Facultad de IngenieríaUniversidad de Buenos Aires
2009
Física del Estado Sólido
Dr. Andrés Ozols
DIFRACCIÓN DE RAYOS XDIFRACCIÓN DE RAYOS X
k k
k´
k´dd cosθ =d.n
d c o s ´θ = − d .n ´
n´
n
ΘΘ
TEMARIOTEMARIO
• Interacción con la materia
• Generación de los rayos X
• Difracción de rayos X
• Equipo experimental• Factor de estructura y funciones de distribución
• Estructura de los materiales: orden de corto rango, de rango intermedio y de largo rango
• Naturaleza de los rayos X
• Objetivo
OBJETIVO
Longitud de onda Longitud de onda ≈≈ distancia interdistancia inter--atómicaatómica
Determinación de la Estructura Cristalina por Determinación de la Estructura Cristalina por Difracción de Rayos XDifracción de Rayos X
Tubo de GENERACIÓN RAYOS X
AnticátodoFe, Mo, Cu
Rayos X
Rayos X
Haz de Electrones
- FilamentoAgua de refrigeración
Colimador de haz
Ventana de Berilio
RAYOS X
Energía cinética
de los electronesEc = e V10-50 KeV
GENERACIÓN RAYOS X
los electrones frenados generan
E0h ν
Efe-CALOR
transiciones electrónicas
en los átomos
Disipación de energía
en el frenado
Es función del potencial V
Cuando este supera un valor Vc(dependiente del material) aparece
el espectro característico
ESPECTRO DE RAYOS X
Espectro continuo Espectro característico
Inte
nsid
ad d
e la
radi
ació
n
Longitud de onda
Kα
Kβ
Inte
nsid
ad d
e la
radi
ació
n
Longitud de onda
líneas de series K, L, M, N
+
LONGITUDES DE ONDA CARACTERÍSTICAS
-1.448Zn1.4031.548Cu1.5041.664Ni1.6351.796Co1.7651.945Fe1.9232.117Mn2.0882.295Cr2.3022.521V2.5282.766Ti3.0853.357Ca
λβλαElemento
FILTRADO de Líneas de RAYOS X
Filtros + monocromadorRadiación X Kα Kβ ,
Kα
Kβ
Inte
nsid
ad d
e la
radi
ació
n
Longitud de onda
Kα
Inte
nsid
ad d
e la
radi
ació
n
Longitud de onda
FeCo
ZrMoNiCu
FiltroRadiación
Línea Kα filtrada
∆caminos ópticos = 2d sin θ
DIFRACCION de RAYOS X en CRISTALES
Ley de Bragg
2d sin θ = λ
Si hay interferencia constructiva
cada familia (d, d1, d2) de planos tiene un
ángulo θ que satisface esta ley
θ
θdsenθd
d1
d2
Familias de planos con separaciones d y d1 2
DIFRACTOGRAMAS de RAYOS X
20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
60
80
100In
tens
idad
2 θ
Si O2 Cuarzo policristalino (en polvo) Radiación Kα del Cu
IDENTIFICACION de COMPUESTOS Base de compuestos inorgánicos y orgánicos)
Tarjeta del Joint Committee of Powder Diffraction Files (JCPDF)
La difracción de rayos X es una técnica versátil, no-destructiva y analítica para la determinación de:
•Fases
•Estructura
•Textura
•Tensiones
Que pudieran estar presentes en materiales sólidos, polvos, y líquidos
APLICACIONES de la DIFRACCION de RAYOS X
Temario
•Bases de la teoría de difracción de rayos X•Aplicación de la teoría de difracción de rayos X•Aberraciones geométricas•Tamaño de cristalito•Imperfecciones de la red•Medidas del ancho de línea•Formulación de Von Laue de la difracción de rayos x por un cristal•Equivalencia de las formulaciones de Bragg y Von Laue•Difracción por una red con una base monatómica•Factor de estructura geométrico •Difracción por un cristal poliatómico•El factor atómico de forma
INTENSIDAD I(θ) DISPERSADA
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2 2 21 1 2 2 3 3
0 2 2 21 2 3
, , ,, , ,
sen N sen N sen NI I
sen sen senψ θ λ ψ θ λ ψ θ λ
θψ θ λ ψ θ λ ψ θ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
•1,2 y 3 a las direcciones de vectores base de la red de Bravais•θ es la mitad del ángulo de dispersión, entre direcciones de los haces incidente y el dispersado.•λ es la longitud de onda del haz de rayos X incidente. •Nl , N2 y N3 representan la cantidad total de nodos en cada direcciones
20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
60
80
100
Inte
nsid
ad
2 θ
Si O2 Cuarzo policristalino (en polvo) Radiación Kα del Cu
Difractograma característico(intensidad relativa en función de 2θ).
( ) ( )( )
sen Nf
senψ θ
θψ θ
⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦
INTENSIDAD I(θ) DISPERSADA
máximos de intensidad están dados por la ley de Bragg
2 hkld sen nθ λ=θ
θdsenθd
d1
d2
Familias de planos con separaciones d y d1 2
dhkl es la distancia o espaciado reticularde familia de planos (h k l)
n = 1,2,3,... es orden de la difracción
Aplicación de la teoría de difracción de rayos X
i) Aberraciones geométricasFunción de las características del equipo de difracción y los parámetros de control del goniómetro:
•Rango de barrido 2θ0 - 2θf de barrido (2-100º)
•Velocidad de barrido 2θ/min (0.1-2º/min)
•Resolución angular o paso (0.01-1º)
•Tensión de la fuente (20-60 KV)
•Corriente de filamento
•Combinación de rendijas para colimación y filtrado de RX
Goniómetro tipo ”θ−θ”
ii) Tamaño de cristalito
Estructura policristalina
granos
granos con orientaciones cristalográficas diferentes
Medidas del ancho de línea
Semi-ancho ( ) ( )( )2 11/ 2
2 22
I IB
θ θ−=
2θ22θ1
Ip
I /2p
B1/2
Ancho integral Bi( ) ( )1 2 2iP
B I dI
θ θ= ∫
2θ42θ3
Ip
B1/2
AREA
AREA
Ip
Ip Varianza o desviación cuadrática Standard
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 2
I dW
I dθ
θ θ θ θ
θ θ
−= ∫
∫
FORMULACIÓN de VON LAUE de la DIFRACCIÓN
k k
k´
k´dd cosθ =d.n
d c o s ´θ = − d .n ´
n´
n
ΘΘ
( )ˆ ˆcos cos ´ . ´d d d n nθ θ+ = −
Diferencia de caminos de los rayos dispersados
interferencia constructiva ⇔
( )ˆ ˆ. ´d n n mλ− =
( ). ´ 2d k k mπ− =
Multiplicando x 2π/λ
d = R es vector de la red de Bravais ⇒ ( ). ´ 2R k k mπ− =
( ´ ). 1i k k Re − =
FORMULACIÓN de VON LAUE de la DIFRACCIÓN
. 1iK Re = K= k´-k
R ∈ red de Bravais
K ∈ red de Recíproca
condición de Laue
kk´
K/2
K/2
( ). ´ 2R k k mπ− =
k K k= −1ˆ. .2
Kk k K KK
= =
plano de Bragg
EQUIVALENCIA de las FORMULACIONES de BRAGG y VON LAUE
´K k k= − ∈ red de Recíproca
k y k´ con el mismo θ y perpendicular al plano de K
2 nKdπ
=
K = n K0K0 vector de la red recíproca de
longitud mínima = 2π/dK = 2k senθ
2d senθ = nλ
k = 2π/λ
reflexión de Bragg
k
K= k´ -k
k´
θθ
-k
θ
θ
θk senθ
k senθ
DIFRACCIÓN por una RED con una BASE MONATÓMICA
cristal
=
Red de Bravais
d1 d2 d3
d4d5
n- átomos de una base
+
FACTOR de ESTRUCTURA GEOMÉTRICO
´K k k= − pico de Braggdiferencia de la fase.( )i jK d d−
dj
di
.( )i jiK d de − diferencia de amplitudes
amplitudes de los rayos dispersados en d1,.., dn, 1.iK de . niK de
.
1
jn
iK dK
j
S e=
= ∑Amplitud total ∝ 2
KSI ∝Intensidad total
CB-AD diferencia de camino de Z´ repecto Z
interferencia destructiva
DISPERSION por un ATOMO
λ ∝ dimensiones atómicas
Dispersión coherente
Dispersión incoherente
+
Factor de dispersión o forma atómica
DIFRACCIÓN por un CRISTAL POLIATÓMICO
Si iones de base ≠ ( ) .
1
jn
iK djK
jS f K e
=
= ∑
fj factor de forma o dispersión atómico
Depende de la estructura del ión
( ) ( ).1 iK rj jf K e r dr
eρ= − ∫
ρj distribución de carga electrónica del ión
( ) ( )0
0
sen krf r dr
krρ
∞
= ∫número de electrones que rodean un átomo