Es el cociente de los límites,siempre que el límite deldenominador no sea 0.
Límite de un cociente
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)=𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)
lim𝑥→1
2𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥3 + 4=lim𝑥→1
(2𝑥2 + 𝑥 − 3)
lim𝑥→1
(𝑥3 + 4)=2 + 1 − 3
1 + 4=0
5= 0
Para cualquier entero positivo n
Límite de una potencia
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒙𝒏 = 𝒂𝒏
lim𝑥→6
𝑥2 = 62 = 36
Si f es una función polinomial, entonces:
Límite de una función polinómica
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂
Sustituyendo -3 por x ya que x3 + 4x2 – 7 es una función polinomial:
lim𝑥→ −3
( 𝑥3 + 4𝑥2 − 7) = −3 3 + 4 −3 2 − 7 = 2
limℎ→ 3
2 ℎ − 1 = 2( 3 − 1) = 4
Podemos determinar el límite deuna función racional cuando x→a por sustitución directa, con talque el denominador sea distintode cero en a.
Límite de una raíz
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒏𝒇 𝒙 = 𝒏 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙)
Si n es par, requerimos que lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) sea positivo
lim𝑡→4
𝑡2 + 1 = lim𝑡→4
𝑡2 + 1 = 17
Donde p > 0
Límite en el infinito
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟏
𝒙𝒑= 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙→ −∞
𝟏
𝒙𝒑= 𝟎
lim𝑥→∞
4𝑥2 + 5
2𝑥2 + 1= lim
𝑥→∞
4𝑥2 + 5𝑥2
2𝑥2 + 1𝑥2
= lim𝑥→∞
4𝑥2
𝑥2+
5𝑥2
2𝑥2
𝑥2+
1𝑥2
= lim𝑥→∞
4 +5𝑥2
2 +1𝑥2
=lim𝑛→∞
4 + 5 . lim𝑛→∞
1𝑥2
lim𝑛→∞
2 + lim𝑛→∞
1𝑥2
Como lim𝑥→∞
1
𝑥𝑝= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 > 0,
lim𝑥→∞
4𝑥2 + 5
2𝑥2 + 1=4 + 5(0)
2 + 0=4
2= 2
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Derivada como razón de cambio
Ejemplo:
Reglas de diferenciación
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Derivada de una constante
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙𝒄 = 𝟎
𝑑
𝑑𝑥3 = 0
Si n es cualquier número real, entonces:
Derivada de la potencia base
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙𝒙𝟐 = 𝟐𝒙𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙
Siempre que xn-1 este definida. Esto es, la derivada de unapotencia constante de x es igual al exponente multiplicadopor la x elevada a una potencia menor en una unidad que lade la potencia dada.
Si f es una función diferenciable y cuna constante, entonces cf (x) es diferenciable y
Derivada del factor constante
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙𝒄𝒇 𝒙 = 𝒄𝒇′(𝒙)
Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.
𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑
𝒅
𝒅𝒙𝟓𝒙𝟑 = 𝟓
𝒅
𝒅𝒙𝒙𝟑
𝟓 𝟑𝒙𝟑−𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟐
Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g sondiferenciables
Derivada de la suma o resta
Ejemplo:
𝐝
𝐝𝐱𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′(𝒙)
𝐝
𝐝𝐱𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)
𝐹 𝑥 = 3𝑥5 + 𝑥
𝐹′ 𝑥 =𝑑
𝑑𝑥3𝑥5 +
𝑑
𝑑𝑥𝑥1/2
𝐹′ 𝑥 = 3𝑑
𝑑𝑥𝑥5 +
𝑑
𝑑𝑥𝑥1/2
𝐹′ 𝑥 = 3 5𝑥4 +1
2𝑥−1/2 = 15𝑥4 +
1
2 𝑥
Esto es la derivada del producto de dos funciones es la primerafunción por la derivada de la segunda más la segunda funciónpor la derivada de la primera.
Regla del producto
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙𝒇 𝒙 𝐠 𝒙 = 𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 + 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 (4𝑥 + 5)
𝐹′ 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥𝑑
𝑑𝑥+ (4𝑥 + 5)
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 3𝑥
𝐹′ 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 (4) + (4𝑥 + 5) 2𝑥 + 3𝑥
𝐹′ 𝑥 = 12𝑥2 + 34 + 15
La derivada del cociente de dos funciones es el denominadorpor la derivada del numerador, menos el numerador por laderivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadradodel denominador. Siempre que g (x)≠0
Derivada del cociente
𝒅
𝒅𝒙
𝒇(𝒙)
𝐠(𝒙)=𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 − 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
𝐠 𝒙 𝟐
𝐹 𝑥 =4𝑥2 + 3
2𝑥 − 1
𝐹′ 𝑥 =2𝑥 − 1
𝑑𝑑𝑥
4𝑥2 + 3 − 4𝑥2 + 3𝑑𝑑𝑥
2𝑥 − 1
(2𝑥 − 1)2
𝐹′ 𝑥 =2𝑥 − 1 (8𝑥) − 4𝑥2 + 3 2
(2𝑥 − 1)2
𝐹′ 𝑥 =8𝑥2 − 8𝑥 − 6
(2𝑥 − 1)2=2(4𝑥2 − 4𝑥 − 3)
(2𝑥 − 1)2
Ejemplo:
Si y es una función diferenciable de u y ues una función diferenciable de x,entonces y es una función diferenciablede x.
Derivada de la cadena
Ejemplo:
𝒅𝒚
𝒅𝒙=𝒅𝒚
𝒅𝒖.𝒅𝒖
𝒅𝒙
Si 𝑦 = 2𝑢2 − 3𝑢 − 2 y 𝑢 = 𝑥2 + 4 , encontrar dy/dx.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑢2𝑢2 − 3𝑢 − 2 .
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑢 − 3 . 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4 𝑥2 + 4 − 3 2𝑥 = 4𝑥2 + 13 2𝑥
= 8𝑥3 + 26𝑥.
Podemos escribir la respuesta sólo en términos de x reemplazando upor 𝑥2 + 4
Si u es una funcióndiferenciable de x y n escualquier número real,entonces:
Derivada de la potencia base u
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙𝒖 𝒙 𝒏 = 𝒏 𝒖 𝒙 𝒏−𝟏𝒖′ 𝒙
Derivadas de funciones trigonométricas
𝒅
𝒅𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒗 = −𝒔𝒆𝒏 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒕𝒂𝒏 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒄𝒐𝒕 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒕𝒂𝒏 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒄𝒐𝒕 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
Ejemplo:
Derivada de funciones logarítmicas
Ejemplos:
𝒅
𝒅𝒙𝐥𝐧𝒙 =
𝟏
𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝐥𝐧𝒖 =
𝟏
𝒖.𝒅𝒖
𝒅𝒙
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Derivada de funciones exponenciales
Ejemplo:
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Diferenciación implícita
Ejemplo:
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Diferenciación logarítmica
Ejemplo:
Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.
Derivadas de orden superior
Ejemplo: