MATEMÁTICA BÁSICAII
Números complejos Semana 06 - Clase:
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2016- I
Jenny carbajal Licas
NÚMEROS COMPLEJOS:Definición.Es el conjunto
provisto de dos operaciones: suma y producto, más
no una relación de orden.
2
a) : C C C(z, w) (z, w) z w
(x i y) (u i v)
2C z x yi / x, y ; i 1 i 1 R
(z, w) (x u) (y v)i
R(z, w) (x u y v) (x v u y) i
b) : C C C
Z.W x i y u i v
Im(z) y
2
3 2
4 2 2
5 2 3
i 1
i 1
i i i ( 1) i i
i i i ( 1)( 1) 1
i i i ( 1)( i) i
Re(z) x
i 1
3
z x yi
PARTE REAL :
PARTE IMAGINARIA :
UNIDAD IMAGINARIA :
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Si tenemos entonces;
• Conjugado de un número complejo :
• PropiedadesPropiedades
z x yi z x i y x yi
1. z w z w
2. z w z w, z z
z z3.w w
4. Si z x R z z1 15. Si z x iy, z x i y x z z , y z z2 2i
4
• Igualdad de números complejos :
• Suma de números complejos :
5
1 2z z x yi u vi x u y v
1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v)i
Propiedades
1.
2.
3. Elemento neutro aditivo :
4. Elemento inverso aditivo:
0z 0 0i
1z x yi
6
1 2 2 1z z z z
1 2 3 1 2 3(z z ) z z (z z )
1 1z x yi C, z x yi / z z 0 0i
0z x yi C; z 0 0i C / (x yi) (0 0i) x yi
• Sustracción de números complejos
• Multiplicación de números complejos
• División de números complejos
7
1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v) i
1 2z z (x yi)(u vi)(x u y v) (x v y u) i
12 2
2
x y i x y i u v i x y i u v izz u v i u v i u v i u v
Propiedades 1.
2.
3. Elemento neutro multiplicativo:
4. Elemento inverso multiplicativo:
5. Asociatividad
8
1 2 2 1z z z z
1 2 3 1 2 3(z z ) z z (z z )
1z
z ' 1 0i
1 2 3 1 2 1 3z (z z ) z z z z
z x yi C, z ' 1 0i C / z z ' (x yi) (1 0i) x yi
1 1z x yi 0 0 i C, z C / z z 1 0 i
Inversa de un número complejo
División de números complejos
9
1 2z x yi ; z u vi C
111 2 2 2
2
z x yi (x yi)(u v i) (x y i)(u vi)z zz u vi (u vi)(u vi) u v
12 2 2 2
1 x yz x yi z iz x y x y
Representación gráfica de un número complejo Plano Complejo Afijo z=
Re: eje real Im: eje imaginario : argumento del complejo
Módulo de un número complejo Si
10
z x i y C
2 2z x y
Z= x+i y
Im
x
y
0 Re
z
,x y
0 2
Propiedades del módulo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 11
z 0 s.s.s z 0 i 0
z w z w
2z z. z
zzw w
Re(z) Im(z) 2 z
z 0, z C
z z z
z w z w
Ejercicios
1. Dado , calcular y
y sus respectivos argumentos, si:
2. Graficar los complejos obtenidos. 3. Hallar el valor del número complejo 4. Si ,hallar
5. Hallar z tal que
z, w C zz w, z 2w, z w,w
z w , z w
3 4
2 3
1. 2 1 2
2. 3 2 2
3. 1 2 1 3
Z i W i
Z i W i
Z i W i
3 52 i 1 iz1 i2 i
1z 1 3i
2 3 1
z 1 z
3 2i 4i 8z (2 i)
6.Si y
Expresarlos en su forma binomial, hallar las conjugadas complejas, sus inversas y .
7. Simplificar y determinar
8. Calcular el valor de
z y w 4321 279 420 381
52 38
(27i 25i 2i 2 )z( 1024i )
z , Arg(z).
z (1 i )(1 2i )(2 i ) 1 i 1 3 iw1 i 3
9E 4 2 i i i
Forma polar o trigonométrica de un número complejo.
Forma trigonométrica :
2 2
z x i y 0
z x y
ysen y z senz
xcos x z cosz
z z (cos i sen )
14
Re
Im
z x i y
0 x
y
z
yarctgx
z z (cos isen )
Dado el número complejo determinar: a. b. Argumento principal c. Forma polar y exponencial d. Solucióna.
b. Como cuadrante hallamos el ángulo reducido
Por tanto
c.
d.
3z i z
6z
2 23 1 3 1 2z
IV
1 1 303
tg
11360 30 330
6rad
11
611 112 330 330 2 26 6
iZ Cos i Sen Cos i Sen e
6 6 62 6 330 6 330 2 1980 5 360 180z Cos i Sen Cos i Sen
6 6 62 180 180 2 1 0 64 0z Cos i Sen i i
Forma exponencial de un número complejo
Multiplicación y división de números complejos dado en forma polar.
Si
16
1 1 1 1
2 2 2 2
z z (cos i sen )
z z (cos i sen )
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z (cos ( ) i sen ( ))
111 2 1 2
2 2
zz (cos ( ) i sen ( ))z z
iz z cos i sen r Cis r e , r z
Potencia de un número complejo. Teorema de De Moivre
Raíces de un número complejo
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1/ n1/ n 2k 2kz z cos i senn n
k 0, 1, 2, ..., n 1
nn Cis -n , n entero positivoZ z
nnz z (cos n isen n )
Ejercicios 1. Si ; determinar: a) , b) u en su forma polar . 2. Si calcular el argumento principal de 3. Determinar la forma polar del número complejo
si 4. Hallar la suma de las raíces de la ecuación 5. Determinar el menor entero positivo n para el cual ,es imaginario puro. 6. Representar en el plano complejo las siguientes
relaciones: a) b)
u6z
3z 1 i
n3z i
1 / 2 Im 3R z z
2 / 2Re 3Im 6R z z z
20zw
z 1 i y w 3 i
2
3
zz 2 i, w 1 i y uw
z 1 3 i,
Ejemplo 1.Representar en el plano complejo la siguiente relación: Solución:a. Igualando por separado a 2 y 4 se tiene:
b.Vemos que se trata de dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 4 con centro
La gráfica ,es un anillo circular comprendido entre las circunferencias y , incluyendo
los bordes ó fronteras.
R z / 2 z 1 4
1,0c
1C 2C
2 22 21z 1 2 x 1 y i x 1 y 2 C : x 1 y 4
2 22 22z 1 4 x 1 y i x 1 y 4 C : x 1 y 16