Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Integrala Riemann
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Integrala Riemann
1 Definiţie. Proprietăţi
2 Aplicaţii ale integralei Riemann
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţie. Proprietăţi
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 1.1
Fie [ a,b ] un interval ı̂nchis şi mărginit din R. Se numeştediviziune a intervalului [ a,b ] un sistem de puncte
∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Mulţimea diviziunilor intervalului [ a,b ] o vom nota D[ a,b ].
Norma diviziunii
‖∆‖ = max1≤i≤n
(xi − xi−1).
Sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ∆
{ξ1, ξ2, . . . , ξn}, ξi ∈ [ xi−1, xi ], i = 1,n.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 1.2
Fie f : [ a,b ]→ R, fie ∆ ∈ D[ a,b ] şi fie (ξi)ni=1 un sistem depuncte intermediare asociat diviziunii ∆. Numărul real
σ∆(f , ξi) =n∑
i=1
f (ξi) · (xi − xi−1) (1.1)
se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f , diviziunii ∆ şisistemului de puncte intermediare (ξi)ni=1.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 1.3
Funcţia f : [ a,b ]→ R se numeşte integrabilă Riemann(integrabilă) pe intervalul [ a,b ] dacă există un număr realI = I(f ) astfel ı̂ncât pentru orice ε > 0, există ηε > 0 astfel capentru orice diviziune ∆ ∈ D[ a,b ] cu ‖∆‖ < ηε şi pentru oricealegere a punctelor intermediare (ξi)ni=1 are loc
|σ∆(f , ξi)− I| < ε. (1.2)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Numărul I = If asociat funcţiei integrabile f : [ a,b ]→ R esteunic determinat, se numeşte integrala definită (sau integralaRiemann) a funcţiei f pe intervalul [ a,b ] şi se notează
If =
b∫a
f (x) dx .
Mulţimea funcţiilor integrabile pe [ a,b ] o vom nota R([ a,b ]).Prin definiţie
a∫a
f (x) dx = 0,
a∫b
f (x) dx = −b∫
a
f (x) dx . (1.3)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Interpretare geometricăDacă f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci suma Riemannreprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de bază xi − xi−1 şiı̂nălţime f (ξi), astfel ı̂ncât σ∆(f , ξi) aproximează aria mulţimiidin plan, numită subgraficul funcţiei f
Df = {(x , y) | x ∈ [ a,b ], 0 ≤ y ≤ f (x)}.
ObservaţieIntegrala definită a unei funcţii este un număr real spredeosebire de integrala nedefinită care este o mulţime de funcţii(mulţimea primitivelor).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.1
Orice funcţie f : [ a,b ]→ R integrabilă Riemann este mărginităpe intervalul [ a,b ], adică există m, M ∈ R astfel ı̂ncât
m ≤ f (x) ≤ M,
pentru orice x ∈ [ a,b ].
Teorema 1.2
Fie f ,g : [ a,b ]→ R, f ∈ R([ a,b ]) şi g(x) = f (x), pentru oricex ∈ [ a,b ] \ A, A ⊆ [ a,b ], mulţime finită. Atunci g ∈ R([ a,b ]) şi
b∫a
g(x) dx =
b∫a
f (x) dx .
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.3
Funcţia f : [ a,b ]→ R este integrabilă dacă şi numai dacă areloc următoarea proprietate: există I = I(f ) ∈ R astfel ı̂ncâtpentru orice şir de diviziuni ale intervalului [ a,b ], (∆n)n,∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn}, cu limn→∞ ‖∆n‖ = 0 şi pentru orice sistem
de puncte intermediare (ξni )kni=1, ξ
ni ∈ [ x
ni−1, x
ni ], i = 1, kn, şirul
sumelor Riemann (σ∆n (f , ξni ))n converge la I, adică,
limn→∞
σ∆n (f , ξni ) =
b∫a
f (x) dx .
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Exemplul 1.1Să se arate că funcţia lui Dirichlet f : [0,1]→ R
f (x) ={
1, x ∈ Q,0, x ∈ R \Q
nu este integrabilă.
Fie ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn} un şir de diviziuni ale intervalului[0,1] şi fie {ξn1 , ξn2 , . . . , ξnkn}, {c
n1 , c
n2 , . . . , c
nkn},
ξni , cni ∈ [ x
ni−1, x
ni ], i = 1, kn două sisteme de puncte
intermediare alese astfel ı̂ncât ξni ∈ Q iar cni ∈ R \Q,
i ∈ {1,2, . . . , kn}. Atuncif (ξni ) = 1, limn→∞σ∆n (f , ξ
ni ) = limn→∞1 = 1, iar
f (cni ) = 0, limn→∞σ∆n (f , cni ) = limn→∞0 = 0,
deci f nu este integrabilă.Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.4
Fie f ,g : [ a,b ]→ R integrabile pe intervalul [ a,b ] şi λ ∈ Ratunci f + g şi λf sunt integrabile pe [ a,b ] şi au loc
b∫a
[f (x) + g(x)] dx =
b∫a
f (x) dx +
b∫a
g(x) dx ,
b∫a
λf (x) dx = λ
b∫a
f (x) dx .
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.5
Fie f : [ a,b ]→ R integrabilă cu f (x) ≥ 0 pentru oricex ∈ [ a,b ]. Atunci
b∫a
f (x) dx ≥ 0.
1◦ Dacă f ,g ∈ R([ a,b ]), f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,b ], atuncib∫
a
f (x) dx ≤b∫
a
g(x) dx . (1.4)
2◦ Dacă f ∈ R([ a,b ]) şi m ≤ f (x) ≤ M, ∀ x ∈ [ a,b ], atunci
m(b − a) ≤b∫
a
f (x) dx ≤ M(b − a). (1.5)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.6
Fie f : [ a,b ]→ R şi fie c ∈ (a,b). Dacă restricţiile funcţiei f lafiecare din intervalele [ a, c ] şi [ c,b ] sunt integrabile, atunci feste integrabilă pe [ a,b ] şi
b∫a
f (x) dx =
c∫a
f (x) dx +
b∫c
f (x) dx .
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Formula lui Leibniz-Newton
Teorema 1.7
Fie f : [ a,b ]→ R o funcţie integrabilă şi care admiteprimitive. Atunci pentru orice primitivă F are loc
b∫a
f (x) dx = F (b)− F (a). (1.6)
b∫a
f (x) dx = F (x)∣∣∣∣ba
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Există funcţii integrabile pe un interval care nu admit primitivepe acel interval.
g : [0,1]→ R, g(x) =
1, x 6= 1
2,
0, x =12.
g se obţine din funcţia continuă f : [0,1]→ R, f (x) = 1, prin
modificarea valorilor ı̂ntr-un singur punct x0 =12
, şi rezultă că geste integrabilă pe [0,1] şi
1∫0
g(x) dx =
1∫0
1 · dx = 1.
Pe de altă parte g nu are primitive deoarece nu areproprietatea lui Darboux pe [0,1].
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Există funcţii care admit primitive pe un interval dar nu suntintegrabile pe acel interval.
f : [−1,1]→ R, f (x) =
2x sin
1x2− 2
xcos
1x2, x 6= 0,
0, x = 0,
admite primitive. Se arată uşor că F : [−1,1]→ R definită prin
F (x) =
x2 sin
1x2, x 6= 0,
0, x = 0,
este derivabilă şi F ′ = f , deci este primitivă pentru f . Pe de altăparte funcţia f este nemărginită pe [−1,1], deci nu poate fiintegrabilă.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Clase de functii integrabile
Orice funcţie monotonă f : [ a,b ]→ R este integrabilă.Orice funcţie continuă f : [ a,b ]→ R este integrabilă.Orice funcţie continuă pe porţiuni f : [ a,b ]→ R esteintegrabilă.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Prima formulă de medie
Teorema 1.8
Fie f ,g : [ a,b ]→ R două funcţii integrabile pe [ a,b ] şi fiem = inf
x∈[ a,b ]f (x) şi M = sup
x∈[ a,b ]f (x). Dacă g(x) ≥ 0 (sau
g(x) ≤ 0) pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci există numărulµ ∈ [ m,M ] astfel ı̂ncât
b∫a
f (x)g(x) dx = µ
b∫a
g(x) dx . (1.7)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema 1.9
Fie f ,g : [ a,b ]→ R două funcţii integrabile pe [ a,b ]. Dacă feste continuă pe intervalul [ a,b ] şi g(x) ≥ 0 (sau g(x) ≤ 0)pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci există c ∈ [ a,b ] astfel ı̂ncât
b∫a
f (x)g(x) dx = f (c)
b∫a
g(x) dx . (1.8)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema de medie
Teorema 1.10
(i) Dacă f : [ a,b ]→ R este integrabilă şi m = infx∈[ a,b ]
f (x),
M = supx∈[ a,b ]
f (x), atunci există numărul µ ∈ [ m,M ] astfel
ı̂ncâtb∫
a
f (x) dx = µ(b − a). (1.9)
(ii) Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, atunci există c ∈ [ a,b ]astfel ı̂ncât
1b − a
b∫a
f (x) dx = f (c). (1.10)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Dacă f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ a,b ] şi scriem relaţia (1.10)sub forma
f (c)(b − a) =b∫
a
f (x) dx
deducem că există c ∈ [ a,b ] astfel ı̂ncât subgraficul funcţiei fare aceeaşi arie cu dreptunghiul de bază b − a şi ı̂nălţime f (c).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Propoziţia 1.1
1. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, atunci∣∣∣∣∣∣b∫
a
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣ ≤b∫
a
|f (x)|dx .
2. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă şi pozitivă, atunci
d∫c
f (x) dx ≤b∫
a
f (x) dx , ∀ [ c,d ] ⊆ [ a,b ],
3. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, pozitivă şi neidentic nulă,atunci
b∫a
f (x) dx > 0.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Integrala cu limita superioară variabilă
F : [ a,b ]→ R definită prin
F (x) =
x∫a
f (t) dt , x ∈ [ a,b ]. (1.11)
se numeşte integrala cu limita superioară variabilă.
Teorema 1.11
Fie f : [ a,b ]→ R integrabilă pe [ a,b ]. Atunci funcţiaF : [ a,b ]→ R definită prin (1.11) este uniform continuă pe[ a,b ].
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţiicontinue
Teorema 1.12
Fie f : [ a,b ]→ R continuă. Atunci funcţia F : [ a,b ]→ Rdefinită prin (1.11)
F (x) =
x∫a
f (t) dt , x ∈ [ a,b ]
este o primitivă a funcţiei f , care se anulează ı̂n punctul a.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Formula de integrare prin părţi
Teorema 1.13
Dacă f ,g : [ a,b ]→ R sunt funcţii derivabile cu derivatecontinue, atunci
b∫a
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)∣∣∣∣ba−
b∫a
f ′(x)g(x) dx . (1.12)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Formula schimbării de variabilă
Teorema 1.14
Fie ϕ : [ a,b ]→ [ c,d ] o funcţie derivabilă, cu derivata continuăpe [ a,b ] şi fie f : [ c,d ]→ R o funcţie continuă. Atunci are locformula
b∫a
f (ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =ϕ(b)∫
ϕ(a)
f (x) dx . (1.13)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Fie a > 0 şi fie f : [−a,a ]→ R o funcţie continuă.
Dacă f este funcţie pară
f (−x) = f (x), pentru orice x ∈ [−a,a ], atunci
a∫−a
f (x)dx = 2
a∫0
f (x)dx .
Dacă f este funcţie impară (
f (−x) = −f (x), pentru orice x ∈ [−a,a ], atunci
a∫−a
f (x)dx = 0.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Aplicaţii ale integralei Riemann
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Aria subgraficului
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.1
O mulţime E ⊂ R2 se numeşte elementară dacă
E =n⋃
i=1
Di , (2.1)
unde Di , i = 1,2, . . . ,n sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cuaxele de coordonate, iar orice două dreptunghiuri diferite au celmult o latură comună. Definim aria mulţimii elementare prin
aria(E) :=n∑
i=1
aria(Di).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.2
O mulţime mărginită A ⊂ R2 are arie dacă există două şiruri demulţimi elementare (En)n∈N, (Fn)n∈N, astfel ı̂ncât En ⊆ A ⊆ Fn,pentru orice n ∈ N, iar şirurile de numere reale pozitive(aria(En))n∈N şi (aria(Fn))n∈N sunt convergente şi au aceeaşilimită. Definim aria mulţimii A prin
aria(A) := limn→∞
aria(En) = limn→∞ aria(Fn).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Exemplul 2.1
Subgraficul funcţiei lui Dirichlet nu are arie
f : [ 0,1 ]→ R, f (x) ={
1, x ∈ [ 0,1 ] ∩Q,0, x ∈ [ 0,1 ] \Q,
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Df = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ 0,1 ], 0 ≤ y ≤ f (x)}Dacă E şi F sunt elementare astfel ı̂ncât E ⊆ Df ⊆ F , atunci
aria(E) = 0 şi aria(F ) ≥ 1.Deoarece ı̂ntre două numere reale există ı̂ntotdeauna unnumăr iraţional, rezultă că orice dreptunghi inclus ı̂n Df areı̂năţimea egală cu 0, deci aria sa este nulă. Cum mulţimeaelementară E ⊆ Df se scrie ca reuniune de astfel dedreptunghiuri, rezultă imediat că aria(E) = 0. Pe de altă parte,pătratul [ 0,1 ]× [ 0,1 ], care are aria 1, este cea mai micămulţime elementară ce include Df , prin urmare aria(F ) ≥ 1.Fie şirurile de mulţimi elementare (En)n∈N, (Fn)n∈N, astfel ı̂ncâtEn ⊆ Df ⊆ Fn. Atunci aria(En) = 0 şi aria(Fn) ≥ 1 pentru oricen ∈ N deci
limn→∞
aria(En) = 0 < 1 ≤ limn→∞ aria(Fn)
şi prin urmare Df nu are arie. Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Aria subgraficului
Teorema 2.1
Dacă f : [ a,b ]→ R+ este continuă atunci mulţimea plană
Df = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], 0 ≤ y ≤ f (x)}
numită subgraficul funcţiei f , are arie şi
aria(Df ) =
b∫a
f (x) dx . (2.2)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Aria porţiunii dintre două grafice
Teorema 2.2
Dacă f ,g : [ a,b ]→ R sunt continue şi f (x) ≤ g(x) pentru oricex ∈ [ a,b ], atunci mulţimea plană cuprinsă ı̂ntre graficelefuncţiilor f şi g şi dreptele x = a, x = b, adică mulţimea
Df ,g = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], f (x) ≤ y ≤ g(x)},
are arie şi
aria(Df ,g) =
b∫a
(g(x)− f (x)) dx .
Exemplul 2.2Să se calculeze aria mulţimii plane cuprinsă ı̂ntre paraboleley2 = ax, x2 = ay, a > 0.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Volumul corpului de rotaţie
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.3
Fie f : [ a,b ]→ R+. Mulţimea
Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√
y2 + z2 ≤ f (x)}
se numeşte corpul de rotaţie determinat de f ı̂n jurul axei Ox.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Dacă f : [ a,b ]→ R+ este funcţie constantă pe porţiuni, adicăexistă o diviziune∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b, astfel ı̂ncâtf (x) = ci pentru orice x ∈ ( xi−1, xi ), i = 1,n, atunci corpul derotaţie determinat de f este format din n cilindri. Aceastămulţime se numeşte mulţime cilindrică elementară iarvolumul său este
vol(Vf ) = πn∑
i=1
c2i (xi − xi−1).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.4
Fie f : [ a,b ]→ R+. Spunem că mulţimea obţinută prin rotireasubgraficului funcţiei f ı̂n jurul axei Ox,
Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√
y2 + z2 ≤ f (x)},
are volum dacă există două şiruri de mulţimi cilindriceelementare (Gn)n∈N, (Hn)n∈N, astfel ı̂ncât Gn ⊆ Vf ⊆ Hn,pentru orice n ∈ N, iar şirurile de numere reale pozitive(vol(Gn))n∈N şi (vol(Hn))n∈N sunt convergente şi au aceeaşilimită. Definim volumul mulţimii Vf prin
vol(Vf) := limn→∞
vol(Gn) = limn→∞
vol(Hn).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
bf Volumul corpului de rotaţie
Teorema 2.3
Dacă f : [ a,b ]→ R+ este continuă atunci corpul de rotaţiedeterminat de f , adică mulţimea
Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√
y2 + z2 ≤ f (x)}
are volum şi acesta este dat de formula
vol(Vf ) = π
b∫a
f 2(x) dx . (2.3)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Exemplul 2.3Volumul paraboloidului de rotaţie, obţinut prin rotaţiasubgraficului funcţiei f : [ 0,a ]→ R, f (x) =
√2px, p > 0 este
vol(Vf ) = π
a∫0
2px dx = πa2p.
Exemplul 2.4Volumul hiperboloidului de rotaţie, obţinut prin rotaţiasubgraficului funcţiei f : [ a,b ]→ R, f (x) =
√x2 − a2, este
vol(Vf ) = π
b∫a
(x2 − a2) dx = π3
(b3 + 2a3 − 3a2b).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Lungimea graficului
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.5
Fie f : [ a,b ]→ R şi fie ∆ o diviziune arbitrară a intervalului[ a,b ] :
∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Definim funcţia poligonală asociată lui f şi lui ∆ prinf∆ : [ a,b ]→ R
f∆(x) = f (xi−1)+f (xi)− f (xi−1)
xi − xi−1(x−xi−1), dacă x ∈ [ xi−1, xi ], i = 1,n.
Lungimea graficului funcţiei poligonale f∆ este:
`(f∆) =n∑
i=1
√(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))2.
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Definiţia 2.6
Fie f : [ a,b ]→ R o funcţie continuă şi fie
Γf = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], y = f (x)}
graficul său. Spunem că graficul Γf are lungime finită dacăexistă o constantă M ≥ 0 astfel ı̂ncât pentru orice diviziune ∆ aintervalului [ a,b ], avem `(f∆) ≤ M. În acest caz definimlungimea graficului funcţiei f prin
`(Γf ) := sup{`(f∆) | ∆ ∈ D([ a,b ])}.
Dacă Γf are lungime finită, atunci există un şir de diviziuni(∆n)n∈N ale intervalului [ a,b ] astfel ı̂ncât
limn→∞
‖∆n‖ = 0 şi limn→∞ `(f∆n ) = `(Γf ).
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Lungimea graficului
Teorema 2.4
Dacă f : [ a,b ]→ R+ este o funcţie de clasă C1([ a,b ])(derivabilă cu derivata continuă), atunci graficul lui f arelungime finită şi
`(Γf ) =
b∫a
√1 + (f ′(x))2 dx . (2.4)
Integrala Riemann
Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann
Exemplul 2.5
Să se calculeze lungimea arcului de parabolă y = x2, cuprinsı̂ntre punctele O(0,0) şi A(1,1).
Integrala Riemann
Definitie. ProprietatiAplicatii ale integralei Riemann
Recommended