CUARTA GUÍA
MATEMÁTICAS BÁSICAS II PMMT – 21 DETERMINANTES
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un escalar (un número), obtenido a partir de los elementos de una
matriz por operaciones especificadas, y que es característico de la matriz. Los determinantes están
definidos solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz 2 2 .
11 12
21 22
a aA
a a
está dado por
det
A A a11a22a12a21
EJEMPLO
Si
A 3 6
4 1
entonces
A 3 6
4 1 3 24 27
Si
A 1 0
6 10
entonces
A 1 0
6 10100 10
Análogamente, el determinante de una matriz 3 3 ,
A
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
está dado por
A a11a22a33a12a23a31a13a32a21a13a22a31a23a32a11a33a21a12
Los términos se pueden obtener por la regla ilustrada en la figura, en donde los términos de
productos positivos se forman con los elementos unidos por líneas continuas, y los términos de
productos negativos se componen de los elementos unidos por líneas punteadas. Observemos que
reglas similares no son válidas para matrices de orden superior.
Resulta tedioso emplear esta reglas para obtener el determinante de una matriz de orden mayor
que, digamos, 3 3 , por ejemplo, el determinante de una matriz 4 4 .
Determinantes de matrices de orden mayor que 3 3 suelen calcularse por un procedimiento
conocido como desarrollo por cofactores. Por ejemplo, el determinante de la matriz 3 3 anterior se
puede escribir
A a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a23
a32 a33
a12
a21 a23
a31 a33
a13
a21 a22
a31 a32
Observamos que cada determinante en la suma es el determinante de una submatriz de A que se obtiene
omitiendo una fila y una columna particulares de A. Estos determinantes se llaman menores.
DEFINICIÓN: Sea
M i j la matriz n 1 n 1 obtenida al omitir la i-ésima fila y la j-
ésima columna de
Ann .
El determinante
Mi j es un menor de la matriz A. El escalar
Ci j 1 i jMi j se denomina cofactor del
elemento
ai j de la matriz A. La matriz n x n
Ci j
se denomina adjunta de A y se representa por adj A.
Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un procedimiento
conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A puede desarrollarse en términos de la
fila i por la fórmula:
A ai j Ci jj1
n
para cualquier fila i = 1, 2, …, n,
y en términos de la columna j por la fórmula:
A ai j Ci ji1
n
para cualquier columna j = 1, 2, …, n
Por tanto el determinante de
A33 expresado antes como
A a11
a22 a23
a32 a33
a12
a21 a23
a31 a33
a13
a21 a22
a31 a32
se puede escribir
A a11C11 a12C12 a13C13 a1 jC1 j
j1
3
EJEMPLO
Evalúe el determinante de la matriz
A
3 0 2
6 8 1
0 3 4
A 960 36 090 141
o bien, desarrollando en términos de la primera fila,
A 38 1
3 402
6 8
0 3 3 32 3 2 180 105 36141
Efectuando el desarrollo en función de la segunda columna,
A 083 2
0 4 3
3 2
6 1 08 120 3 312 96 45141
Cabe hacer notar que los cofactores son básicamente determinantes, y se puede evaluar por
desarrollos posteriores en términos de determinantes de orden inferior. Por desarrollo repetido, un
determinante de n-ésimo orden puede escribirse en términos de determinantes de segundo o de tercer
orden, los cuales se pueden evaluar fácilmente. Para simplificar los cálculos, un determinante debe
desarrollarse en términos de la fila o de la columna que tenga el mayor número de ceros.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos
sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tiene en esa fila o
columna los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos
que el determinante inicial:
847
531
634221
=
847
531
321
+
847
531
642
21 = 7 + 14
Esta relación se comprueba inmediatamente desarrollando los determinantes.
2. Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número,
el determinante queda multiplicado por dicho número:
011
654
3·52·51·5
= 5
011
654
321
Esta propiedad permite sacar fuera del determinante los factores comunes a todos los elementos de
una fila o columna.
3. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces verifica:
det (A B) = det (A) · det (B)
121
021
012
·
011
543
321
= 13118
13107
1185
3 · 2 = 6
4. Si permutamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo
con respecto al inicial:
1 2 3
3 4 5 10 9 12 5 2
1 1 0
3 4 5
1 2 3 12 5 10 9 2
1 1 0
5. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, su determinante vale
cero:
3 2 5
1 4 2 0
0 0 0
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante vale cero:
1 2 3
1 2 3 2 6 3 6 3 2 0
1 1 1
7. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula:
1 2 3
2 4 6 4 12 6 12 4 6 0
1 1 1
8. Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas),
su determinante vale cero:
1 2 3
4 5 6 45 84 96 105 72 48 0
7 8 9
Las propiedades 5, 6, 7 y 8 pueden resumirse diciendo:
Si el rango de una matriz cuadrada A de orden n es menor que n, su determinante es 0.
El recíproco también es cierto. Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n es 0, su rango es menor que n.
9. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía:
011
543
534231
= 011
543
321
+ 011
543
543
= 011
543
321
En esta transformación, el nuevo determinante se descompone en suma de otros dos, por la primera propiedad; uno es igual al primitivo, y el otro nulo por tener dos filas iguales.
Si una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un
número, su determinante no varía:
Si det
A0, las
bi j’s no están definidas y no se puede obtener
A1. Puede demostrarse, en general, que
una matriz cuadrada de cualquier tamaño tiene una inversa sólo si su determinante es distinto de cero.
Siguiendo el método normal,
Paso1 Paso 2 Paso 2
1 2 1 1 0 0
3 4 5 0 1 0
4 2 6 0 0 1
1 2 1 1 0 0
0 10 2 3 1 0
0 10 2 4 0 1
1 2 1 1 0 0
0 1 15
310
110
0
0 10 2 4 0 1
1 0 75
25
15
0
0 1 15
310
110
0
0 0 0 1 1 1
No puede continuar el procedimiento, y por lo tanto, la matriz no tiene inversa. Observemos que el
proceso pudo interrumpirse al final del Paso 1; al final del mismo, la matriz izquierda tiene dos filas
idénticas, y por consiguiente, el determinante de la matriz es cero (Propiedad 5), y no tiene inversa. El
determinante de la matriz original es cero también (Propiedad 6) y no tiene inversa.
INVERSIÓN MEDIANTE ADJUNTAS Y DETERMINANTES
Un método alternativo de inversión de matrices implica la obtención de la adjunta y el determinante de
la matriz que se desea invertir. Si
A es no singular, es decir, si
A 0 , entonces
A1 1
Aadj A
EJEMPLOS
1. Encontrar la inversa, si existe, de la matriz
A
0 2 3
1 3 3
1 2 2
A 066 90 4 1
o bien, desarrollando con los elementos de la primera fila,
A 0 2 1 12 1 3
1 2 3 1
13 1 3
1 2 02 2 3 3 2 3 1
o efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda columna,
A 2 1 12 1 3
1 2 3 1
22 0 3
1 2 2 1
32 0 3
1 3 2 2 3 3 0 3 2 00 3 1
Obteniendo las adjuntas
C11 1 11 3 3
2 2 66 0 C12 1
12 1 3
1 2 2 3 1 C13 1
13 1 3
1 2 2 31
C21 1 212 3
2 2 4 6 2 C22 1
22 0 3
1 2 0 3 3 C23 1
23 0 2
1 2 02 2
C31 1 312 3
3 3 69 3 C32 1
32 0 3
1 3 0 3 3 C33 1
33 0 2
1 3 02 2
Por lo tanto,
adj A Ci j
0 2 3
1 3 3
1 2 2
A1 1
Aadj A
0 2 3
1 3 3
1 2 2
(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento típico de operaciones de fila).
2. Obtener la inversa, si existe, de la matriz
A
1 2 3
1 0 4
0 2 2
A 006 08 4 10
O bien, desarrollando con los elementos de la primera columna,
A 1 11 0 4
2 2 1
21 2 3
2 20 08 46 10
Efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda fila,
A 1 1 21 2 3
2 20 4 1
23 1 2
0 2 46 0 4 20 10
Obteniendo las adjuntas queda
C11 1 11 0 4
2 2 08 8 C12 1
12 1 4
0 2 20 2 C13 1
13 1 0
0 2 20 2
C21 1 21 2 3
2 2 4 6 2 C22 1
22 0 3
0 2 20 2 C23 1
23 1 2
0 2 20 2
C31 1 31 2 3
0 4 80 8 C32 1
32 1 3
1 4 4 3 7 C33 1
33 1 2
1 0 02 2
Por tanto,
adj A Ci j
8 2 8
2 2 7
2 2 2
A1 1
Aadj A
45
15
45
15
15
710
15
15
15
(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento estándar de operaciones de fila).
3. Obtener la inversa, si existe, de la matriz
A
1 2 1
3 4 5
4 2 6
A 246 40 1610 36 0
Luego A es singular, es decir, A carece de inversa
En general, la inversión por operaciones de fila o de columna es menos laboriosa si los
elementos de la matriz son números enteros pequeños; la inversión por determinantes y adjuntas
implica menos trabajo si los elementos de la matriz son fracciones o números grandes. En el caso de
matrices voluminosas ambos métodos resultan tediosos y se deben usar computadoras electrónicas.
A no ser que se tenga una buena razón para pensar que una matriz es no singular, como en
algunas aplicaciones prácticas, resulta aconsejable primero encontrar su determinante, aun si se
pretende utilizar el método de inversión por operaciones de fila o de columna. Pueden necesitarse
algunas operaciones de fila o de columna antes de que la singularidad de una matriz se haga
evidente usando este método de inversión, y por consiguiente, muchos cálculos innecesarios pueden
evitarse estableciendo primero la existencia de la inversa antes de pretender obtenerla (por cualquier
método).
PROPIEDADES DE LAS INVERSAS
Las siguientes propiedades de las inversas frecuentemente son útiles en su valuación:
1. La inversa de la inversa de una matriz es la matriz original, es decir: 1
1A A
2. El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del determinante de la matriz;
es:
1 1A
A
3. La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz; es: 1 T
T 1A A
4. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden contrario;
es:
1 1 1AB B A
EJEMPLO
Si
A
1 2 3
1 0 4
0 2 2
, entonces
A1
45
15
45
15
15
710
15
15
15
(ver ejemplo anterior)
(Propiedad 1)
A1 1
45
15
45
15
15
710
15
15
15
1
1 2 3
1 0 4
0 2 2
A es decir,
A1 1
A
(Propiedad 2)
A
1 2 3
1 0 4
0 2 2
006 08 4 10
A1
45
15
45
15
15
710
15
15
15
1125
4 72 4 4 141 1
125 252 1
10
es decir,
A1 1
A.
(Propiedad 3)
A 1
1 1 0
2 0 2
3 4 2
1
45
15
15
15
15
15
45
710
15
A1
45
15
45
15
15
710
15
15
15
45
15
15
15
15
15
45
710
15
Así pues1 T
T 1A A
.
(Propiedad 4)
Si
B
1 3 1
0 2 0
2 0 4
, entonces
B1
2 3 12
0 12
0
1 32
12
AB
1 2 3
1 0 4
0 2 2
1 3 1
0 2 0
2 0 4
7 7 13
7 3 15
4 4 8
AB1
7 7 13
7 3 15
4 4 8
1
2110
110
185
110
110
720
1 0 74
B1A1
2 3 12
0 12
0
1 32
12
1
45
15
45
15
15
710
15
15
15
2110
110
185
110
110
720
1 0 74
De modo que
AB 1 B1A1.
1 TT 1A A
1 TT 1A A
1
AB
EJERCICIOS
A. Para cada una de las siguientes matrices, evaluar el determinante y obtener su inversa, si existe.
1.
0 2 1
1 3 4
1 1 1
2.
3 1 3
3 3 1
2 0 3
3.
3 2 1
4 3 1
1 2 4
4.
1 2 1
0 3 2
4 1 0
5.
2 4 6
1 2 3
1 4 9
6.
2 3 4
4 3 1
1 2 4
B. Si
A 2 1
1 2
B
1 0
0 1
C
1 2
3 4
1 2
D 0 1 0
1 1 1
Encuentre:
a. AB2DC
b. A1B1
c.C AB B1
d.CA1B1D
C. Si
A
0 1 1
3 2 3
2 2 3
B
4 3 3
2 1 2
3 3 2
demuestre que
a. A2 B2 12AB
2 I
b. AB 2O