165
1 X 0,0 i ≤≤
∑=
=
k
i
iX1
1
4.5 Experimentos con Mezclas
4.5.1 Introducción
En la vida real es común encontrar productos, como medicinas, alimentos,
explosivos, pinturas, polímeros, cerámicas, etc., que se fabrican con la mezcla de dos o
más elementos. Las cualidades del producto no dependen de la cantidad total de los
ingredientes en la mezcla, sino de las proporciones de los mismos. Se puede afirmar
que si la proporción del i-ésimo componente es Xi y existen k componentes en la
mezcla, las proporciones deben satisfacer las restricciones
Por ejemplo, en la mezcla de dos componentes se debe cumplir que: 0.0 < X1 <
1.0, 0.0 < X2 < 1.0 y X1+X2 =1.0. Este tipo de restricciones limita el empleo de los
diseños experimentales discutidos hasta este momento, para estudiar la relación entre
la calidad del producto y la mezcla de sus componentes. Note que el factorial 22 incluye
todas las esquinas de un cuadrado, pero únicamente dos de ellos, son inadmisibles al
analizar problemas de mezclas.
La región experimental de un experimento normal , es el área dentro del
cuadrado o rectángulo mientras que un diseño de mezclas consiste en los puntos de la
línea X1 = 1-X2 . Por lo tanto región experimental en este caso es unidimensional y en
un problema normal es bidimensional.
166
Figura 4.17: Región experimental para un diseño con dos componentes
En una mezcla con tres elementos, la región experimental es la superficie
bidimensional del plano triangular, que se muestra en la figura siguiente, en lugar
de un cubo. Para cuatro elementos la región es un volumen de un tetraedro
rectangular.
Figura 4.18: Región experimental para un diseño con tres componentes
Los diseños experimentales o selección de experimentos dentro de la región
experimental, estarán en función de un modelo que esté ajustando.
167
∑=
+=
k
i
ii XbbY1
0
ji
k
i
ij
k
i
k
ji
iiiii XXbXbXbbY ∑∑ ∑== =<
+++=
11 2
2
0
Xb + Xb +X b + b = Y 3322 10 1
...+ Xb + Xb + Xb + Xb + Xb + Xb + b = Y 2333
2222
21113322110
XX b + XX b + XX b + 322331132112
4.5.2 Modelos para problemas de mezcla
Al igual que en el análisis de superficies de respuesta, el objetivo en problemas
de mezclas, es encontrar un modelo que permita pronosticar el valor de la variable
dependiente, en función de sus componentes. Esto se puede realizar con un modelo
lineal, donde Y es la variable dependiente y Xi las componentes.
o con el modelo cuadrático .
El modelo lineal se usará en los casos en que la mezcla de los componentes
sea aditiva y la calidad del producto se defina como una combinación lineal de sus
proporciones. El otro modelo se emplea si existe interacción (antagonismo o
sinergismo) entre ellos, y la calidad fue superior o inferior a la que se hubiera obtenido
con la combinación lineal de sus proporciones. Cuando se tienen tres elementos, estos
modelos se escriben
Es importante enfatizar que existe una diferencia con respecto a los modelos
normales de superficies de respuesta. Esto se origina por la restricción X1+X2+X3=1, ya
que al deducir el valor de X1 y X2, el valor de X3 se encuentra automáticamente, como
1- X2-X1. En consecuencia, los modelos de predicción serán redundantes y Y no es
función de X1, X2 y X3 sino de las dos primeras. O sea, los modelos se convierten en:
168
XXb + Xb + Xb + Xb + Xb + b = Y 21122
2222
11122110
Xb + Xb b = Y 22110 +
ji
k
ji
iji
k
i
iii
k
i
i XXbXbXbbY ∑∑∑−
=<
−
=
−
=
+++=
1
2
21
1
1
1
0
Esto se conoce como modelo de variable de holgura y se usa cuando X3 es la
proporción más grande de las tres y la más estática. La forma general de este modelo
es:
4.5.3 Diseños Experimentales para problemas de Mezclas
Problemas sin restricciones
Este tipo de problemas se encuentran cuando uno de los componentes
representa el 100 por ciento. Una ilustración; al estudiar las propiedades de un compost
doméstico fabricado por la mezcla de varios tipos de residuos orgánicos e inorgánicos,
no se impone ninguna restricción respecto a la proporción de los mismos (esto es, se
puede tener 100 por ciento de aceite residuos de jardín, basura, papel, tierra o
cualquier proporción intermedia). Para analizar situaciones como ésta, la mejor
alternativa es usar diseños simplex.
Los diseños simplex para modelos lineales consisten en una observación de
cada vértice. En una mezcla de tres componentes, los puntos se muestran en la
siguiente tabla. Los resultados en los tres vértices se designan con Y1, Y2 y Y3.
169
No
X1
X2
X3
Respuest
a
1
1
0
0
Y1
2
0
1
0
Y2
3
0
0
1
Y3
Tabla 4.25: Diseño simplex lineal para mezclas con tres componentes
Puesto que se estimarán tres parámetros en el modelo, éste diseño no cuenta
con experimentos adicionales par estimar el error experimental y probar la bondad de
ajuste. Esta limitación, se puede resolver repitiendo el diseño o añadiendo un punto
central. Si se hace esto último, se podrá investigar si el modelo es adecuado, mediante
una prueba de bondad de ajuste. Dicha prueba se lleva a cabo comparando la variación
entre el valor observado y estimado en el punto central, con respecto a la variación
entre las repeticiones de dicho punto. La tabla siguiente es un ejemplo de esto.
No.
X1
X2
X3
Respuesta
1
1
0
0
Y1
2
0
1
0
Y2
3
0
0
1
Y3
4
1/3
1/3
1/3
Y123(1)
5
1/3
1/3
1/3
Y123(2)
6
1/3
1/3
1/3
Y123(3)
Tabla 4.26: Diseño Simplex con tres componentes y un punto central repetido
Los diseños simplex para modelos cuadráticos incluyen valores en el punto
170
medio de las líneas que unen cada vértice, con el fin de poder estimar los efectos no
lineales. La tabla siguiente es un ejemplo de este modelo.
No
X1
X2
X3
Respuesta
1
1
0
0
Y1
2
0
1
0
Y2
3
0
0
1
Y3
4
½
½
0
Y12
5
½
0
½
Y13
6
0
½
½
Y23
7
1/3
1/3
1/3
Y123(1)
8
1/3
1/3
1/3
Y123(2)
9
1/3
1/3
1/3
Y123(3)
Tabla 4.27: Diseño simplex cuadrático para mezclas con tres componentes
La repetición de los puntos centrales en este modelo permite probar la falta de
ajuste del modelo y con respecto al modelo cúbico especial. La caracterización gráfica
de dichos diseños, se da en las figuras siguientes, lo que incluye fórmulas para calcular
los estimadores de los coeficientes en los modelos de Scheffé. Estas son la solución a
las ecuaciones lineales definidas por las fórmulas anteriores.
171
Figura 4.19: Diseño simplex lineal con tres componentes
Figura 4.20: Diseño simplex cuadrático con tres componentes
172
Figura 4.21: Diseño Simplex cúbico especial
Figura 4.22: Diseño Simplex cúbico
173
Ejemplo:
Supongamos que se desea probar si la mezcla de tres resinas para extraer un
metal pesado de un efluente industrial tiene un efecto sinérgico, es decir obtener una
mezcla que sea más eficiente que sus componentes individuales, en la extracción del
metal pesado. En una de estas pruebas, varias combinaciones de las resinas A, B y C;
se mezclaron en las proporciones que se indican en la siguiente tabla, para luego
realizar la experimentación en una pera de decantación de laboratorio. El diseño
utilizado es un simplex cuadrático aumentado (puntos en el centro para estimar la
curvatura).
Tabla 4.28: Proporciones de resinas A, B y C y su representación gráfica
En primer lugar en este tipo de diseño calculamos el análisis de varianza de los
modelos de Sheffe con el propósito de seleccionar el modelo más adecuado a nuestros
datos. En la tabla siguiente se observa todos los modelos alternativos para los datos de
extracción. El primer criterio para seleccionar el mejor modelo puede ser escoger el
que tiene un valor de p<=0,05. El segundo criterio consiste en escoger el modelo que
tenga mayor valor de R2.
N A B C Extracción %
1 1 0 0 73
2 0 1 0 68
3 0 0 1 80
4 0,5 0,5 0 77
5 0,5 0 0.5 86
6 0 0,5 0,5 75
7 0.33 0.33 0.33 92
8 1 0 0 70
9 0 1 0 65
174
ABCBCACABCBAR 28274132805,665,71(%) ++++++=
Tabla 4.29: Criterios para seleccionar el mejor modelo para la mezcla
De la tabla podemos observar que en ambos casos el modelo especial cúbico
resulta más adecuado para representar le mezcla de colectores que optimizarán la
extracción del metal pesado. Conociendo esto, seleccionamos el modelo especial
cúbico para modelar el proceso.
Tabla 4.30: Análisis de Varianza para el modelo cúbico especial
El modelo especial cúbico que relaciona la extracción con la mezcla de resinas es
el siguiente:
175
Al optimizar este modelo que tiene un alto coeficiente de determinación
obtenemos los siguientes valores:
Tabla 4.31: Resultados de la mezcla de resinas para la extracción del metal pesado
Figura 4.23: Superficie Respuesta para la extracción en función de la mezcla de
resinas
176
Figura 4.24: Gráfico de contornos para la extracción en función de la mezcla
La gráfica de contornos de esta ecuación nos ayuda mejor a visualizar el punto
donde las proporciones de la mezcla son óptimas. A partir de esta, se observa que la
mezcla de los tres reactivos es más efectiva que cualquiera de los tres, aplicados
separadamente (vértices), o la mezcla de dos de ellas (la cual se localiza a lo largo de
la línea que une sus vértices).
Problemas con restricciones
En algunas mezclas no es factible obtener el producto con uno de sus
componentes al 100 por ciento. Por ejemplo, para le elaboración de compostaje
industrial se necesitan mezclar cuatro componentes con las siguientes restricciones
para controlar el contenido de nitrógeno: 0,4<estiércol<0,6; 0,1<residuos de
cosecha<0,5; 0,1<residuos domésticos<0,5 y 0,03<tierra<0,08. La proporción de los
tres componentes puede variar, pero se debe mantener dentro de cierto rango, para
que el contenido de nitrógeno sea el adecuado. En este problema la región
experimental no es el triángulo que se obtuvo con tres componentes no restringidos,
sino una parte del plano.
177
11
≤<< ∑=
k
i
ii XybXa
Gráfico 4.25: Región experimental para mezclas con restricciones
En general estos diseños se utilizan cuando las proporciones de los
componentes de la mezcla no pueden variar entre 0 y 1, sino en un rango mucho más
pequeño. Así por ejemplo se debe cumplir lo siguiente:
Ejemplo
Un ingeniero desea hallar la formulación óptima de una mezcla de resinas para extraer
un metal pesado de un efluente, utilizando las siguientes componentes (resinas):
• 3 % < A < 8%
• 2 % < B < 4%
• 2 % < C < 4%
Para averiguar la idoneidad del proceso se van a realizar dos tipos de medidas:
• Y1, el contenido del metal pesado (ppm).
178
• Y2, la turbidez del efluente
Los objetivos del experimento son que el contenido final del metal pesado en el
efluente sea no mayor a 43 ppm y la turbidez, sea no mayor de 800. Además se
requiere que estas tres componentes o resinas constituyan el 9% de la formulación
total, es decir que A+B+C = 9%. Los otros componentes poco significativos deben
constituir el 91% de la mezcla. En este caso utilizamos un diseño de mezclas
restringido, cuadrático, aumentado y con repeticiones. La matriz diseño y los
resultados son los siguientes.
A B C Concen. ppm
Turbidez
0.050 0.020 0.020 51.70 730.00
0.040 0.030 0.020 35.10 671.00
0.040 0.020 0.030 46.50 630.00
0.030 0.040 0.020 87.80 323.00
0.030 0.030 0.030 144.00 641.00
0.030 0.020 0.040 67.90 436.00
0.037 0.027 0.027 40.80 436.00
0.043 0.023 0.023 46.00 1122.00
0.033 0.033 0.023 37.20 378.00
0.033 0.023 0.033 70.70 874.00
0.050 0.020 0.020 45.30 949.00
0.040 0.030 0.020 91.60 546.00
0.040 0.020 0.030 130.00 786.00
0.030 0.040 0.020 34.80 984.00
Tabla 4.32: Matriz diseño para mezclas restringidas en la formulación de la mezcla
de resinas
En primer lugar obtenemos la significancia de los efectos y los coeficientes de
determinación para el contenido de metal pesado.
179
Tabla 4.33: Criterios para seleccionar el mejor modelo para la formulación de la
mezcla de resinas
De la tabla anterior, podemos evidenciar que el mejor modelo para la extracción
del metal pesado es el cúbico especial, pues tiene el menor valor de p y el mayor valor
de R2.
Tabla 4.34: Análisis de varianza para el modelo cuadrático
El modelo cuadrático para la formulación de la mezcla de resinas en función de
la concentración final del metal pesado sería el siguiente:
180
ABCBCACABCBAppmC 9,209829,29998,12217,3036,6809,5889,49)( −+++++=
Gráfico 4.26: Superficie respuesta para la formulación de la mezcla de resinas
A continuación optimizaremos al modelo matemático con el objetivo de que el
contenido de metal pesado tenga un valor de 43 ppm. Las proporciones óptimas de los
componentes para que el efluente tenga esta concentración final son:
Tabla 4.35: Composición óptima de la mezcla para que el efluente tenga una
concentración de 43 ppm
181
Gráfico 4.27: Gráfico de contornos para la formulación del detergente con la
viscosidad deseada
En la zona azul podemos ver la composición óptima para que el efluentee tenga
la concentración final de 43 ppm. Ahora analizaremos la variable turbidez del efluente
en la formulación de la mezcla de resinas. En primer lugar seleccionaremos el modelo
más adecuado en base al valor de p y al de R2.
Tabla 4.36: Criterios para seleccionar el modelo más adecuado para la turbidez
De la tabla podemos evidenciar que el modelo más adecuado para la turbidez
182
ABCBCAC
ABCBATurbidez
57,82133,22413,382
99,54536,49894,60507,890
−++
−++=
en la formulación del detergente es el especial cúbico, pues tiene el menor valor de p y
el mayor valor de R2. El análisis de varianza del modelo especial cúbico se muestra en
la siguiente tabla.
Tabla 4.37: Análisis de varianza para el modelo especial cúbico de la turbidez
El modelo especial cúbico es el siguiente:
Al optimizar el modelo matemático obtenemos los siguientes valores. En este caso el
objetivo es minimizar la turbidez del detergente a un valor no mayor de 800.
Tabla 4.38: Valores óptimos para la formulación del detergente en función de la
turbidez
La superficie respuesta de la turbidez en la formulación de la mezcla de resinas tiene la
siguiente forma:
183
Gráfico 4.28: Superficie respuesta para la turbidez del efluente
Gráfico 4.29: Superficies de contorno para la turbidez del detergente
Ahora deseamos optimizar la formulación de la mezcla de resinas considerando que la
concentración final del efluente sea igual a 43 ppm y la turbidez a 800. En este caso
tenemos una optimización multiobjetivo y para eso deseamos encontrar la función de
184
deseabilidad igual a 1.
Tabla 4.39: Valores óptimos de la respuesta múltiple con la desebilidad ideal
De la tabla concluimos que para que el efluente tenga una concentración final de
metal pesado igual a 43 ppm y una turbidez de 800, la formulación óptima será: resina
A (3,8%), resina B (2,7%) y resina C (2,5%).
Gráfico 4.30: Superficie Respuesta de la función de deseabilidad para la
optimización multiobjetivo