Sergio Yansen Núñez
Derivación Implícita
1. Sea una función definida implícitamente por la ecuación:C œ 0ÐBÑ
C † C � B � BC œ B � #%$a b# # #
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación , en elC œ 0 Ba bpunto de abscisa .B œ !
Solución:
Sea el punto de la curva donde se desea determinar la tangente.Ð!ß 5Ñ
Reemplazando el punto en la ecuación se obtiene:C † C � B � BC œ B � #%$a b# # #
5 † 5 � ! � ! † 5 œ ! � #%$ Í 5 œ #%$ Í 5 œ $a b# # &#
Cálculo de :C Ð!Ñw
/ C † C � B � BC œ B � #%$a b# # # ..B
C † C � B � C † # C � B Ð#C † C � #BÑ � C � BC œ "w # # # # w w#a b a b reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:B œ !ß C œ $
(0) 3 0 3 3 0 3 (0) 0 3 0 (0)C † � � † # � Ð# † † C � # † Ñ � � † C œ "w # # # # w w#a b a b (0) 81 (0) (0)C † � $#%C � $ œ " Í C œ w w w #
%!& Sea la ecuación de la recta tangenteC œ 7B � ,
7 œ Ê C œ † B � ,# #%!& %!&
Reemplazando el punto en la ecuación se obtieneÐ!ß $Ñ C œ † B � , #%!&
, œ $
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 3 .C œ �#B%!&
Sergio Yansen Núñez
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definidaC œ 0ÐBÑimplícitamente por la ecuación en el punto ÈC � BC œ & Ð%ß "Ñ Þ#
Solución: ÈC � BC œ & y# ..B
"#† CÈ C � C � #BCC œ !w # w
Š ‹"
#† CÈ � #BC C œ Cw #
C œw
�C
�#BC
#
"#† CÈ
C œ wÐ%ß"Ѹ #
"(
La pendiente de la recta tangente en el punto indicado es 7 œ #
"(
Sea la ecuación de la recta tangenteP À C œ 7B � ,
Reemplazando y en se obtiene Ð%ß "Ñ 7 œ C œ 7B � , , œ# #&"( "(
Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto es:Ð%ß "Ñ
C œ B �# #&"( "( .
3. Determine la pendiente de la recta normal a la curva del diabloC � *B œ %C � B Ð$ß #Ñ% # # % en el punto .
Solución: C � *B œ %C � B Î% # # % .
.B
%C † C � ")B œ )C † C � %B$ w w $
C œw %B �")B
%C �)C
$
$
C œ w
Ð$ß�#ѹ #(
)
la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es Ð$ß #Ñ #(
)
la pendiente de la recta normal a la curva en el punto es Ð$ß #Ñ 827
Sergio Yansen Núñez
4. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑB � BC � C œ $# # . Determine la ecuación de la recta tangente a la curvaC œ 0ÐBÑ C œ "en el punto, ubicado en el primer cuadrante, de ordenada .
Solución:
Sea el punto donde se determinará la tangente a la curva.Ð2ß "Ñ
Reemplazando en la ecuación Ð2ß "Ñ B � BC � C œ $# # se obtiene: 2 � 2 � " œ $#
2 � 2 # œ !#
Ð2 "ÑÐ2 � #Ñ œ !
pues pertenece al primer cuadrante2 œ " Ð"ß "Ñ
B � BC � C œ $ Î# # ..B
#B � C � B † C � #C † C œ !w w
ÐB � #CÑC œ C #Bw
C œw�C�#BB�#C
C Ð"Ñ œ œ "w �"�#"�#
Recta tangente: donde C œ 7B � , 7 œ C Ð"Ñ œ "w
Se tiene C œ B � ,
Reemplazando en se obtiene Ð"ß "Ñ C œ B � , " œ " � , Í , œ #
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ B � #
Sergio Yansen Núñez
5. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑBC œ / � / #B C .
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por en elC œ 0ÐBÑpunto .Ð!ß !Ñ
Solución:
BC œ / � / #B C
es un punto de la curva, puesÐ!ß !Ñ
0 † ! œ / � / #! !
! œ !
BC œ / � / #B C ‚ ..B
C � BC œ / � / † Cw B C w
BC / † C œ / Cw C w B
C B / œ / Cw C Bˆ ‰ C œw / � C
B� /
B
C
C œ œ "w
ÐBßCÑœÐ!ß!Ѻ / � !
!� /
!
!
La recta tangente donde X À C œ 7B � , 7 œ " X À C œ B � ,
Ð!ß !Ñ − X ! œ ! � , , œ !
Por tanto, la recta tangente viene dada por la ecuación C œ B
Sergio Yansen Núñez
6. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑB � BC � )/ œ !$ $ C .
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de ordenadaC œ !.
Solución:
Sea un punto de la curva, reemplazando las componentes de Ð2ß !Ñ Ð2ß !Ñen se obtiene .B � BC � )/ œ ! 2 � ) œ ! Ê 2 œ #$ $ C $
Cálculo de :C Ð #Ñw
/B � BC � )/ œ !$ $ C ..B
$B � C � B † $C † C � )/ † C œ !# $ # w C w
Ð$BC � )/ ÑC œ $B C# C w # $
C œw
�$B �C$BC �)/
# $
# C
C Ð #Ñ œ œ w �$Ð�#Ñ �!$†Ð�#ц! �)/ #
$# $
# !
Sea la recta tangente con X À C œ 7B � , 7 œ C Ð #Ñ œ w $#
Reemplazando en se obtiene .Ð #ß !Ñ C œ B � , , œ $$#
Por tanto, la recta tangente es X À C œ B � $$#
Sergio Yansen Núñez
7. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva , definidaC œ 0ÐBÑimplícitamente por la ecuación , en el punto de abscisa68ÐCÑ BC œ / "#B
B œ !.
Solución: Si B œ !
68ÐCÑ œ ! Ê C œ "
T œ Ð!ß "Ñ
68ÐCÑ BC œ / " Î#B ..B
"C .B .B
.C .C† C � B † œ #/Š ‹ #B
"C .B .B
.C .C† C B † œ #/ Î † C#B
.C .C.B .B C BC † œ #C/# #B
+ Š ‹" BC † œ #C/ C.C.B
#B #
.C #C/ � C.B "�BCœ
#B #
.C.B "�!
#�"¹Ð!ß"Ñ
œ œ $
X À C œ $B � ,
Ð!ß "Ñ − X Ê " œ ,
X À C œ $B � "
Sergio Yansen Núñez
8. Considere la ecuación que define implícitamente a como#BC
#
#BC � $ œ ! C
función de . Determine el valor de cuando e es un valor positivo.B C B œ " Cw
Solución
Reemplazando en se obtieneB œ " #BC � $ œ !#BC
#
# "C # #C � $ œ ! Ê C œ ” C œ #
Como , se tienen que C � ! C œ #
#B .C .B
#
#BC � $ œ ! Î
# #ÐC � BC Ñ œ ! Î †Š ‹#BC � B C CC #
# w #
#w
#BC B C C BC C œ !# w $ # w
#BC C œ ÐB � BC ÑC$ # # w
C œw#BC � CB �BC
$
# #
C œ œ w
Bœ"ß Cœ#¹ %�) %
"�% &
Sergio Yansen Núñez
9. Considere la relación que define implícitamente a ÐB � C Ñ œ BC � "' C# # #
como función de . Determine el valor de cuando la abscisa es negativa y laB Cw
ordenada es .C œ !
Solución:
ÐB � C Ñ œ BC � "'# # #
#ÐB � C ÑÐ#B � #C † C Ñ œ C � B † C# # w w
%BÐB � C Ñ � %CÐB � C Ñ † C œ C � B † C# # # # w w
%CÐB � C Ñ † C B † C œ C %BÐB � C Ñ# # w w # #
Š ‹%CÐB � C Ñ B C œ C %BÐB � C Ñ# # w # #
C œwC � %BÐB �C Ñ%CÐB � C Ñ�B
# #
# #
Para , se obtiene C œ ! B œ #
C œ "'w
Ð�#ß!ѹ