UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Algebra III. 525201FACULTAD DE CIENCIAS Duracion: 100 minutosFISICAS Y MATEMATICAS 15 de mayo de 2007DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Prof.: Anah Gajardo

Evaluacion 2

1. (20 puntos) Considere la siguiente relacion en R[x]:

p(x) R q(x) (x2 + 1)|p(x) q(x)

a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.b) Demuestre que R[x]/R {[ax + b] : a, b R}.

2. (20 puntos) Considere una transformacion lineal idempotente E.

a) Demuestre que Ker(Id + E) Ker(E) = {}.b) Demuestre que Ker(Id + E) Ker(E).c) Concluya que I + E es invertible.

3. (20 puntos) Encuentre una transformacion lineal idempotente T : R3 R3 tal que:

Ker(T ) =< {(1, 0, 0)} > yIm(T ) =< {(1, 1, 1), (2, 3, 2)} >.