Cuántos pentágonos diferentes pueden construirse con las 7 piezas del
tangram?
3.- ¿Cuántos cuadriláteros diferentes puede construir con las 7 piezas del tangram?
¿Encuentra alguno no convexo?
4.- Construir todos los rectángulos posibles utilizando solamente tres piezas del
tangram.
5.- ¿Se puede hacer un rectángulo utilizando dos piezas del tangram?
6.- ¿Es posible hacer un triángulo utilizando seis piezas del tangram?
7.- Construir cuadriláteros utilizando cuatro piezas del tangram.
Un juego para estimular la discusión matemática
El tangram puede utilizarse en clase como material para estimular la discusión
matemática. Oldfield (1991) propone el siguiente juego para dos personas:
Cada jugador dispone de un tangram. El jugador A, tras construir una figura
matemática con todas o algunas de las piezas del tangram (por ejemplo, un triángulo
o un paralelogramo), tiene que explicar a su compañero cómo lo ha hecho sin
mostrarle en ningún momento la figura construida. El jugador B, tendrá que formar la
figura con las instrucciones del compañero.
Ligas de interés sobre el tangram http://www.docente.mendoza.edu.ar/matematica/tangram.htm
http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI
http://www.juegosdiarios.com/juegos/Tangram.html
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/tangram.htm
http://www.mallorcaweb.net/tangrampeces/index.htm
Sesión 7
INTRODUCCIÓN
En la séptima sesión, se retomará la necesidad de que los estudiantes de educación
primaria, logren comprender y asimilar como parte de su formación en matemáticas,
el entorno que nos rodea y su geometría. Si se habla de estrategias adecuadas para
enseñar geometría en primaria según las características y el nivel cognitivo de los
alumnos, es muy útil seguir un modelo didáctico, ya que un plan estructurado para
diseñar materiales que apoyen la enseñanza de la geometría, es una buena
alternativa que invita a que los docentes, en grupos de trabajo, puedan compartir
estrategias, experiencias y sugerencias para lograr mejores resultados. El modelo
didáctico tradicional pretende formar a los alumnos dándoles la información
fundamental, a través de un modelo de enseñanza verbal repetitivo que con mucha
frecuencia no otorga un aprendizaje significativo en los alumnos. Un modelo didáctico
basado en la tecnología requiere una combinación entre la exposición por parte del
docente incorporando ejercicios prácticos específicos a través de una secuencia de
actividades que involucre a los estudiantes a partir de sus conocimientos previos
usando una metodología centrada en la actividad realizada por los alumnos. Ahora, si
se piensa en un modelo espontáneo y activo, éste consiste en preparar al estudiante
para aprender geometría inculcándole en el entorno que le rodea por medio de
actividades de carácter abierto, flexibles a sus capacidades y habilidades, siendo lo
más importante el que el alumno observe, busque información encontrando
conjeturas y vaya más allá del puro aprendizaje de contenidos, estimulando siempre
el trabajo en equipo de manera crítica y constructiva.
Por otra parte, ¿por qué enseñar geometría en primaria? Aunque los números son los
protagonistas indiscutibles de nuestras vidas, las matemáticas no sólo son sumar,
restar, multiplicar y dividir, son todo un conjunto de elementos que permiten discernir
lo particular de lo general. El alumno debe conocer, observar a través de la
percepción, manipular, identificar, trabajar con elementos nuevos hasta lograr
clasificarlos según sus características. Enseñar geometría es un proceso complejo y
por ende debe ser un proceso continuo, no deben utilizarse métodos memorísticos
porque no son parte de un aprendizaje significativo, más bien, debe adecuarse a las
habilidades y destrezas que el alumno desarrolle mientras aprende a través de sus
sentidos, dado que el pensamiento geométrico de los niños depende mucho de sus
experiencias, de lo que perciben y de lo que conciben, piensan e imaginan.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza de la geometría en el aula.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con el sistema decimal.
MATERIALES
• Un par de hojas blancas para cada maestro participante, lápiz.
Actividad 1 Observe como el ratón ha recorrido el triángulo, estaba adentro, ha cruzado todos los
lados de la figura una sola vez y al final ha quedado afuera del triángulo.
Después de pasar por todos los lados del triángulo una sola vez el ratón inicia
adentro y termina afuera.
Realice lo mismo con las siguientes figuras empezando el recorrido siempre desde el
interior de cada una y cruzando cada lado una sola vez.
a) ¿Dónde queda el ratón? _____________
b) ¿Dónde queda el ratón? _____________
c) ¿Dónde queda el ratón? _____________
d) Explique lo que ha observado.
Ahora inicia siempre desde afuera de la figura y observa que pasa con el ratón.
e) ¿Dónde queda el ratón? _____________
f) ¿Dónde queda el ratón? _____________
g) ¿Dónde queda el ratón? _____________
h) ¿En qué casos el ratón queda adentro?
i) ¿En qué casos el ratón queda afuera?
En la actividad anterior se ve cómo, a partir de una breve explicación previa y
preguntas concretas, se le brinda la oportunidad al alumno la posibilidad de identificar
y clasificar algunas figuras cerradas irregulares.
a) ¿Bajo qué modelo didáctico se obtienen mejores resultados de aprendizaje
significativo al trabajar la actividad del ratón?
b) ¿Por qué adquiere relevancia utilizar material concreto al trabajar este tipo de
actividades con los niños? Explique cómo lo trabajaría con ellos y mencione todos los
aprendizajes esperados por los estudiantes.
c) ¿Qué tipo de estrategia tendría que seguir el estudiante para determinar en qué
casos el ratón quedará afuera y cuándo quedará adentro de la figura?
d) Proponga una actividad parecida donde no utilice el método tradicional de
enseñanza.
e) Comparta resultados con los colegas de equipo, para ello deben reunirse en
grupos de trabajo de tres integrantes. Cada integrante debe explicar a los otros dos
docentes en qué consiste la actividad, aprendizajes esperados y estrategia de
enseñanza-aprendizaje que debe implementar para lograrlo.
Actividad 2
Para promover la identificación y clasificación de figuras rompiendo un poco el
esquema tradicional de dibujar las figuras en el pizarrón y que los niños lo copien en
el cuaderno, se sugiere uso de material didáctico como fichas y palillos de colores, de
esta forma, el alumno construye las figuras, observa, identifica, compara, razona,
deduce y concluye haciendo comentarios y conjeturas al respecto.
Construya con fichas y palillos las figuras que verá a continuación y siga las
instrucciones
Encuentre en cada una de estas gráficas un camino que pase por todos los
puntos. El camino deberá terminar en el mismo punto en el que empezó.
No se vale pasar dos veces por el mismo punto.
Encuentre en cada una de estas gráficas un camino que pase por todas las
líneas. El camino deberá terminar en el mismo punto en el que empezó.
No se vale pasar dos veces por una misma línea.
Invente una gráfica como estas usando las fichas y los palillos, dibújela en una
hoja blanca, encuentre en la gráfica un camino que pase por todas las líneas y
márquelo con flechas numeradas. El camino deberá terminar en el mismo punto
en el que empezó.
No se vale pasar dos veces por una misma línea.
Preguntas:
a) ¿Qué habilidades matemáticas se trabajan cuando el niño reproduce y construye
figuras con fichas y palillos?
b) Realice una lista de las preguntas que haría dirigidas al niño de forma tal que se
logre la identificación y clasificación de las figuras que reprodujo con fichas y palillos.
c) Usando ese mismo material didáctico, palillos para las aristas y bolitas de plastilina
para los vértices, construya al menos tres de los cinco sólidos platónicos de manera
tridimensional, a saber:
• El tetraedro tiene 4 vértices y 4 caras (triángulo equilátero).
• El octaedro tiene 6 vértices y 8 caras (triángulo equilátero).
• El hexaedro tiene 8 vértices y 6 caras (cuadrado).
• El dodecaedro tiene 20 vértices y 12 caras (pentágono regular).
• El icosaedro tiene 12 vértices y 20 caras (triángulo equilátero).
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, sólidos
pitagóricos o sólidos perfectos, son cuerpos geométricos caracterizados por ser
poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices
se unen el mismo número de caras.
A la izquierda se ve un cuerpo geométrico que ocupa un lugar en el especio
tridimensional y del lado derecho puede observar la plantilla o representación plana
de los cinco sólidos platónicos, mismas que puede reproducir para obtener los únicos
poliedros regulares.
d) Complete la siguiente tabla identificando y clasificando cada contenido
geométrico.
POLIEDRO Número de
vértices (p)
Número de
aristas (q)
Número de
caras (r)
Calcule
p – q + r
20
Dodecaedro
6
6
4
d) Posteriormente enliste los contenidos geométricos que puede explicar acerca de
estos cuerpos geométricos y su geometría. Mencione además los aprendizajes
esperados por el estudiante de primaria desde primer año hasta sexto año.
e) Comparta respuestas y discuta con los compañeros de equipo, cada uno deberá
tener presente el modelo didáctico que utiliza para enseñar geometría y a partir del
mismo, sugerir aspectos lúdico-didácticos para lograr un mejor acercamiento a la
geometría desde nivel básico.
Actividad 3 Lea cuidadosamente el texto y siga las instrucciones.
Si usted tiene distintos colores, entonces puede iluminar el mapa que sea, de
forma que dos regiones vecinas no queden iluminados del mismo color.
Dos regiones son vecinas cuando comparten sus fronteras.
Ilumine este mapa, usando la menor cantidad posible de colores distintos de forma que siempre, dos regiones vecinas queden iluminados de diferente color.
Recuerde usar únicamente el mínimo número de colores, no más.
Cuando una región con otra comparten solamente un vértice, pueden iluminarse
del mismo color.
a) ¿Cuál es el mínimo número de colores que utilizó?
b) ¿Qué estrategia le permite asegurar que ese número es el mínimo?
c) Ahora suponga que ya no tenemos colores… ¿qué podemos hacer?
d) Para concluir esta actividad, lea el siguiente texto y coméntelo con sus
compañeros de equipo. Trate de destacar contenidos y aprendizajes matemáticos del
mismo según las edades de sus estudiantes.
El teorema de los cuatro colores y la coloración de mapas
Una pregunta que suele plantearse a los estudiantes es ¿Cuántos colores se deben
de usar para colorear bien un mapa plano sin importar la forma o número de países
que este tenga? Debemos entender que un mapa estará bien coloreado si para cada
país se emplea un color determinado con la particularidad de que cualesquiera dos
países que tengan frontera en común estén siempre pintados de color distinto.
Este resultado fue establecido por el matemático alemán A.F. Möbius en una
conferencia que dictó en 1840, sin embargo no pudo dar una demostración válida.
Estuvo sin resolver por más de cien años y no fue sino hasta la década de los años
setenta del siglo pasado en que utilizando dos supercomputadoras y doscientas
horas de proceso se demostró que bastan solamente cuatro colores para poder
colorear correctamente un mapa plano. Es obvio que no es posible hacer una
demostración formal a los estudiantes, pero el resultado se puede utilizar para atraer
la atención de ellos en actividades extracurriculares.
Como actividad complementaria se les puede pedir que dibujen un mapa de cualquier
forma y tamaño y que usen solamente 4 colores para colorearlo. A través de la
historia muchos matemáticos trataron de demostrar este resultado infructuosamente
pero se lograron demostrar resultados para un diferente número de colores
imponiendo ciertas restricciones. Algunos de estos son los siguientes: (Teorema de
los dos colores) Para que dos colores basten para la coloración buena de un mapa es
necesario y suficiente que en todo vértice converja un número par de fronteras.
(Teorema de los tres colores) Para que tres colores alcancen para la coloración
buena de un mapa normal es necesario y suficiente que cada uno de los países
tenga un número par de fronteras. (Teorema de los cinco colores) Cinco colores
alcanzan para colorear bien cualquier mapa normal.
Nótese que estos resultados permiten desarrollar actividades con el estudiante en los
cuales puedan emplear la capacidad tanto para que coloreen bien un mapa con cierto
número de colores como para que encuentren casos de mapas donde no se pudieran
colorear adecuadamente usando una cantidad limitada, dos o tres colores.
Sesión 8
INTRODUCCIÓN
En la octava sesión analizaremos un concepto realmente importante tanto en la
matemática como en la vida misma, el concepto de medida.
Las dificultades que algunos estudiantes, de cualquier nivel, tienen para trabajar con
magnitudes en lo que se refiere a encontrar equivalencias, efectuar simplificaciones y
operar en general con estrategias para medir, es punto de reflexión para nosotros
como docentes dado que el concepto de medida se encuentra en cualquier lugar.
Para describir los fenómenos físicos no basta sólo con la descripción cualitativa sino
que es necesario recurrir a un concepto cuantitativo, esto es expresarlos como una
magnitud. Recordemos que se denomina magnitud a todo fenómeno capaz de ser
medido, es decir expresarlo como una cantidad numérica. Lord Kelvin, un científico
inglés, decía con mucha convicción refiriéndose a los fenómenos físicos: "solo se
puede hablar con propiedad, de aquello que se mide". Medir es comparar cantidades
de la misma magnitud. Por ejemplo cuando medimos una longitud comparamos la
distancia desconocida con otra que ya conocemos, y que ha surgido de una cantidad
convenida de longitud denominada patrón. Un patrón se adopta por convención, esto
significa que un grupo de personas con conocimientos y experiencia resuelve que
una cierta cantidad a la que llamamos patrón y cuyo nombre (por ejemplo el "metro")
origina la unidad de referencia, será comparada con cualquier otra de igual magnitud,
siempre que queramos cuantificarla.
En el caso de la longitud, el patrón es una cantidad que todos conocemos
denominada metro.
Una vez establecida la unidad patrón se acuerdan los submúltiplos y múltiplos, es
decir cantidades menores y mayores de la unidad en cuestión. Internacionalmente se
emplea el sistema métrico decimal el cual como todos sabemos "va de diez en diez".
Esto significa que se van tomado sucesivamente porciones de unidad 10 veces más
chica en el caso de los submúltiplos, o 10 veces más grandes en el caso de los
múltiplos. De ahí que si dividimos el metro en diez partes, cada parte se llame
decímetro (simbolizado con dm), en consecuencia un metro contendrá diez
decímetros, lo cual en símbolos se escribe: 1 m = 10 dm.
Si el decímetro se divide en diez partes esto significa que el metro queda dividido
"diez veces diez" es decir que el metro se divide en cien partes y cada parte se llama
centímetro, luego, un metro contiene cien centímetros es decir: 1 m = 100 cm.
La milésima parte del metro se denomina milímetro y entonces un metro contiene mil
milímetros o sea:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
Un razonamiento similar conduce a los múltiplos de la unidad patrón: diez metros
corresponden a un decámetro es decir 10 m = 1 dam.
Cien metros corresponden a un hectómetro y mil metros a un kilómetro
10 m = 1dam, 100 m = 1 hm, 1000 m = 1 km
Podemos observar que se utilizan prefijos para denotar las proporciones de
submúltiplos y múltiplos y estos prefijos se generalizan para cualquier unidad. De ahí
que, por ejemplo, a la milésima parte del segundo se le llame milisegundo, luego, un
segundo contiene mil milisegundos es decir:
1 s = 1000 ms. Cuando hablamos de un microsegundo nos referimos a una
millonésima parte de segundo.
Ya conocemos la necesidad de adoptar unidades para realizar una medición pero
¿cuál es el sentido de emplear submúltiplos y múltiplos de dichas unidades?
Supongamos que queremos indicar el espesor de un alambre cuyo diámetro es de
0,002 m , es decir "cero coma, cero, cero, dos metros" ¿no es mas sencillo decir 2
mm o sea "dos milímetros"?
En general todos sabemos que la distancia aproximada entre Canadá y México se da
en kilómetros, no es común escuchar esa distancia expresada en metros. Ahora ¿no
han escuchado expresar cantidades de magnitud en unidades diferentes a las cuales
estamos acostumbrados como por ejemplo: 100 millas; 5 yardas; 120 Fahrenheit; 3
pulgadas; 8 onzas; 20 nudos, etc.? Si bien nosotros utilizamos el sistema
internacional de unidades todavía hay países que aún emplean sistemas basados en
otros patrones de medida, en consecuencia tenemos que encontrar el modo de
traducir esas unidades a las nuestras para poder saber de qué medida estamos
hablando.
• Equivalencias
La traducción a la cual nos referimos son las equivalencias de unidades. Por ejemplo
en el sistema de medida inglés la unidad es la pulgada, cantidad de longitud que
corresponde a 0,0254 m o 2,54 cm o 25,4 mm etc. En otro ejemplo una onza equivale
a 28,34 gramos.
Además este sistema no tiene múltiplos decimales, veamos: en el caso de la longitud,
un múltiplo inmediato de la pulgada es el "pie" que corresponde a 12 pulgadas,
después sigue la yarda que corresponde a 3 pies, etc. como vemos la proporción no
va de diez en diez. En el caso de la onza, un múltiplo inmediato es la libra que
corresponde a 16 onzas.
• Conversión
Una conversión de unidades consiste en expresar una cierta cantidad de magnitud
que está dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o
en otro. Para ello es necesario conocer las equivalencias entre las unidades en
cuestión. Por ejemplo; sea una cierta cantidad de longitud, digamos 58 cm y se desea
expresarla en metros, expresarla en pulgadas.
Veamos otros ejemplos. Sabemos que una hora tiene 60 minutos, a su vez un minuto
contiene 60 segundos, por lo que podemos afirmar que 1 hora contiene 60 veces 60
segundos , es decir 60 x 60 segundos lo que da un total de 3600 segundos.
Hablando matemáticamente de un espacio de varias dimensiones, se define el punto
como el espacio de dimensión cero, no tiene medida, la recta es el espacio
unidimensional o de dimensión uno y se mide la longitud en unidades lineales, el
plano es el espacio llamado bidimensional o de dimensión dos y se mide la superficie
en unidades cuadradas, para el espacio de tres dimensiones es posible calcular el
volumen y éste se calcula en unidades cúbicas.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del tema en el aula.
• Utilizar herramientas matemáticas en contextos significativos de uso, como
medidas, escalas, tablas o representaciones gráficas.
• Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el
tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas con el sistema decimal.
En esta sesión no se requieren materiales especiales
Actividad 1 MEDIDAS DE CAPACIDAD Y VOLUMEN
Cuando se desea realizar una medición, es necesario elegir las unidades de medida
adecuadas y también los instrumentos que permitan obtener la precisión requerida.
Por ejemplo, usted no podría decidir cuánto mide de largo el aula usando como
unidad un kilogramo ni cuánto pesa una res si lo quiere medir en litros o en metros.
Del mismo modo, si un joyero quiere saber el peso de un anillo de oro necesita una
aproximación mucho más fina que la del vendedor que pesa una bolsa de papas. La
forma de algunos objetos les permite contener sustancias; esos objetos se llaman
recipientes y de ellos se puede medir tanto su capacidad como su volumen. También
se puede conocer el volumen de su contenido. Por ejemplo, una taza vacía tiene un
volumen, ocupa un lugar en el espacio y, como es un recipiente, también se puede
medir su capacidad y el volumen del líquido que contenga. En cambio, de otros
objetos, por ejemplo una piedra, sólo se puede medir su volumen. La piedra no es un
recipiente. Tanto las unidades de capacidad como las de volumen, indican de manera
diferente cuál es el tamaño de un recipiente. Es importante que sepas que todos los
objetos tienen un volumen ya que todos ocupan un lugar en el espacio.
Preguntas:
a) ¿Qué significa “capacidad”, “volumen” y magnitud”?
Compare las definiciones de capacidad, volumen y magnitud. Escriba como
conclusión un breve comentario sobre el significado de las tres palabras; comparta
sus comentarios con sus compañeros docentes.
b) ¿Es lo mismo medir capacidades que medir volúmenes? Explique.
c) En la mayoría de los envases aparece información sobre su capacidad o el
volumen de su contenido y las unidades en que se han medido.
Para descubrir cuáles son estas unidades, basta observar los envases de los
distintos productos que se encuentran en el mercado. Escriba al menos cinco
productos y cuáles son las unidades con las que se indica su contenido en el envase.
d) ¿Puede ser que un recipiente con menor volumen exterior tenga más capacidad
que otro que tiene más volumen exterior?; ¿por qué?
e) Compare las expresiones “volumen del contenido de un recipiente” y “capacidad
del recipiente”. Escriba que piensa y luego consúltelo con sus colegas de equipo.
f) A partir de su experiencia, explique a qué dificultades de aprendizaje se enfrentan
los niños en el aula cuando les presenta este tema. Indique qué modelo didáctico
utiliza para trabajar estos conceptos matemáticos.
Actividad 2
De los treinta problemas que se presentan a continuación, elija siete de ellos para
trabajarlos en equipos de tres integrantes. Deberán resolver los siete problemas y
responder las siguientes preguntas
a) ¿Qué conceptos y conocimientos matemáticos requiere para resolver los
problemas que eligió su equipo? Haga una lista que vaya de lo fácil a lo difícil.
b) ¿En qué grado escolar de nivel básico trabajaría cada problema? Explique por qué
en cada caso.
c) Explique qué tipo de conocimiento previo requiere un estudiante de primaria para
entender el problema y resolverlo.
d)) Explique brevemente el tema dando la información clave para resolver este tipo
de problemas.
e) Proponer una actividad didáctica para reforzar ese tema en clase, suponiendo que
dispone de media hora.
f)) Indicar qué tipo de estrategias utiliza en la actividad didáctica del inciso anterior
que permitan motivar a los alumnos a aprender el tema, y explique de qué otros
recursos se apoya para trabajarlo en clase.
g) Agregar una opinión y reflexión acerca de cómo se aprende ese tema en nivel
básico, cuáles son los errores más frecuentes del profesor al presentar el tema y del
alumno al aprenderlo. ¿Qué propone cómo alternativa para que la enseñanza de ese
tema sea más práctica, efectiva y provechosa para ambos?
Problemas propuestos.
1.-Calcule el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya
altura mide 2.5 cm y el área de la base 80 c m2.
2.-El volumen de un cubo mide 2197 cm3. Calcule el lado del cubo y la diagonal
principal.
3.-La carpa de un circo tiene forma de prisma octagonal regular. Su techo es una
pirámide de altura igual a la tercera parte de la altura del prisma. Si la arista básica
del prisma es 5 m y la altura total (prisma y pirámide incluidos) es de 24 m, calcule la
cantidad de lona necesaria para construir la carpa.
4.-Calcular el volumen de un edificio formado por un hexaedro de
dimensiones10x10x6 m y una pirámide cuadrangular de altura 9 m.
5.-Calcular el área total y volumen de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm.
6.-Si se pegan los bordes menores de una hoja de papel (mídelos), se obtiene un
cilindro ¿cuánto mide su radio?
7.-Hemos pintado un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, y se
ha pagado a 750 pesos el metro cuadrado, ¿cuánto se pagó?
8.-Calcular la altura, volumen y superficie de un cono de radio 3 m y generatriz 5m.
9.-Calcule el área lateral de un paquete cónico de palomitas de generatriz 12 cm y
radio igual 10 cm.
10.-La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42 m de diámetro, ¿cuál es su
superficie si suponemos que es semiesférica?
11.-Las pelotas de tenis se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3
pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6.5 cm, calcular el volumen que
queda libre en el interior de una lata.
12.-El área lateral de un cilindro de altura 5 cm es 188’4 cm2, calcule su radio y
volumen.
13.-Un reloj de arena está formado por dos conos rectos unidos por su cúspide. La
altura del reloj es de 10 cm y su diámetro 5 cm. Calcular el volumen de arena que hay
en el interior de uno de los conos. sabiendo que cae 0.1 cm3 de arena por segundo,
¿cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un cono al otro?.
14.-Calcular el área total de un tetraedro regular de arista 5 cm.
15.-Calcular el volumen de una pirámide cuadrada de 6 cm de lado y altura de una
cara de 73 cm.
16.-Hallar el área y el volumen de una superficie esférica de radio 12 cm.
17.- ¿Cuántos litros de agua hay que sacar de un depósito cilíndrico de 8 m de altura
y 3.5 metros del radio de la base para que el nivel de agua descienda 3 m.
18.-Con una plancha rectangular de 6 cm por 8 cm se pueden construir dos cilindros
según se unan los bordes mayores o menores. ¿Cuál tiene mayor área?, ¿Y mayor
volumen?
19.-Una caja tiene forma de hexaedro de dimensiones 8x6x5 cm. ¿Cabe en dicha
caja un lápiz de 13 cm?
20.-Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos isósceles de área 8 cm2,
y la arista lateral mide 7 cm. Encontrar el área lateral del prisma.
21.-¿Qué volumen tiene un cubo de superficie total 1 m2?
22.-La pirámide de Keops, ubicada en Egipto, tiene base cuadrada de arista 230 m y
altura 146 m, calcule su volumen y la altura de una cara.
23.-Calcule el volumen de una esfera de superficie 1256 cm2.
24.-Calcule el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 dm de altura al
girar alrededor de ésta.
25.-En el interior de un vaso cilíndrico hay una gota de miel a 3 cm del borde
superior, y en el exterior del vaso hay una mosca, en el punto diametralmente
opuesto al de la gota de miel. Indica, razonadamente, cuál es el camino más corto de
la mosca para llegar a la gota de miel.
26.- Representa los siguientes puntos en el espacio, utilizando diferentes ejes:
A=(2,1,0), B=(-2,1,-2), C=(0,-2,2), D=(-4,-1,-1), E =(1,0,5), F=(0,2,0), G=(-2,-3,-1),
H=(-3,0,6), I=(3,-1,1).
27.- Calcula las áreas de las caras de los poliedros regulares (excepto del
dodecaedro) si su arista es 10 m. (Voluntario: Intenta calcular el área del
dodecaedro).
28.- La diagonal de una de las caras de un cubo es 6 m. Calcula el área y el volumen
del cubo, de forma exacta y luego aproxima las centésimas.
29.- Una pirámide regular hexagonal mide 60 cm de perímetro básico y 26 cm de
arista lateral. Calcula la altura de la pirámide, su área total y su volumen.
30.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de altura 20 cm y cuyo perímetro
de la base igual a 32 cm.
Volumen del Tetraedro
Volumen del cubo
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
Volumen del icosaedro
Volumen del prisma
Volumen del hexaedro no regular
Volumen de la pirámide
Volumen del tronco de pirámide
A = Área de la base mayor
A’ = Área de la base menor
Volumen del cilindro
Volumen del cono
Volumen del tronco de cono
Volumen de la esfera
Volumen de la semiesfera
Volumen de la cuña esférica
Volumen del casquete esférico
Volumen de la zona esférica
Sesión 9
INTRODUCCIÓN
En la novena sesión trabajaremos con el tema de manejo de información,
analizaremos las diferentes técnicas para obtener, organizar, presentar e interpretar
la información de una situación dada, tal es el caso de las tablas, las listas, los
diagramas y las imágenes, así como sus gráficas correspondientes.
Sobre la representación de datos debemos considerar procesos que nos permitan
identificar información relevante, misma que nos servirá para resolver un problema
dado. Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos,
mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí los
datos que han sido analizados. También puede ser un conjunto de puntos, que se
plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un
proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un
fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido
obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura entre
puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).
La estadística gráfica es una parte importante y diferenciada de una aplicación de
técnicas gráficas, a la descripción e interpretación de datos e inferencias sobre éstos.
Forma parte de los programas estadísticos usados con las computadoras. Se han
desarrollado nuevas soluciones de análisis gráficos.
Existen diferentes tipos de gráficas, que se pueden clasificar en:
• Numéricas: con imágenes visuales que sirven para representar el
comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población.
• Lineales: se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre
sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo,
y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para
varias muestras en un diagrama.
• De barras: se usan cuando se pretende resaltar la representación de
porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene
barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando
una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar
frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de
barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner
una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de
barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia
de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés.
• Histogramas: Se emplean para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está
formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden
con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de
clase que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada
rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.
• Circulares: gráficas que nos permiten ver la distribución interna de los datos
que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele
separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se
desee destacar.
El ejemplo que sigue pertenece al comportamiento de las calificaciones parciales de
tres alumnos de primaria. Las series (cada una de las calificaciones parciales) están
coloreadas con diferente color para mostrar el comportamiento tanto individual, como
de cada uno de los alumnos con respecto a los demás. Es interesante observar que
la escala horizontal no es continua (es nominal).
También es posible realizar gráficas de barras horizontales, los cuales se parecen
mucho a las gráficas de columnas, con la excepción importante de que la función de
los ejes se intercambia, así el eje horizontal queda destinado a las frecuencias y el
eje vertical a las clases.
Es muy común que este tipo de gráficas se utilicen para ilustrar el tamaño de una
población dividida en estratos, por ejemplo, sus edades. A continuación se presenta
el ejemplo de una población de un país ficticio llamado "Timbuctulandia":
A este tipo de gráficos en particular se le llama pirámide de edades por su forma.
Incluso, cuando se compara la población masculina y femenina por estratos de
edades, se estila utiliza el lado izquierdo para la población de un sexo y el lado
derecho para el otro, el resultado es una "pirámide" casi simétrica (dependerá de la
población en particular).
Cuando los datos se relacionan entre sí, es decir, cuando podemos decir que existe
cierta continuidad entre las observaciones, como por ejemplo el crecimiento de una
población, la evolución del peso o estatura de una persona a través del tiempo, el
desempeño académico de un estudiante a lo largo de un semestre escolar, las
variaciones presentadas en la medición realizada en algún experimento cada
segundo o minuto, se pueden utilizar las gráficas de líneas, que consisten en una
serie de puntos trazados en las intersecciones de las marcas de clase y las
frecuencias de cada una, uniéndose consecutivamente con líneas.
Este ejemplo muestra el comportamiento del peso corporal (en kilogramos) de dos
hombres a lo largo de cinco observaciones anuales. Al igual que en el caso de las
gráficas de columnas (y de otras más) es posible presentar varias series de
observaciones (en este caso cada serie de observaciones son los pesos de un
individuo).
Otra forma de representación que tiene un uso menos común pero también muy útil y
muy parecido a las gráficas de líneas, es el polígono de frecuencias. La diferencia
fundamental entre ambas es que en el polígono de frecuencias se añaden dos clases
con frecuencias cero: una antes de la primera clase con datos y otra después de la
última. El resultado es que se "sujeta" la línea por ambos extremos al eje horizontal y
lo que podría ser una línea separada del eje se convierte, junto con éste, en un
polígono.
El siguiente ejemplo corresponde al porcentaje del PIB gastado en docencia e
investigación durante el año de 1990 en cinco países (fuente: Revista "Ciencia y
Desarrollo", 1994, XIX(114):12):
Cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos
subconjuntos con respecto al total, es decir, cuando se está usando una escala
categórica, conviene utilizar una gráfica llamada de pastel o circular.
Por ejemplo, para ilustrar la matrícula en licenciatura (en México) por áreas de
conocimiento en el año de 1992 se puede usar algo así como esta representación.
(Fuente: ANUIES, 1995):
De hecho, si se desea resaltar una de las categorías que se presentan, es válido
tomar esa "rebanada" de la gráfica y separarla de las demás. Es importante tomar
algunas precauciones al utilizar este tipo de gráficos. Por un lado, comparar dos
gráficos circulares (por ejemplo, si se quisieran comparar las proporciones de
matrículas en licenciatura por áreas de conocimiento en licenciatura para dos años
distintos) resulta muy difícil y, por tanto, no es muy aconsejable.
Por otro lado, en ocasiones existen categorías con pocas frecuencias (por ejemplo,
dos o tres con frecuencias relativas menores al 1% cada una), haciendo que la
gráfica resulte "pesada" y las etiquetas se encimen. Una posible solución es juntarlas
en una sola categoría (por ejemplo, la típica "otras" o "varias"), pero entonces habría
que ponderar si se hace una gráfica extra con dichas observaciones únicamente,
haciendo la anotación pertinente, o simplemente se ignoran por no resultar
significativas.
Actualmente, y mucho más en los medios masivos de comunicación, se utilizan
gráficas para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación.
Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o
el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la
frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y éstos son
dos ejemplos.
El de la izquierda representa cómo va creciendo la población de un país (cada
hombrecito representa a dos millones de habitantes), el de la derecha representa la
masa de tres planetas de nuestro sistema solar tomando como unidad a la masa de
la Tierra (cada masa de nuestro planeta representa la proporción del tamaño de los
otros). Venus tiene menor masa que la Tierra y Neptuno tiene 17 veces más masa
que la Tierra.
OBJETIVOS
• La intención es conocer y profundizar un poco más en el manejo de
información, análisis e interpretación de datos, considerando el contenido
matemático que un docente debe dominar sobre el tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas haciendo un análisis previo de la información y su gráfica
correspondiente.
• Resaltar la importancia que tiene para cualquier ser humano, el dominar este
tipo de habilidades matemáticas, ya que de ellas depende su desenvolvimiento
en la sociedad. El tener la capacidad de analizar e interpretar situaciones de
todo tipo es de gran utilidad.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se de la discusión del
tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y
argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
ha representado la enseñanza del tema en el aula.
MATERIALES
• Al menos, tres hojas blancas por cada docente participante, regla graduada,
compás, lápices de colores.
Actividad 1 A continuación, usted podrá apreciar varias gráficas que modelan un problema
específico. Para cada una de ellas, tendrá que realizar la tabla de los datos
correspondientes y un posible enunciado que represente la situación dada.
GRÁFICA 1 GRÁFICA 2
GRÁFICA 3 GRÁFICA 4
Conteste de manera individual las siguientes preguntas:
a) ¿Qué se requiere para interpretar la información de una gráfica?
b) ¿Qué tipo de gráfica, representa mejor los datos de una muestra dada?
c) ¿Qué pasos se deben seguir para obtener, organizar, presentar e interpretar los
datos de alguna investigación?
d) Al analizar las diferentes técnicas para obtener, organizar, presentar e interpretar
información, ¿Qué tipo de estrategias considera adecuadas para su enseñanza a
nivel básico? Explique y argumente su respuesta.
e) Proponga y diseñe un problema siguiendo cada uno de los pasos siguientes:
obtener datos, organizar información, presentarla por medio de tablas, listas, plantear
preguntas cuya respuesta se pueda interpretar en diagramas o gráficas de líneas, de
barras, circulares, histogramas, etc.
f) Comparta sus respuestas con sus compañeros de equipo y obtenga conclusiones.
Actividad 2
Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios, analice el tipo de
respuesta que se proporciona y haga lo que se le pide en cada caso.
Ejemplo 1 Las cifras decimales del número π
A continuación usted tiene las 100 primeras cifras decimales del número π
(3,1415926535897932384626433.....):
1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6
2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 6 6 4 1 9 7 1
6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4
5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9
8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9
Confeccione una tabla en la que se registre la cantidad de apariciones de cada dígito.
a) ¿Cuál es la frecuencia con que aparece una cifra par?
b) ¿Cuál es la frecuencia con que aparece una cifra impar?
Comentarios pedagógicos. Esta actividad se puede naturalmente conectar con
geometría: p desde una perspectiva histórica en la matemática, su relación con el
perímetro y área de un círculo, etc.
Aparición de cada dígito:
Dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia 8 8 12 11 10 8 11 8 10 14
Aquí se podrá observar que en la secuencia dada de cifras de p ningún dígito se
destaca por su ocurrencia o aparición (frecuencia). Por lo tanto, la moda es
irrelevante.
Paridad de las cifras:
En la siguiente tabla se podrá observar que las frecuencias de cifras pares y de cifras
impares son prácticamente equiparables.
Cifra par Cifra impar
Frecuencia 51 49
Ejemplo 2 Concentración de ozono.
Uno de los indicadores más importante de la contaminación en grandes ciudades es
la concentración, medida en ppb, de ozono en la atmósfera.
En cierto sector de una ciudad se obtuvo información sobre ese contaminante, por
medio de una medición efectuada diariamente a las 13:00 hrs. Ésta se resumió en la
siguiente tabla.
Concentración de Ozono
Frecuencias
Intervalos Absolutas
[ 0, 2[ 8
[ 2, 4[ 23
[ 4, 6[ 53
[ 6, 8[ 42
[ 8, 10[ 22
[10, 12[ 12
Compare las frecuencias por medio de un histograma.
Comentarios pedagógicos. Antes de abordar la actividad, se puede solicitar a los(as)
docentes que se informen sobre el rol ecológico de la capa de ozono a nivel mundial y
su papel en la contaminación ambiental, así como también del significado de la unidad
de medida (ppb) usada para medir la concentración de ozono. Así se obtiene la tabla:
Frecuencias Marcas
de Frecuencias Frecuencias
Intervalos Absolutas Clase Acumuladas Relativas
[ 0 , 2 [ 8 1 8 0,05
[ 2 , 4 [ 23 3 31 0,14375
[4 , 6 [ 53 5 84 0,33125
[ 6 , 8 [ 42 7 126 0,2625
[ 8 ,10 [ 22 9 148 0,1375
[10 ,12 ] 12 11 160 0,075
Se obtendrá el siguiente histograma, en el cual se observará, por ejemplo, que los
niveles registrados con mayor frecuencia se encuentran entre 4 y 8 ppb.
Concentración de ozono.
Ejemplo 3 Prueba de Aptitud Académica.
En la tabla siguiente se tiene los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud
Académica realizada a 30 jóvenes, provenientes de un mismo plantel educativo:
Aptitud
Verbal
Aptitud
Matemática
Aptitud Verbal Aptitud Matemática
1 685 664 16 730 642
2 490 548 17 618 533
3 580 567 18 690 654
4 705 665 19 680 542
5 470 452 20 690 678
6 620 506 21 710 732
7 650 618 22 742 749
8 702 718 23 685 570
9 643 621 24 595 574
10 540 555 25 674 657
11 575 502 26 722 747
12 600 531 27 585 620
13 500 478 28 505 482
14 680 558 29 600 643
15 587 600 30 543 500
La Dirección del Colegio solicitó hacer un estudio de estos resultados. En particular,
le interesa:
• Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud verbal.
• Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud
matemática.
• Comparar los puntajes obtenidos en cada prueba.
Desarrollo del estudio.
Estudio de los puntajes obtenidos en las pruebas de Aptitud Verbal y Matemática.
a) Para cada prueba, complete una tabla con el siguiente formato usando intervalos
de 50 puntos de longitud:
Clase Frecuencia Frecuencia
relativa
[450,500[
[500,550[
b) Haga una representación gráfica de las frecuencias por medio de histogramas.
c) Compare los puntajes obtenidos en ambas pruebas.
d) Calcule los promedios y las desviaciones estándar correspondientes a partir de los
datos originales y de los datos tabulados.
e) ¿Qué observa al comparar sus resultados? Comparta los resultados obtenidos con
sus compañeros de equipo.
Ejemplo 4 Postulación a Ingeniería.
En cierta Universidad, para poder ingresar a la carrera de Ingeniería sólo se
considera la Prueba de Aptitud Académica ponderada como sigue:
40% la P. A. V. y 60% la P. A. M.
Se sabe que el puntaje mínimo de ingreso es de 620 puntos.
¿Qué porcentaje de los 30 jóvenes podría ingresar a esa carrera?
Comentarios pedagógicos. Sobre el estudio de los puntajes obtenidos en la Prueba
de Aptitud Verbal y los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Matemática, el
alumno podría considerar razonable elegir intervalos de igual longitud (50) y que, por
lo tanto, en ambos casos el puntaje máximo se encontraría en el intervalo [700,750[.
Tabla de frecuencias de la P.A.V. Tabla de frecuencias de la P.A.M.
Clase Frecuencia Frecuencia
relativa Clase Frecuencia
Frecuencia
relativa
[450,500[ 2 0,0666 [450,500[ 3 0,1000
[500,550[ 4 0,1333 [500,550[ 7 0,2333
[550,600[ 5 0,1666 [550,600[ 5 0,1666
[600,650[ 5 0,1666 [600,650 6 0,2000
[650,700[ 8 0,2666 [650,700[ 5 0,1666
[700,750[ 6 0,2000 [700,750[ 4 0,1333
Histogramas en que se describe la distribución de puntajes:
En cuanto a promedio y desviación estándar de los puntajes en cada prueba, se
tiene:
P. A. V. P. A. M.
Promedio 626,533 596,866
Desviación estándar 77,609 83,280
Jóvenes que podrían ingresar a Ingeniería. Aplicando la fórmula:
Promedio ponderado = 0,4P.A.V. + 0,6 P.A.M. se obtiene la siguiente tabla.
P.A.V. P.A.M. Promedio ponderado P.A.V. P.A.M. Promedio ponderado
685 664 672,4 730 642 677,2
490 548 524,8 618 533 567,0
580 567 572,2 690 654 668,4
705 665 681,0 680 542 597,2
470 452 459,2 690 678 682,8
620 506 551,6 710 732 723,2
650 618 630,8 742 749 746,2
702 718 711,6 685 570 616,0
643 621 629,8 595 574 582,4
540 555 549,0 674 657 663,8
575 502 531,2 722 747 737,0
600 531 558,6 585 620 606,0
500 478 486,8 505 482 491,2
680 558 606,8 600 643 625,8
587 600 594,8 543 500 517,2
De la observación directa de los valores obtenidos, se puede ver que 13 jóvenes
podrían ingresar a Ingeniería. Este valor equivale al 43,33% de la muestra. Indique en
la tabla anterior, cuáles son esos trece jóvenes.
Para finalizar esta sesión, discuta con sus compañeros de equipo sobre qué tan fácil
o difícil fue analizar estos ejemplos, qué propone para mejorar el diseño de
problemas de este tipo donde tanto el profesor y el estudiante interactúen
constantemente al resolverlos, indique qué modelo didáctico utiliza para trabajar
estos temas con estudiantes de nivel básico.
Sesión 10
INTRODUCCIÓN
Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente
camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo,
conseguir el fin deseado, que no se consigue de forma inmediata, utilizando los
medios adecuados.
George Polya
Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a
resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es
contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, exhortarles a
que se pregunten ellos mismos.
P. Halmos
En la última sesión hablaremos acerca de la importancia que tiene para el
aprendizaje significativo de las matemáticas, la resolución de problemas pero
especialmente de aquellos que no tienen por qué seguir un algoritmo para encontrar
su solución.
La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de
las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en
matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de
encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta
fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber
aguantar una determinada dosis de ansiedad,...pero también de estar dispuesto a
disfrutar con el camino emprendido. Lo importante no es obtener la solución, sino el
camino que lleva hacia ella. La habilidad para resolver problemas es una de las
habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben
usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede
enseñar.
La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas,
no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un
instrumento pedagógico de primer orden.
Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay
obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento
algorítmico. En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos
de tener en cuenta:
a) Existencia de un interés. Significa enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo.
b) La no existencia de un camino inmediato. Significa no utilizar un algoritmo o
procedimiento que da la respuesta de inmediato.
c) Tener deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.
En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más
de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una
parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las
matemáticas.
Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso
de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones:
i) Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer
pruebas, equivocarse, “perder el tiempo” investigar, conjeturar, imaginar, suponer...
ii) Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del
estudiante.
iii) Es un tipo de conocimiento basado en la experiencia (es decir, el conocimiento
obtenido mediante la experiencia de hacer algo), siendo más duradero y significativo
para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro.
iv) Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas
individuales de aprendizaje y de comprensión.
v) Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras
mentales que trascienden a las propias matemáticas.
vi) La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer
matemáticas no es otra cosa que resolver problemas.
vii) Hay que tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver
problemas, es enfrentarse a los problemas.
OBJETIVOS
• Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que
implica enseñar y aprender matemáticas a través de la resolución de
problemas.
• Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión de las
estrategias heurísticas para resolver problemas, teniendo así la oportunidad de
compartir, debatir, y argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al
respecto.
• Considerar que en muchas ocasiones se pueden plantear retos mentales que
sirven como motivación para desarrollar el contenido matemático que un
docente debe enseñar sobre el tema.
• Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y
resolver problemas, retos mentales, acertijos, trucos y otras actividades de
interés para interactuar con el contenido matemático de manera entretenida.
MATERIALES
• Al menos, cinco hojas blancas por cada docente participante, lápiz.
Actividad 1
Para el desarrollo de esta actividad, se sugiere trabajarla por rondas, primero de manera
individual y después por equipos, es decir, cada uno de los maestros resuelven el primer
problema individualmente y lo comentan con los docentes de su equipo, indicando qué
tipo de estrategia siguieron para resolverlo, posteriormente en la siguiente ronda se
analiza el segundo problema, después el tercero y así sucesivamente.
1.-Adivinar la edad Puede adivinar fácilmente la edad de una persona y el mes en que nació. Para eso,
pídale que piense en el número del mes de nacimiento (enero = 1, febrero = 2, ...)
pero que no lo diga, que lo multiplique mentalmente por 2 y al resultado le sume 5.
Después debe multiplicar el resultado obtenido por 50 y sumarle su edad.
Pídale que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstele
250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la
edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento.
Haga la prueba. ¿Por qué no puede fallar?
2. El abuelo Ramón El médico que atiende al abuelo Ramón le recetó dos tipos de pastillas: un frasco de
20 pastillas (A) y un frasco de 20 pastillas (B) y le recomendó que hiciera el siguiente
tratamiento durante 30 días:
• En los primeros 10 días debe tomar cada noche una pastilla de cada frasco.
• En los 20 días siguientes debe bajar la dosis y tomar cada noche media
pastilla de cada frasco.
Las pastillas A y B son idénticas a la vista y el médico le aconsejó al abuelo que para
que el tratamiento resultara efectivo tuviera mucho cuidado y no las confundiera.
La primera noche, el abuelo pensó sacar una pastilla de cada frasco y dejarlas
preparadas sobre la mesita de luz para tomarlas luego con un vaso de agua. Cuando
volvió para tomarlas vio que se había equivocado y sobre la mesita había 3 pastillas.
Contando las pastillas que quedaban en cada frasco, el abuelo descubrió que se
trataba de 2 pastillas A y una B, pero no sabía cuál era cuál.
Sin embargo, luego de pensar un poco, ideó una manera de seguir las instrucciones
del médico sin riesgo de errores, como efectivamente hizo, y al cabo de los 30 días
no tuvo más dolores. ¿Cómo hizo el abuelo Ramón?
3.- Ubicar números Hay que ubicar dentro de las figuras los números del 4 al 10 de tal manera que la
suma de los números adentro de cualquier figura sea 30, y la suma de todos los que
están afuera de una figura dada sea 25.
4.- El juego de las ranas En un lago hay 7 piedras en línea y 6 ranas: 3 ranas macho en las 3 piedras de un lado,
3 ranas hembra en las 3 piedras del otro lado, y una piedra vacía central. Debes hacer
que las ranas macho pasen a ocupar las piedras de las ranas hembra y viceversa.
5.- La fuga del preso
En una cárcel hay 32 presos repartidos en ocho celdas. En cada celda de las
esquinas hay un preso y en cada una de las centrales hay siete presos.
El carcelero cuenta cada noche los presos que hay en cada hilera y se asegura de
que sean nueve. Una vez hecho esto se retira a su oficina.
Cierto día se fugan cuatro internos, quedando un total de 28 presos de los 32 que
había inicialmente. Cuando el carcelero hace su recuento nocturno no se percata de
nada, pues los presos siguen sumando nueve por hilera.
¿Cómo se situaron en las celdas para burlar al carcelero?
Escriba la respuesta de la siguiente manera:
Primera fuga:
Hilera 1: ? – ? – ?
Hilera 2: ? – ? – ?
Hilera 3: ? – ? – ?
Hilera 4: ? – ? – ?
(Donde el signo de interrogación indica el número de presos que hay en cada una de
las celdas de la hilera después de la fuga)
Si consigue resolver esta primera parte del problema habrá superado el reto, pero
puede intentar resolver la segunda parte que dice así:
Tres días más tarde se fugan otros cuatro presos, quedando ahora 24 presos. Esta
vez tampoco el carcelero se dio cuenta de nada al contar.
¿Cómo volvieron a situarse para burlar al carcelero?
Segunda fuga:
Hilera 1: ? – ? – ?
Hilera 2: ? – ? – ?
Hilera 3: ? – ? – ?
Hilera 4: ? – ? – ?
Una semana después, el carcelero realizó su habitual recuento, le salieron las
cuentas y volvió tranquilo a su oficina. A la mañana siguiente una inspección del
alcaide descubrió que sólo quedaban 20 presos.
¿Qué hicieron los reclusos para burlar por tercera vez al ingenuo carcelero?
Tercera fuga:
Hilera 1: ? – ? – ?
Hilera 2: ? – ? – ?
Hilera 3: ? – ? – ?
Hilera 4: ? – ? – ?
6.- El agua embotellada En el balneario Fuente buena envasan el agua en botellas de 1, 2 y 5 litros.
¿Cómo envasarán 48 litros de agua si quieren utilizar el menor número de botellas
posible, y teniendo en cuenta que no se pueden dejar ninguna a medias?
7.- Los dígitos con cuatro cuatros Combina cuatro cuatros con operaciones matemáticas (+, -, X, /) para formar los
números del 0 al 10.
Por ejemplo, para formar el cinco: 5=(4 x 4 + 4) / 4
8.- ¿Cuánto pesa una manzana? Tengo una manzana verde, una roja y una naranja. Quiero averiguar cuánto pesan,
pero sólo puedo pesarlas de a dos. La manzana verde y la roja juntas pesan 430 g.
La manzana verde y la naranja juntas pesan 370 g. La manzana roja y la naranja
juntas pesan 360 g. ¿Cuánto pesa cada fruta?
9.- Contando cuántos hay Un libro tiene 100 páginas. Para numerar todas las páginas ¿cuántas veces aparece
escrito el número 2?
10.- La misma bebida de siempre Arturo, Brandon y Carlos salen a comer frecuentemente. Cada uno de ellos ordena té
o café después de la comida.
Si Arturo pide café, entonces Brandon ordena la misma bebida que Carlos.
Si Brandon ordena café, entonces Arturo pide la bebida que Carlos no pidió. Si Carlos
pide té, entonces Arturo ordena la misma bebida que Brandon.
¿Cuál de ellos ordena siempre la misma bebida después de comer?
Actividad 2
Didáctica matemática a nivel primaria
Leer y escribir son habilidades importantes y desafiantes para que su niño de primer
año de Primaria aprenda, pero las matemáticas les siguen de cerca.
Las matemáticas de primer año de Primaria están generalmente compuestas de
habilidades que pueden dividirse en grupos como sentido numérico, geometría,
operaciones y resolución de problemas.
Sentido numérico, un conjunto de habilidades matemáticas que describen el
entendimiento que tiene el niño de que los números representan cantidades y que se
pueden usar números para contar “cuantos”. Para avanzar en las matemáticas, el
niño debe adquirir varios bloques conceptuales que construyen esta área, incluyendo
números y contar hasta 100. El lenguaje usado en las matemáticas, desde conceptos
como medida y dinero hasta vocabulario técnico matemático, como mas que, menos
que, agregar, restar y sumar. El alcance para trabajar con relaciones y proporciones.
El reconocimiento de los colores, formas, tamaños y patrones. Los programas varían
de región en región. Pero alumnos que trabajan a un nivel estándar al comienzo del
primer año de Primaria:
1. Entienden que los números son símbolos que te dicen cuánto hay.
2. Saben sobre la hora y pueden decir las horas.
3. Recitan números del 1 al 20 correspondientes a tarjetas con imágenes.
4. Combinan y separan conjuntos, usando objetos concretos.
5. Clasifican e identifican formas, tamaños y colores.
6. Resuelven factores de suma hasta 10.
7. Comparan mas, menos e igual.
8. Reconocen la mitad de un objeto entero.
Alumnos que trabajan a un nivel estándar al final del primer año de Primaria:
1. Trabajan con patrones y secuencias.
2. Suman y restan números de una cifra.
3. Saben la hora con horas y minutos.
4. Estiman y predicen resultados simples.
5. Cuentan dinero.
6. Identifican valores a centenas.
7. Practican medidas de longitud, capacidad y peso
8. Trabajan con formas geométricas.
9. Se familiarizan con el concepto de simetría.
10. Cuentan hasta más de 100.
11. Identifican las fracciones: 1/2, 1/3, 1/4.
12. Resuelven problemas de palabras simples.
a) Diseñe al menos tres actividades donde involucre conocimientos previos de algún
tema, explique qué habilidades matemáticas se promueven en cada caso.
b) Intercambie actividades realizadas por sus compañeros docentes, de forma tal que
cada uno argumente y proponga modificaciones para mejorarlas.
c) ¿Qué tipo de actividades son más recomendables para enseñar matemáticas en
primer año de primaria?
d) ¿A qué dificultades se ha enfrentado cuando enseña matemáticas a este nivel
escolar?
e) ¿Qué elementos son fundamentales para aprender matemáticas?
f) ¿Qué papel representan los errores de los estudiantes en el aprendizaje de las
matemáticas en la educación primaria?
Referencias
Paquete de libros de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, SEP,
programa nacional de Actualización permanente, 1995.
Ligas importantes en Internet
http://www.youtube.com/watch?v=H5tOVFDlXPc&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=XEfxnHDh-QY&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI http://www.docente.mendoza.edu.ar/matematica/tangram.htm http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/tangram.htm http://www.mallorcaweb.net/tangrampeces/index.htm http://www.bbc.co.uk/wales/snapdragon/yesflash/menu.shtml http://www.bbc.co.uk/wales/snapdragon/yesflash/how-many-1.htm http://www.juegos.com/juegos/matematicas/matematicas.html?gclid=CPumxLr5hKICFRYBiQodE3PZFQ http://www.arcytech.org/java/integers/integers.html http://recursostic-cole.blogspot.com/2007/02/matemticas-1-ciclo.html http://aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_prim_mate.html http://www.elhuevodechocolate.com/mates.htm http://www.vedoque.com/ http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=escondite http://www.portalplanetasedna.com.ar/escuelita.htm http://www.pipoclub.com/webonline/webonline.htm http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/juego_tabla_multiplicar_1.php http://www.pekegifs.com/pekemundo/sumas/sumas.swf