Desigualdad Matemtica

En matemticas, una desigualdad es una relacin de orden que se da entre dos valores cuando stos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad), y no debe confundirse con inecuacin. Si los valores en cuestin son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notacin a < b significa a es menor que b La notacin a > b significa a es mayor que b

Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; tambin puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

La notacin a b significa a es menor o igual que b La notacin a b significa a es mayor o igual que b

Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

La notacin a b significa a es mucho menor que b La notacin a b significa a es mucho mayor que b

Esta relacin indica por lo general una diferencia de varios rdenes de magnitud. La notacin a b significa que a no es igual a b. Tal expresin no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Propiedades de las Desigualdades:

Las siguientes son las propiedades de las desigualdades de los nmeros reales. Estn cercanamente relacionadas a las propiedades de desigualdad, pero hay diferencias importantes. Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un nmero negativo, debe invertir la desigualdad.

Propiedad Transitiva:Sixz.Siempre que un elemento se relaciona con otro y ste ltimo con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero4 < 2 y 2 < 1 entonces, por transitividad 4 < 1

Propiedad de la Suma:

six 5 + 2

Propiedad de la Resta:Para todos los nmeros realesx,y, yz,six < y,entoncesxz 7 2 > - 6- 2 3 > - 6 - 3- 5 > - 9

Propiedad de la Multiplicacin:Para todos los nmerosrealesx,y, yz,six 7

12 * 3 > 7 * 3

Propiedad de la Divisin:six > y,entonces

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se dividen a cada miembro, en un mismo divisor positivo.

6 > 146 / 2 < 14 / 23 < 7

Propiedad de la Potenciacin:

Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido

- 2 > - 4-23 > - 43- 8 > - 64

Procedimiento para Resolver una desigualdad:Una desigualdad es similar a una ecuacin. Hay dos expresiones separadas por un smbolo que indica como una _expresin se relaciona con la otra. En una ecuacin tal como 7x = 49, el signo = indica que las expresiones son equivalentes. En una desigualdad, tal como 7x > 49, el signo igual indica que el lado izquierdo es mayor que el lado derecho. Para resolver la desigualdad 7x > 49, seguimos los mismos pasos que para las ecuaciones. En este caso, divide ambos lados por 7 entonces x > 7. Esto implica que x es un valor y es mayor a 7 y nunca igual o menor a 7.En las desigualdades tambin se puede encontrar el signo menor que ( 0 , () donde a y b son constantes, (a 0) . Resolver una desigualdad es conseguir todos los valores x que satisfacen est relacin, el conjunto solucin suele ser un intervalo.Las desigualdades lineales surgen del planteamiento de determinados problemas, como por ejemplo, en una industria cuntas unidades deber producirse de un artculo si se desea tenerutilidades semanales mayores a 10.000UM?. Tambin son importantes en la resolucin de determinados planteamientos matemticos. Repasemos algunos conceptos y resultados que nos sern de utilidad para puntualizar la resolucin de desigualdades lineales. Podemos decir: 3 < 1 , 1 < 3 1 < 0 y 1 > 0 .La expresin a > 0 es equivalente a decir que a es positivo. Recordemos que uno de los bjetivos de esta seccin es resolver desigualdades lineales con una variable. Es decir encontrar aquellos valores de x que satisfacen la desigualdad. Hay desigualdades lineales cuya solucin es evidente:

x > a . La solucin es el intervalo (a, ) x < a . La solucin es el intervalo (, a) x a . La solucin es el intervalo [a, ) x a . La solucin es el intervalo (, a]

Desigualdades Triviales:

Algunas desigualdades triviales tienen como solucin el conjunto vacio o bien toda la recta real R.

Ejemplo 1.- Resolver la desigualdad

1 (1 2 x) 3 2 x2

Solucin: Se recomienda en en caso de desigualdades con fracciones. Multiplicar por el m.c.m. de los denominadores ambos lados de la desigualdad a fin de evitar trabajar con fracciones. En este caso el m.c.m. de los denominadores es 2

2 (1 2 x) 3 2[2 x] 2(1 2 x) 6 4 2 x5 4

Se distribuye el 2 y luego se simplifica.Esta desigualdad se cumple para cualquier valor de x. Por tanto el conjunto solucin es R.

Aplicacion de desigualdades en calculo:

Ser importante posteriormente que el estudiante determine para determinadas expresiones algebraica cuales son los valores de la variable que hacen que la expresin est bien definida y sea un nmero real.

Ejemplo 1.- Determine para cada expresin algebraica cuales son los valores de la variable que hacen que la expresin est bien definida y sea un nmero real.

Solucin:Para que la expresin 3 2 x sea un nmero real el radicando debe ser mayor o igual a 0. Ennotacin matemtica esto es una desigualdad lineal la cual resolvemos:

-2 x 3-3 x 23 x 2

3 2 x est bien definida y es un nmero real en (, ] .

Aplicacion de desigualdades en calculo:

Ya hemos visto que este tipo de expresin es equivalente a:

a < cx + d y cx + d < b

Se pueden resolver ambas desigualdades y luego determinar la parte comn de ambos conjuntos solucin. Pero en general, es preferible resolverla simultneamente. Ambos procedimientos lo ilustraremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.- Resolver la desigualdad 7 2(3 x ) 9

Solucin:Alternativa 1: (Resolver por separado y luego determinar la parte comn de los conjuntossolucin) Esta doble desigualdad es equivalente a:

7 2(3 x )y2(3 x ) 9

Se resuelve cada una

7 6 2xy6 2x 97 6 2 xy 2x 9 61 2 xy 2x 3Se pasa -2 dividiendo13 xyx El sentido de la desigualdad se invierte22 + 13 xyx22

El conjunto solucin es la interseccin de ambas soluciones. Grficamente es la parte comn de los conjuntos solucin:

Ecuaciones con desigualdades:Para realizar este proceso, hay que entender que una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dos expresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos que son: ,,. La expresin a b significa que " a " no es igual a " b".

Segn los valores particulares de a y de b, puede tenerse a > b , que se lee a mayor que b , cuando la diferencia a - b es positiva y a < b que se lee a menor que b , cuando la diferencia a - b es negativa.

La notacin a b , que se lee a es mayor o igual que b , significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notacin a b que se lee a es menor o igual que b , significa que a < b o que a = b pero no ambos.

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numricas o algebraicas relacionadas con alguno de los smbolos >, 3 a b entonces b < a. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales:

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x

Desigualdad condicional es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las literales.

Por ejemplo: 3x -15 > 0 que solamente satisface para x > 5. En este caso se dice que 5 es el lmite de x. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.