DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
JOSE LUIS VELASCO CADAVID
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL
FEBRERO, 2004
DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
JOSE LUIS VELASCO CADAVID
Tesis como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Civil
ASESOR:
PhD Mauricio Sánchez Silva
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL
FEBRERO, 2004
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ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 9 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 10 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11 1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS ............................................................ 12 1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS.................................................................. 12
1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO................................................................................ 13 1.3 TABLESTACAS ANCLADAS.................................................................................... 14 1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS..................... 15 1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS........ 16
1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS..17 1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA INFILTRACIÓN DEL AGUA......................................................................................... 19
1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS....................................... 21 1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO DEL EXTREMO LIBRE .......................................................................................................... 22
1.7 CUÑAS Y ANCLAJES ................................................................................................ 24 1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO .................................................................... 27 1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE........................................................................ 30
1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO.............................. 32 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 41 CAPÍTULO II ..................................................................................................................... 42 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 43 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 44 2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL ........................................................................ 45
2 .1.1 ESTADOS LÍMITES ............................................................................................. 45 2.1.1.1 Definición de Falla: .......................................................................................... 45 2.1.1.2 Funciones de Estado Limite: ............................................................................ 47
2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA ............................................................................... 49 2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado: ................................................................. 52
2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD............................................................................. 53 2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad ............................................................ 54 2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento ........................... 56
2.2 OPTIMIZACIÓN ......................................................................................................... 56 2.2.1 Estructuras Óptimas................................................................................................. 57 2.2.2 El modelo de renovación ......................................................................................... 60 2.2.3 Falla por completo debido a cargas invariantes en el tiempo.................................. 60
2.3 MÉTODOS DE MONTE CARLO.............................................................................. 61 2.3.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos ............................. 62 2.3.2 Generación de números aleatorios con una distribución normal estándar .............. 62 2.3.3 Generación de números aleatorios normalmente distribuidos................................. 63 2.3.4 Generación de números aleatorios distribuidos Lognormalmente .......................... 63 2.3.4 Procedimiento general para generar números aleatorios a partir de distribuciones arbitrarias .......................................................................................................................... 64 2.3.5 Precisión de la estimación de la probabilidad ......................................................... 64 2.3.6 Simulación de números aleatorios correlacionados................................................. 65
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2.3.7 Variables correlacionadas distribuidas arbitrariamente........................................... 69 2.4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE ............................................................... 70
2.4.1 Interpretación del modelo........................................................................................ 72 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 75 CAPÍTULO III ................................................................................................................... 77 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 78 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 79 3.OPTIMIZACION DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO.......................... 80
3.1 Modelo Probabilístico ................................................................................................ 80 3.2 Optimización de la profundidad de empotramiento de la tablestaca.......................... 82 3.3 Optimización del área de acero de los anclajes .......................................................... 86 3.4 Optimización del modulo de sección de la tablestaca ................................................ 90 3.5 Optimización de la altura del peso muerto ................................................................. 93 3.6 Optimización de la longitud de los anclajes ............................................................... 96 3.7 Análisis comparativo entre el diseño tradicional y el diseño óptimo probabilístico.. 98 3.8 Optimización de múltiples variables ........................................................................ 100
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OBJETIVO
El objetivo de esta tesis radica en aplicar las técnicas modernas de optimización al diseño
de muros tablestacados anclados, para así poder realizar un diseño que tenga en cuenta la
incertidumbre de las variables geotécnicas, de los materiales estructurales , y que además
produzca un diseño óptimo a partir de la maxificación de la relación beneficio - costo.
Para lograr este objetivo es necesario realizar un modelo probabilístico del muro, plantear
la ecuación de beneficio en torno a los parámetros de optimización, y hallar el punto que
produce el mayor beneficio, una vez se tienen las coordenadas de este punto es menester
comparar el diseño óptimo con el tradicional para así poder realizar un análisis comparativo
y poder determinar las bondades del diseño óptimo.
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NOMENCLATURA
As = Área transversal del acero
B( ) = función de beneficio
C( ) = Costo del diseño y la construcción de la estructura
C0 = Costo Inicial
Ca = Coeficiente de presión activa
cnorm( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal
Cp = Coeficiente de presión pasiva
D = Profundidad de empotramiento de la tablestaca
D( ) = Costo de la falla
dx = Diferencial de distancia
E[ ] = Valor esperado
f´c = Resistencia máxima del concreto a compresión
FDP = Función de densidad de probabilidad
Fy = Resistencia del acero a la fluencia
g( ) = Función de estado limite
h1 = Porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida
h2= Ubicación del anclaje medida desde la parte superior del relleno
Hm = Altura del peso muerto
hw = Porción del suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático
L = Longitud de los anclajes
M = Momento
p = vector de parámetros de optimización
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Pa = Presión activa de tierras
Pf = Probabilidad de falla
Ph = Presión horizontal
Pp = Presión pasiva de tierras
Q = Solicitación
R = Resistencia
S = Módulo de sección de la tablestaca
s = Separación de los anclajes
V = Coeficiente de variación
Z( ) = Función de beneficio neto, función objetivo
Zx = Variable Normalizada de x
â = Índice de confiabilidad, porcentaje de utilidad
ã = Tasa de descuento
ãc = Densidad del concreto
ãs = Densidad del suelo
ì = media
ó = Desviación estándar
Ö( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal
φ = Angulo de fricción interna
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LISTA DE TABLAS
• Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras.
• Tabla 1.2 Parámetros de diseño.
• Tabla 1.3 Resumen diseño estructural.
• Tabla 3.1. Parámetros de las variables aleatorias.
• Tabla 3.2. Parámetros determinísticos.
• Tabla 3.3. Variables de optimización.
• Tabla 3.4 Funciones de costo para la optimización de la profundidad de
empotramiento.
• Tabla 3.5 Funciones de costo para la optimización del área de acero de los anclajes.
• Tabla 3.6 Funciones de costo para la optimización del módulo de sección de la
tablestaca.
• Tabla 3.7 Funciones de costo para la optimización de la altura del peso muerto.
• Tabla 3.8 Funciones de costo para la optimización del la longitud de los anclajes.
• Tabla 3.9 Tabla comparativa entre ambas metodologías.
• Tabla 3.10 Funciones de costo para la optimización múltiple.
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LISTA DE FIGURAS
• Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas.
• Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo.
• Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.
• Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso
unitario.
• Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método
del extremo libre.
• Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método
del extremo libre.
• Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.
• Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.
• Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.
• Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia
reducida; (c)Máxima capacidad.
• Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado
• Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2.
• Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de
seguridad.
• Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.
• Figura 2.3 Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones.
• Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen
hasta la recta.
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• Figura 2.5 Función Objetivo.
• Figura 3.1 Probabilidad de falla a la rotación en función de la profundidad de
presión pasiva d.
• Figura 3.2 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en
términos de la profundidad de empotramiento.
• Figura 3.3 Probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los
mismos.
• Figura 3.4 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en
términos del área de acero de los anclajes.
• Figura 3.5 Probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del modulo de sección.
• Figura 3.6 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en
términos del módulo de sección de la tablestaca..
• Figura 3.7 Probabilidad de falla por deslizamiento del peso muerto en función de su
altura.
• Figura 3.8 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en
términos de la altura del peso muerto.
• Figura 3.9 Función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los
anclajes.
• Figura 3.10 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en
términos de la longitud de los anclajes
• Figura 3.11 gráfica de los residuos entre el valor real y el predecido.
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CAPÍTULO I
DISEÑO DETERMINÍSTICO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
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ASPECTOS GENERALES
Los muros tablestacados son un tipo muy común de estructuras de retención de tierras,
utilizados en construcciones urbanas y portuarias, conformados por tablestacas que se
hincan sobre el suelo. La estabilidad de estos muros se deriva de la profundidad a la que se
enclavan las tablestacas, y en el caso de muros de gran altura, de la combinación entre
anclajes y la profundidad de penetración de la tablestaca.
El análisis de los muros tablestacados tiene una naturaleza altamente indeterminada debido
a que un gran número de factores afectan los esfuerzos y la estabilidad del muro
tablestacado. En la realización de este documento no se pretende avanzar en la teoría del
cálculo estructural y geotécnico de estos muros, se pretende realizar una análisis conforme
a la práctica común de la ingeniería y comparar las virtudes del diseño probabilístico
óptimo sobre el diseño tradicional.
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OBJETIVOS
Los objetivos específicos de este capítulo son:
• Resaltar la alta incertidumbre que existe en el análisis y diseño de muros
tablestacados anclados.
• Definir una metodología coherente con la práctica común de la ingeniería para
diseñar muros tablestacados anclados.
• Realizar el diseño de un muro tablestacado anclado común, con el fin de poder
comparar los resultados con los obtenidos mediante el diseño óptimo
probabilístico.
• Plantear la teoría y ecuaciones con las que se realizará el diseño óptimo
probabilístico.
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1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS
Un muro tablestacado consiste en una serie de tablestacas clavadas una contra otra dentro
del terreno formando un muro vertical continuo con el propósito de retener un banco de
tierra. Los muros tablestacados son utilizados comúnmente para:
1. Construcción de obras en contacto con el agua, en donde la construcción de otro
tipo de obras requiere que se desvié el agua.
2. Construcciones temporales debido al alto valor de salvamento de las tablestacas.
3. Construcciones livianas donde el subsuelo no puede soportar los muros de
contención.
4. Construcciones urbanas en donde debido al poco espacio disponible no se pueden
construir las cimentaciones de los muros de contención
Debido a estas ventajas, los muros tablestacados son comunes en puertos, construcciones en
centros de conservación y astilleros. No se utilizan cuando se requieren muros muy altos
debido a su poca rigidez a la flexión, y no son viables cuando se tienen estratos rocosos que
no permiten la penetración de la tablestaca.
1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS
Las tablestacas son elementos prefabricados que se hincan verticalmente dentro del terreno
para formar un muro. Hay una gran variedad de tablestacas, se utilizan desde tablestacas
livianas en madera o láminas de acero, hasta tablestacas pesadas elaboradas en concreto o
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elementos estructurales de acero. Las características de las tablestacas de acero se
mencionan a continuación.
1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO
Las tablestacas de acero son elementos conformados por láminas de acero, con conectores
que permiten unirlos ente si. Existe una gran variedad de tablestacas en acero; las secciones
Estadounidenses son las que se utilizan normalmente en proyectos de construcción pesada,
estas se dividen según los tipos de conectores, el tipo de dedo y pulgar y el tipo de bola y
cuenca.
Sin embargo los conectores tienen distintas formas que varían según el fabricante, es por
esto que cuando en la construcción de un proyecto se pretende realizar un cambio de
sección se debe tener toda la información del tipo de conector con el fin de chequear la
compatibilidad.
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Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas
1.3 TABLESTACAS ANCLADAS
Las tablestacas ancladas son muros que derivan una parte de su soporte contra la presión
de tierra actuante mediante el empotramiento de parte de su sección en el terreno, al igual
que un muro en voladizo, y parte de esta mediante anclajes que se ubican cerca de su parte
superior. Este tipo de muros es aconsejable para muros moderadamente altos. Para muros
de más de 10 metros se aconseja colocar dos o más anclajes con el fin de disminuir la
profundidad de penetración de la tablestacas y los esfuerzos por flexión.
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1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
El procedimiento para diseñar muros tablestacados anclados se menciona a continuación,
cada uno de los pasos nombrados se explicará más adelante.
1. Ensamblar la información general. Esto implica obtener la topografía del lugar
donde se construirá la tablestaca e identificar las dimensiones que controlarán el
diseño como los son la altura del relleno de suelo, la altura de la línea de desagüe, el
nivel máximo del agua, el régimen de las mareas y el nivel mínimo del agua.
2. Analizar las condiciones del subsuelo. Se debe determinar mediante la realización
de un estudio de suelos las propiedades mecánicas del subsuelo, la resistencia al
corte de cada estrato debe ser determinada a partir del ensayo de penetración
estándar para los suelos granulares y el esfuerzo de compresión inconfinada debe
determinarse para los suelos cohesivos. La reducción en la presión tiende a reducir
la resistencia de los suelos al corte, para este caso el ensayo de compresión
inconfinada da resultados inseguros y se deben realizar ensayos adicionales de
laboratorio para predecir este comportamiento del suelo. Adicionalmente se debe
determinar el perfil del suelo mediante perforaciones del suelo que deben
prolongarse hasta que se encuentre una capa de suelo los bastante resistente o un
lecho rocoso. En este perfil se debe dibujar la posible tablestaca y el relleno de suelo
que se piensa utilizar(ver figura 1.2).
3. Seleccionar el tipo de muro a utilizar, tablestaca sola o tablestaca anclada.
4. Calcular la presión de tierras y la presión por sobrecargas.
5. Determinar la penetración de la tablestaca.
6. Determinar el esfuerzo de flexión sobre la tablestaca y diseñar la tablestaca.
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Línea de desagüe
TablestacaAnclaje
Muerto
7. Diseñar los anclajes.
8. Diseñar el peso muerto o el bulbo donde se anclarán los anclajes.
Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo.
1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS
Un muro tablestacado puede verse sometido a alguno de los siguientes tipos de presión
lateral:
• Presión de Tierra: Activa y pasiva.
• Presión lateral debida a una sobrecarga
• Presión debida a un desbalance de presiones de agua o por presiones de infiltración
• Barcos halando o impactos
• Fuerzas sísmicas, presión de olas etc.
El procedimiento para el cálculo de la presión de tierras, el desbalance de presiones de agua
y la infiltración se discutirán más adelante, las demás fuentes de presiones laterales no se
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explican debido a que pertenecen a condiciones extremas que aplican a diseños
particulares.
1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS
La presión de tierras actuante sobre los muros tablestacados no puede ser calculada
mediante los métodos clásicos (Rankine, Coulomb, etc.), dado que los métodos clásicos se
basan en la condición de que el muro falla lateralmente, por deslizamiento o por rotación
alrededor de la base del muro, esto con el fin de suponer que el suelo desarrolla totalmente
su esfuerzo de corte. Esta condición es cumplida para la mayoría de los muros sin embargo
los muros tablestacados se soportan de manera diferente y son más flexibles, lo que
conlleva a que fallen de manera diferente a la mayoría de los muros de contención. Un
muro tablestacado anclado, bajo la acción de la deflexión elástica del muro, se pandeará, o
se deflectará más en un punto ubicado entre los anclajes y el nivel de desagüe del suelo que
en las demás partes del muro. La distribución de presiones es altamente influenciada por la
elongación de los anclajes y por la penetración de la tablestaca.
La presión de tierras contra la tablestaca puede ser determinada mediante teorías que tienen
en cuenta las condiciones de deformación del muro. Sin embargo este procedimiento es
dispendioso y solamente es recomendado para proyectos de gran envergadura. En la
práctica común de la ingeniería se han desarrollado métodos empíricos y semi-empíricos
para aplicar la teoría clásica a los muros tablestacados. La teoría de Coulomb ha sido
empleada para determinar las presiones pasivas y activas de tierras contra la tablestaca , sin
embargo esta teoría conlleva en algunos casos a valores altos de la presión pasiva de tierras
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y debe ser utilizada conservadoramente. Los valores del ángulo de fricción del suelo ö y el
ángulo de fricción del muro ä, recomendado para el c álculo de la presión de tierras se
presentan en la tabla 1.1. Los correspondientes valores de los coeficientes de la presión de
tierras Kp y Ka, se presentan en la misma tabla.
Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras. Bowles
J.E. (1998)
Min. Max. Min. Max.
φ δ φ δArena LimpiaDensa 19.4 24.7 11.5 13.7 0.20 38.0 20.0 9.0 38.0 25.0Media 19.4 22.9 10.6 12.0 0.25 34.0 17.0 7.0 34.0 23.0Suelta 15.9 22.0 9.9 11.1 0.35 0.30 30.0 15.0 5.0 30.0 20.0Arena con SedimentosDensa 19.4 26.4 12.3 15.5 0.25 34.0 17.0 7.0 34.0 23.0Media 16.7 22.9 10.6 12.0 0.30 30.0 15.0 5.0 30.0 20.0Suelta 14.1 22.0 8.8 11.1 0.50 0.35 26.0 13.0 3.0 26.0 18.0
Peso Unitario Suelo
SumergidoCoeficiente de Presión Activa
RellenosSuelos
inalteradosÁngulos de
Fricción
γ´ Ka
Tipo de SueloPeso Unitario Suelo Seco
Coeficiente de Presión Pasiva
Suelos inalterados
Ángulos de Fricción
γ Kp
*Unidades en kN/m3 y grados.
Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.
δ (activo)δ (pasivo)
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1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA
INFILTRACIÓN DEL AGUA
Los muros tablestacados son ampliamente utilizados en construcciones bajo la acción de el
agua. Cuando la marea o el nivel de un río disminuyen, la tablestaca se encuentra sometida
a la máxima acción de la presión de tierras. Durante una tormenta o un deceso rápido del
nivel agua, puede producirse una diferencia considerativa entre los nivel del agua en ambos
lados de la tablestaca, esta condición de diferencia entre los niveles induce una presión
adicional sobre la tablestaca. Luego el agua residente en el suelo se percola hacia abajo a
través de la parte posterior de la tablestaca y luego hacia arriba en el frente de la tablestaca.
La infiltración que se produce arriba reduce el peso efectivo del suelo, y por consiguiente se
reduce la presión pasiva del suelo. Es por esto que es necesario evaluar el desbalance en la
presión de agua y el efecto de la presión debida a la infiltración en los casos en donde existe
diferencia en los niveles del agua.
(a) ( b)
Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso unitario
efectivo de la cuña pasiva debida a la presión generada por flujo del agua ascendente.
D
Hu
10Hu
PermeableD
Hu
10Hu
Permeable
Impermeable
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La caída de la altura de la cabeza de agua después del deceso de una marea alta o una
creciente depende primordialmente del relleno utilizado. En arena gruesa o grava, la caída
del nivel es imperceptible, sin embargo en arena fina esta caída puede ser importante. Si se
utiliza un relleno con arcilla o limo, la presión hidrostática neta debe suponerse debajo del
nivel máximo posible de la posición del agua.
El desbalance en la presión de agua debe aproximarse por el trapecio de la figura 1.4 (a),
donde ãw es el peso unitario del agua. Si la permeabilidad del suelo varia de manera
considerable en la dirección vertical, la distribución del desbalance de la presión de agua
debe ser determinada a través de la construcción de un flujo de agua neto.
El peso efectivo del suelo detrás de una tabla estática de agua es el peso sumergido del
mismo; bajo la acción de una infiltración ascendente el peso unitario sumergido se reduce
aproximadamente por la siguiente expresión:
D
Hu×=∆ 5.3´γ (1)
Donde γ´∆ es la reducción del peso unitario sumergido en kN/m3. El peso unitario efectivo
que debe utilizarse en el cálculo de la presión pasiva es (ã´ - γ´∆ );
Hu = es la cabeza desbalanceada de agua en metros;
D = como se muestra en la figura tal.
El efecto de la infiltración hacia abajo del suelo ubicado en la parte posterior de la
tablestaca es muy pequeño y por eso se desprecia.
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1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
La estabilidad externa y los esfuerzos internos de la tablestaca anclada dependen de un gran
número de factores que son relativos a la rigidez de la tablestaca, la profundidad de
penetración de la tablestaca, la compresividad relativa del suelo, la deformación del anclaje,
etc. Cada uno de estos factores afecta de una u otra manera el comportamiento de la
tablestaca. Por ejemplo, una tablestaca hincada a una gran profundidad dentro de un suelo
granular tendrá esfuerzos flectores menores a los que tendría la misma tablestaca hincada a
una menor profundidad, esto debido a que el suelo circundante tiende a prevenir la rotación
de la tablestaca.
Debido a la variedad de factores que afectan el comportamiento de la tablestaca, las
tablestacas se diseñan mediante varios métodos (Bowles J.E, 1998):
• El método del extremo libre
• El método del extremo fijo
• El método de Hansen
• Elementos finitos
Todos estos métodos son validos, sin embargo el que da mejores resultados con el menor
número de cálculos es el método del extremo libre y por eso se utilizara para diseñar la
tablestaca anclada de este documento.
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1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO
DEL EXTREMO LIBRE
El método del extremo libre, o el método del soporte libre de tierra, se encuentra basado en
los siguientes supuestos:
1. La tablestaca es perfectamente rígida en comparación al suelo que la rodea.
2. La presión actuante sobre la tablestaca puede ser calculada utilizando la teoría de
Rankine o Coulomb.
3. La tablestaca puede rotar, pero no puede desplazarse lateralmente en el nivel de los
anclajes. En el momento de la falla la tablestaca se desplaza hacia fuera rotando a
través del nivel de los anclajes.
Con estas suposiciones, el diseño se convierte en un problema simple de estática. El
procedimiento para el diseño de las tablestacas ancladas en suelos granulares y
cohesivos se discute a continuación.
Suelo granular:
1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa y pasiva
2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se
encuentra en el nivel de drenaje, ãe h
3. Localizar el punto de presión cero )(
´
ap
ae
pp
khy
−××
=γ
4. Calcular momentos sobre el nivel de los anclajes:
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0)3
2()(
2
11
21 =×++××−×− DyhDppL tapp (2)
Resolver para D1.
5. Calcular la tensión sobre los anclajes 21)(
2
1DppPT ap ×−×−=
6. Determinar el máximo momento flector en el punto de cortante cero, como en el
caso de un miembro ordinario sometido a flexión
7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante
8. Añadir entre un 20% y un 40% a D1 para proporcionar un factor de seguridad, o
dividir pp por un factor de seguridad de 1.5 o 2.0 en los pasos 3 y 4
Suelo cohesivo:
1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa de tierras pa
2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se
encuentran en el nivel de drenaje, ãe h
3. Evaluar el esfuerzo de compresión inconfinada qu del suelo cohesivo
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Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método del
extremo libre.
4. Calcular momentos sobre el nivel de los anclajes
)2
1()2( DhDhqLP teu +××−− γ (3)
Resolver para D.
5. Calcular la tensión sobre los anclajes DhqPT eu ×−−= )2( γ
6. Determinar el máximo momento en el punto de cortante cero.
7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante
8. Añadir entre un 20% y un 40% a D o utilizar entre un 50% y un 75% de qu
en los pasos 4 y 5.
1.7 CUÑAS Y ANCLAJES
En el sistema de tablestacas ancladas una cuña es un miembro que trabaja a flexión y
soporta la reacción lateral que la tablestaca transfiere a los anclajes. Usualmente consiste en
h1
hw
y
D1
Nivel bajo del agua
γKa
γKah1
γeh
γehKa´
L
γ´Ka
P = Presión de tierras arriba del punto a + otras fuerzas horizontales (excepto T)
(Pp –Pa)D1
a
P p–P a
ht
T= Fuerza en los anclajes
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25
un par de perfiles en "C" con el alma en posición horizontal. Para tablestacas de gran altura,
las canales deben reforzarse con platinas, además se les debe proveer la suficiente
separación del extremo del anclaje para que la transmisión de la fuerza sea efectiva.
Los anclajes son barras circulares o cuadradas hechas de acero estructural , los cables no
son aconsejables para construcciones permanentes dado que ofrecen muy poca resistencia
ante cargas laterales y de compresión.
Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método del
extremo libre.
En la mayoría de los casos, las cuñas son elementos que trabajan a flexión pura y los
anclajes son elementos que trabajan a tracción pura, si los anclajes se construyen a un
ángulo diferente de 90º con la tablestaca, las cuñas se encuentran sometidas a una
combinación de esfuerzo axial y de flexión. El esfuerzo axial es causado por la componente
D
Pa
γeh
P = Fuerza horizontal total(excepto T)
ht
T= Fuerza en los anclajes
L
2qu-γeh
Línea de desagüe
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26
de la tensión sobre el anclaje que es paralela a la cara de la tablestaca; en este caso debe
existir una conexión positiva entre la cuña y los anclajes para transmitir el esfuerzo axial. El
diseño de los anclajes y de las cuñas es bastante elemental, solo se deben chequear los
esfuerzos admisibles sobre los mismos, es por eso que solo se discute la localización de
ambos elementos y la naturaleza de la tensión sobre los anclajes.
A. Localización de las cuñas. Las cuñas son los elementos que se colocan en la parte
exterior o interior de la tablestaca para fijar los anclajes a la misma. A no ser que se desee
una tablestaca con la cara nivelada, la localización más económica de las cuñas es sobre el
nivel más bajo del agua y por fuera de la tablestaca. Cuando las cuñas se colocan arriba del
nivel más bajo del agua se les debe de proveer de drenajes y deben pintarse para protegerlas
de la corrosión.
B. Soporte de los anclajes. Si existe un suelo blando debajo de los anclajes, aún a una
gran profundidad, este se consolidará bajo el peso del relleno y hará que el suelo se asiente.
Un asentamiento pequeño puede causar que el anclaje se hunda bajo el peso del suelo que
se encuentra sobre el, para eliminar los esfuerzos que produce este hundimiento, alguno de
estos métodos se puede utilizar:
1. Soportar los anclajes con pilotes verticales a intervalos entre 6 y 9 metros. Estos
pilotes deben cimentarse sobre suelo firme debajo de la capa compresible.
2. Instalar un tubo largo, y dentro de él colocar el anclaje, de tal forma que el diámetro
interior del tubo sea mayor al asentamiento máximo esperado, de esta manera el tubo se
hundirá con el suelo y el anclaje no sufrirá ningún esfuerzo.
C. Tensión sobre los anclajes. Los anclajes frecuentemente se ven sometidos a una
tensión mayor a la calculada por el método del extremo libre. Para efectos de diseño la
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27
tensión se incrementa al menos en un 30% para el anclaje y entre un 50% y un 100% para
el diseño de conexiones y uniones donde un cambio abrupto en la sección transversal
introduce concentraciones de esfuerzos.
1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO
Los "muertos" (vigas de anclaje, bloques de anclaje, o platinas de anclaje) pueden ser
construidos cerca de la superficie del suelo o a una gran profundidad, y, en distancias cortas
o vigas continuas. La capacidad en cada caso para la fuerza horizontal se discute a
continuación.
1.7.1.1 Peso muerto continuo cerca de la superficie del suelo. Un peso muerto continuo
es aquel cuyo largo es mayor que su profundidad. Si la profundidad del muerto h es menor
un tercio de la profundidad H, figura tal, la capacidad puede ser calculada suponiendo que
la parte superior del peso muerto se extiende hasta la superficie. Entonces la siguiente
ecuación se vuelve cierta:
apult PPT −= (4)
donde Tult = capacidad ultima del peso muerto, kN/m
Pp = Presión total pasiva de tierras, kN/m
Pa = Presión total activa de tierras, kN/m
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28
La magnitud de Pp y Pa pueden ser determinadas mediante la teoría clásica de presión de
tierras, como se muestra en la figura 1.8(b), haciendo el supuesto de que la fricción y la
adhesión entre el peso muerto y el suelo es cero. Para un peso muerto en suelo cohesivo, la
distribución de Pp y Pa inmediatamente después de la aplicación de la tensión del anclaje se
refiere a la presión inicial, y se muestra en la figura 1.8 (c). Debe notarse que la presión
activa de tierras, se asume como cero a una profundidad = 2c/ã , que es la profundidad de
las fisuras de tensión. A través del paso del tiempo, la magnitud y distribución de la presión
de tierras tiende a cambiar de manera lenta, ante la falta de información en este sentido, el
peso muerto en suelos cohesivos debe ser diseñado con un factor de seguridad
conservativo.
Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.
1.7.1.2 Peso muerto corto cerca a la superficie. La figura 1.7 muestra un peso muerto
con una longitud L sometido a una tensión T. Experimentos han demostrado que durante el
momento de la falla se forma una cuña en el suelo que es mayor a la longitud del peso
muerto. La resistencia al deslizamiento a través de la superficies curveadas de la cuña es
indudablemente menor a la resistencia a lo largo de las superficies verticales. La presión
total de tierras en el suelo granular es:
a
e
x
dx
H
HKp0.5 HKa
0.5
Superficie del terrenob
Cuña pasiva Cuña Activa
xγk0
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∫ +=−H
apa HKKKKdxKHH
XH
0
300 )(
6
1))(( γγ (5)
Entonces la capacidad última de un peso muerto corto en suelo granular cerca de la
superficie es :
ϕγ tan)(3
1)( 3
0 HKKKPPLT apapult ++−≤ (6)
Donde L = es la longitud del peso muerto en metros;
Pp , Pa = Presión pasiva y activa de tierra en kN / m;
Ko = Coeficiente de presión de tierras en descanso. Debe tomarse como 0.4 para diseñar el
peso muerto;
ã = Peso unitario del suelo, kN/m3;
Kp , Ka = Coeficientes de presión pasiva y activa de tierras;
H = Altura del peso muerto;
ö = Ángulo de fricción interna
En suelo cohesivo el segundo término de la ecuación tal debe reemplazarse por la
resistencia cohesiva, entonces:
2)( HqPPLT uapult +−≤ (7)
Donde qu es la resistencia inconfinada del suelo.
1.7.1.3 Peso Muerto a gran profundidad. La capacidad última del peso muerto a una
gran profundidad por debajo de la superficie del suelo (h > H Figura 1.9 es
aproximadamente igual a la capacidad portante de una zapata cuya base se encuentra
localizada a una profundidad correspondiente a la mitad de la altura del peso muerto.
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30
(a)
(b) (c)
Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.
1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE
El anclaje es inútil si se localiza dentro de la superficie de deslizamiento del suelo de
relleno, ver figura 1.10 (a). La capacidad del peso muerto se ve afectada si se localiza en un
suelo inestable, o si la superficie de falla del suelo interfiere con la cuña pasiva enfrente del
peso muerto, figura 1.10 (b), en este caso la reducción de la capacidad del peso muerto
debe ser determinada.
TFuerza anclaje
h
H
Peso muerto
Superficie del terreno
Cuña activa
Cuña pasiva
Suelo Granular
PaPp
P p=γ
K p
Pa =γK
a H
Pa
Pp
Suelo Cohesivo(Presión Inicial)
2C = qu
2C/γ
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Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.
El anclaje no debe construirse en un suelo inestable. La capacidad del peso muerto es
efectiva cuando:
1. La superficie de deslizamiento del relleno no interfiere con la cuña pasiva que se
forma en la parte frontal del peso muerto.
2. El peso muerto es localizado detrás de la línea pendiente que comienza desde la
parte inferior de la tablestaca y forma un ángulo ö con la horizontal, siendo ö el
ángulo de fricción interna del suelo.
Para satisfacer estos requisitos el peso muerto debe localizarse en el área formada por la
líneas ae y bc de la figura 1.10 (c).
(a)
Superficie de deslizamiento
45º + φ/2
h
T H
Peso Muerto
h+H/2
H
T
Zapata
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Superficie de deslizamiento
φ
b
c
d
a
45º - φ/2
(b) (c)
Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia
reducida; (c)Máxima capacidad.
1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO
A continuación se presenta el diseño tradicional de un muro tablestacado, esto con el fín de
comparar los resultados de dicho diseño con los obtenidos mediante el diseño óptimo
probabilístico.
Para el diseño del muro tablestacado se tomaron en cuenta los parámetros mostrados en
tabla 1.2:
Tabla 1.2 Parámetros de diseño.
PARÁMETRO VALOR
h1 5.0 m
h2 1.0 m
hw 1.5 m
s 2.5 m
Fy 250 MPa
Superficie de deslizamiento
45º + φ/2
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Parámetro Valor
Fyanclaje 420MPa
ãs1 18 kN/m3
ãs´1 10 kN/m3
ö1 25º
ãs´2 11 kN/m3
ö2 30º
Donde h1 es la porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida, h2 es la ubicación
del anclaje medida desde la parte superior del relleno y hw es la medida de la porción del
suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático. La variable s es la
separación de los anclajes de la tablestaca, se selecciono un valor característico para
proyectos de este tipo, el parámetro Fy es el esfuerzo de fluencia del acero de la tablestaca
en MPa y la variable Fyanclaje es el esfuerzo de fluencia de los anclajes de la tablestaca en
MPa.
Los parámetros del suelo son ãs1, que es el peso unitario del suelo de relleno seco, ãs´1 es el
peso unitario sumergido del suelo de relleno, ö1 es el ángulo de fricción del suelo de
relleno, ãs´2 es el peso unitario sumergido del suelo que se encuentra debajo del relleno y
ö2 es el ángulo de fricción de dicho suelo.
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34
Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado
Una vez se han definido todos los parámetros del suelo se deben calcular las fuerzas
actuantes sobre la tablestaca para esto se deben calcular los coeficientes de la presión del
suelo:
Kp1 tan 45π
180⋅ φ1+
:=
Kp2 tan 45π
180⋅ φ2+
:=
Ka1 tan 45π
180⋅ φ1−
:=
Ka2 tan 45π
180⋅ φ2−
:=
Donde Kp1 y Ka1 son los coeficientes de presión pasiva y activa del suelo de relleno
respectivamente y Kp2 y Ka2 son los coeficientes de presión de tierras del suelo sobre el
cual se apoya la tablestaca. Reemplazando los valores de la tabla 1.1 se obtienen los
siguientes valores para la presión de tierras:
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Kp1 2.747=
Kp2 3.732=
Ka1 0.364=
Ka2 0.268=
Estos valores son adimensionales puesto que se trabajan en radianes. Ya calculados los
coeficientes de presión de tierras se pueden calcular las presiones que actúan sobre la
tablestaca conforme a la figura 1.5.
P1 γs1 hw⋅ Ka1⋅:=
P1 9.827=
P2 γs´1 h1⋅ Ka1⋅ P1+:=
P2 28.026=
P3 γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅:=
P3 20.632=
La presión P1 es la presión justo donde se encuentra el nivel freático, la presión P2 es la
presión donde termina el suelo de relleno y P3 es la presión activa de la parte del suelo
sobre la cual se apoya la tablestaca. Las unidades de estas presiones son kN/m2. Puesto que
la profundidad de la tablestaca es un parámetro desconocido que resulta del diseño, la
presión total pasiva sobre la tablestaca es desconocida, para esto se debe iterar el valor de
esta presión en función de la profundidad de la tablestaca hasta que la sumatoria de
momentos con respecto al punto donde se ubican los anclajes sea igual a 0.
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Pendiente γs´2 Kp2 Ka2−( )⋅:=
Pendiente 38.105=
yP3
Pendiente:=
y 0.541=
M d( ) P1hw
2⋅ hw
2
3⋅ h2−
⋅ P1 h1⋅ hwh1
2+ h2−
⋅+P2 P1−( )
2h1⋅ hw
2
3h1⋅+ h2−
⋅+P3
2y⋅ hw h1+
y
3+ h2−
⋅+Pendiente
2d
2⋅ h1 hw+ y+
2
3d⋅+ h2−
⋅−:=
La variable pendiente es la pendiente que tiene la distribución de presiones de tierras en el
suelo de cimentación de la tablestaca, y se utiliza para calcular la profundidad de la
tablestaca, y el parámetro y es la parte de la tablestaca sobre la cual actúa una presión
activa. Luego se plantea la ecuación de Momento al nivel de los anclajes como función de
la parte de la profundidad de la tablestaca sobre la cual actúa la presión pasiva de tierras.
Dicha ecuación se resuelve igualando la sumatoria de momentos a cero y se encuentra la
profundidad D1, luego a dicha profundidad se le adiciona el valor de y y se obtiene la
profundidad total de la tablestaca:
D1 1.615=
D D1 y+:=
D 2.156=
Ya teniendo la profundidad total de la tablestaca es posible calcular la presiones a las cual
esta sometida esta:
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37
0 2.16 4.33 6.49 8.6680
52.5
25
2.5
3030
80−
Presiones1 h( )
0
h1 hw+ D+0 h
Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2
Una vez se ha calculado la profundidad de la tablestaca, esta se aumenta en un 40%
siguiendo los lineamientos del diseño tradicional, obteniendo una profundidad suministrada
de 3 metros.
Habiéndose calculado todas las presiones sobre la tablestaca, se debe calcular la tensión
sobre los anclajes, dicha tensión se calcula planteando la ecuación de equilibrio de las
fuerzas que actúan perpendiculares a la tablestaca.
T P1hw
2⋅ P1 h1⋅+
P2 P1−( )
2h1⋅+ P3
y
2⋅+
Pendiente D2⋅
2−:=
T 19.021=
Teniendo la tensión sobre los anclajes por metro lineal de muro, se puede calcular la
tensión neta sobre cada anclaje a partir de la separación de los anclajes, y una vez se tiene
esta tensión se procede a calcular el área de acero requerida a partir del esfuerzo de fluencia
del acero de los anclajes.
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Tneta s T⋅:=
Tneta 47.551=
AstTneta
fyanclaje 1000⋅:=
Ast 1.132 104−
×=
Esta área correspondería a un anclaje pasivo conformado por una varilla con diámetro de
1/2". Para diseñar la sección transversal de la tablestaca se debe seleccionar el modulo de
sección requerido, a partir del máximo momento actuante sobre la tablestaca. Para calcular
el momento máximo se debe encontrar el punto donde el cortante es igual a cero, para
calcular este punto se supone que se encuentra bajo el nivel freático.
Cortante x( ) T P1hw
2⋅− P1 x⋅−
γs´1 Ka1⋅ x2
⋅2
−:=
x 1=
Cortante x( ) 0=
Mmax P1hw
2⋅ x
hw
3+
⋅ P1 x⋅x
2⋅+ γs´1 x
2⋅
Ka1
2⋅
x
3⋅+ T x hw+ h2−( )⋅−:=
Mmax 11.955=
Cuando se ha calculado el momento máximo sobre la tablestaca, se puede calcular el
modulo de sección requerido limitando el esfuerzo de flexión sobre la misma al esfuerzo de
fluencia del acero de la tablestaca.
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SMmax
fy 1000⋅:=
S 4.782 105−
×=
Utilizando el modulo de sección requerido se pueden utilizar las tablas que contienen las
propiedades de la tablestacas y seleccionar la sección que más se acerque. La tablestaca
seleccionada es una PSA23 (ver figura 1.1) con un peso de 112.3 kg/m 2.
El siguiente parámetro importante que resulta del diseño de la tablestaca es la altura del
peso muerto, dicha altura debe ser suficiente para que la presión pasiva que desarrolla
pueda soportar la tensión que le transmiten los anclajes.
HmT
0.5 γs1⋅ Kp1 Ka1−( )⋅:=
Hm 0.942=
La altura del peso muerto debe de ser de 0.95 metros, para un peso muerto continuo a lo
largo de la tablestaca. Ya calculada la altura del peso muerto se procede a calcular la
localización del mismo.
LD h1+ h2+
tan φ2( ):=
L 14.127=
A continuación se presenta una tabla con los resultados del diseño tradicional del muro
tablestacado anclado:
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40
Tabla 1.3 Resumen diseño estructural.
Parámetro Valor
Profundidad de
empotramiento de
la Tablestaca (D)
3 m
Área de acero de
los anclajes
requerida (Ast)
1.13 cm2
usar 1 varilla # 4
Modulo de sección
requerido de la
tablestaca (S)
4.782 x 10-5 m3
Altura del peso
muerto (Hm)
0.95 m
Longitud del
anclaje (L)
14.5 m
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41
CONCLUSIONES
• El diseño de muros tablestacados anclados tiene diversas fuentes de incertidumbre
que son claramente identificables en las solicitaciones de carga sobre el muro
(presión de tierras, infiltración, etc), los parámetros de resistencia del mismo
(esfuerzos resistentes sobre los anclajes, la tablestaca, etc) y los parámetros
geotécnicos (peso unitario del suelo, ángulo de fricción, etc). Es por esto que este
tipo de elementos presenta las condiciones que ameritan la realización de un diseño
óptimo probabilístico que tenga en cuenta la incertidumbre de las variables y que
produzca un beneficio máximo.
• El diseño determinístico tradicional maneja la incertidumbre a partir de los factores
de seguridad, aumentando la profundidad de la tablestaca un 40%. Es claro que este
factor de seguridad introduce un factor de sobre diseño elevado que se ve reflejado
en los costos, si se aumenta por tal cantidad la tablestaca, los anclajes tienden a no
trabajar y el diseñar de los muros tablestacados “anclados” sería innecesario.
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42
CAPÍTULO II
OPTIMIZACIÓN DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS
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43
ASPECTOS GENERALES
Este capítulo tiene como fin primordial definir los conceptos de la teoría de la
confiabilidad, la optimización, el análisis de la probabilidad de falla mediante técnicas de
Monte Carlo y la regresión múltiple. La teoría de la confiabilidad estructural es necesaria
para calcular la probabilidad de falla de los diferentes mecanismos de los muros
tablestacados anclados, dicha probabilidad dada la dificultad que presentan las
distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, su correlación y la no linealidad
de las ecuaciones de estado limite debe ser calculada utilizando métodos de Monte Carlo.
La teoría de la optimización es la parte principal de este documento y es indispensable
enmarcar los lineamientos que se utilizaran para optimizar los muros tablestacados
anclados.
La regresión múltiple se introduce como un método alternativo que permite calcular la
probabilidad de violación de un estado límite en función de 2 o más variables, y de esta
forma optimizarlos al tiempo.
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44
OBJETIVOS
• Definir los conceptos básicos de la confiabilidad estructural, esto con el fin de
introducir la teoría de la probabilidad de falla para utilizarla más adelante en el
proceso de optimización.
• Exponer la teoría de los métodos de Monte Carlo que permiten el calculo de
cualquier probabilidad de falla
• Presentar la teoría de la optimización, para realizar posteriormente un análisis de
beneficio - costo para obtener estructuras seguras con un máximo beneficio.
• Introducir el modelo de renovación, modelo de optimización que será utilizado para
optimizar los muros tablestacados.
• Presentar la teoría de la regresión múltiple con el fín de poderla utilizar para
optimizar varias variables al tiempo.
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45
2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL
2 .1.1 ESTADOS LÍMITES
2.1.1.1 Definición de Falla:
La definición de falla depende de la función de estado límite, una estructura falla cuando no
puede cumplir la función para la cual fue diseñada. Es por esto que se debe definir la
función para la cual la estructura fue diseñada para así poder determinar cuando alcanza su
estado de falla. Es para esto que se desarrollo el concepto de estado limite con el fin de
definir la falla en el contexto del análisis de confiabilidad estructural. Un estado limite es el
limite entre el funcionamiento deseado e indeseado de una estructura, dicho limite se puede
expresar matemáticamente por una función de estado limite.
El mal funcionamiento de una estructura puede ocurrir por varios modos de falla:
rompimiento, corrosión, deformaciones excesivas, pandeo local etc. Algunas de estas fallas
se pueden presentar de una manera frágil o de una manera dúctil. La ingeniería tradicional
considera cada uno de estos modos de falla de manera separada y cada uno de estos modos
de falla puede definirse utilizando el concepto de estado límite.
En el análisis de Confiabilidad Estructural existen tres tipos de estados límites:
1. Estados limites últimos: están relacionados con la incapacidad de la estructura de
soportar las acciones de la carga, algunos de estos modos de falla son los siguientes:
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46
• Excedencia de la capacidad de soportar momentos
• Formación de rotulas plásticas
• Falla del concreto a compresión
• Falla a cortante en el alma de una viga de acero
• Perdida de estabilidad total
• Pandeo del ala
• Pandeo del alma
2. Estados limites de servicio: Se refieren al deterioro gradual, al servicio que presta al
usuario o a los costos de mantenimiento. Pueden estar relacionados directamente o
indirectamente con la integridad estructural. Algunos ejemplos de estos modos de falla son:
• Deflexiones Excesivas
• Vibraciones Excesivas
• Deformaciones permanentes
• Fisuras notorias
3. Estados limites de fatiga: Están relacionados con la pérdida de resistencia de la estructura
ante varios ciclos de carga. Los estados límites de fatiga están relacionados con la
acumulación de daño y eventual falla bajo cargas cíclicas. Se ha observado que un
elemento estructural puede fallar bajo cargas cíclicas a un nivel menor que su capacidad
máxima de carga última. Estos mecanismos de falla incluyen la propagación de fisuras
hasta que se produce la ruptura. Esto puede llevar al colapso total de la estructura.
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47
Estas fallas por fatiga son comunes en elementos de acero y en barras de acero de refuerzo,
en el concreto reforzado particularmente en barras sometidas a flexión, también se han
detectado en elementos preesforzados de puentes de concreto postensado. En cualquier
análisis de fatiga se deben tener en cuenta la magnitud y la frecuencia de las cargas
(Nowak, 2000).
2.1.1.2 Funciones de Estado Limite:
Si se define R como la resistencia de un elemento y Q como la solicitación de dicho
elemento la función de estado límite puede definirse para el modo de falla como:
QRQRg −=),( (8)
El estado limite correspondiente al limite entre el funcionamiento deseado e indeseado seria
g = 0, si 0≥g la estructura es segura, si 0<g la estructura no es segura. La probabilidad
de falla, Pf, es equivalente a la probabilidad de que la estructura no sea segura. Esto se
puede expresar de la siguiente manera:
)0()0( <=<−= gPQRPPf (9)
Si R y Q son variables aleatorias continuas, y cada una tiene una función de densidad de
probabilidad como la mostrada en la Figura 2.1, entonces la resta R - Q también es una
variable aleatoria con su propia función de densidad de probabilidad. Esto lo podemos ver
también en la Figura 2.1, la probabilidad de falla corresponde al área sombreada en la
Figura 2.1.
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48
Todo lo anteriormente dicho se puede resumir en las siguientes expresiones:
Seguro )arg( aresistenciaefectodec ≤
Falla )arg( aresistenciaefectodec >
El estado de la estructura puede ser descrito utilizando varias variables X1, X2,......., Xn,
variables que describen los parámetros de resistencia y carga, tales como la carga muerta,
altura, profundidad, resistencia a la compresión, momento de inercia, etc. Una función de
estado límite es una función g(X1, X2,......., Xn) de estas variables de tal forma que:
g(X1, X2,......., Xn) > 0 Para una estructura segura
g(X1, X2,......., Xn) = 0 El limite entre una estructura segura e insegura
g(X1, X2,......., Xn) < 0 Para la falla
Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de
seguridad.
Cada función de estado límite esta asociada en particular con un estado límite, a
continuación se presentan ejemplos de funciones de estado límite:
Q, efecto de carga R, resistencia
R-Q, margen seguro
Probabilidad de falla
FDP
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49
1. Sea Q el efecto de carga (demanda total) y R la resistencia o capacidad. Entonces la
función de estado límite puede definirse como:
QRQRg −=),( (10)
o como
1/),( −= QRQRg (11)
2. Sea X la resistencia de una viga a cortante y que las demandas de cortante son D de la
carga muerta, L de la carga viva, y E el causado por el sismo, entonces la ecuación de
estado límite se pude definir de la siguiente manera:
ELDXELDXg −−−=),,,( (12)
Como conclusión se puede decir que la ecuación de estado límite es una función que puede
depender de varios factores como dimensiones, componentes de carga, factores de
influencia, parámetros de resistencia, propiedades de materiales etc., y con la ayuda de esta
función es posible calcular la probabilidad de falla de la estructura.
2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA
La probabilidad de falla debe definirse a partir de la función de estado límite ya antes
definida:
QRQRg −=),( (13)
La probabilidad de falla, Pf, puede ser obtenida considerando las funciones de densidad de
probabilidad de las variables aleatorias R y Q que se muestran en la figura 2.2.
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50
Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.
La estructura falla cuando la carga excede la resistencia. Si R es igual a un valor ri,
entonces la probabilidad de falla es igual a la probabilidad de que la carga sea mayor que la
resistencia, o que P (Q>ri). Entonces, como R es una variable aleatoria hay una
probabilidad asociada para cada valor de ri. Entonces la probabilidad de falla esta
compuesta por la sumatoria de combinaciones de R = ri y Q > ri, que puede escribirse de la
siguiente manera:
∑ ∑ ==>=>∩== )()/()( iiiif rRPrRRQPrQrRPP (14)
En el caso de una función de densidad de probabilidad continua para ambas variables la
sumatoria se convierte en una integral. La probabilidad )/( irRRQP => es igual a
1 - FQ(ri ), en donde FQ(ri ) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la
solicitación Q evaluada en el valor de la resistencia ri. En el limite la probabilidad P(R = ri)
� fR(ri)dri, en donde fR(ri) es la función de densidad de probabilidad de la resistencia R
FDP
X
dx
fQ fR
1-FQ(x)
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51
evaluada en el valor ri. Aplicando estas equivalencias es posible llegar a la siguiente
expresión (Nowak, 2000):
[ ]∫ ∫∞
∞−
−=−= iiRiQiiRiQf drrfrFdrrfrFP )()(1)()(1 (15)
Si la solicitación Q es igual a un valor especifico qi, entonces la probabilidad de falla es
igual a la probabilidad de que la resistencia sea menor que la solicitación, o P(R < qi),
dado que Q es una variable aleatoria, existe una probabilidad asociada a cada valor de qi.
Entonces la probabilidad de falla esta conformada por la sumatoria de las posibles
combinaciones de Q = qi y R < qi, que puede ser expresada de la siguiente manera:
∑ ∑ ==<=<∩== )()/()( iiiif qQPqQQRPqRqQPP (16)
Aplicando la metodología que se utilizo anteriormente esta expresión se puede rescribir
como:
∫+∞
∞−
= iiQiRf dqqfqFP )()( (17)
En donde FR(qi) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la resistencia,
evaluada en el valor de la solicitación qi y fQ(qi) es la función de densidad de probabilidad
de la solicitación evaluada en el valor de la solicitación qi.
Es claro que la evaluación de estas integrales es un proceso complicado que en mucho
casos requiere de de la utilización de métodos numéricos, sin embargo en la practica es
posible calcular dichas probabilidades de una manera mas practica siguiendo los
procedimientos que se explicaran a continuación.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
52
2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado:
Las variables de estado son los parámetros básicos de solicitación y resistencia usados para
formular la función de estado limite. Para una función de estado límite con n variables
existen n variables de estado.
Si todas las variables de la solicitación están representadas por la variable Q y todas las
variables de la resistencia por la variable R. entonces el espacio de las variables de estado
es bidimensional como el que se puede ver en la Figura 2.3 A través de este espacio es
posible separar la región de dominio seguro de la región del dominio de la falla por medio
de la de la función de estado limite g(R, Q) = 0.
Como R y Q son variables aleatorias es posible definir una función conjunta fRQ(r, q) en
donde la función de estado limite separa el dominio seguro de el dominio de la falla; por
medio de esta función conjunta es posible calcular la probabilidad de falla integrando dicha
función sobre el dominio de la falla que corresponde a la región en donde g(R, Q) < 0,
como se mencionó antes esta integral es complicada de evaluar y para ello se define el
Índice de Confiabilidad.
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53
Figura 2.3 Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones. 2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD
Con el fin de definir posteriormente el Índice de Confiabilidad es oportuno normalizar las
variables R y Q, esta es la forma adimensional de las variables(Nowak, 2000):
R
RR
RZ
σµ−
= (18)
Q
QZ
σ
µ−= (19)
Las variables ZR y ZQ son denominadas variables transformadas, entonces las variables R y
Q se pueden representar en función de sus variables transformadas de la siguiente forma:
RRR ZR σµ += (20)
QQQ ZQ σµ += (21)
µR
µQ
FALLA(R<Q)
SEGURO(R<Q)
R-Q = 0 Limite de la falla (Función de estado limite)
R
Q
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54
La función de estado limite g(R, Q) = R - Q puede expresarse en términos de las variables
transformadas:
( ) QQRRQRQQQRRRQR ZZZZZZg σσµµσµσµ −+−=−−+=),( (22)
Para cualquier valor especifico de g (ZR , ZQ ), esta ecuación representa una línea recta en el
espacio transformado de las variables transformadas ZR y ZQ. La línea que es utilizada en el
análisis de confiabilidad estructural es la correspondiente a g (ZR , ZQ ) = 0 ya que esta es la
línea que divide la zona del dominio seguro del dominio de la falla en el espacio de la
variables transformadas.
2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad
El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen de las variables
transformadas hasta la línea g (ZR, ZQ), esta definición fue realizada por Hasofer y Lind
(1974), y puede verse en la figura 2.4.
β
ZR
ZQ
Función de Estado Limite g (ZR, ZQ) = 0
Falla
Seguro
Q
QR
σ
µµ −R
QR
σ
µµ −−
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55
Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen hasta la recta.
Como la distancia mas corta entre un punto y una recta es la perpendicular trazada desde el
punto hasta la recta, el índice de confiabilidad â puede calcularse utilizando la siguiente
formula:
22QR
QR
σσ
µµβ
−
−= (23)
Donde â es la inversa del coeficiente de variación de la función g (R, Q), donde R y Q son
variables sin correlación. Para variables normalmente distribuidas R y Q puede demostrarse
que el índice de confiabilidad esta relacionado con la probabilidad de falla de la siguiente
forma:
( )fP1−Φ−=β o ( )β−Φ=fP (24)
Esta definición del índice de confiabilidad puede ampliarse para el caso mas general de n
variables, considerando la función de estado limite g (X1, X2,.....,Xn) donde la Xi variables
no están correlacionadas. El Índice de Confiabilidad puede definirse:
1. Se definen las variables {Z1, Z2,........, Zn}
i
i
X
Xii
XZ
σ
µ−= (25)
2. Plantear la ecuación de estado limite en términos de las nuevas variables trasformadas
(Z1, Z2,......., Zn).
3. El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen del espacio
transformado de n variables y la curva formada por la función g (Z1, Z2,......., Zn) = 0.
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56
2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento
Funciones Lineales de Estado Limite
Una función lineal de estado limite de la forma:
∑=
=++++=n
iiinnn XaXaXaXaaXXXg
12211021 ......),.......,,( (26)
Donde ai son términos constantes y Xi son variables aleatorias no correlacionadas.
Aplicando la metodología planteada anteriormente se puede determinar el Índice de
Confiabilidad (Nowak, 2000):
( )∑
∑
=
=
+=
n
iXi
n
iii
ia
Xaa
1
10
σβ (27)
Según esta formula el Índice de Confiabilidad solo depende de las medias y de las
desviaciones estándar de las variables, y es por esto que se dice que es el índice de primer y
segundo momento que corresponden a la media y a la desviación estándar respectivamente.
Vale la pena decir que esta definición del Índice de Confiabilidad no tiene en cuenta la
distribución de probabilidad de cada una de la variables, en el caso de que las variables
estén distribuidas normalmente el índice que se obtiene es exacto, de lo contrario es solo
una aproximación para relacionar el Índice de Confiabilidad y la probabilidad de falla.
2.2 OPTIMIZACIÓN
La pregunta ¿Que tan seguro es seguro? es una pregunta que se ha formulado la Ingeniería
Estructural desde sus comienzos. La Confiabilidad Estructural presenta una solución a este
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
57
aspecto por medio de la probabilidad de falla de la violación de un estado limite, sin
embargo este parámetro no es suficiente para definir si el riesgo es aceptable o no y poder
así tomar una decisión.
Con el fin de hacer la probabilidad de falla un parámetro mas diciente, se realizan ciertas
comparaciones con probabilidades de riesgo en otros aspectos de la vida, como la
probabilidad de fallecer en un accidente aéreo o la probabilidad de morir de cáncer, se
realizan calibraciones teniendo en cuenta eventos ocurridos en el pasado como fallas
inducidas por eventualidades sísmicas y además se pueden realizar análisis de beneficio
costo teniendo en cuenta la teoría económica.
La aceptación del riesgo depende de la sociedad, la edad, la cultura, la educación de la
persona, de su bagaje cultural y de otros muchos aspectos, sin embargo es importante
diferenciar entre el riesgo colectivo y el riesgo personal, toda persona es libre de llevar su
vida como desee, pero esto no ocurre con el riesgo colectivo, como el riesgo de que un
edificio presente una falla en su estructura, es un riesgo que debe ser manejado por el
estado, pues es el deber de todo estado velar por la seguridad sus ciudadanos.
2.2.1 Estructuras Óptimas
Para que una estructura sea económicamente óptima es necesario que la siguiente ecuación
sea maximizada (Rackwitz, 2000):
)()()()( pDpCpBpZ −−= (28)
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58
Todas estas cantidades se asumen cuantificables en términos monetarios, B (p) es el
beneficio que proporciona la estructura, C (p) es el costo del diseño y de la construcción de
la estructura y D (p) es el costo de la falla de la estructura. El valor p es un vector de
parámetros relevantes a la seguridad de la estructura, es el vector de parámetros a
optimizar, que puede ser el volumen de concreto de la estructura, el ancho de un muro, la
cuantía de acero de una viga, etc.
Los valores B (p), C (p) y D(p) deben de ser diferenciables en todo el dominio del vector p,
se supone que B = B (p) , no depende del parámetro de optimización y se mantiene
constante, C (p) aumenta mientras D (p) disminuye conforme el parámetro p aumenta, esto
se puede observar en la figura 2.5.
Figura 2.5 Función Objetivo
El costo C (p) varia según la parte que realice el análisis, ya sea el dueño, el constructor o
el usuario, esto debido a que cada una de las partes maneja tasas diferentes de retorno y de
ganancias Una estructura es razonable solamente si la función objetivo Z (p) es positiva
Costo
Parámetro p
C(p)
B
Optimo
D(p)
Dominio Aceptable
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59
para todas las partes involucradas; esta función puede ser negativa para estructuras publicas
o subsidiadas.
Toda estructura debe fallar pasado un tiempo determinado, sin embargo el proceso de
optimización debe llevarse a cabo en el momento de la toma de decisión, correspondiente al
tiempo t = 0, debido a esto todos los costos deben ser descontados a una tasa de interés con
el fin de llevarlos al tiempo t = 0, para esto se supone una función de descuento continuo
que es la que se usa en la mayoría de análisis económicos:
[ ]tt ⋅−= γδ exp)( (29)
Donde ã es la tasa de interés libre de impuestos que se utiliza para descontar los costos, por
ejemplo si se tiene un costo Co de un elemento estructural en el tiempo t, dicho costo
llevado al tiempo presente es equivalente a:
[ ]tCtC ⋅−= γexp)( 0 (30)
Existen dos metodologías para reemplazar estructuras, una es cuando se viola un estado
límite o se produce una falla local y la estructura se rehabilita para continuar con su normal
funcionamiento y la otra cuando se produce una falla general de la estructura, esta es
demolida y se vuelve a construir.
También deben distinguirse las estructuras que fallan por cargas invariantes o que nunca
fallan y las estructuras que fallan en un punto aleatorio del tiempo debido a cargas de
servicio, eventos externos extremos como sismos, huracanes o deterioro causado por la
acción del tiempo. El primer tipo de estructura tiene como implicación que las cargas que
actúan sobre ella no tienen variación en el tiempo. La mayoría de estructuras se ubican
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60
dentro del segundo tipo de estructuras que se mencionó anteriormente. Se asume que los
periodos de reconstrucción son demasiado cortos en comparación con el tiempo de servicio
de la estructura esto es importante para los modelos que se explicaran más adelante.
2.2.2 El modelo de renovación
El modelo de Renovación es el modelo más utilizado en la optimización estructural para
modelar el tiempo de vida útil de una estructura y el que mejores resultados produce, se
puede dividir en dos tipos según el tipo de falla, una cuando la estructura falla después de
prestar su servicio debido a cargas invariantes en el tiempo y la otra cuando se produce una
falla aleatoria en el tiempo, para el caso que nos concierne las cargas son invariantes en el
tiempo, por ende no se entrará en detalle en caso de falla aleatoria.
2.2.3 Falla por completo debido a cargas invariantes en el tiempo
La función objetivo para una estructura que falla debido a cargas invariantes en el tiempo
es la siguiente:
)()()()()()()( *** pPHBpCBpHPpCpRBpZ fff +−−=−−= (31)
Rf(p) es la confiabilidad y Pf(p) = 1- Rf(p) es la probabilidad de falla de la estructura
respectivamente, H es el costo directo que produce la estructura en el momento de
presentarse la falla, como la remoción de escombros, costos de demolición y sobre todo el
costo de reducir el riesgo de la vida humana, y B* es el beneficio que produce la estructura.
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61
La función objetivo para una estructura que falla y se reconstruye sistemáticamente es
(Rackwitz, 2000):
)(1
)())(()()( *
pP
pPHpCpCBpZ
f
f
−+−−= (32)
El beneficio se asume independiente del parámetro de optimización, y cuando el tiempo
tiende a infinito se define como (Rackwitz, 2002):
γb
B =* (33)
El valor b se supone como un porcentaje del costo inicial de la estructura Co que es el costo
de la estructura independiente del parámetro de optimización p, definiéndose como b = âC0
en donde â varia entre 0 y 0.3.
2.3 MÉTODOS DE MONTE CARLO
El método de Monte Carlo es una técnica especial que se puede utilizar para generar
resultados numéricamente sin realizar experimentos físicos. Se pueden utilizar los
resultados de ensayos y experimentos anteriores para determinar las distribuciones de
probabilidad de las variables de importancia en el problema, luego se utilizan estas
distribuciones para generar muestras de datos numéricos.
Este método se utiliza comúnmente en tres situaciones:
1. Se utiliza para resolver problemas complicados donde una solución exacta o
calculada por métodos aproximados, no es factible o es extremamente difícil. Por
ejemplo, los problemas probabilísticos que comprenden modelos de elementos
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
62
finitos no lineales son más fáciles de resolver mediante técnicas de Monte Carlo si
se tiene la capacidad computacional necesaria y la información requerida acerca de
las variables aleatorias es conocida.
2. Para resolver problemas complicados, que para ser resueltos mediante métodos
aproximados es necesario realizar simplificaciones, y mediante los métodos de
Monte Carlo se pueden resolver sin realizar suposiciones.
3. También se utiliza para chequear los resultados obtenidos mediante otro tipo de
técnicas de análisis.
2.3.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos
La base de todos los procesos de simulación de Monte Carlo es la generación de números
aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, estos números se producen mediante
rutinas de computador que se encuentran incluidas en la mayoría de programas y hojas de
cálculo.
2.3.2 Generación de números aleatorios con una distribución normal estándar
Dado que la distribución de probabilidad normal juega un papel importante en la
confiabilidad estructural, la posibilidad de simular variables distribuidas normalmente es
importante. Primero debe considerarse una distribución normal estándar, para generar un
grupo de números aleatorios distribuidos normalmente z1, z2,......., zn, se debe generar el
grupo de variables aleatorias uniformemente distribuidas u1, u2, ..........,un, entre 0 y 1;
entonces, para cada ui se puede generar el valor zi utilizando la ecuación:
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63
)(1ii uz −Φ= (34)
Donde Ô-1 es la inversa de la función de distribución normal acumulada.
2.3.3 Generación de números aleatorios normalmente distribuidos
Si se requiere generar valores con una distribución normal arbitraria, se debe suponer que
se tiene una variable aleatoria normalmente distribuida X con media ìx y una desviación
estándar óx. La relación entre X y la variable normal estándar Z es:
XX ZX σµ += (35)
Entonces si se produce un valor muestral aleatorio distribuido uniformemente zi el valor
correspondiente xi puede ser calculado:
XiXi zx σµ += (36)
2.3.4 Generación de números aleatorios distribuidos Lognormalmente
Sea X una variable aleatoria lognormal con una media ìX y una desviación estándar ó X .
Para generar un valor muestral xi primero se debe generar un número aleatorio distribuido
normalmente ui tal que 10 ≤≤ iu , luego se calcula un valor muestral zi a partir de una
distribución normal estándar utilizando la ecuación (34) y finalmente se utiliza la relación
entre las variables normales y lognormales obteniendo xi (Nowak, 2000):
[ ]XiXi zx lnlnexp σµ += (37)
Donde:
)1ln( 2ln
2 += XX Vσ (38)
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64
2lnln 2
1)ln( XXX σµµ −= (39)
2.3.4 Procedimiento general para generar números aleatorios a partir de
distribuciones arbitrarias
A continuación se describe aplicable teóricamente a cualquier tipo de distribución. Se debe
considerar una variable X con una función de distribución acumulada FX(x) y para generar
valores muestrales xi para la variable aleatoria se deben seguir los siguientes pasos:
1. Generar un valor muestral ui para una variable aleatoria uniformemente distribuida
entre 0 y 1.
2. Calcular un valor muestral xi a partir de la siguiente formula:
)(1iXi uFx −= (40)
donde FX-1 es la función inversa de FX .
Este procedimiento es completamente general, sin embargo en algunos casos es difícil
calcular la inversa de la función de distribución de probabilidad acumulada.
2.3.5 Precisión de la estimación de la probabilidad
La teoría expuesta anteriormente es útil para el cálculo de la probabilidad de falla, sin
embargo se debe reconocer que esta es solo un estimativo de dicha probabilidad, sin
embargo este estimativo se mejora cuanto más se aumenta el número de simulaciones.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
65
La probabilidad de falla se estima de la siguiente manera:
N
np = (41)
Donde N es el número total de simulaciones y n es el número de veces que el criterio de
falla se cumple, en otras palabras n es el número de veces que se viola el estado límite para
el cual se esta evaluando la probabilidad de falla. Esta probabilidad de falla varía hasta que
converge a un valor determinado dado un numero de simulaciones; entonces sea Preal la
probabilidad correcta teóricamente que se esta tratando de estimar a partir de P . Se puede
demostrar que el valor esperado, la varianza y el coeficiente de variación de la
probabilidad estimada son (Nowak, 2000):
[ ] realPpE = (42)
( )[ ]realrealpPP
N−= 1
12σ (43)
)(
)1(
real
realP PN
PV
−= (44)
Debe observarse que la incertidumbre en la estimación de la probabilidad decrece con el
número de simulaciones, estas relaciones proveen una forma para determinar el número de
simulaciones que son suficientes para estimar una probabilidad y el límite de la
incertidumbre que esta aproximación acarrea.
2.3.6 Simulación de números aleatorios correlacionados
Hasta el momento se ha supuesto que las variables aleatorias no están correlacionadas, sin
embargo en la práctica la mayoría de las variables se encuentran correlacionadas y debe
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66
aplicarse un procedimiento para descorrelacionarlas y trabajar con ellas de manera similar a
como se tratarían si no lo estuvieran, dicho procedimiento es exacto si las variables tienen
una distribución normal y para las demás distribuciones en una aproximación.
Sean X1, X2...........Xn variables con una distribución normal correlacionadas y con valores
medios:
{ }nXXXx µµµµ ,........,)(
21= (45)
con una matriz de covarianza (Melchers R.E.,1987):
[ ]
=
),(....),(),(
.......
.......
),(....),(),(
),(....),(),(
21
221212
12111
nnnn
n
n
X
XXCovXXCovXXCov
XXCovXXCovXXCov
XXCovXXCovXXCov
C (46)
Para generar valores aleatorios correlacionados para X1, X2...........Xn es necesario generar
valores aleatorios descorrelacionados Y1, Y2...........Yn de la manera que se presenta a
continuación. Primero se debe calcular X1, X2...........Xn utilizando la transformación:
{ } [ ]{ }YTX = (47)
Donde [T] es la matriz de transformación. Para poder realizar este procedimiento es
necesario calcular la matriz [T], las medias y las varianza de los de las variables
descorrelacionadas Yi.
Aplicando conceptos de álgebra lineal se puede demostrar que si [A] es una matriz
simétrica de n x n, [D] una matriz diagonal y [T] una matriz cuadrada las siguientes
relaciones se cumplen:
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67
[ ] [ ] [ ][ ]TATD T= (48)
[ ] [ ][ ][ ]TTDTA = (49)
La matriz [T] contiene los vectores propios ortonormales correspondientes a los valores
propios de la matriz [A]. La matriz [A] es la matriz de covarianza [Cx] de las variables
correlacionadas [X]. La matriz [T] esta conformada por los por los vectores propios
ortonormales correspondientes a los valores propios de la matriz [CX], entonces la primera
columna de la matriz [T] contiene el vector ortonormal propio correspondiente al primer
valor propio, la segunda columna contiene el vector propio correspondiente al segundo
valor propio y así sucesivamente.
La matriz [T] es una matriz ortogonal, esto significa que su inversa es equivalente a su
transpuesta, si la matriz [D] corresponde a la matriz de covarianza [Cy] de las variables
descorrelacionadas [Y], la ecuación [49] se convierte en:
[ ] [ ] [ ][ ]
==
2
2
2
......00
.....
.....
...0
0......0
2
n
i
Y
Y
Y
XT
y TCTC
σ
σσ
(50)
[ ] [ ][ ][ ]TYX TCTC = (51)
Los elementos diagonales de [Cy] contienen las varianzas de las variables
descorrelacionadas Y para realizar la simulación. Las medias de la variables Yi pueden ser
obtenidas mediante:
{ } [ ] { }XT
Y T µµ = (52)
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
68
Una vez se obtienen los valores de simulación [Y] la ecuación (47) puede utilizarse para
obtener valores simulados de {X}.
Alternativamente a este procedimiento para generar variables aleatorias descorrelacionadas
se puede utilizar la factorización de Cholesky, este es el procedimiento que se utiliza en
este documento y se aplica debido a que simplifica los cálculos y produce buenos
resultados.
Sea una matriz [M] y mediante la factorización de Cholesky se puede calcular una matriz
triangular superior [A] tal que:
[ ] AAM T= (53)
Esta transformación permite simplificar los cálculos de las variables descorrelacionadas y
esto se evidencia a continuación. Sean {X} = X1, X2,........., Xn variables normales
correlacionadas con una matriz de covarianza [Cx] y un vector de medias {ìX}. Los valores
aleatorios descorrelacionados de {X} se pueden calcular de la siguiente manera:
• Calcular la factorización de Cholesky de la matriz de covarianza [Cx] y definir la
matriz [B] = [A]T.
• Luego se debe generar un vector de n componentes calculadas a partir de una
distribución normal estándar, {U}T={ u1, u2, .......,un}.
• Finalmente se debe definir el vector que contiene las variables aleatorias normales
descorrelacionadas como :
[ ] }{}{}{ XUBX µ+= (54)
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
69
2.3.7 Variables correlacionadas distribuidas arbitrariamente
Como se mencionó anteriormente si las variables aleatorias no tienen una distribución
normal el procedimiento propuesto es solo una aproximación, dicha aproximación se
discute a continuación para variables con una distribución diferente a la normal.
Si {X} = X1, X2,........., Xn son variables aleatorias correlacionadas con una matriz de
covarianza [CX], las variables Xi pueden transformarse a un espacio normal estándar U
mediante la siguiente ecuación:
( )[ ]iXi xFui
1−Φ= para i = 1, 2,.......,n (55)
Donde cada variable de U = {X1, X2,........., Xn} tiene media 0 y desviación estándar 1.
Aunque el espacio de la matriz de covarianza cambia la siguiente relación se cumple:
2121 XXu
XX Fρρ = (56)
Donde ñuX1X2 es el coeficiente que correlaciona u1, u2 en el espacio de la variable
transformada y ñX1X2 es el coeficiente de correlación entre X1 y X2 en el espacio original. F
es un factor que relaciona ñ y ñu de la siguiente manera (Melchers R.E., 1987):
jijjjiii VlVVkhVgVVfedcVbVaF +++++++++= ρρρρ 222 (57)
Los coeficientes a, b, c, d, e, f, g, h, k y l varían según las combinaciones de las
distribuciones de las variables correlacionadas; Vi y Vj corresponden a los coeficientes d
variación. Para el caso de una distribución lognormal, la solución es exacta, y para las
demás distribuciones el error es menor al 2%. Estos factores y su deducción no se presentan
ya que no son relevantes para el desarrollo de este documento. La matriz de covarianza en
el espacio transformado, donde la media es 0 y la desviación estándar 1, es:
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70
=
1...
............
...1
...1
21
212
121
xxU
xxU
xxU
xxU
xxU
xxU
U
nn
n
n
C
ρρ
ρρρρ
(58)
El procedimiento se puede resumir:
1. Definir la matriz [CU] con 1 en la diagonal y los coeficientes de relación entre ui y
uj, ñu
ij .
2. Calcular la factorización de Cholesky de la matriz [CU] y definir [B] = [A]T.
3. Generar un vector de n componentes descorrelacionadas obtenidas aleatoriamente a
partir de una distribución normal estándar, [Y]T = {y1, y2,........., yn).
4. Definir el vector de las variables aleatorias normales estándar correlacionadas como
[U] = [B][Y].
5. Transformar la variables normal estándar Ui en la variables deseada Xi mediante la
transformada:
[ ])(1iXi uFx
iΦ= − (59)
2.4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
El objetivo de una regresión múltiple es el de construir un modelo probabilístico que
relacione una variable dependiente con más de una variable independiente o de predicción.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
71
Este modelo se puede aplicar cuando se desea relacionar la función de beneficio de un
proceso de optimización, con los parámetros independientes, que puede ser el vector de
parámetros estructurales, área de acero, ancho de una viga, altura de un muro, etc.
Sea k el número de variables independientes ( )2≥k y las variables independientes se
pueden denotar como x1, x2,......., xn. La ecuación general del modelo de regresión múltiple
aditiva es (Devore J., 1998):
exxxY kk +++++= ββββ .......22110 (60)
Donde E(e) = 0 y V(e) = ó2, además se supone que e se encuentra normalmente distribuida.
Sea x*1, x
*2,..........., x
*k valores particulares de x1, x2,..........., xk, entonces la ecuación (60)
implica que:
**110,.....,,
.........*1
* kkxxYxx
kβββµ +++= (61)
Por lo tanto, así como â 0+â1x describe el valor medio de Y como función de x en una
regresión lineal simple, la función de regresión verdadera kk xxx ββββ ++++ .......22110 da
el valor esperado de Y como función de x1, x2,..........., xk.
Si se obtienen datos en función de dos variables x1, y x2, un posible modelo es Y = â0 +
â1x1+ â2x2 + e. Sin embargo, es posible construir otros modelos si se forman
pronosticadores que sean funciones matemáticas de x1 y/o x2. Por ejemplo, con x3 = x2 y
x4=x1x2, el modelo exxxxY +++++= 443322110 βββββ tiene la forma general de la
ecuación (60). En general, no solo es permisible que algunos pronosticadores sean
funciones matemáticas de otras, sino que también son altamente deseables en el sentido qu
el modelo resultante puede ser mucho más satisfactorio para explicar la variación en y que
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
72
cualquier modelo sin estos pronosticadores. Este análisis también demuestra que la
regresión polinomial es un caso especial de la regresión múltiple. Por ejemplo, el modelo
cuadrático exxY +++= 2210 βββ tiene la forma de la ecuación (60) con k = 2, x1= x y
x2 = x2.
2.4.1 Interpretación del modelo
Para el caso de dos variables independientes, x1 y x2, cuatro modelos útiles de regresión
múltiple son los siguientes:
1. El modelo de primer orden, con
exxY +++= 22110 βββ (62)
2. El modelo de segundo orden sin interacción, con
exxxxY 224
21322110 ........ βββββ ++++= (63)
3. El modelo de primer orden con interacción, con
exxxxY ++++= 21322110 ββββ (64)
4. El modelo de segundo orden completo o cuadrático completo, especificado por
exxxxxxY ++++++= 215224
21322110 ββββββ (65)
Entender las diferencias entre estos modelos es un primer paso importante para construir
modelos de regresión realistas a partir de variables independientes bajo estudio.
El modelo de primer orden es la generalización más fácil de regresión lineal simple.
Expresa que, para un valor fijo de cualquier variable, el valor esperado de Y es una función
lineal de la otra variable y que el cambio esperado en Y para un aumento unitario en x1 (x2)
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73
es â1 (â2) independiente del nivel de x2 (x1). Por lo tanto, si se realiza una gráfica de la
función de regresión como función de x1 para varios valores diferentes de x2, se obtienen
como contornos de la función de regresión un conjunto de rectas paralelas. La función
22110 xxY βββ ++= especifica un plano en espacio tridimensional; el modelo de primer
orden dice que cada valor observado de la variable dependiente se desvía de este plano por
una cantidad aleatoria e.
Según el modelo de segundo orden sin interacción, si x2 es fija, el cambio esperado en Y
para un aumento de unidad en x1 es 1331 2 xβββ ++ . Como este cambio esperado no
depende de x2 , los contornos de la función de regresión para valores diferentes de x2
todavía son paralelos entre sí. Sin embargo, la dependencia del cambio esperado respecto al
valor de x1 significa que los contornos son ahora curvas en lugar de rectas. En esta caso, la
superficie de regresión ya no es un plano en el espacio tridimensional sino una superficie
curvada.
Los contornos de la función de regresión para el modelo de primer orden con interacción
son rectas no paralelas. Esto es porque el cambio esperado en Y cuando x1 se aumenta en 1
es 231 xββ + . Este cambio esperado depende del valor de x2, de modo que cada línea de
contorno debe tener una pendiente diferente. La palabra interacción refleja el hecho de que
un cambio esperado en Y, cuando una variable aumenta, depende del valor de la otra
variable.
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74
Finalmente, para el modelo de segundo orden completo, el cambio esperado en Y cuando x2
se mantiene fijo mientras x1 aumenta en 1 unidad es 251331 2 xx ββββ +++ , que es una
función de x1 y x2, esto implica que los contornos de la función de regresión son curvados y
no paralelos entre sí.
Se aplican consideraciones semejantes a modelos construidos de más de dos variables
independientes. En general, la presencia de términos de interacción en el modelo implica
que el cambio esperado en Y depende no sólo de la variable que aumenta o disminuye, sino
también de los valores de algunas de las variables fijas. También es posible tener términos
de interacción de orden más alto, por ejemplo x1x2x3 , lo que hace más difícil la
interpretación del modelo.
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75
CONCLUSIONES
• La probabilidad de falla es la probabilidad de excedencia de la región límite en
donde se iguala la ecuación de estado límite a 0, esto implica que la probabilidad de
falla es la probabilidad de que se viole un estado límite.
• Los métodos de Monte Carlo son una herramienta útil que permite encontrar la
probabilidad de excedencia de cualquier estado limite sin importar lo complicado de
las distribuciones de las variables aleatorias o de la ecuación de estado limite, su
única falencia radica en que para probabilidades de falla pequeñas deben realizarse
múltiples simulaciones y el costo computacional es elevado.
• Para que una estructura sea optima es necesario que se maximice la función
objetivo de beneficio, función que consta del beneficio en función del vector de
diseño, del costo de diseño y de construcción del proyecto y del costo de la falla del
mismo, todos función del vector de diseño que es el parámetro que se busca
optimizar.
• El modelo de renovación asume que el diseño inicial de una estructura es optimo,
además asume que una vez se viola un estado limite la estructura es reparada y
llevada a su estado inicial.
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76
• La regresión múltiple permite calcular la probabilidad de falla de un estado limite
en términos de dos o mas variables, esto es bastante útil ya que si se tiene la
probabilidad de falla en función de los parámetro de optimización estos se pueden
optimizar al tiempo maxificando aun mas la relación beneficio-costo.
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77
CAPÍTULO III
DISEÑO ÓPTIMO DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO
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78
ASPECTOS GENERALES
El ejemplo de diseño de muros tablestacados anclados que se expuso en el capitulo I, es
retomado y se realiza un diseño optimo basado en la teoría de la confiabilidad, esto con el
fin de poder realizar comparaciones y demostrar las bondades que presenta este método de
diseño.
La metodología de optimización se realiza paso a paso y de manera detallada con el fin de
establecer un procedimiento que pueda ser aplicado en un futuro a cualquier diseño
estructural o modelo mecánico.
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79
OBJETIVOS
• Optimizar el diseño un muro tablestacado anclado basándose en la teoría de la
confiabilidad.
• Comparar el diseño optimo con el tradicional y realizar comparaciones económicas.
• Establecer una metodología de optimización de diseños que pueda aplicarse a
cualquier diseño estructural o modelo mecánico.
• Avanzar un poco mas en la optimización de diseños, mediante la exposición de un
ejemplo elaborado que permita demostrar los posible beneficios que este tipo de
teoría podría ofrecer a la ingeniería.
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80
3.OPTIMIZACION DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO
3.1 Modelo Probabilístico
A continuación se presentan los parámetros que fueron tenidos en cuenta para optimizar el
diseño del muro tablestacado anclado, la nomenclatura utilizada fue introducida en el
capitulo I y por eso no se vuelve a definir:
Tabla 3.1. Parámetros de las variables aleatorias.
Variable Función de Distribución
Media (µµ)
Desviación Estándar
(σσ)
Coeficiente de Variación
(%)
fy LogNormal 250 MPa 20 MPa 8 fyanclaje LogNormal 420 MPa 21 MPa 5
γs1 Normal 18 kN/m3 1.8 kN/m3 10 φ1 Normal 25° 3° 12
γs′1 Normal 10 kN/ m3 0.8 kN/ m3 8 γs′2 Normal 11 kN/ m3 1.65 kN/m3 15 φ2 Normal 30° 2.1° 7
Los parámetros que se supusieron determinísticos se listan a continuación:
Tabla 3.2. Parámetros determinísticos(ver figura 1.11)
Parámetro Valor
h1 5.0 m
h2 1.0 m
hw 1.5 m
s 2.5 m
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81
Las variables de optimización se supusieron todas distribuidas normalmente, para estas
variables no se define media, ni coeficiente de variación con el fin de no sesgar resultados y
solamente se especifica la desviación estándar. Así, el valor que se optimiza corresponde a
la media de la variable en cuestión.
Tabla 3.3. Variables de optimización.
Variable Desviación
Estándar
d 0.005 m
Ast 0.00001 m²
S 0.000001 m³
Hm 0.005 m
L 0.05 m
Para ver la definición de cada variable se debe referir a la sección 1.8 del presente
documento.
El modelo probabilístico de las variables del suelo(peso unitario y ángulo de fricción),
supone que dicho parámetros se encuentran correlacionados, esta aproximación es acertada
ya que entre mayor sea la densidad de un suelo su resistencia al corte es mayor y por ende
su ángulo de fricción interna también lo es.
La matriz que correlaciona los parámetros del suelo es la siguiente:
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82
(66)
Donde σγs1 y σφ1 son la desviación estándar del peso unitario y el ángulo de fricción
interna de la porción del suelo 1, σγs´1 es la desviación estándar de la parte del suelo 1 que
se encuentra sumergida, σφ2 y σγs´2 son la desviación estándar del ángulo de fricción
interna y el peso unitario de la porción del suelo 2 respectivamente. Los parámetros ργs1φ1,
ργs2φ2 son los coeficiente de correlación entre el ángulo de fricción interna y el peso
unitario de cada una de las porciones de suelo, y se seleccionaron como 0.3 y 0.35
respectivamente.
Una vez se tiene definida la matriz de correlación se procede a “descorrelacionar” las
variables mediante el método de Cholesky expuesto en la sección 2.3.7.
3.2 Optimización de la profundidad de empotramiento de la tablestaca
El primer parámetro que se debe optimizar es la profundidad de empotramiento de la
tablestaca, esto con el fin de poder conocer todas las fuerzas que actúan sobre la tablestaca
y así poder obtener los demás valores del diseño.
Cx
σγs12
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
σφ12
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
σγs´12
0
0
0
0
0
σγs´22
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
0
0
0
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
σφ22
:=
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83
Para calcular la profundidad de la tablestaca se realiza la sumatoria de momentos con
respecto a la posición donde se colocan los anclajes y dicho momento se iguala a cero para
restringir la rotación de la tablestaca.
La ecuación de estado límite se presenta a continuación:
ivoMomentopasivoMomentoactsssdGmomento −=)2,2´,1́,1,1,( φγγφγ (67)
La variable d corresponde a la parte de la profundidad de empotramiento de la tablestaca
que se encuentra trabajando bajo la acción de la presión pasiva, el momento activo
corresponde a la sumatoria de momentos de las fuerzas que ejercen una presión activa de
tierras sobre la tablestaca y el momento pasivo al producto de la fuerza pasiva de tierras por
su distancia al punto de aplicación de los anclajes, el cálculo de estos momentos se presenta
en la sección 1.8.
Después de plantear la ecuación de estado límite, se calcula la probabilidad de falla en
función del parámetro de optimización d, este procedimiento consiste en obtener diferentes
puntos de la probabilidad de falla variando la profundidad d y luego aproximar la función
por medio de una regresión.
La probabilidad de falla en función de d, se gráfica a continuación:
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84
1.25 1.36 1.47 1.58 1.69 1.80
0.35
0.7
1.05
Profundidad(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
1.05
0
f d( )
1.81.25 d
Figura 3.1 Probabilidad de falla a la rotación en función de la profundidad de presión pasiva d. Cuando se ha realizado el análisis de confiabilidad estructural y se ha calculado la
probabilidad de falla en función del parámetro de optimización se deben definir los
aspectos económicos con el fin de poder plantear la relación de beneficio-costo y así poder
llevar a cabo la optimización.
Tabla 3.4 Funciones de costo para la optimización de la profundidad de empotramiento
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial ( ) 50102.11107 +××+= hwhCO
Costo de
construcción 0101072.1)( CddC +×××=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
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85
La variable d en el costo de construcción hace referencia a la profundidad de
empotramiento de la tablestaca.
Para realizar el primer proceso de optimización se supuso un costo del terreno de 50
dólares, una extensión del terreno contenido de 10m, una tasa de descuento γ del 4%, un
costo del acero de 1.2 dólares / kilo y un peso de la sección de la tablestaca de 107 kg / ml.
Al plantear los costos de la primera optimización se realizan varías suposiciones, sin
embargo el modelo económico se ajusta paulatinamente mientras se optimizan los demás
parámetros del diseño.
La función de beneficio es la siguiente:
)(1)(
))(()(0
00)(
zfzf
HzCzCC
zZ−
×+−−×
=γ
β (68)
Donde z es el parámetro de optimización, β0 es el porcentaje del costo inicial que se toma
como beneficio directo, γ0 es la tasa de descuento, C(z) es el costo de construcción, H es el
costo de las pérdidas y f(z) es la probabilidad de falla en función del parámetro de
optimización.
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86
Figura 3.2 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos
de la profundidad de empotramiento
La función beneficio se observa en la figura 3.2 con color magenta y se define como Z(pp),
la función del costo de construcción es la curva de color rojo definida como C(pp) y la
función del costo de pérdidas es la curva de color azul definida como D1(pp).
El punto óptimo de mayor beneficio es 1.67 m, que equivale a una profundidad total de
empotramiento de 2.21 m, produce un beneficio de 10450 dólares con una probabilidad de
falla de 1.187 x 10-4, probabilidad que representa un seguridad adecuada para cualquier
estructura.
3.3 Optimización del área de acero de los anclajes
Cuando se ha definido la altura total de la tablestaca se pueden conocer todas las fuerzas
que actúan sobre esta, el siguiente paso en el diseño tradicional sería seleccionar el área de
1 2 3 40
5000
1 .104
1.5 .104
Profundidad(m)
19000
500−
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
41 pp
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87
G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
acero de los anclajes, para esto se calcula la fuerza que actúa sobre estos y se chequea el
límite de fluencia.
La ecuación de estado límite para el proceso de optimización de los anclajes es la siguiente:
(69)
Donde Ast es el área de acero de los anclajes que se busca optimizar , fyanclaje es el
esfuerzo de fluencia del acero, y la función Tneta, es la tensión que actúa sobre cada anclaje
que se encuentra espaciado 2.5 m.
La probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los mismos es:
Figura 3.3 Probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los
mismos
0 2 .105
4 .105
6 .105
8 .105
1 .104
0
0.33
0.67
1
Area de Acero(m2)
Prob
abili
dad
de F
alla
1
0
f2 As( )
0.00010 As
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88
Es claro que al aumentar el área de acero de los anclajes la probabilidad de falla debe
disminuir.
Al tener más información acerca de los parámetros estructurales de la tablestaca se
ajustaron los costos de la misma con el fin de realizar un optimización más acertada.
Tabla 3.5 Funciones de costo para la optimización del área de acero de los anclajes
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial 5042.1780014000071.02.110107 +××××+×××= DoptCO
Costo de
construcción 041478002.1)( CAsAsC +××××=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
El parámetro Dopt corresponde a la profundidad de empotramiento de la tablestaca que se
optimizó en la sección anterior, se supone un anclaje con un área mínima de 0.000071 m2
correspondiente al área de una varilla # 3, la densidad del acero se supuso como 7800 kg /
m3 y se toman cuatro anclajes debido a que es el número de anclajes que hay por cada 10
metros de tablestaca. Como aún no se ha optimizado el área de la sección de la tablestaca se
supone que esta tiene un peso de 107 kg / ml.
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89
El costo de construcción depende del área del acero de los anclajes y se supone una
longitud de 1os mismos de 14 m. El costo del acero se mantiene al igual que la tasa de
descuento de los costos.
Con estos nuevos costos se plantea la ecuación de beneficio.
)(21)(2
))(()(0
00)(
zfzf
HzCzCC
zZ−
×+−−×
=γ
β (70)
La función f2( ) representa la probabilidad de falla por fluencia de los anclajes en función
del área de acero.
Figura 3.4 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos
del área de acero de los anclajes
El punto de mayor beneficio corresponde a 0.00014 m2 de área de acero, un beneficio de
16830 dólares y una probabilidad de falla de 7.5 x 10-5.
0 1.25 .1042.5 .10
43.75 .10
45 .10
43000
5250
1.35 .104
2.18 .104
3 .104
Area de Acero(m2)
30000
3000−
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
0.00050 pp
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90
Gmomγsa γsb, γs, φa, φb, fy, S,( ) S fy⋅ 1000⋅ Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
3.4 Optimización del modulo de sección de la tablestaca
El siguiente paso en el diseño de los muros tablestacados anclados es escoger el modulo de
sección de la tablestaca, y con este modulo de sección se debe escoger una tablestaca que
cumpla los requerimientos de la flexión sobre el muro.
El máximo momento ocurre donde el cortante es mínimo, el planteamiento a seguir para
encontrar el momento máximo se explica en la sección 1.8.
Una vez se plantea la ecuación del momento máximo se define la ecuación de estado límite
como:
(71)
S es el módulo de sección de la tablestaca, fy representa el esfuerzo de fluencia de la
sección y se multiplica por 1000 para mantener las mismas dimensiones. Ambas variables
multiplicadas representan el momento resistente de la sección.
Luego de plantear la función de estado límite en términos de las variables aleatorias y el
parámetro de optimización, mediante las técnicas de Monte Carlo se calcula la función de
probabilidad de falla en términos del módulo de sección de la tablestaca.
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91
Figura 3.5 Probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del modulo de sección
Al tener más información acerca de los costos estos se modifican para acercarse más al
beneficio verdadero.
Tabla 3.6 Funciones de costo para la optimización del módulo de sección de la tablestaca
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial 5042.17800142.110107 +××××+×××= AsoptDoptCO
Costo de
construcción 0101401852)1(2.1)( CShwhDoptSC +×××++×=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
0 2 .105
4 .105
6 .105
8 .105
1 .104
0
0.33
0.67
1
Modulo de Sección(m2)
Prob
abili
dad
de F
alla
1
0
f3 a( )
0.00010 a
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92
Para calcular el peso de la tablestaca se supone una densidad de 1401852 kg / m4 en
función del modulo de Sección S y de la longitud de la tablestaca. El área de acero de los
anclajes se fija en el punto óptimo y los demás parámetros económicos se dejan igual que
para las optimizaciones anteriores.
La función de beneficio es:
)(31
)(3))(()(
0
00)(
Sf
SfHSCSC
CSZ
−×+−−
×=
γβ
(72)
La función f3 representa la probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del
modulo de sección S.
Figura 3.6 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos
del módulo de sección de la tablestaca.
0 4 .10 5 8 .10 5 1.2 .10 41.6 .10 43000
2750
8500
1.43 .104
2 .104
Modulo de Sección(m2)
20000
3000−
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
0.000160 pp
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93
Gh γsa γsb, γs, φa, φb, Hm,( ) Hm2
0.5⋅ γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅ 1⋅ T γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
El valor óptimo del módulo de sección es 5.18 x 10-5 m3, dicho módulo tiene una
probabilidad de falla de 0.0057 y un beneficio de 6200 dólares.
3.5 Optimización de la altura del peso muerto
Como ya se han encontrado todas las fuerzas sobre la tablestaca y ya se conoce la tensión
sobre los anclajes, el siguiente paso es determinar la altura del peso muerto continuo
cercano a la superficie que debe soportar de manera pasiva la fuerza sobre los anclajes(ver
sección 1.7.1).
El peso muerto soporta la tensión que producen los anclajes mediante la acción de la
presión de tierras pasiva, la ecuación de estado limite por falla al deslizamiento es la
siguiente:
(73)
Donde Hm es la altura del peso muerto, Kp el coeficiente de presión pasiva de tierras, Ka el
coeficiente de presión activa de tierras y T es la tensión por metro lineal de tablestaca.
Una vez se ha planteado la ecuación de estado límite mediante técnicas de Monte Carlo se
calcula la probabilidad de falla en función de la altura del peso muerto.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
94
Figura 3.7 Probabilidad de falla por deslizamiento del peso muerto en función de su altura
Siguiendo la filosofía de la optimizaciones anteriores se procede a ajustar las funciones de
costo:
Tabla 3.7 Funciones de costo para la optimización de la altura del peso muerto
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial 5042.17800142.1101401852 +××××+××××= AsoptSoptDoptCO
Costo de
construcción 02.170105.0105.0170)( ChhhC +××××+×××=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
El costo inicial se actualiza incluyendo el módulo de sección que se cálculo en la sección
anterior, y para obtener el costo de construcción que depende de la altura del peso muerto,
este se divide en dos partes, el costo del concreto y el costo del acero. Para el costo del
concreto se supone un ancho de 0.5 metros y un costo de m3 de concreto de 170 dólares; y
0 0.24 0.48 0.72 0.96 1.20
0.33
0.67
1
Altura(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
1
0
f4 h( )
1.20 h
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95
para obtener el costo del acero se supone una cuantía de acero de 70 kg / m3 de concreto y
un costo del kilo de acero de 1.2 dólares.
Luego de actualizar los costos se plantea la ecuación de beneficio dependiente del
parámetro de optimización que es la altura del peso muerto.
)(41
)(4))(()(
0
00)(
Hmf
HmfHHmCHmC
CHmZ
−×+−−
×=
γβ
(74)
La función de beneficio, costo de construcción y costo de las pérdidas se gráfica a
continuación:
Figura 3.8 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos
de la altura del peso muerto
La altura del peso muerto que produce un mayor beneficio es 0.84 metros, dicho beneficio
es de 1954 dólares y tiene una probabilidad de falla de 5.71 x 10-3.
0 1 2 3 4
0
2000
4000
6000
Profundidad(m)
7000
500−
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
40 pp
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96
GL γsa γsb, γs, φb, L,( ) LD γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+
tan φb( )−:=
10 11.6 13.2 14.8 16.4 180
0.37
0.73
1.1
Profundidad(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
1.1
0
f5 l 10+( )
1810 l 10+
3.6 Optimización de la longitud de los anclajes
El último parámetro que se obtiene del diseño tradicional es la ubicación del peso muerto
que determina la longitud de los anclajes, la metodología del cálculo se explica en la
sección 1.7.2.
La ecuación de estado limite que determina la falla de los anclajes por estar dentro de la
superficie del suelo es:
(75)
L es la longitud horizontal de los anclajes y D es la profundidad óptima de empotramiento
de la tablestaca. La probabilidad de falla de los anclajes en función de la longitud de los
mismos se calcula mediante las técnicas de Monte Carlo.
Figura 3.9 Función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los anclajes
Las ecuaciones de costo se actualizan por última vez.
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97
Tabla 3.8 Funciones de costo para la optimización del la longitud de los anclajes
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial 502.170105.0105.0170
42.1780012.1101401852
+××××+×××
+××××+××××=
HmoptHmopt
AsoptSoptDoptCO
Costo de
construcción 042.17800)( CLAsoptLC +××××=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
Dentro del costo inicial se incluye el costo del peso muerto y se reduce la longitud del
anclaje a un metro, para calcular el costo de construcción se multiplica el área de acero
óptimo de los anclajes por la longitud y por el costo de acero de 1.2 dólares.
La función de beneficio en términos de la longitud de los anclajes es:
)(51
)(5))(()(
0
00)(
Lf
LfHLCLC
CLZ
−×+−−
×=
γβ
(76)
Donde f5(L) es la función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los
anclajes.
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98
Figura 3.10 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos
de la longitud de los anclajes
La longitud óptima de los anclajes es 15.3 metros, produce un beneficio de 3047 dólares y
una probabilidad de falla de 1.17 x 10-4.
3.7 Análisis comparativo entre el diseño tradicional y el diseño óptimo probabilístico
Los resultados de ambos diseños se listan a continuación:
15 20 25
0
2000
4000
6000
Profundidad(m)
7000
500−
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
2614 pp
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99
Tabla 3.9 Tabla comparativa entre ambas metodologías
Parámetro Diseño Tradicional Diseño Óptimo Probabilístico
Profundidad de
empotramiento de la
Tablestaca (D)
3.02 m 2.21 m
Área de acero de los
anclajes requerida (Ast)
1.13 cm2
1.4 cm2
Modulo de sección
requerido de la
tablestaca (S)
4.782 x 10-5 m3 5.18 x 10-5 m3
Altura del peso muerto
(Hm)
0.95 m 0.84 m
Longitud del anclaje
(L)
15.62 m 15.3 m
La diferencia significativa se presenta en la altura total de la tablestaca, la altura del peso
muerto y la longitud de los anclajes. El área de acero de los anclajes es menor en el diseño
tradicional puesto que al ser mayor la profundidad de empotramiento de la tablestaca los
anclajes trabajan menos y por ello se necesita una menor sección de los mismos. El costo
total del diseño tradicional es de 2666 dólares y el del diseño óptimo probabilístico es de
2161 dólares, esto representa un ahorro de 505 dólares en solo una sección de 10 m.
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100
R2:
predY mean Y( )−( )2
→
∑
Y mean Y( )−( )2
→
∑0.968=
3.8 Optimización de múltiples variables
Para mostrar el procedimiento de la optimización múltiple se optimizó el área de acero de
los anclajes y la separación de los mismos. El primer paso a seguir es expresar la ecuación
de estado límite en términos de ambos parámetros de optimización, en este caso la
separación de los anclajes y el área de acero:
G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast, s,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )−:= (77)
La variable Ast es el área de los anclajes y s es la distancia que existe entre ellos.
Después de plantear la ecuación de estado límite se debe aproximar la superficie de
probabilidades de falla en términos de los parámetros de optimización, para esto se hace
uso de la teoría de la regresión múltiple expuesta en la sección 2.4. Para realizar la
regresión múltiple se generan valores de la probabilidad de falla mediante las técnicas de
Monte Carlo variando el área de acero y la separación de los anclajes. Una vez se tienen los
valores generados se aproxima la superficie mediante un polinomio de funciones.
El coeficiente de determinación R2 en este caso fue de 0.968, lo que índica que la
aproximación que se realizó a la superficie fue satisfactoria.
( 78)
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101
Donde la función mean( ), representa el valor original de la variable y el parámetro predY
es el valor predecido de la variable mediante la regresión múltiple. Los residuos entre el
valor real y el predecido se grafican a continuación:
0 0.5 1
0.2
0
0.2
Residuals vs. Y scale
scale−
0residi
0.9660 Yi
Figura 3.11 gráfica de los residuos entre el valor real y el predecido
Los costos deben expresarse en términos de ambos parámetros de optimización:
Tabla 3.10 Funciones de costo para la optimización múltiple
ITEM Función de costo (US$)
Costo inicial 5012.1780014000071.02.110107 +××××+×××= DoptCO
Costo de
construcción 0
101478002.1),( CAs
ssAsC +××××=
Costo de las
pérdidas OFM CHHH 3=+=
Beneficio OCb 10.0=
El costo inicial se define partiendo de un área mínima de acero correspondiente a una
varilla # 3 , y se supone la presencia de un solo anclaje, para definir el costo de
construcción se expresa el mismo en término de los dos parámetros de optimización, As y s.
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102
La función de beneficio en términos de ambos parámetros es:
(79)
La función fit( ) corresponde a la aproximación de la superficie de falla que se realizó
mediante la regresión múltiple.
La combinación que produjo un mayor beneficio fue As = 3.1 cm2 y una separación s de
4.03 metros, con un beneficio de 16760 dólares y una probabilidad de falla 4.241 x 10-5.
Z As s,( )β0 C0⋅
γ0C As s,( )− C As s,( ) H+( )
fitAs
s
1 fitAs
s
−
⋅−:=
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103
CONCLUSIONES
• El diseño óptimo probabilístico es una herramienta poderosa que reemplaza la teoría
de los factores de seguridad y que puede brindar en muchos casos, como se
demostró en este documento, una economía apreciable a los diseños de obras
civiles.
• La mayoría de los diseños tradicionales producen sobrecostos ya que no tienen en
cuenta el análisis de costos, el beneficio del proyecto, y diseñan en el lado de la
máxima seguridad, sobrediseñando todas las condiciones que se encuentren por
debajo de ese punto. Por ejemplo, un código calcula los factores de seguridad para
la condición de esbeltez máxima de una columna, y le aplica ese factor de seguridad
a todas las columnas que tienen una esbeltez menor sobrediseñándolas.
• Para poder aplicar de manera correcta la teoría de la confiabilidad y de la
optimización a los diseños de proyectos técnicos, se deben realizar modelos
económicos que sean veraces y que se ajusten a la realidad del proyecto, además se
debe tener una base de datos experimentales los suficientemente amplia que permita
calcular las distribuciones de probabilidad y los parámetros de las mismas, para
todas la variables que se incluyen en el diseño de manera confiable.
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104
• La optimización múltiple permite optimizar al tiempo varios parámetros del diseño
de un proyecto técnico, sin embargo debe tenerse cuidado con el tipo de
aproximación que se realiza y con los máximos locales que puedan presentarse, para
esto se debe buscar con criterio la combinación de parámetros que produzca el
máximo beneficio.
• Como conclusión final a este documento se debería incluir la posibilidad de realizar
este tipo de análisis en la Norma Sismorresistente Colombiana, cuando se tenga la
suficiente información estadística de las variables de diseño, ya que los beneficios
económicos son evidentes, y en un país como el nuestro en donde los recursos son
limitados el ahorro podría verse reflejado en la elaboración de más proyectos de
infraestructura que nos beneficiarían a todos.
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105
BIBLIOGRAFIA
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New York.
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Life Quality Method. Institute for Risk Research, University of Waterloo, Ontario
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verification. Structural Safety, Vol. 22, No. 1, pp 27-60.
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2000.
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Life Quality Method", Institute for risk research, University of Waterloo-Canada.
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cantilever walls in cohesionless soils", Procc. thirteenth KKNN Seminar on Civil
Engineering, December 7-8. Taipei Taiwan.
• Rackwitz R. (2002). "Optimization and risk acceptability based on the life quality
index" Structural Safety, vol. 24, pp. 297-331.
• Sánchez-Silva M. Rackwitz R.(2002), To be published). "Implications of the high
quality index in the design of optimum structures to withstand earthquakes".
• Devore J,(1998). "Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias", Thomson
Editores, México.
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107
ANEXO 1
DISEÑO TRADICIONAL MURO TABLESTACADO ANCLADO
Kp2 3.732=
Kp2 tan 45π
180⋅ φ2+
:=
Kp1 2.747=
Kp1 tan 45π
180⋅ φ1+
:=
φ2 30π
180⋅:=γs´2 11:=
φ1 25π
180⋅:=γs´1 10:=γs1 18:=
Parametros del suelo
fyanclaje 420:=
fy 250:=
Materiales
s 2.5:=
Separación de los anclajes
hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=
Parametros Geométricos
Unidades MPa, kN, m
D
h1
h2 hw
L
hm
Diseño Tradicional
b4 hw h1+y
3+ h2−:=
b3 hw2
3h1⋅+ h2−:=
b2 hwh1
2+ h2−:=
b1 hw2
3⋅ h2−:=
Sumatoria de Momentos con respecto a la posición del anclaje
Presiones1 h( ) γs1 h⋅ Ka1⋅ h hw<if
γs1 hw⋅ Ka1⋅ γs´1 h hw−( )⋅ Ka1⋅+ h hw≥ h hw h1+<∧if
γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅ γs´2 Kp2 Ka1−( )⋅ h h1− hw−( )⋅− h hw h1+>if
:=
y 0.541=
yP3
Pendiente:=
Pendiente 38.105=
Pendiente γs´2 Kp2 Ka2−( )⋅:=
P3 20.632=
P3 γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅:=
P2 28.026=
P2 γs´1 h1⋅ Ka1⋅ P1+:=
P1 9.827=
P1 γs1 hw⋅ Ka1⋅:=
Cálculo de Presiones
Ka2 0.268=
Ka2 tan 45π
180⋅ φ2−
:=
Ka1 0.364=
Ka1 tan 45π
180⋅ φ1−
:=
b5 h1 hw+ y+ h2−:=
M d( ) P1hw
2⋅ b1( )⋅ P1 h1⋅ b2⋅+
P2 P1−( )
2h1⋅ b3⋅+
P3
2y⋅ b4( )⋅+
Pendiente
2d
2⋅ b5
2
3d⋅+
⋅−:=
D1 root M d( ) d, 0, 10,( ):=
D1 1.615=
M D1( ) 0=
D D1 y+:=
D 2.156=
0 2.16 4.33 6.49 8.6680
52.5
25
2.5
30
Presiones1 h( )
0
h
Tension sobre el anclaje
T P1hw
2⋅ P1 h1⋅+
P2 P1−( )
2h1⋅+ P3
y
2⋅+
Pendiente D2
⋅2
−:=
T 19.021=
Cálculo del momento máximo
*Se supone que el punto de cortante cero queda localizado por debajo del nivel freático
Cortante x( ) T P1hw
2⋅− P1 x⋅−
γs´1 Ka1⋅ x2
⋅2
−:=
Cortante 0( ) 11.65=
Cortante hw h1+( ) 129.115−=
L 14.127=
LD h1+ h2+
tan φ2( ):=
Localización del Peso Muerto
Hm 0.942=
HmT
0.5 γs1⋅ Kp1 Ka1−( )⋅:=
Cálculo de la altura del Peso Muerto
Ast 1.132 104−
×=
AstTneta
fyanclaje 1000⋅:=
Tneta 47.551=
Tneta s T⋅:=
Cálculo del área requerida de Acero
S 4.782 105−
×=
SMmax
fy 1000⋅:=
Modulo de Sección Requerida
Mmax 11.955=
Mmax P1hw
2⋅ x
hw
3+
⋅ P1 x⋅x
2⋅+ γs´1 x
2⋅
Ka1
2⋅
x
3⋅+ T x hw+ h2−( )⋅−:=
Cortante x( ) 0=
x 1=
x root Cortante x( ) x, 0, hw h1+,( ):=
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112
ANEXO 2
DISEÑO ÓPTIMO PROBABILÍSTICO DE UN MURO TABLESTACADO
ANCLADO
σfyanclaje 21=
σfyanclaje µfyanclaje Vfyanclaje⋅:=
Vfyanclaje 0.05:=µfyanclaje 420:=
σlnfy 0.08=
µlnfy 5.518=
µlnfy ln µfy( ) 0.5 σlnfy2
⋅−:=
σlnfy lnσfy
µfy
2
1+
0.5
:=
σfy 20=
σfy µfy Vfy⋅:=
Vfy 0.08:=µfy 250:=
Materiales
Distribuidos Log-Normalmente
s 2.5:=
Separación de los anclajes
hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=
Parametros Geométricos
Unidades MPa, kN, m
D
h1
h2 hw
L
hm
Diseño Probabilístico Óptimo
σφ2 0.037=
σφ2 µφ2 Vφ2⋅:=
Vφ2 0.07:=µφ2 30π
180⋅:=
σγs´2 1.65=
σγs´2 µγs´2 Vγs´2⋅:=
Vγs´2 0.15:=µγs´2 11:=
σγs´1 0.8=
σγs´1 µγs´1 Vγs´1⋅:=
Vγs´1 0.08:=µγs´1 10:=
σφ1 0.052=
σφ1 µφ1 Vφ1⋅:=
µφ1 0.436=
Vφ1 0.12:=µφ1 25π
180⋅:=
σγs1 1.8=
σγs1 µγs1 Vγs1⋅:=
Vγs1 0.1:=µγs1 18:=
ργs2φ2 0.35:=
ργs1φ1 0.3:=
Distribuidas Normalmente Correlacionadas
Parametros del suelo
σlnfyanclaje 0.05=
µlnfyanclaje 6.039=
µlnfyanclaje ln µfyanclaje( ) 0.5 σlnfyanclaje2
⋅−:=
σlnfyanclaje lnσfyanclaje
µfyanclaje
2
1+
0.5
:=
Variables de Optimización
σd 0.005:= σAst 0.00001:= σS 0.000001:= σHm 0.005:= σL 0.05:=
Descorrelacion de la variables aleatorias
Cx
σγs12
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
σφ12
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
σγs´12
0
0
0
0
0
σγs´22
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
0
0
0
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
σφ22
:=
B1 cholesky Cx( ):=
B1
1.8
0.016
0
0
0
0
0.05
0.252
0
0
0
0
0.759
0
0
0
0
0
1.65
0.013
0
0
0
0
0.034
=
U u1 u2, u3, u4, u5,( )
u1
u2
u3
u4
u5
:=
µx
µγs1
µφ1
µγs´1
µγs´2
µφ2
:=
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( ) B1 U u1 u2, u3, u4, u5,( )⋅ µx+:=
y γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )Pendiente γs φb,( ):=
Pendiente µγs´2 µφ2,( ) 38.105=
Pendiente γs φb,( ) γs Kp φb( ) Ka φb( )−( )⋅:=
P3 µγs1 µγs´1, µφ2,( ) 20.632=
P3 γsa γsb, φb,( ) γsa hw⋅ γsb h1⋅+( ) Ka φb( )⋅:=
P2 µγs1 µφ1, µγs´1,( ) 28.026=
P2 γsa φa, γsb,( ) γsb h1⋅ Ka φa( )⋅ P1 γsa φa,( )+:=
P1 µγs1 µφ1,( ) 9.827=
P1 γsa φa,( ) γsa hw⋅ Ka φa( )⋅:=
Cálculo de Presiones
Ka µφ2( ) 0.268=
Ka µφ1( ) 0.364=
Ka φ( ) tan 45π
180⋅ φ−
:=
Kp µφ2( ) 3.732=
Kp µφ1( ) 2.747=
Kp φ( ) tan 45π
180⋅ φ+
:=
X1 0.677 0.456, 0.534, 0.05, 0.7,( )
19.219
0.47
10.52
11.082
0.548
=
y µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 0.541=
Función de Estado Límite 1
Profundidad de la Tablestaca
b1 hw2
3⋅ h2−:=
b2 hwh1
2+ h2−:=
P2S γsa φa, γsb,( ) P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−:=
b3 hw2
3h1⋅+ h2−:=
P3S γsa γsb, γs, φa,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅ b1⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅ b2⋅+
P2S γsa φa, γsb,( )2
h1⋅ b3⋅+:=
P4S γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )2
y γsa γsb, γs, φb,( )⋅ hw h1+y γsa γsb, γs, φb,( )
3+ h2−
⋅:=
P5S γsa γsb, γs, φb, d,( ) Pendiente γs φb,( )2
d2
⋅ h1 hw+ y γsa γsb, γs, φb,( )+2
3d⋅+ h2−
⋅:=
M γsa γsb, γs, φa, φb, d,( ) P3S γsa γsb, γs, φa,( ) P4S γsa γsb, γs, φb,( )+ P5S γsa γsb, γs, φb, d,( )−:=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, d,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
d qnorm u6 0, 1,( ) σd⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MonteCarlo1 d N, iteraciones,( ) suma 0←
Ci 2 j⋅,
rnd 1( )←
Ci 2 j⋅ 1+,
X Ci 2 j⋅,
Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, d,( ) j←
i 0 iteraciones 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Cj2 2 N⋅,
M Cj2 1,
Cj2 5,, C
j2 7,, Cj2 3,, C
j2 9,, Cj2 11,,( )←
Cj2 2 N⋅ 1+,
1← Cj2 2 N⋅,
0>if
Cj2 2 N⋅ 1+,
0← otherwise
suma Cj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 iteraciones 1−..( )∈for
C0 2 N⋅ 2+,
suma
iteraciones←
suma
iteraciones
:=
Pf MonteCarlo1 0 6, 10000,( ):=
Pf 1=
MONT1 N iteraciones,( )
dj
501+←
PWj
MonteCarlo1 d N, iteraciones,( )←
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V MONT1 6 1000,( ):=
i 0 1, 50..:=
1.25 1.36 1.47 1.58 1.69 1.80
0.33
0.67
1
Profundidad(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
Vi
fi
501+
i
501+
Optimizacion de la Profundidad de la Tablestaca
Datos Monetarios
Datos en Dolares
*50 dolares costo del terreno
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*Se toma una profundidad de 10m y se supone una sección mínima
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
C0 107 h1 hw+( )⋅ 1.2⋅ 10⋅ 50+:= C1 1.2 107⋅ 10⋅:=
C0 8.396 103
×=
Tasa de Interes para Colombia
γ0 0.04:=
Beneficio
β0 0.10:=
Costo de la Tablestaca
C z( ) z C1⋅ C0+:=
C 10( ) 2.124 104
×=
Costo de remocion de escombros y demolicion
HM 3 C0⋅:=
HM 2.519 104
×=
Costo directo de la falla
H HM:=
H 2.519 104
×=
Costo de la Falla
D1 z( ) C z( ) H+( )f z( )
1 f z( )−⋅:=
Funcion de Beneficio
Z z( )β0 C0⋅
γ0C z( )− C z( ) H+( )
f z( )
1 f z( )−⋅−:=
1 2 3 40
5000
1 .104
1.5 .104
2 .104
Profundidad(m)
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
pp
Optimizacion
pp 1.6:=
Given
pp 1.5>
pp 2.0<
dopt Maximize Z pp,( ):=
Ancho Optimo
dopt 1.667=
Z dopt( ) 1.045 104
×=
f dopt( ) 1.187 104−
×=
D1 dopt( ) 4.243=
pp 0 0.01, 10..:=
1.3 3.47 5.65 7.82 101000
3000
7000
1.1 .104
1.5 .104
Profundidad(m)
Z pp( )
0
pp
M µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, dopt,( ) 25.3−=
D γsa γsb, γs, φb,( ) dopt y γsa γsb, γs, φb,( )+:=
D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 2.209=
Ecuación de Estado Limite 2
Tension sobre el anclaje
T1S γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅+
P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2
h1⋅+:=
T2S γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( ) y γsa γsb, γs, φb,( )2
⋅:=
T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T1S γsa φa, γsb,( ) T2S γsa γsb, γs, φb,( )+Pendiente γs φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( )2
⋅2
−:=
T µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 14.633=
Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( ) s T γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅:=
Tneta µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 36.583=
Ast γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje,( ) Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )fyanclaje 1000⋅
:=
Ast µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje,( ) 8.71 105−
×=
G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
G µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 0,( ) 36.583−=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, As,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )As qnorm u7 0, 1,( ) σAst⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MC2 Ast N, iteraciones,( ) suma 0←
Di 2 j⋅,
rnd 1( )←
Di 2 j⋅ 1+,
X Di 2 j⋅,
Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Ast,( ) j←
i 0 iteraciones 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Dj2 2 N⋅,
G Dj2 1,
Dj2 5,, D
j2 7,, Dj2 3,, D
j2 9,, Dj2 11,, D
j2 13,,( )←
Dj2 2 N⋅ 1+,
0← Dj2 2 N⋅,
0>if
Dj2 2 N⋅ 1+,
1← otherwise
suma Dj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 iteraciones 1−..( )∈for
D0 2 N⋅ 2+,
suma
iteraciones←
suma
iteraciones
:=
Pf MC2 0.000000001 7, 1000,( ):=
Pf 0.876=
MONT2 N iteraciones,( )
dj
100000←
PWj
MC2 d N, iteraciones,( )←
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V2 MONT2 7 1000,( ):=
i 0 1, 50..:=
0 2 .10 5 4 .10 5 6 .10 5 8 .10 5 1 .10 40
0.33
0.67
1
Area de Acero(m2)
Prob
abili
dad
de F
alla
V2i
f2i
100000
i
100000
Optimizacion del area de acero del anclaje
Datos Monetarios
Datos en Dolares
*50 dolares costo del terreno
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y una área mínima de acero
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 10⋅ 1.2⋅ 0.000071 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=
C0 1.127 104
×= C1 1.2 7800⋅ 14⋅ 4⋅:=
Tasa de Interes para Colombia
γ0 0.04:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
5250
1.35 .104
2.18 .104
3 .104
Area de Acero(m2)
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
pp
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
Z As( )β0 C0⋅
γ0C As( )− C As( ) H+( )
f2 As( )
1 f2 As( )−⋅−:=
Funcion de Beneficio
D1 As( ) C As( ) H+( )f2 As( )
1 f2 As( )−⋅:=
Costo de la Falla
H 3.381 104
×=
H HM:=
Costo directo de la falla
HM 3.381 104
×=
HM 3 C0⋅:=
Costo de remocion de escombros y demolicion
C 0.000071( ) 1.131 104
×=
C As( ) As C1⋅ C0+:=
Costo de la tablestaca
β0 0.10:=
Beneficio
Cortante x γsa, γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅− P1 γsa φa,( ) x⋅−
γsb Ka φa( )⋅ ⋅2
−:=
*Se supone que el punto de cortante cero queda localizado por debajo del nivel freático
Cálculo del momento máximo
pp 0 0.01, 10..:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
5250
1.35 .104
2.18 .104
3 .104
Area de Acero(m2)
Z pp( )
0
pp
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
D1 Asopt( ) 3.405=
f2 Asopt( ) 7.542 105−
×=
Z Asopt( ) 1.683 104
×=
Asopt 1.399 104−
×=
Acero Optimo
Asopt Maximize Z pp,( ):=
pp 0.001<
pp 0.00001>
Given
pp 0.00001:=
Optimizacion
Cortante 2 µγs1, µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 19.671−=
x h1 hw+:=
x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) root Cortante x γsa, γsb, γs, φa, φb,( ) x,( ):=
x1 µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 0.659=
Cortante x1 µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) µγs1, µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 8.617− 106−
×=
PX1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅ x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) hw
3+
⋅:=
PX2 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )
2⋅:=
PX3 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) γsb x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )2⋅
Ka φa( )2
⋅x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )
3⋅:=
PX4 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) hw+ h2−( )⋅:=
PX5 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX2 γsa γsb, γs, φa, φb,( )+:=
Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX5 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX3 γsa γsb, γs, φa, φb,( )+ PX4 γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
Mmax µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 6.11=
Ecuación de Estado Límite 3
Momento Resistente
Gmom γsa γsb, γs, φa, φb, fy, S,( ) S fy⋅ 1000⋅ Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, S,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )S qnorm u7 0, 1,( ) σS⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MC3 S N, iteraciones,( ) suma 0←
Di 2 j⋅,
rnd 1( )←
Di 2 j⋅ 1+,
X Di 2 j⋅,
Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, S,( ) j←
i 0 iteraciones 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Dj2 2 N⋅,
Gmom Dj2 1,
Dj2 5,, D
j2 7,, Dj2 3,, D
j2 9,, Dj2 11,, D
j2 13,,( )←
Dj2 2 N⋅ 1+,
0← Dj2 2 N⋅,
0>if
Dj2 2 N⋅ 1+,
1← otherwise
suma Dj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 iteraciones 1−..( )∈for
D0 2 N⋅ 2+,
suma
iteraciones←
suma
iteraciones
:=
Pf MC3 0.000000001 7, 1000,( ):=
Pf 0.941=
MONT3 N iteraciones,( )
dj
100000←
PWj
MC3 d N, iteraciones,( )←
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V3 MONT3 7 1000,( ):=
f3 x( ) exp 0.060512842− 2.8422633 1012
⋅ x3
⋅− 335.68291 x0.5
⋅−( ):=
i 0 1, 50..:=
0 2 .10 5 4 .10 5 6 .10 5 8 .10 5 1 .10 40
0.33
0.67
1
Modulo de Sección(m2)
Prob
abili
dad
de F
alla
V3i
f3i
100000
i
100000
Optimizacion del modulo de sección requerido para la tablestaca
Datos Monetarios
Datos en Dolares
*50 dolares costo del terreno
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y se utiliza el área de acero optima del anclaje
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 1.2⋅ 10⋅ Asopt 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=
C0 1.131 104
×= C1 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7
0.054 103−
⋅⋅ 10⋅:=
Tasa de Interes para Colombia
γ0 0.04:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
2750
8500
1.43 .104
2 .104
Modulo de Sección(m2)
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
pp
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
Z S( )β0 C0⋅
γ0C S( )− C S( ) H+( )
f3 S( )
1 f3 S( )−⋅−:=
Funcion de Beneficio
D1 S( ) C S( ) H+( )f3 S( )
1 f3 S( )−⋅:=
Costo de la Falla
H 3.392 104
×=
H HM:=
Costo directo de la falla
HM 3.392 104
×=
HM 3 C0⋅:=
Costo de remocion de escombros y demolicion
C 0.000071( ) 1.394 104
×=
C S( ) S C1⋅ C0+:=
Costo de la tablestaca
β0 0.10:=
Beneficio
Optimizacion
pp 0.00001:=
Given
pp 0.00001>
pp 0.001<
Sopt Maximize Z pp,( ):=
Ancho Optimo
Sopt 8.084 105−
×=
Z Sopt( ) 1.345 104
×=
f3 Sopt( ) 0.01=
D1 Sopt( ) 499.465=
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
2750
8500
1.43 .104
2 .104
Modulo de Sección(m2)
Z pp( )
0
pp
pp 0 0.01, 10..:=
Cálculo de la altura del Peso Muerto
Hm γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( )0.5 γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅
:=
Hm µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 0.826=
Ecuación de Estado Límite 4
Altura del peso propio
Gh γsa γsb, γs, φa, φb, Hm,( ) Hm2
0.5⋅ γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅ 1⋅ T γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, Hm,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
Hm qnorm u6 0, 1,( ) σHm⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MonteCarlo4 Hm N, iteraciones,( ) suma 0←
Ci 2 j⋅,
rnd 1( )←
Ci 2 j⋅ 1+,
X Ci 2 j⋅,
Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, Hm,( ) j←
i 0 iteraciones 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Cj2 2 N⋅,
Gh Cj2 1,
Cj2 5,, C
j2 7,, Cj2 3,, C
j2 9,, Cj2 11,,( )←
Cj2 2 N⋅ 1+,
0← Cj2 2 N⋅,
0>if
Cj2 2 N⋅ 1+,
1← otherwise
suma Cj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 iteraciones 1−..( )∈for
C0 2 N⋅ 2+,
suma
iteraciones←
suma
iteraciones
:=
Pf MonteCarlo4 1 6, 10000,( ):=
Pf 0=
MONT4 N iteraciones,( )
Hmj
50←
PWj
MonteCarlo4 Hm N, iteraciones,( )←
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V4 MONT4 6 1000,( ):=
f4 x( ) exp 0.0040902372− 0.23471807 x⋅+ 4.977246 x2
⋅− 9.7965885 x3
⋅+ 15.479708 x4
⋅−( ):=
i 0 1, 50..:=
0 0.4 0.8 1.2 1.6 20
0.33
0.67
1
Profundidad(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
V4i
f4i
50
i
50
Costo de la Falla
H 9.382 103
×=
H HM:=
Costo directo de la falla
HM 9.382 103
×=
HM 3 C0⋅:=
Costo de remocion de escombros y demolicion
C 0.5( ) 3.762 103
×=
C Hm( ) Hm C1⋅ C0+:=
Costo de la Tablestaca
β0 0.10:=
Beneficio
γ0 0.04:=
Tasa de Interes para Colombia
C1 170 0.5⋅ 10⋅ 0.5 10⋅ 70⋅ 1.2⋅+:=C0 3.127 103
×=
C0 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7
0.054 103−
⋅⋅ Sopt⋅ 10⋅ Asopt 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
*Se supone una profundidad de 1 metro, un ancho de 0.3 metros y una cuantía de acero de 70 kg/m3
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*50 dolares costo del terreno
Datos en Dolares
Datos Monetarios
Optimizacion de la altura del peso muerto
D1 Hm( ) C Hm( ) H+( )f4 Hm( )
1 f4 Hm( )−⋅:=
Funcion de Beneficio
Z Hm( )β0 C0⋅
γ0C Hm( )− C Hm( ) H+( )
f4 Hm( )
1 f4 Hm( )−⋅−:=
0 1 2 3 4
0
2000
4000
6000
Profundidad(m)
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
pp
Optimizacion
pp 1:=
Given
pp 0>
Hmopt Maximize Z pp,( ):=
Ancho Optimo
Hmopt 0.856=
Z Hmopt( ) 3.554 103
×=
f4 Hmopt( ) 3.637 103−
×=
D1 Hmopt( ) 49.633=
pp 0 0.01, 10..:=
0 1 2 3 4500
1625
3750
5875
8000
Profundidad(m)
Z pp( )
0
pp
Localización del Peso Muerto
L γsa γsb, γs, φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+
tan φb( ):=
L µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 15.084=
Ecuación de Estado Límite 5
Localización del Peso Propio
GL γsa γsb, γs, φb, L,( ) LD γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+
tan φb( )−:=
GL µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2, 10,( ) 5.084−=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, L,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
L qnorm u6 0, 1,( ) σL⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MonteCarlo5 L N, iteraciones,( ) suma 0←
Ci 2 j⋅,
rnd 1( )←
Ci 2 j⋅ 1+,
X Ci 2 j⋅,
Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C
i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, L,( ) j←
i 0 iteraciones 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Cj2 2 N⋅,
GL Cj2 1,
Cj2 5,, C
j2 7,, Cj2 9,, C
j2 11,,( )←
Cj2 2 N⋅ 1+,
0← Cj2 2 N⋅,
0>if
Cj2 2 N⋅ 1+,
1← otherwise
suma Cj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 iteraciones 1−..( )∈for
C0 2 N⋅ 2+,
suma
iteraciones←
suma
iteraciones
:=
Pf MonteCarlo5 15 6, 10000,( ):=
Pf 0.034=
MONT5 N iteraciones,( )
Lj
510+←
PWj
MonteCarlo5 L N, iteraciones,( )←
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V5 MONT5 6 1000,( ):=
i 0 1, 50..:=
10 12 14 16 18 200
0.37
0.73
1.1
Profundidad(m)
Prob
abili
dad
de F
alla
V5i
f5i
510+
i
510+
Optimizacion del Largo del Anclaje
Datos Monetarios
Datos en Dolares
*50 dolares costo del terreno
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*Se toma una profundidad de 10m y se supone una sección mínima
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
C0a Asopt 1⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅ 170 0.5⋅ 10⋅ 0.5 10⋅ 70⋅ 1.2⋅+( ) Hmopt⋅+ 50+:=
C0 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7
0.054 103−
⋅⋅ Sopt⋅ 10⋅ C0a+:=
C0 4.146 103
×= C1 Asopt 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅:=
15 20 25
0
2000
4000
6000
Profundidad(m)
C pp( )
D1 pp( )
Z pp( )
0
pp
pp 0 0.01, 30..:=
Z z( )β0 C0⋅
γ0C z( )− C z( ) H+( )
f5 z( )
1 f5 z( )−⋅−:=
Funcion de Beneficio
D1 z( ) C z( ) H+( )f5 z( )
1 f5 z( )−⋅:=
Costo de la Falla
H 1.244 104
×=
H HM:=
Costo directo de la falla
HM 1.244 104
×=
HM 3 C0⋅:=
Costo de remocion de escombros y demolicion
C 10( ) 4.199 103
×=
C z( ) z C1⋅ C0+:=
Costo del Anclaje
β0 0.10:=
Beneficio
γ0 0.04:=
Tasa de Interes para Colombia
Optimizacion
pp 15:=
Given
pp 13>
Lopt Maximize Z pp,( ):=
Ancho Optimo
Lopt 15.327=
Z Lopt( ) 6.137 103
×=
f5 Lopt( ) 1.055 104−
×=
D1 Lopt( ) 1.759=
pp 0 0.01, 30..:=
14 18 22 26 30500
1375
3250
5125
7000
Longitud(m)
Z pp( )
0
pp
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78
141
ANEXO 3
OPTIMIZACIÓN MULTIPLE
σfyanclaje µfyanclaje Vfyanclaje⋅:=
Vfyanclaje 0.05:=µfyanclaje 420:=
σlnfy 0.08=
µlnfy 5.518=
µlnfy ln µfy( ) 0.5 σlnfy2
⋅−:=
σlnfy lnσfy
µfy
2
1+
0.5
:=
σfy 20=
σfy µfy Vfy⋅:=
Vfy 0.08:=µfy 250:=
Materiales
Distribuidos Log-Normalmente
s 2.5:=
Separación de los anclajes
hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=
Parametros Geométricos
Unidades MPa, kN, m
D
h1
h2 hw
L
hm
Diseño Probabilístico Óptimo
Vφ2 0.07:=µφ2 30π
180⋅:=
σγs´2 1.65=
σγs´2 µγs´2 Vγs´2⋅:=
Vγs´2 0.15:=µγs´2 11:=
σγs´1 0.8=
σγs´1 µγs´1 Vγs´1⋅:=
Vγs´1 0.08:=µγs´1 10:=
σφ1 0.052=
σφ1 µφ1 Vφ1⋅:=
µφ1 0.436=
Vφ1 0.12:=µφ1 25π
180⋅:=
σγs1 1.8=
σγs1 µγs1 Vγs1⋅:=
Vγs1 0.1:=µγs1 18:=
ργs2φ2 0.35:=
ργs1φ1 0.3:=
Distribuidas Normalmente Correlacionadas
Parametros del suelo
σlnfyanclaje 0.05=
µlnfyanclaje 6.039=
µlnfyanclaje ln µfyanclaje( ) 0.5 σlnfyanclaje2
⋅−:=
σlnfyanclaje lnσfyanclaje
µfyanclaje
2
1+
0.5
:=
σfyanclaje 21=
σφ2 µφ2 Vφ2⋅:=
σφ2 0.037=
Variables de Optimización
σd 0.005:= σAst 0.00001:= σs 0.05:=
Descorrelacion de la variables aleatorias
Cx
σγs12
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅
σφ12
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
0
0
0
ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅
σγs´12
0
0
0
0
0
σγs´22
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
0
0
0
ργs2φ2 σγs´2⋅ σφ2⋅
σφ22
:=
B1 cholesky Cx( ):=
B1
1.8
0.016
0
0
0
0
0.05
0.252
0
0
0
0
0.759
0
0
0
0
0
1.65
0.013
0
0
0
0
0.034
=
U u1 u2, u3, u4, u5,( )
u1
u2
u3
u4
u5
:=
µx
µγs1
µφ1
µγs´1
µγs´2
µφ2
:=
Pendiente µγs´2 µφ2,( ) 38.105=
Pendiente γs φb,( ) γs Kp φb( ) Ka φb( )−( )⋅:=
P3 µγs1 µγs´1, µφ2,( ) 20.632=
P3 γsa γsb, φb,( ) γsa hw⋅ γsb h1⋅+( ) Ka φb( )⋅:=
P2 µγs1 µφ1, µγs´1,( ) 28.026=
P2 γsa φa, γsb,( ) γsb h1⋅ Ka φa( )⋅ P1 γsa φa,( )+:=
P1 µγs1 µφ1,( ) 9.827=
P1 γsa φa,( ) γsa hw⋅ Ka φa( )⋅:=
Cálculo de Presiones
Ka µφ2( ) 0.268=
Ka µφ1( ) 0.364=
Ka φ( ) tan 45π
180⋅ φ−
:=
Kp µφ2( ) 3.732=
Kp µφ1( ) 2.747=
Kp φ( ) tan 45π
180⋅ φ+
:=
X1 0.677 0.456, 0.534, 0.05, 0.7,( )
19.219
0.47
10.52
11.082
0.548
=
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( ) B1 U u1 u2, u3, u4, u5,( )⋅ µx+:=
T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T1 γsa φa, γsb,( ) T2 γsa γsb, γs, φb,( )+Pendiente γs φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( )2
⋅2
−:=
T2 γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( ) y γsa γsb, γs, φb,( )2
⋅:=
T1 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅+
P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2
h1⋅+:=
Tension sobre el anclaje
Ecuación de Estado Limite 2
D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 2.208=
D γsa γsb, γs, φb,( ) dopt y γsa γsb, γs, φb,( )+:=
M µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, dopt,( ) 25.2−=
dopt 1.667:=
M γsa γsb, γs, φa, φb, d,( ) M1 γsa φa,( ) M2 γsa φa, γsb,( )+ M3 γsa γsb, γs, φb,( )+ M4 γsa γsb, γs, φb, d,( )−:=
M4 γsa γsb, γs, φb, d,( ) Pendiente γs φb,( )2
d2
⋅ h1 hw+ y γsa γsb, γs, φb,( )+2
3d⋅+ h2−
⋅:=
M3 γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )2
y γsa γsb, γs, φb,( )⋅ hw h1+y γsa γsb, γs, φb,( )
3+ h2−
⋅:=
M2 γsa φa, γsb,( ) P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2
h1⋅ hw2
3h1⋅+ h2−
⋅:=
M1 γsa φa,( ) P1 γsa φa,( ) hw
2⋅ hw
2
3⋅ h2−
⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅ hwh1
2+ h2−
⋅+:=
Profundidad de la Tablestaca
Función de Estado Límite 1
y µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 0.541=
y γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )Pendiente γs φb,( ):=
T µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 14.664=
Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( ) s T γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅:=
Tneta µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, 2.5,( ) 36.66=
Ast γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, s,( ) Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )fyanclaje 1000⋅
:=
Ast µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 2.5,( ) 8.729 105−
×=
G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast, s,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )−:=
G µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 0, 2.5,( ) 36.66−=
X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, As, s,( )
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3
X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4
exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )As qnorm u7 0, 1,( ) σAst⋅+
s qnorm u8 0, 1,( ) σs⋅+
:=
ANALISIS MONTECARLO
MC Ast s, N, it,( ) suma 0←
Di 2 j⋅,
rnd 1( )←
Di 2 j⋅ 1+,
X Di 2 j⋅,
Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D
i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, Ast, s,( ) j←
i 0 it 1−..( )∈for
j 0 N 1−..( )∈for
Dj2 2 N⋅,
G Dj2 1,
Dj2 5,, D
j2 7,, Dj2 3,, D
j2 9,, Dj2 11,, D
j2 13,, Dj2 15,,( )←
Dj2 2 N⋅ 1+,
0← Dj2 2 N⋅,
0>if
Dj2 2 N⋅ 1+,
1← otherwise
suma Dj2 2 N⋅ 1+,
suma+←
j2 0 it 1−..( )∈for
D0 2 N⋅ 2+,
suma
it←
suma
it
:=
Pf MC 0.00001 2.5, 8, 1000,( ):=
Pf 0.793=
MONT N iteraciones,( )
dj
100000←
s i←
PWj 10⋅ i+ 0,
j←
PWj 10⋅ i+ 1,
i←
PWj 10⋅ i+ 2,
MC d s, N, iteraciones,( )←
i 0 9..( )∈for
j 0 50..( )∈for
PW
:=
V MONT 8 100,( ):=
V0 1 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 0 0.04
0 1 0.7
0 2 0.85
0 3 0.89
0 4 0.92
0 5 0.94
0 6 0.95
0 7 0.96
0 8 0.96
0 9 0.97
1·10 -5 0 0.03
1·10 -5 1 0.57
1·10 -5 2 0.77
:=
N rows V( ):= n cols V( ):=
Y V 2⟨ ⟩:= X submatrix V 0, N 1−, 0, n 2−,( ):=
X
0 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1·10 -5 0
1·10 -5 1
1·10 -5 2
1·10 -5 3
1·10 -5 4
1·10 -5 5
=
Number of data points: N 510=
Number of coordinates: n 3=
z loess X Y, 0.20,( ):= i 0 N 1−..:=
z
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1
1.857·10 3
0.172
0.488
0.752
0.903
0.961
0.982
0.988
0.985
0.99
0.99
0.12
0.398
0.628
0.784
0.862
0.898
0.918
0.929
0.94
0.945
0.077
0.316
=
Polynomial fitting function:
fit x( ) interp z X, Y, x,( ):=v
0.00025
2.5
:=
predYi
fit XT( ) i⟨ ⟩
:=
fit v( ) 1.063− 104−
×=
Coefficients for regression equation y = a0 + a1x1 + . . . + anxn
coeffs submatrix z 3, length z( ) 1−, 0, 0,( ):=
coeffsT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.488 0.752 0.903 0.961 0.982 0.988 0.985 0.99 0.99 0.12 0.398=
Residuals: resid predY Y−:=
Original Y data Predicted Y values
Y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.04
0.697
0.845
0.892
0.917
0.935
0.949
0.955
0.96
0.966
0.027
0.566
0.767
0.845
0.881
0.904
= predY
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.172
0.488
0.752
0.903
0.961
0.982
0.988
0.985
0.99
0.99
0.12
0.398
0.628
0.784
0.862
0.898
=
γ0 0.04:=
Tasa de Interes para Colombia
C1 1.2 7800⋅ 14⋅ 1⋅:=C0 1.124 104
×=
C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 10⋅ 1.2⋅ 0.000071 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 1⋅+ 50+:=
Costo kilo de acero = 1.2 dólares
*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y una área mínima de acero
Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion
*50 dolares costo del terreno
Datos en Dolares
Datos Monetarios
Optimizacion del area de acero del anclaje de la separación
0 0.5 1
0.2
0
0.2
Residuals vs. Y
0
Plot of residuals:
scale max resid→( ) 1.1⋅:=
predY mean Y( )−( )2
→
∑
Y mean Y( )−( )2
→
∑0.968=R2:
Beneficio
β0 0.10:=
Costo de la tablestaca
C As s,( ) As C1⋅10
s⋅ C0+:=
C 0.000071 2.5,( ) 1.128 104
×=
Costo de remocion de escombros y demolicion
HM 3 C0⋅:=
HM 3.372 104
×=
Costo directo de la falla
H HM:=
H 3.372 104
×=
Costo de la Falla
D1 As s,( ) C As s,( ) H+( )
fitAs
s
1 fitAs
s
−
⋅:=
D1 0.00025 2.5,( ) 4.795=
Funcion de Beneficio
Z As s,( )β0 C0⋅
γ0C As s,( )− C As s,( ) H+( )
fitAs
s
1 fitAs
s
−
⋅−:=
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
5250
1.35 .104
2.18 .104
3 .104
Area de Acero(m2)
C pp 2.5,( )
D1 pp 2.5,( )
Z pp 2.5,( )
0
pp
Optimizacion
As 0.00001:=
s 0>
Given
As 0.000001>
As 0.001<
opt Maximize Z As, s,( ):=
Acero Optimo
opt 3.105 104−
×
4.027
=
Z opt0
opt1,( ) 1.676 10
4×=
fit opt( ) 4.241 105−
×=
D1 opt0
opt1,( ) 1.911=
pp 0 0.0000001, 0.001..:=
0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000
5250
1.35 .104
2.18 .104
3 .104
Area de Acero(m2)
Z pp opt1,( )0
pp
pp 0 0.01, 10..:=