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Proyeccion estereogrfica
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Proyeccin que se obtiene
proyectando el globo sobre un plano
mediante un foco situado en el polo
opuesto del punto de contacto del
globo con el plano de proyeccin.
Tanto los meridianos como los
paralelos son crculos. La
deformacin aumenta simtricamente
hacia el exterior a partir del punto
central.
Tiene una sola propiedad: todos los
crculos en el globo aparecen como
crculos en la proyeccin.
Definicin
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La proyeccin esfrica es un mapa de la tierra
dibujado sobre la superficie de una esfera.
Como deduce la proyeccin esfrica a una
proyeccin bidimensional.
Relacin con la proyeccion esferica
Como se genera la proyeccin estereogrfica
Por tanto
cartgrafos reducen la superficie de la tierra
prcticamente redonda a un mapa plano.
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Pero la esfera no puede ser
representada sin distorsin por
una hoja de papel
Afortunadamente al hacer un mapade las caras de un cristal no nos
preocupa ni su tamao ni su forma.
Queremos representar solo las
posiciones angulares de las caras
de tal manera que pueda representar
una visin idealizada del cristal querevele su simetra real.
Para estos propsitos, dos proyeccionesson las ms tiles:
la proyeccin estereogrfica: es la
mejor para determinar la simetra,
es la ms compacta y la de
construccin ms fcil, y por lo tanto
la que trataremos.
La proyeccin gnomnica: es mejorpara trazar los dibujos de los
cristales(proyecciones clinogrficas)
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de la proyeccin esfrica de un cristal en el planomeridianoceroesto es, el plano que contiene el polo
de (010). El ngulo (phi) de cualquier cara que est
situada en esta seccin es 0 a la derecha del centro y
180 a la izquierda del mismo.
N y S son el polo Norte y el polo Sur de la esfera de
proyeccin, respectivamente y O es el centro del cristalproyectado. Consideremos la cara (011).
OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de
esta cara en la proyeccin esfrica. La lnea desde el
polo Sur, SD, corta la lnea del plano del Ecuador FG en
el punto D que es el polo estereogrfico de (011).
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Entonces se sabe
El ngulo NOD se conoce como ngulo o(rho) con el fin de situar D directamente
en la proyeccin estereogrfica es
necesario determinar la distancia OD en
funcin del ngulo .
ya que el tringulo SOD es issceles
ang ODS=ang OSD, ang ODS + ang
OSD =ang NOD = , por lo tanto, ang
OSD = /2.OS=r, el rayo de la
proyeccin.
tg /2= OD/r, o OD=r.tg /2.
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Cuando los polos de lascaras del cristal se sitan
estereogrficamente, la
simetra de su distribucin
es aparente como la
siguiente figura:
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Plantilla
estereogrfica
En la proyeccin estereogrfica se facilita
mucho la medicin y trazado de ngulos
mediante una plantilla.
En la Figura se representauna de 5 cm de radio,
conocida como red de Wulff
en honor a un cristalgrafo
ruso, G. V. Wulff
Tanto los crculos mximos
como los menores estndibujados en la plantilla a
intervalos de 2 grados
Sobre ella pueden situarse el
conjunto de polos
correspondientes a la
proyeccin de un cristal y
luego leer correctamente losngulos entre dos caras
cualesquiera.
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Consideraremos una esfera unitaria arriba del plano complejo con el polo
sur de la esfera localizado en el origen del plano z. Se ver a
continuacin como extender el plano complejo a la superficie de unaesfera cuyo polo sur corresponde al origen y su polo norte corresponde
al punto z infinito. Todos los dems puntos del plano complejo pueden
ser mapeados de una coleccin de uno a uno en la superficie de la
esfera usando la siguiente construccin. Conectaremos el punto z en el
plano con el polo norte usando una lnea recta. Esta lnea interfecta a laesfera al punto P, y de esta manera cada punto z(=x+iy)en el plano
complejo corresponde nicamente al punto P en la superficie de la
esfera.
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Ejemplo matemtico de proyeccin estereogrfica
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Ahora tenemos que el punto P : (X,Y, Z) en la esfera corresponde con
el punto z=x + iy en el plano
complejo buscando en la superficie
de la esfera, (X, Y, Z), el punto de
interseccin de la lnea desde elpolo norte de la esfera, N : (0, 0,
2), al punto z= x + iy en el plano.
La construccin es como sigue.
Consideramos tres puntos en las
tres dimensiones.
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N = (0, 0, 2): polo norte P = (X, Y, Z): punto en la esfera
C= (x, y, 0):punto en el plano complejo
Como ambos son puntos de una lnea, de ah que la diferencia de los
puntos P-Ndebe ser un mltiplo escalar de la diferencia C
N, llamada
(X, Y, Z 2)= s(x, y, -2)
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Donde s es un nmero real. La ecuacin de la esfera dada por
X2+ Y2+(Z-1)2= 1
Entonces, implica que
X = sx, Y = sy Z=2-2s
Sustituyendo estos en la ecuacin de la esfera:S2(x2+y2+4) 4s = 0
La cual solamente tiene la solucin no trivial,
Donde z2 =x2 +y2. De aqu, dado un punto z= x + iyen el plano,
tendremos en la esfera la nica correspondencia:
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Y vemos que bajo este mapeo, el origen del plano complejo z=0 es el polo
sur de la esfera (0, 0, 0) y todos los puntos en z = es el polo norte (0, 0,
2). Y as, teniendo un punto P = (X; Y, Z) podemos encontrar su nicaimagen en el plano complejo, es decir: