Distribución muestral

A partir de las muestras seleccionadas de una población pueden construirse variables aleatorias alternativas, de cuyo análisis se desprenden interesantes propiedades estadísticas. Las dos formas más comunes de estas variables corresponden a las distribuciones muestrales de las medias y de las proporciones.

Distribución muestral de las medias

Dada una población constituida por un número n de elementos, cuya media aritmética es  y donde la desviación típica viene dada , pueden formarse n2muestras con reemplazamiento distintas, formadas por dos elementos de la población.Para cada una de estas muestras es posible una media muestral, que denotaremos con el símbolo  . Un ejemplo de la tabla de muestras de tamaño 2, tomada de la población {1, 3, 5}, con sus medias aritméticas reflejadas, sería:

A partir de la variable estadística original x de la población se puede construir una nueva variable estadística  , que tendría como valores las medias de las muestras tomadas de la población. La media aritmética de esta distribución muestral de las medias se denota por  , y su desviación típica por  .

Parámetros de la distribución muestral de las medias de tamaño 2

Establecida una distribución muestral de las medias de tamaño 2, su esperanza matemática adopta el valor siguiente:

siendo  la media aritmética de la población,   la media aritmética de cada muestra,   la media aritmética de todas las medias, E [x] la esperanza matemática de la variable aleatoria x (para la población) y E [   ] la esperanza matemática de la variable aleatoria   (para la distribución muestral de las medias).Por su parte, los valores de la varianza y la desviación típica de esta distribución muestral de tamaño 2 son:

donde  es la desviación típica de la población,   la desviación típica de la distribución muestral, V [x] la varianza de la variable x (población) y V [ ] la varianza de la variable   (distribución muestral de las medias).

Distribución muestral de las medias de tamaño n

En una distribución muestral de las medias, la variable aleatoria media muestral sigue una ley normal descrita como N (,/n).

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las medias de tamaño n:

Distribución muestral de las proporciones

Sea una población formada por n elementos, de los cuales algunos poseen una determinada característica y otros no (llamaremos p a la proporción de los elementos que poseen la característica, y q = 1 - p a la de los restantes elementos). Entonces, es posible extraer muestras de la población de manera que a cada una se asocie como valor la proporción de la característica analizada.

Por ejemplo, en la población {1, 2, 3}, la característica par tiene un valor p = 1 / 3, mientras que la impar es q = 2 / 3. Mediante la tabla siguiente de muestras se construye una nueva distribución muestral de las proporciones.

Muestra1,1 1,2 1,3 2,

12,2 2,3 3,1 3,

23,3

Proporción f/n

0 0,5 0 0,5

0 0,5 0 0,5

0

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de tamaño n:

Una distribución muestral de las proporciones se comporta como una distribución normal descrita por los parámetros N  .